Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электростатика. Постоянный электрический ток. Электромагнетизм. Учебно-методическое пособие
.pdf
нения заряда следует, что за равные промежутки времени через последовательно соединенные сопротивления проходит один и тот же
заряд, то есть через все сопротивления идут равные токи:
I
= I1 = I2 = … = In. (5.20)
общ
Общее напряжение на концах рассматриваемого участка цепи
складывается из напряжений на каждом проводнике:
U
= U1 + U2 + … + Un.
общ
То есть
n
=
UU
общ
∑
=
i
Из закона Ома (5.11) следует, что U
.
i
1
общ
= I
общRобщ
, U1 = I1R1, U2 =
I2R2, Un = InRn. Подставим эти выражения в формулу (5.21):
I
общRобщ
= I1R1 + I2R2 +… + InRn.
Поскольку токи одинаковы, то получаем
R
= R1 + R2 +… + Rn. (5.22)
общ
При последовательном соединении резисторов общее сопротивление цепи равно
сумме их сопротивлений:
n
общ
=
∑
=
i
RR
.
i
1
(5.21)
При параллельном соединении резисторы подключают между парой точек (рис.
5.10). Точку разветвления электрической це-
Рис. 5.10
пи, где соединяются три и более проводника, называют узлом.
Поскольку резисторы присоединены к одним и тем же точкам
цепи, напряжение на них одинаково:
U
= U1 = U2 = … = Un.
общ
(5.23)
Из закона сохранения электрического заряда следует, что сила
тока, втекающего в узел, равна алгебраической сумме токов, вытекающих из него:
I
= I1 + I2 + … + In. (5.24)
общ
111
То есть
1
2
n
2
1
1
3
2
4
общ
=
n
∑
=
i
II
.
i
1
По закону Ома (5.11)
I =
общ
U
R
общ
,
общ
I =
1
U
R
I =
2
U
2
,
1
,
R
Подставим эти выражения в формулу (5.24):
U
R
общ
общ
U
R
U
R
2
2
1
1
U
n
+++= ...
R
.
n
Поскольку напряжения одинаковы, то получаем
...
1
+++=
,
RRRR
n
111
21общ
или
n
11
общ
=
∑
=
i
.
RR
1
i
Отсюда следует, что для двух проводников, соединенных парал-
I =
n
(5.25)
U
R
n
.
лельно, общее сопротивление R12 равно
RR
21
R+=
12
.
RR
5.5. ЗАКОНЫ КИРХГОФА ДЛЯ РАЗВЕТВЛЕННЫХ ЦЕПЕЙ
Расчет разветвленных цепей значительно
I
I
упрощается, если пользоваться правилами (законами), сформулированными Кирхгофом.
I
I
Этих законов два.
Первый закон Кирхгофа определяет связь
Рис. 5.11
между токами, входящими в точку разветвле-
ния, и токами, выходящими из нее (рис. 5.11).
Пусть имеется разветвление токов. Точка разветвления не имеет
(5.26)
размеров, лишена емкости, вследствие чего в ней не может происходить накопление зарядов. Поэтому из закона сохранения зарядов сле-
112
дует, что сумма всех токов, входящих в какую-либо точку разветвления, должна равняться сумме всех токов, выходящих из этой точки:
I1 + I2 = I3 + I4.
Это же правило можно сформулировать так [1–5]: алгебраиче-
ская сумма всех токов в каждой точке разветвления равна нулю:
n
.
=
I
∑
=
i
0
i
1
(5.27)
Второй закон Кирхгофа является обобщением закона Ома на разветвленные электрические цепи. Выделим мысленно в разветвленной
цепи произвольный замкнутый контур (1–2–3–4–1) (рис. 5.12). Для
решения задачи необходимо условиться о направлении обхода контура (по часовой стрелке или против).
Выбор этого направления совершенно произволен. Все токи, совпадающие по направлению с направлением
обхода контура, считаются положительными, т. к. они создают ток,
Рис. 5.12
направленный в сторону обхода контура.
Будем считать, что направление обхода контура совпадает с
направлением движения часовой стрелки. Применим в каждому из
неразветвленных участков контура закон Ома:
I1R1 = ϕ1 – ϕ2 + ε1;
I2R2 = ϕ2 – ϕ3 + ε2;
I3R3 = ϕ3 – ϕ4 + ε3;
I4R4 = ϕ4 – ϕ1 + ε4.
Сложим все эти уравнения. При сложении потенциалы сокраща-
ются, и получается уравнение
4
RI
∑ ∑
= =
1
=
4
,
ε
iii
1i i
113
или в общем виде
n
RI
∑ ∑
= =
i
1 1
=
n
.
ε
iii
i
(5.28)
Полученное уравнение выражает второй закон Кирхгофа. Он
состоит в следующем [1–5]: в любом замкнутом контуре, произ-
вольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов Ii на сопротивления Ri соответствующих участков этого контура равна алгебраической
сумме приложенных в нем ЭДС.
5.6. ЗАКОН ДЖОУЛЯ – ЛЕНЦА
Опыт показывает, что при прохождении по проводнику тока он
нагревается. Если при этом не возникает никаких других форм энергии (нет химических превращений, совершенных током), то по закону
сохранения энергии количество выделенного тепла Q будет равно работе, совершаемой силами поля по перемещению заряда:
Q = A.
Работа А электрического поля по переносу заряда q от точки
с более высоким потенциалом ϕ1 к точке с более низким потенциалом
ϕ2 равна (3.12)
А = q(ϕ1 – ϕ2).
Разность потенциалов между точками 1 и
2 проводника (рис. 5.13), по которому течет
постоянный электрический ток, соответствует
Рис. 5.13
напряжению
ϕ1 – ϕ2 = U.
А из формулы (5.6) следует, что q = It. Тогда для работы электрического поля по переносу заряда по проводнику можно записать
А = qU = IUt.
Так как Q = A, то
Q = IUt. (5.29)
114
Пользуясь законом Ома для участка цепи (5.11), равенство (5.29)
R
ℓ
ℓ
можно переписать в виде:
Q = I2Rt; (5.30)
Q2=
U
t
.
(5.31)
Соотношения (5.29), (5.30) и (5.31) справедливы для проводника,
по которому течет постоянный электрический ток, и выражают закон
Джоуля – Ленца в интегральной форме [1–15].
Если сила тока в проводнике меняется с течением времени, то
в проводнике выделяют элементарный (бесконечно малый) объем dV,
в пределах которого ток можно считать постоянным. Количество
теплоты dQ, выделяющееся в нем за промежуток времени dt, как это
следует из выражения (5.29), равно
dQ = I2R⋅dt.
А количество теплоты, выделяющееся во всем проводнике за промежуток времени от t1 до t2, можно найти как
t
=
2
2
dtRIQ
∫
t
1
.
(5.32)
Пусть выделенный внутри проводника объем dV – это объем цилиндра высотой dℓ и площадью основания dS:
dV = dS dℓ.
Этот объем обладает сопротивлением
d
Rℓρ=
Согласно закону Джоуля – Ленца за время dt в этом объеме выделится тепло
dQ = RI2dt =
Поскольку I2 = j2dS2, то
dQ
dQ = ρj2dℓdSdt;
d
.
d
2
ρ
⋅ρ=
dtI
.
22
dtdSj
;
dQ = ρj2dVdt.
115
(5.33)
Количество тепла dQ, отнесенное к единице времени и единице объ-
dV
dt
ε
2
ема, называется [1–5] удельной тепловой мощностью тока w, т. е.
w⋅=
dQ
.
(5.34)
Учитывая (5.34), уравнение (5.33) можно переписать в виде
w = ρj2.
(5.35)
Учитывая закон Ома в дифференциальной форме (5.12), уравнение (5.35) можно записать в виде
w = jE; (5.36)
w = σE2.
(5.37)
Формулы (5.35), (5.36), (5.37) выражают [1–5] закон Джоуля –
Ленца в дифференциальной форме.
Примеры решения задач
Пример 5.1. Электрическая цепь состоит из двух гальванических
элементов, трех сопротивлений и гальванометра (рис. 5.14). В этой
цепи R1 = 100 Ом, R2 = 50 Ом, R3 = 20 Ом. ЭДС элемента ε1 = 2 В.
Гальванометр регистрирует ток I3 = 50 мА, идущий в направлении,
указанном стрелкой. Определить ЭДС второго элемента ε2. Сопро-
тивлением гальванометра и внутренним сопротивлением элементов
пренебречь.
Дано: СИ Решение:
R1 = 100 Ом
R2 = 50 Ом
R3 = 20 Ом
ε1 = 2 В
I3 = 50 мА
= ?
0,05 А
Выберем направления токов, как они
указаны на рис. 5.14, и условимся обходить
контуры по часовой стрелке.
По первому закону Кирхгофа (5.27) для
контура ABCDFA можно записать
I1 – I2 – I3 = 0.
По второму закону Кирхгофа (5.28) для контура ABCDFA имеем
-I1R1 – I2R2 = -ε1.
После умножения обеих частей равенства на -1 получим
+ I2R2 = ε1.
I
1R1
116
Соответственно для контура AFEHA найдем
=−−
=−−
=
−
=ε⋅+⋅−⋅
−
2
R
2
I1R1 + I3R3 = ε2.
Таким образом, мы получили си-
ε
1
I
F
G
2
E
1
1
стему из трех уравнений:
III
,0
321
ε=+
RIRI
RIRI
,
12211
ε=+
.
23311
После подстановки числовых зна-
чений получим
II
21
,005,0
В
I
А
I
3
H
R
R
3
ε
Рис. 5.14
=+
I
II
,250100
21
ε=⋅+
.2005,0100
21
Перенеся в этих уравнениях известные величины в левую часть,
а известные – в правую, получим следующую систему уравнений:
С
D
II
21
,05,0
=+
I
II
21
,12550
21
−=ε−
.1100
Эту систему уравнений с тремя неизвестными можно решить
обычными приемами алгебры, но так как по условию задачи требуется определить только одно неизвестное ε2, то воспользуемся методом
определителей. Для этого перепишем эту систему уравнений в виде
II
221
,05,0011
=ε⋅+⋅+⋅
II
II
221
,102550
221
−=ε⋅−⋅+⋅
.110100
Составим и вычислим определитель системы:
011
−
050
.755025
−=−−=
1100
025
1
−
02550
10100
=∆
⋅=
10
−
)1(
⋅−−
117
Составим и вычислим определитель для ε2:
−
−
−
∆
ε
∆
-
7 м2
S
S
ρ
σ
05,011
025
=ε∆
2
12550
−
1
⋅=
10
−
10100
)1(
⋅−−
Следовательно,
−
050
05,0
1100
2550
−=⋅+
.300
0100
=
300
=
4
;
=ε
2
2
ε2 = 4 В.
Ответ: ε2 = 4 В.
Пример 5.2. По алюминиевому проводу сечением S = 0,2 мм2 те-
чет ток I = 0,2 А. Определить силу, действующую на отдельные свободные электроны со стороны электрического поля [11]. Удельное
сопротивление алюминия ρ = 26 нОм⋅м.
Дано: СИ Решение:
S = 0,2 мм2
I = 0,2 А
ρ = 26 нОм⋅м
е = 1,6⋅10
-19
Кл
F = ?
2⋅10
26⋅10-9 Ом⋅м
Сила, с которой электрическое
поле напряженностью Е действует на
электрический заряд е, равна
F = Ee.
Согласно закону Ома в дифференциальной форме напряженность
электрического поля связана с плотностью тока j в проводнике:
j = σE,
где
1
– удельная электропроводность. Плотность тока, в свою
=σ
ρ
очередь, равна отношению силы тока I к площади S поперечного сечения проводника (5.8):
I
j =
С учетом всего вышесказанного для силы, действующей на отдельные свободные электроны со стороны электрического поля, получаем следующую формулу:
j
=
eF
.
eI
=ρ=
je
.
118
Проверка размерности:
м
м
м
⋅=⋅⋅⋅
10
2
−
−
⋅
-
6
мОмАКл
[ ]
=F
2
Вычисления:
10262,0106,1
=F
−
⋅⋅⋅⋅
7
Дж
ВКл
Н.
==
919
⋅=
21
−
Н.1016,4
Ответ: F = 4,16⋅10
Пример 5.3. В схеме, изображенной на
-21
Н.
Рис. 5.15
рис. 5.15, емкость конденсатора С = 23 мкФ, резисторы имеют одинаковые сопротивления R = 20 Ом. Электродвижущая сила батареи ε =
8 В, ее внутреннее сопротивление r = 2 Ом. Определите заряд q на
конденсаторе.
Дано: СИ Решение:
С = 23 мкФ
R = 20 Ом
ε = 8 В
r = 2 Ом
q = ?
23⋅10
Ф
протекание тока в этой цепи (рис. 5.16). После того как конденсатор зарядился, ток через него не пойдет. Через резистор, включенный последовательно с конденсатором, ток
Сделаем рисунок, на котором покажем
тоже не протекает. Тогда ϕB = ϕD, а т. к. со-
противление провода DN пренебрежимо мало, то ϕD = ϕN.
Таким образом, разность потенциалов
на обкладках конденсатора C равна:
ϕA – ϕB = ϕA – ϕN, а это – напряжение на резисторе участка AN:
UC = UAN.
По закону Ома (5.11)
UAN = I2RAN.
Тогда заряд конденсатора
Рис. 5.16
q = UCC = I2RC.
Ток I2 найдем из выражения (5.27), записанного для узла M цепи:
I = I1 + I2.
119
Причем поскольку ветви MAN и MDN соединены последователь-
+
ε
ε
r
RI3
22+
ε
32r
R
+
ε
Ом
⋅
⋅
⋅+⋅
+
−
2320
2
3
26r
R
но, то
где сопротивление R
I1R
= 2R. Тогда
MAN
MDN
= I2R
MAN
,
I1R = 2I2R,
откуда
I1 = 2I2.
Подставив этот результат в приведенное выше выражение для
токов I = I1 + I2, получим I2 = I/3.
Общее сопротивление цепи
R
общ
=
RRR
ANMAMD
RRR
++
ANMAMD
=
2
R
,
3
)(
а общий ток (5.28)
3
+
.
32
rRrR
I
=
общ
Таким образом, ток I2 равен
=
+
=
,
а заряд конденсатора
RC
.
Проверка размерности:
q
=
ФОмВ
[ ]
=q
=
Вычисления:
ε
q =
RC
=
Ответ: q = 80 мкКл.
⋅⋅⋅
1023208
80⋅10-6 Кл = 80 мкКл.
=
Пример 5.4. Определить количество электричества, протекающе-
го по проводу сопротивлением R = 10 Ом, если известно, что при
.Кл
этом в нем за 30 секунд выделилось Q = 100 Дж тепла и что ток
в проводе равномерно убывал до нуля в течение указанного промежутка времени.
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]