Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория массового обслуживания. Учебное пособие
.pdf
§ 12. Предельные теоремы для специального класса процессов 301
τ
соответствующую подпоследовательность). Проверим, что P
k
π → π.
Действительно,
τ
k
ρ(P
π, π) 6 ρ(P
при k → ∞. Пусть τ ∈ T и ρk= ρ(P
τ
k
π, P
τk+t
k
x) + ρ(P
τk+t
k
τk+τ
x, π) 6
6 ρ(π, P
τ
k
π, P
t
k
x) + ρ(P
t
k+1
x, π) → 0
π). Из предположения
теоремы имеем ρ(Pτπ, π) = ρ > ρ1> ρ2> . . .. Если теперь показать,
что ρ = ρ1= ρ2= . . ., то ρ(Pτπ, π) = ρ(PtPτπ, Ptπ) для всех t ∈ T , т.е.
Pτπ = π, т.е. π — инвариантная точка.
τ
Итак, осталось убедиться, что ρk→ ρ. Из P
τk+τ
ρ(P
π, Pτπ) 6 ρ(P
ρ > ρk> ρ(P
> ρ(Pτπ, π) − ρ(P
τ
k
π, Pτπ) − ρ(P
τ
k
π, π) следует P
τk+τ
π, Pτπ) >
τ
k
π, π) − ρ(P
τk+τ
π → Pτπ. Поэтому
τk+τ
π, Pτπ) → ρ(Pτπ, π) = ρ.
k
π → π в силу
Литература
[1] Вендель Дж. Г. Краткое доказательство формулы Спитцера// Матема-
тика. 1964. Т. 8, № 4.
[2] Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. М.: Физматгиз,
1963.
[3] Гнеденко Б. В., Даниелян Э. А., Димитров Б. Н., Кли мов Г. П., Матве-
ев В. Ф. Приоритетные системы обслуживания. М.: Изд-во МГУ, 1973.
[4] Камке Е. Интеграл Лебега—Стилтьеса. М.: Физматгиз, 1959.
[5] Климов Г. П. Стохастические системы обслуживания. М.: Наука, 1966.
[6] Климов Г. П., Франк Л. С. Строение стационарного потока с ограни-
ченным последействием// Теория вероятностей и ее применения. 1967.
Т. XII. Вып. 1. С. 134—141.
[7] Климов Г. П. Некоторые решенные и нерешенные задачи в обслужива-
нии последовательной цепочкой приборов// Известия АН СССР. Техни-
ческая кибернетика. 1970. Вып. 6. С. 88—92.
[8] Климов Г. П. Инвариантные выводы в статистике. М.: Изд-во МГУ, 1973.
[9] Климов Г. П. Системы обслуживания с разделением времени// Теория
вероятностей и ее применения. 1974. Т. XIX. Вып. 3. С. 558—576.
[10] Климова Е. З. Исследование однолинейной системы обслуживания с
«разогревом»// Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1968.
Вып. 1. С. 91—97.
[11] Колмогоров А. Н., Прохоров Ю. В. О суммах случайного числа случай-
ных слагаемых// УМН. 1949. № 4. С. 168—172.
[12] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функцио-
нального анализа. М.: Наука, 1972.
[13] Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 1964.
[14] Матвеев В. Ф., Ушаков В. Г. Системы массового обслуживания. М.: Изд-
во МГУ, 1984.
[15] Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее приме-
нения. М.: Изд-во И Л, 1960.
[16] Риордан Дж. Комбинаторный анализ. М.: Изд-во ИЛ, 1963.
[17] Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.
[18] Смит В. Л. Теори я восстановления и смежные с ней вопросы// Матема-
тика. 1961. 5:3.
[19] Соле Ж.-Л. Основные стру ктуры математической статистики. М.: Мир,
1972.
[20] Спитцер Ф. Комбинаторная л емма и ее приложения к теории вероятно-
стей// Математика. 1964. Т. 8, № 4.
[21] Такач Л. Некоторые вероятностные задачи в телефонии// Математика.
1960. 4:6.
[22] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Том 1. М.:
Мир, 1964.
[23] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Том 2, М.:
Мир, 1967.
[24] Хинчин А. Я. Работы по математической теории массового обслужива-
ния. М.: Физматгиз, 1963.
Литература 303
[25] Шилов Г. Е., Гуревич Б. Л. Интеграл, мера, производная. М.: Наука,
1964.
[26] Яровицкий Н. В. Выходящие потоки и многоэтапное обслуживание. Дис-
сертация, АН УССР. Киев. 1962.
[27] Friedman Henry D. Reduction methods for tandem systems// Operat. Res.
1965. V. 13, № 1. P. 121—131.
[28] Kasten H., Runnenburg J. Th. Priority in waiting line problems. Amsterdam.
Mathematisch Centrum, 1956.
[29] Kingman J. F. C. On the Algebra of Queues// Methuen’s review series in
applied probability. 1966. V. 6.
[30] Klimov G. P. Minimisation d’une fonctionnelle convexe continue donn´ee
sur une multilicit´e convexe compacte de l’espace vectoriel topologique//
Acad´emie royale de Belgique, Bulletin de la classe des sciences. 5Es´erie.
1968. Tome LIV. P. 417—432.
[31] Kopoci´nska I., Kopoci´nski B. Queueing Systems with Feedback// Bulletin
de l’acad´emie Polonaise des sciences, s´erie des sciences Math., Astr. et phys.
1971. Vol. XIX, № 5.
[32] Kopoci´nska I. GI/M/1 Q ueueing systems with service Rates depending on
the length of queue// Zastosowania Mathematyki. 1970. XI, 3.
[33] Kopoci´nska I., Kopoci´nski B. Queueing systems with feedback//
Zastosowania Mathematyki. 1972. XII, 4.
[34] Lindley D. V. Queues with a single server// Proceedings of the Cambridge
Philosophical Society. 1952. V. 48, 2.
[35] Loynes R. M. The stability of a system of queues in series// Proc. Cambridge
Philos. Soc. 1964. V. 60., №. 3. P. 569—574.
[36] Loynes R. M. On the waiting-time distribution for queues in series// J. Roy.
Statist. Soc. 1965. V. 27, №. 3. P. 491—496.
[37] Smith W. L. On the distribution of queueing time// Proc. Cambridge Philos.
Soc. 1953. V. 49. P. 449—461.
Дополнительная литература
[38] Вrumelle S. L. Some inequalities for parallel-server queues// Operations Res.
19 (1971). P 402—413.
[39] Cohen J. W. Asymptotic relations in queueing theory// Stoch. Proc. Appl.
1 (1973). P. 107 bis 124.
[40] Cosmetatos G. P. Approximate equ ilibrium results for the multi-server queue
(GI/M/r)// Opns. Res. Quarterly 25 (1974). P. 625—634.
[41] Cosmetatos G. P. Some approximative results for the multi-server queue
(M/G/r)// Opns. Res. Quarterly 27 (1976). P. 615—620.
[42] Crane M. A., Iglehart D. L. Simulating stable stochastic systems I. General
multiserver queues// J. Assoc. Compt. Mach. 21 (1974). P. 103—113.
[43] Crane M. A., Iglehart D. L. Simulating stable stochastic systems II. Markov
chains// J. Assoc. Compt. Mach. 21 (1974). P. 114—123.
[44] Crane M. A., Iglehart D. L. Simulating stable stochastic systems III.
Regenerative pro cesses and discrete-event simulations// Operations Res. 23
(1975). P. 33—45.
[45] Crane M. A ., Iglehart D. L. Simulating stable stochastic systems IV//
Approximation techniques, Management Sci. 21 (1975). P. 1215—1224.
304 Литература
[46] Fishman G. S. Estimation in multi-server queueing simulation// Operations
Res. 22 (1974). P. 72—78.
[47] Fishman G. S. Statistical analysis of multi-server queueing systems// Opns
Res. Quarterly 27 ( 1976). P. 1005—1013.
[48] Fishman G. S. Inequalities in the theory of queues// J. Roy. Statist. Soc. B32
(1970). P. 102—110.
[49] Kleinrock L. Queueing systems, Vol. 1. New York/London/Sydney/Toronto:
John Wiley and Sons, 1975.
[50] Kleinrock L. Queueing systems, Vol. 2. New York/London/Sydney/Toronto:
John Wiley and Sons, 1976.
[51] Rolski T. On some inequalities for GI/M/n queues// Zastos. Mat. 13 (1972).
P. 43—47.
[52] Rolski T. Order relations in the set of probability distribution functions
and their application in queueing theory. Dissertationes Mathematicae 132.
Warszawa: 1975.
Contents
Contents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Prefaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
List of Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Chapter 0. Incoming flow theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
§ 0. Incoming flow definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
§ 1. Simple flow construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§ 2. Equivalent definitions of the simple flow . . . . . . . . . . . . . 14
§ 3. Construction of stationary flow without feedback . . . . . . . . 17
§ 4. Poisson flow with variable intensity . . . . . . . . . . . . . . . 19
§ 5. Recurrent flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
§ 6. Quasi-recurrent flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
§ 7. Recurrent flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
§ 8. Construction of stationary flow with feedback . . . . . . . . . 26
§ 9. Flow sifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
§ 10. Superposition of flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
§ 11. Bernoulli flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
§ 12. Catastrophe method (extra events insertion method) . . . . . 44
§ 13. Service time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Chapter 1. Regenerative processes . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
§ 0. Renewal process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
§ 1. Elementary renewal theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
§ 2. Blackwell theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
§ 3. Key renewal theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
§ 4. Regenerative process definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
§ 5. Limit theorem for regenerative processes . . . . . . . . . . . . 60
§ 6. Markov chains with continues and discrete time . . . . . . . . 66
§ 7. Birth and death process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
§ 8. Ergodic theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Chapter 2. Single server systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
§ 0. Transition probabilities for server system with limited queue
length; Poisson input, exponential service . . . . . . . . . . . . 79
§ 1. Busy period . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
§ 2. Number of served calls in the busy period . . . . . . . . . . . . 100
§ 3. Unreliable service system with waiting . . . . . . . . . . . . . 103
§ 4. Unreliable service system with limited queue length . . . . . . 118
§ 5. Priority service systems (general service time) . . . . . . . . . 120
305
306 Contents
§ 6. Waiting time distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
§ 7. Recurrent flow, exponential serv ic e . . . . . . . . . . . . . . . 134
§ 8. Recurrent flow, general service time . . . . . . . . . . . . . . . 137
§ 9. Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
§ 10. Unreliable service system with inversion service procedure . . 155
Chapter 3. Multiple servers systems . . . . . . . . . . . . . . . . 160
§ 0. Transition probabilities; infinite number of servers, Poisson
input, general service time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
§ 1. Nonordinary Poisson flow, infinite number of servers, general
service time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
§ 2. Transition probabilities; infinite number of servers, recurrent
flow, exponential service time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
§ 3. Recurrent flow, general service time, infinite number of servers 175
§ 4. Palm’s problem; Poisson input, exponential service time . . . . 178
§ 5. Palm’s problem; recurrent input, exponential service time . . . 180
§ 6. Reserved servers service . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
§ 7. Recurrent flow, exponential service time (different for different
servers); direct and inversion service proce dure . . . . . . . . . 188
§ 8. Recurrent flow, constant service time . . . . . . . . . . . . . . 190
§ 9. Recurrent flow, general service time (different for different
servers); allocation of calls is independent on server . . . . . . . 1 91
§ 10. Priority service systems (recurrent input, exponential service
time) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
§ 11. Service systems properties; law of conservation of intensities . 203
§ 12. Decided and open problems in service by succession of servers 211
Chapter 4. Time-sharing service systems . . . . . . . . . . . . . 218
§ 0. System description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
§ 1. Loss function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
§ 2. Optimal procedure of service . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
§ 3. Imbedded Markov chain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
§ 4. Random processes η
§ 5. Relationship of processes n
+
N
and η
−
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
N
+
and n(t) in stationary conditions 228
N
§ 6. Relation between first moments of the imbedded Markov chain 232
§ 7. Form of the loss function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
§ 8. Extremum problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
§ 9. Lower estimate of the loss functional . . . . . . . . . . . . . . 235
§ 10. Structure of optimal service procedure . . . . . . . . . . . . . 237
Chapter 5. Statistical method of estimation of service system
characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
§ 0. Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Contents 307
§ 1. Method getting of estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
§ 2. Reliability appraisal for exponential case; target setting . . . . 252
§ 3. Result formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
§ 4. Proof for the plan 1◦. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
§ 5. Proof for the plan 2◦. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
§ 6. Proof for the plan 3◦. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
§ 7. Proof for the plan 4◦. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Kaleidoscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
§ 0. Integral of Lebesgue—Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
§ 1. Laplace and Laplace—Stieltjes transformations . . . . . . . . . 266
§ 2. Tauberian theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
§ 3. Wiener—Hopf’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
§ 4. Wald’s identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
§ 5. Solution of Wiener—Hopf’s equation in normed ring . . . . . . 273
§ 6. Combinatorial formula of Spitzer . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
§ 7. Solution of linear system of ordinary differential equations with
Jacobi matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
§ 8. Poisson—Charlier’s polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
§ 9. Lagrange’s formula of inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
§ 10. Restriction of a process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
§ 11. Generalization of Kolmogorov’s inequality . . . . . . . . . . . 286
§ 12. Limit theorems for special class of homogeneous Markov processes 287
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
Научное издание
ГЕННАДИЙ ПАВЛОВИЧ КЛИМОВ
ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
2-е издание, переработанное
Редактор
А.А. Локшин
Художественный редактор
Ю.М. Добрянская
Художник
В.А. Чернецов
Технический редактор
З.С. Кондрашова
Корректор
Е.А. Босина
Компьютерная верстка
М.М. Анзин
1.
.
750 9112.
-50--66-71.
939-34--mail: secretary-msu-press@yandex.ru
-
Климов Г.П.
2-
176
-
-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]