Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электростатика. Постоянный электрический ток. Электромагнетизм. Учебно-методическое пособие
.pdf
Если частица движется вдоль линий вектора магнитной индукции
v
B
R
R
R
(α = 0), то F = 0, то есть магнитное поле на нее действовать не будет.
Напротив, на частицу, движущуюся в магнитном поле, будет действовать максимальная сила, если вектор скорости перпендикулярен
индукции магнитного поля.
7.5. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Рассмотрим более подробно некоторые закономерности, касаю-
щиеся движения заряженной частицы в однородном магнитном поле
с постоянной скоростью [1]. Пусть скорость движения частицы υ <<
с, где с – скорость света в вакууме.
1. Пусть частица, имеющая заряд q, движется со скоростью v
перпендикулярно линиям индукции (α = π/2). Сила Лоренца перпендикулярна направлению скорости движения заряда, а точнее, направлена перпендикулярно к плоскости, содержащей векторы
и
. Пер-
пендикулярная вектору скорости сила создает центростремительное
ускорение, равное
2
v
.
а
=
По второму закону Ньютона эта сила равна произведению массы
частицы на ускорение:
2
m
v
maF
==
.
С другой стороны, выражение (7.12) для силы Лоренца при
sinα = 1 принимает вид
F = qvB.
Приравняем правые части двух последних выражений для силы
Лоренца
2
m
v
=
v
Bq
161
и выразим радиус кривизны траектории
π=π
B
B
Rv=
m
.
(7.15)
qB
Таким образом, при движении заряженной частицы в однородном
магнитном поле (B = const) с постоянной скоростью радиус кривизны
траектории будет постоянной величиной. То есть заряженная частица
будет двигаться по окружности, плоскость которой перпендикулярна
индукции магнитного поля.
Период обращения частицы
mR
T
=
vv
22
m
2
Tπ=
v
;
qB
.
(7.16)
qB
2. Пусть частица, имеющая заряд q, движется со скоростью v под
произвольным углом α к вектору индукции
(рис. 7.7).
Разложим вектор скорости на две составляющие: v||, параллельную вектору
, и v⊥, перпендикулярную ему. Для этих составляющих
можно записать
v
= v cosα;
||
v
= v sinα.
⊥
Это позволяет сделать вывод о том, что частица одновременно
участвует в двух движениях: она равномерно вращается со скоростью v⊥ по
окружности и движется поступательно
со скоростью v|| в направлении, пер-
пендикулярном плоскости вращения. В
результате наложения этих видов дви-
Рис. 7.7
жения частица будет двигаться по винтовой линии (спирали), ось которой
совпадает с линией индукции магнитного поля (см. рис. 7.7).
162
Радиус витка спирали равен
α
π=π
α
π
m
R
qB
m
⊥
==
sinvv
.
qB
Период обращения частицы
Т
=
v
⊥
22
qB
mR
.
Шаг винтовой линии
h
==
Tv
II
m
cos2 v
.
qB
Направление, в котором закручивается спираль, зависит от знака
частицы
.
7.6. ЭФФЕКТ ХОЛЛА
В 1880 г. английский физик Э. Холл проделал следующий опыт.
(7.17)
(7.18)
(7.19)
Через пластинку металла пропускали электрический ток (рис. 7.8, а).
Измеряли разность потенциалов между точками А и С. Точки лежали
в одном и том же поперечном сечении проводника, соответственно на
правой и левой гранях. Опыт показал, что в отсутствие магнитного
поля разница потенциалов
ϕА – ϕС = 0.
а б
Рис. 7.8
163
Когда пластину помещали в однородное магнитное поле, перпен-
d
B
дикулярное направлению электрического тока, то появлялась разность потенциалов, равная
CA
IB
R
=ϕ−ϕ
,
(7.20)
где I – сила тока; В – индукция поля; d – толщина пластинки; R – постоянная Холла. Это могло быть объяснено тем, что в пластине появлялось электрическое поле, перпендикулярное направлению тока
и индукции магнитного поля.
Явление возникновения в металле или полупроводнике с током
плотностью j, помещенном в магнитное поле, электрического поля Е
(поперечной разности потенциалов ϕА – ϕС), перпендикулярного
направлению тока и индукции магнитного поля, получило название
[1–5] явления Холла, или эффекта Холла. Разность потенциалов
ϕ
ϕС называют соответственно холловской разностью потенциалов.
А –
В чем причина возникновения этого явления?
Электрический ток представляет собой направленное движение
электрических зарядов. При помещении проводника с током в магнитное поле на движущиеся заряд начинает действовать сила Лоренца, равная
Fл = qvBsinα,
причем sinα = sin(π/2) = 1. То есть ее величина равна
Fл = qvB.
Под влиянием этой силы отрицательно заряженные электроны отклоняются при указанном на рис. 7.8, б направлении векторов
и
j
к
правой грани. Таким образом, вблизи одной грани начнет накапливаться
отрицательный заряд, а вблизи другой – положительный. В результате
этого в пластине возникнет поперечное электрическое поле.
Обозначим напряженность образовавшегося электрического поля
Е. Ее величина будет зависеть от величины избыточного заряда,
накопленного вблизи одной из граней пластины. Это поле будет дей-
F
ствовать на заряды с силой
= qE, направление которой противо-
эл
164
положно силе Лоренца. Заряды будут накапливаться у края пластины
const
E
=
a
ϕ−ϕ
S
до тех пор, пока вызванная ими сила электрического поля не уравновесит действие силы Лоренца:
Fэл = Fл.
С учетом выражений для этих сил получим
qE = qvB,
откуда
E = vB.
Если пластина достаточно широкая, то поперечное электрическое
поле можно считать однородным (
E
=
). Тогда из (3.17) следует
cA
или
ϕА – ϕС = vBa.
Среднюю скорость направленного движения можно найти исходя
из уравнения (5.2) для плотности тока:
j
.
=v
nq
Тогда
aBj
=ϕ−ϕ
СА
.
nq
Так как плотность тока можно рассчитать как отношение силы
тока к площади поперечного сечения проводника, которая в рассмат-
I
j ==
I
,
то для холловской разности потенциалов получим
=ϕ−ϕ
СА
=ϕ−ϕ
СА
165
aB
nq
1
nq
I
ad
BI
d
;
.
(7.21)
Если обозначить
В
1
nq
=
R
с экспериментальной (7.20).
, то полученная формула (7.21) совпадет
Константа Холла
R1=
имеет знак, совпадающий со знаком но-
nq
сителя заряда. Поэтому если неизвестен знак носителя заряда, то по
знаку R можно определить, являются ли носителями заряда электроны или положительные частицы. Измеряя постоянную Холла, можно
определить концентрацию носителей заряда
n1=
.
Rq
Примеры решения задач
Пример 7.1. Контур из провода, изо-
гнутого в форме квадрата со стороной
a = 0,5 м, расположен в одной плоскости с
бесконечным прямолинейным проводом с
током I = 5 А так, что две его стороны параллельны проводу. Сила тока в контуре I
= 1 А. Определите силу, действующую на
контур [11], если ближайшая к проводу
Рис. 7.9
сторона контура находится на расстоянии
b = 10 см. Направления токов указаны на рис. 7.9.
Дано: СИ Решение:
a = 0,5 м
I = 5 А
I1 = 1 А
b = 10 см
F = ?
0,1 м
Прямолинейный проводник с током I создает вокруг себя магнитное поле, индукция
которого зависит от силы тока в этом проводнике и от расстояния до него. Направле-
ние вектора
этого поля определяется пра-
вилом правого винта.
При заданном направлении тока I этот вектор в области нахож-
дения квадратного контура будет направлен перпендикулярно плос-
1
кости рисунка «от нас» (рис. 7.10).
166
Сила, с которой это магнитное поле
4
2
1
b
π
µµ
2
µµ
b
π
µµ
2
µµ
действует на контур, равна векторной сумме сил, с которой магнитное поле действует
на каждую его сторону:
.
FFFFF
+++=
4321
Направление этих сил определяется
правилом левой руки. Силы F2 и F4, действующие на стороны контура, находящиеся на одном и том же расстоянии от прямо-
Рис. 7.10
линейного проводника с током, равны по величине и противоположны по направлению:
.
FF
−=
Их векторная сумма даст ноль, поэтому сила, с которой магнитное поле действует на контур, равна
.31FFF
+=
Поскольку направление векторов
F
и
F
противоположно, то
3
F = F1 – F3.
Из формулы (7.1) с учетом того, что направление тока в контуре
перпендикулярно направлению магнитного поля, получим
F1 = I1B1a, F3 = I1B3a,
где B1 – индукция магнитного поля на расстоянии b от прямолинейного проводника, а В2 – индукция магнитного поля того же проводника, но на расстоянии (b + a) от него. Их величины равны соответственно
I
0
.
)(2
ab
+π
B
I
0
;
B
=
1
=
3
С учетом этого для сил F1 и F2 можно записать
aII
10
.
)(2
ab
+π
F
aII
10
;
F
=
1
=
3
167
Тогда сила, с которой магнитное поле действует на контур, равна
м
м
м
м
А
ммм
⋅
⋅
⋅
мкН.
−
а
π
µµ
2
ℓ
м
м
м
м
А
м
м
⋅
⋅
Н
.
−
2
F
=
µµ
π
aII
µµ
−
b
aII
ab
+π
µµ
=
aII
101010
.
)(2)(22
abb
+π
Проверка размерности:
[ ]
22
мААГн
⋅⋅⋅
=F
=
АсВ
⋅⋅
=
АсВ
⋅⋅
=
КлВ
⋅
Дж
Н.
==
Вычисления:
27
5,0151041
F
=
⋅⋅⋅⋅π⋅⋅
+⋅⋅π⋅
)5,01,0(1,02
6
−
4,17Н1017,4
=⋅=
Ответ: F = 4,17 мкН.
Пример 7.2. По двум параллельным прямым проводам длиной
ℓ = 2,5 м каждый, находящимся на расстоянии а = 20 см друг от дру-
га, текут одинаковые токи силой I1 = I2 = 1 кА. Вычислить силу взаи-
модействия токов [13].
Дано: СИ Решение:
а = 20 см
I1 = I2 = 1 кА
0,2 м
103 А
Согласно формуле (7.5), сила взаимодействия параллельных прямолинейных проводников с токами равна
ℓ = 2,5 м
II
F
=
210
.
F = ?
Проверка размерности:
[ ]
2
мААГн
⋅⋅⋅
=F
=
АсВ
⋅⋅
=
АсВ
⋅⋅
=
КлВ
⋅
Дж
Н.
==
Вычисления:
337
5,210101041
⋅⋅⋅⋅π⋅⋅
5,2
F
=
2,02
⋅π⋅
=
Ответ: F = 2,5 Н.
Пример 7.3. Квадратный контур со стороной а = 10 см и током
I = 6 А свободно подвешен в магнитном поле c индукцией В = 1 Тл.
Какую работу нужно совершить, чтобы повернуть контур на 180° во-
круг оси, перпендикулярной направлению магнитного поля?
168
Дано: СИ Решение:
В
В
0
м
А
⋅
а = 10 см
I = 6 А
В = 1 Тл
А = ?
0,1 м
Свободно подвешенный в магнитном
поле контур с током устанавливается так, что
его магнитный момент
раллельным вектору магнитной индукции
p
становится па-
m
.
Для того чтобы повернуть контур на какой-то угол, то есть выве-
сти контур из равновесного положения, необходимо совершить работу по преодолению сил Ампера. Для приращения угла ϕ между век-
торами
p
m
и
согласно формуле (7.10) надо совершить работу
dA = Bpmsinϕ dϕ.
Из формулы (7.7) магнитный момент равен
pm = IS = Ia2,
где S = a2 – площадь квадратного контура. Тогда
dA = B Ia2sinϕ dϕ.
Проинтегрируем данное выражение с учетом того, что пределы
интегрирования ϕ1 = 0°, ϕ2 = 180° по условию задачи:
180
2
2
∫
180
0
2cossin BIaBIadBIaA =ϕ−=ϕ⋅ϕ=
2
.
Проверка размерности:
2
мАН
[ ]
2
мАТл
=⋅⋅=А
⋅⋅
Дж.мН
=⋅=
Вычисления:
А = 2⋅1⋅6⋅0,12 = 0,12 Дж.
Ответ: А = 0,12 Дж.
Пример 7.4. Протон, ускоренный разностью потенциалов
U = 0,5 кВ, влетая в однородное магнитное поле с магнитной индук-
цией В = 2 мТл, движется по окружности. Определите радиус этой
окружности [11].
169
Дано: СИ Решение:
2
2
m
сКлКл
U = 0,5 кВ
В = 2 мТл
q = 1,6⋅10
m = 1,67⋅10
-19
Кл
-27
кг
R = ?
500 В
2⋅10-3 Тл
Электрическое поле совершает работу, равную произведению заряда частицы на разницу потенциалов:
А = qU.
Эта работа идет на увеличение кинетической энергии частицы, то есть
А = Ек2 – Ек1.
Приравняв правые части этих двух выражений, получим
qU = Ек2 – Ек1.
Если изначально частица была неподвижна, то Ек1 = 0 и
qU = Ек,
где Ек – та кинетическая энергия, которую приобрела частица. Эта
энергия связана со скоростью движения частицы формулой
2
vm
Е
=
к
.
Таким образом,
2
m
v
=
qU
.
Отсюда скорость частицы
qU2
=v
.
Радиус окружности, по которой частица движется в магнитном
поле, согласно формуле (7.15) равен
m
Rv=
.
qB
С учетом предыдущего выражения для скорости получим
212
mU
.
q
R
m
qB
qU
==
Bm
Проверка размерности:
⋅
[ ]
1
⋅=R
Тл
Вкг
=
Кл
Н
2
⋅
мА
⋅
Джкг
⋅
⋅
КлКл
=
170
Н
⋅
мА
⋅
⋅⋅
мкгкг
=
2
⋅⋅
кгмА
⋅⋅
⋅⋅
м
=
.
сКлН
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]