Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электростатика. Постоянный электрический ток. Электромагнетизм. Учебно-методическое пособие
.pdf
1.16. Положительный точечный заряд q = 50 мкКл находится на
i
E
−
=
jir
плоскости ху в точке с радиус-вектором
осей х и у [10]. Найти напряженность электрического поля
jir
дуль Е в точке с радиус-вектором
1.17. Электрон движется в плоском горизонтально расположенном конденсаторе параллельно его пластинам со скоростью
v = 3,6⋅107 м/с. Напряженность поля внутри конденсатора
Е = 3,7 кВ/м, длина пластин конденсатора ℓ = 20 см. На какое рассто-
яние у сместится электрон в вертикальном направлении под действием электрического поля за время его движения в конденсаторе?
1.18. Электрон с начальной скоростью v0 = 3 м/с влетел в однород-
58
. Здесь r0 и r – в метрах.
320+=
, где
jiЕ
6,37,2 −=
; Е = 4,5 кВ/м
j
и
– орты
и ее мо-
у = 0,02 см
ное электрическое поле напряженностью Е = 150 В/м. Вектор начальной
скорости перпендикулярен линиям напряженности электрического поля.
Определить: 1) силу, действующую на электрон; 2) ускорение, приобретаемое электроном; 3) скорость электрона через t = 0,1 мкс.
1) F = 24 аН; 2) a = 26,4 Тм/с2; 3) v = 2,64⋅106 м/с
1.19. Расстояние между пластинами плоского конденсатора d = 1 см.
От одной из пластин одновременно начинают двигаться протон и αчастица. Какое расстояние пройдет α-частица за то время, в течение ко-
торого протон пройдет весь путь от одной пластины до другой?
ℓ = 0,5 см
1.20. Электрон влетает в плоский горизонтально расположенный
конденсатор параллельно его пластинам со скоростью v0 = 107 м/с.
Напряженность поля внутри конденсатора Е = 10 кВ/м, длина кон-
денсатора ℓ = 5 см. Найти модуль и направление скорости электрона
при вылете его из конденсатора.
7
v = 1,3⋅10
21
м/с, α= 41°20′
1.21. Свинцовый шарик (плотность свинца ρ1 = 11,3 г/см3) диаметром d = 0,5 см помещен в глицерин. Плотность глицерина
ρ2 = 1,26 г/см3. Определите заряд q шарика, если в однородном электрическом поле шарик оказался взвешенным в глицерине [11]. Электростатическое поле направлено вверх, его напряженность
Е = 4 кВ/см.
q = 16,1 нКл
1.22. Расстояние между зарядами q = ±2 нКл равно ℓ = 20 см.
Определите напряженность Е поля, созданного этими зарядами в точ-
ке, находящейся на расстоянии r1 = 15 см от первого и r2 = 10 см от
второго заряда.
Е = 2,14 кВ/м
1.23. В вершинах квадрата со стороной 5 см находятся одинаковые положительные заряды q = 2 нКл. Определите напряженность
[11] электрического поля: 1) в центре квадрата; 2) в середине одной
из сторон квадрата.
1) Е = 0; 2) Е = 10,3 кВ/м
1.24. В вершинах правильного шестиугольника расположены три
положительных и три отрицательных заряда. Найти напряженность Е
электрического поля в центре шестиугольника при различных комбинациях в расположении этих зарядов [9]. Каждый заряд q = 1,5 нКл,
сторона шестиугольника а = 3 см.
В зависимости от расположения зарядов:
а) Е =0; б) Е = 60 кВ/м; в) Е = 30 кВ/м
1.25. Определить напряженность электростатического поля в точке,
расположенной вдоль прямой, соединяющей заряды q1 = 10 нКл и q2 = 8 нКл и находящейся между зарядами на расстоянии r = 8 см от отрица-
тельного заряда [11]. Расстояние между зарядами ℓ = 20 см.
Е = 17,5 кВ/м
1.26. Какой минимальный заряд q нужно закрепить в нижней
точке сферической полости радиуса R, чтобы в поле силы тяжести
22
небольшой шарик массы m и заряда Q находился в верхней точке
πε
в положении устойчивого равновесия [9]?
q
min
=
1.27. Большая металлическая пластина расположена в вертикальной плоскости и соединена
с землей (рис. 1.11). На расстоянии а = 10 см от
пластины находится неподвижная точка, к которой
на нити длиной ℓ = 12 см подвешен маленький шарик массой m = 0,1 г. При сообщении шарику заря-
32
да q он притянулся к пластине, в результате чего
Рис. 1.11
нить отклонилась от вертикали на угол α = 30°.
Найти заряд q шарика [13].
q = 20 нКл
1.28. По тонкому кольцу радиусом R = 6 см равномерно распре-
0
Q
mgR
делен заряд q1 = 24 нКл. Какова напряженность поля в точке, находящейся на оси кольца на расстоянии a = 18 см от центра кольца?
Найти также силу F, действующую в этой точке на точечный заряд
q2 = 0,5 нКл.
Е = 5,7 кВ/м; F = 25 мкН
1.29. Определите напряженность поля, создаваемого диполем
с электрическим моментом р = 1 нКл⋅м на расстоянии r = 25 см от
центра диполя в направлении, перпендикулярном оси диполя [11].
Е = 576 В/м
1.30. Найти силу F взаимодействия двух молекул воды, отстоя-
щих друг от друга на расстояние ℓ = 10-8 м. Электрический диполь-
ный момент молекул воды р = 0,62⋅10
-29
Кл⋅м. Дипольные моменты
молекул считать расположенными вдоль соединяющей молекулы
прямой [9].
23
F = 2,1⋅10
-16
Н
ТЕМА 2. ТЕОРЕМА ГАУССА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
D
0
r
4
4
r
м
К ВЫЧИСЛЕНИЮ НАПРЯЖЕННОСТИ ПОЛЕЙ
2.1. ВЕКТОР ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ.
ПОТОК ИНДУКЦИИ
Напряженность электрического поля зависит от свойств среды,
т. е. от ее диэлектрической проницаемости ε. Поэтому для характеристики электрического поля часто используют [1–5] величину D, называемую электрическим смещением, или электростатической ин-
дукцией, которая не зависит от свойств среды. Она связана с напряженностью соотношением
D = εε0Е. (2.1)
Это равенство для изотропной среды можно записать в векторной
форме:
Таким образом, вектор электростатической индукции
ED
εε=
.
0
(2.2)
, или век-
тор электрического смещения, равен произведению вектора напряженности электрического поля на абсолютную диэлектрическую
проницаемость среды εа = εε0.
Так как в системе СИ
q
r
,
3
επε
r
E
1
=
4
то для точечного заряда
D
=
1
π
q
r
.
3
Модуль вектора электростатической индукции
Dπ=
q
.
2
Единицей измерения данной величины является
24
[ ]
(2.3)
Кл
=D
.
2
Согласно принципу суперпозиции полей (1.7)
.
const
D
=
D
n
Рис.
Подставив в это выражение
n
=
р
Е
=
р
р
∑
=
i
и
n
∑
=
i
ЕЕ
.
i
1
Е
из формулы (2.2), получим
i
DD
.
i
1
(2.4)
Таким образом, вектор электростатической индукции поля, созданного в данной точке пространства системой электрических зарядов, равен геометрической сумме векторов индукции полей, создаваемых в той же точке каждым из зарядов в отдельности [1].
Для однородного электрического поля
Графически электрическое поле может быть изображено линия-
ми индукции. Направление линий индукции в каждой точке пространства совпадает с направлением вектора электрического смещения, а число линий электрического смещения, проходящих через единицу поверхности, перпендикулярной к ним, равно по величине индукции поля в данной точке.
Принято [1–5] число линий индукции, пронизывающих данную поверхность, называть пото-
ком линий индукции. Для расчета потока индукции выберем произвольную плоскую поверхность и поместим ее в однородное электрическое
поле (рис. 2.1).
В этом случае все линии индукции прямые и
2.1
идут параллельно на одинаковом расстоянии друг
от друга. Определим число линий ND электрического смещения, про-
низывающих данную поверхность. Проведем поверхность S0 ⊥ D, линии индукции
и нормаль
к поверхности S.
Так как число линий индукции, пронизывающих единицу поверхности S0, равно D – индукции поля, то всю поверхность S0 пронизывает
N
= D S0
D
25
линий индукции. Очевидно, такое же число линий индукции прони-
D
n
D
n
м
⋅
E
n
зывает и поверхность S.
Обозначим α – угол между
и
. Так как S0 ⊥ D, то угол, обра-
зуемый плоскостями S и S0, также будет равен α и S0 = S·cos α.
Тогда предыдущее выражение можно переписать в виде
ND = D⋅S⋅cosα.
Величина D⋅cosα = Dn есть проекция вектора
нормали
. И выражение (2.5) переписывается в виде
на направление
(2.5)
ND = Dn S. (2.6)
Из выражения (2.6) видно, что поток линий индукции есть скалярная величина. Из формулы (2.5) вытекает, что эта величина может
быть как положительной, так и отрицательной. Если линии индукции
составляют острый угол с нормалью (cosα > 0), то поток будет положительным. Если этот угол тупой (cosα < 0), то поток будет отрица-
тельным. Единицы измерения потока линий индукции
[ ]
N
D
Кл
2
Клм
2
=⋅=
.
Аналогично величину, численно равную числу линий вектора
напряженности, пронизывающих элементарную площадку, называют
потоком вектора напряженности. Для однородного электрического
поля
NЕ = E⋅S⋅cosα;
NЕ = E
S,
n
где Е⋅cosα = En есть проекция вектора
на направление нормали
(2.7)
(2.8)
к поверхности контура.
Пусть требуется определить поток линий индукции через произвольно выбранную поверхность в неоднородном поле. Эту поверхность можно разбить на бесконечно малые элементы dS. Их можно
считать плоскими, а поле возле них – однородным. Поток вектора
смещения через любой элемент такой поверхности равен
dN = Dn dS.
26
Полный поток линий электрического смещения через произволь-
4
r
D
r
n
r
π
4
Рис.
но выбранную поверхность S в любом неоднородном поле равен
сумме потоков всех ее элементов:
=
n
∑
=
i
dNN
1
i
или
=
dSDN
.
n
∫
S
(2.9)
Аналогично полный поток линий вектора напряженности через
произвольно выбранную поверхность S в любом неоднородном поле
равен сумме потоков всех ее элементов:
nE
2.2. ТЕОРЕМА ГАУССА
∫∫
SS
SdEdSEN
⋅=⋅=
.
(2.10)
Рассмотрим один точечный заряд q, помещенный в центр сферы
произвольного радиуса r (рис. 2.2).
Вычислим полный поток индукции ND, проходящий через всю
поверхность этой сферы наружу:
α⋅⋅==
nD
∫∫
SS
cosdSDdSDN
.
q
Численное значение
Dπ=
будет на всей
2
сфере одинаково.
2.2
Направления векторов
и
совпадают в каж-
дой точке. Это направление является направлением внешней нормали
к сфере, поэтому cosα = 1, и полный поток линий электрического
смещения через поверхность S будет равен
N
=
D
q
π
dS
r
∫ ∫
S S
=
q
22
π
r
44
dS
;
D
4
π=
N
2
rN
= q.
D
27
q
q
=
2
;
Таким образом, полный поток индукции, создаваемый точечным
∑
=
Рис. 2.3
зарядом через сферу любого радиуса с центром в источнике поля,
одинаков и в системе СИ численно равен заряду.
Подсчитаем поток линий индукции сквозь поверхность S2, не охватывающую заряд (рис. 2.3). Если провести две концентрические сферы радиусами r1 и r2 c центром, где расположен заряд q, мы получим, что число
линий индукции, пронизывающих обе
сферы, одинаково.
Между этими сферами линии индукции идут непрерывно, нигде не
заканчиваясь и не возникая вновь. Если мы проведем между ними замкнутую поверхность S1 произвольной формы, тоже охватывающую
точечный заряд q, то полное число линий индукции ND через эту поверхность также будет равно q.
Для замкнутой поверхности условились считать положительным
направление нормали, выходящее из объема, ограниченного поверхностью. Тогда линии индукции, выходящие из объема, ограниченного
данной поверхностью, создают положительный поток; линии же,
входящие в объем, создают отрицательный поток.
Расположим мeжду сферами радиусов r1 и r2 замкнутую поверхность S2, не охватывающую заряд q. Из рис. 2.3 видно, что каждая
линия индукции будет пересекать эту поверхность дважды: один раз
с положительной стороны, другой раз – с отрицательной. Поэтому алгебраическая сумма линий индукции, проходящих через замкнутую
поверхность S2, будет равна нулю, т. е.
0
D
.
i
Но в таком случае и полный поток индукции ND через эту поверхность также будет равен нулю:
= 0.
N
D
28
Итак, если заряд расположен вне замкнутой поверхности, то пол-
0
ный поток индукции через эту поверхность равен нулю.
В общем случае, когда электрическое поле создается системой
точечных зарядов, полный поток индукции, проходящий через замкнутую поверхность S, равен
iDD
n
∑
=
i
n
==
∑∑
i
qdSD
i
1
;
qNN
i
==
11
.
(2.11)
(2.12)
n
i
=
n
∫
S
Эта формула выражает теорему Гаусса для потока вектора
электростатической индукции [1–15]: поток вектора электростати-
ческой индукции через любую замкнутую поверхность численно равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности.
Существует также теорема Гаусса для потока вектора напря-
женности электростатического поля в вакууме [1–15]: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленных на электрическую постоянную:
2.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ГАУССА К РАСЧЕТУ ПОЛЕЙ
n
==
iEE
i
1
1
∫
S
=⋅
ε
n
1
∑∑
ε
i
n
∑
=
i
1
0
;
qNN
i
==
1
qSdE
.
i
(2.13)
(2.14)
2.3.1. Поле равномерно заряженной плоскости
Представим себе равномерно заряженную бесконечную плоскость с поверхностной плотностью заряда +σ (рис. 2.4).
Линии индукции в этом случае должны быть направлены симметрично в обе стороны от плоскости и идти ⊥ от нее, если σ > 0. Вы-
29
берем на этой плоскости площадку S
∧
∧
π
2
π
2
σ
и построим на ней цилиндр. Ось цилиндра перпендикулярна заряженной
плоскости. Оба основания цилиндра
параллельны заряженной плоскости
и имеют одинаковую площадь S, т. е.
S1 = S2 = S.
Поток индукции через цилин-
Рис. 2.4
ND = N
где N
D бок к
– поток через боковую поверхность S
через основания S1 и S2.
Исходя из определения потока
D
бок
=
D
бок
Так как
cos =
0
; cos 0 = 1, то
Согласно теореме Гаусса
n
. Тогда ND = σ⋅S.
Sq
∑
i
=1
σ=
i
дрическую поверхность будет равен
D бок
cos
+ 2N
+
2
D
n
=
∑
=
i
1
∫∫
SS
=
qN
,
D осн
; 2N
бок
⋅+⋅=
dSDdSDN 0cos2
∫∫
SS
dSDN 2
∫
S
, а заряд площадки S равен
iD
.
и ND = 2DS.
;
nDdSDnDdSDN )cos(2)cos(
D осн
– поток
Выше было получено, что поток того же вектора равен ND = 2DS.
Тогда
2 D⋅S = σ⋅S;
2D = σ.
Отсюда индукция поля равномерно заряженной плоскости равна
=D
.
30
(2.15)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]