Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория массового обслуживания. Учебное пособие
.pdf
§ 12. Некоторые решенные и нерешенные задачи 211
ность оставить в системе n вызовов приоритета i после окончания обслуживания вызова приорит е та i. Показать, что
Указание. p
+
p
= p
in
+
−
= p
in
получить из свойства 1; равенство же p
in
−
∗
= p
in
.
in
+
∗
= p
in
in
получить из (11).
Задача 6. Рассмотрим многоканальную систему обслуживания
с отказом. Входящий поток предполагается пуассоновским, длительность обслуживания одного вызова произвольно распределена. Показать, что p
+
∗
= p
.
k
k
Указание. См. (11).
§ 12. Некоторые решенные и нерешенные задачи
в обслуживании последовательной цепочкой приборов
1. Описание системы и обозначения. Пусть в систему обслуживания, состоящую из n последовательно расположенных обслуживающих
приборов 1, 2, . . . , n, поступает поток вызовов. Любой вызов обслуживается каждым прибором в порядке их нумерации. Вызовы же на каждом приборе обслуживаются в том порядке, в котором они поступают.
У каждого прибора до пускается неограниченное по времени ожидание.
Обозначим через t1, t2, . . . последовательные моменты поступления
вызовов; zN= t
N+1−tN
, N > 1; s
(k)
— длительность обслуживания N-го
N
вызова на k-м приборе (вызовы ну меруются в том порядке, в котором
они поступают). Интерес представляет время ожидания начала обслуживания вызова, время пребывания вызова в системе в установившемся
режиме. В статье [??] исследуется в опрос об определении точных распределений указанных времен без использования асимптотического их
представления в случае малой или большой нагрузки и т.д.
2. О работе [36] R.M. Loynes’а, показывающей трудность исследо-
вания системы с последовательным обслуживанием.
Пример. Пусть n = 2, поступающий поток — пуассоновский, вре-
мя обслуживания вызова на первом приборе подчинено распределению Эрланга первого порядка, время обслуживания вызова на втором приборе — показательному распределению. Пусть далее последо-
(1)
вательности {zN}, {s
N
}, {s
(2)
} независимы и каждая из них составле-
N
на из одинаково распределенных случайных величин. В [36] показано,
что в установившемся режиме, когда выполнено условие эргодичности,
время ожидания вызовом начала обслуживания у второго прибора таково, что соответствующее преобразование Лапласа не является даже
212 Гл. 3. Системы обслуживания многими приборами
мероморфной функцией на комплексной плоскости. Это свидетельствует, в частности, о том, что обычные методы, используемые в теории
массового обслуживания и связанные с аналитическими операциями
преобразования характеристических функций, переводящими дробнорациональные функции для соответствующих преобразований Лапласа
в дробно-рациональные, здесь неприемлемы.
3. Условие предустойчивости R.M. Loynes’а. В [35] указано усло-
вие, названное условием предустойчивости, при котором время пребывания вызова в системе в установившемся режиме ограничено с вероятностью 1. Это условие сформулировано в предположении, что
векторы {zN, s
(1)
N
, . . . , s
(n)
N
}
образуют строго стационарную метри-
N>1
чески транзитивную последовательность с конечными математическими ожиданиями для s
ности {zN}, {s
(1)
N
(k)
N
}, . . . , {s
и zN. Так, в случае, когда последователь-
(n)
} независимы и каждая из них составлена
N
из одинаково распределенных независимых случайных величин, таким
условием является: либо Ez1> Es
роятностью 1 zN= c = const и для некоторого k выполнено s
i < k, s
(k)
1
= c, Es
(j)
< c для j > k.
1
(k)
для всех k = 1, . . . , n, либо с ве-
1
(i)
1
6 c при
4. Работы Н.В. Яровицкого [26] и H.D. Friedman’а [27]. В [26]
указываются свойства выходящего потока после каждого этапа обслуживания. Эти свойства, хотя и очень легко формулируемые, трудно
использовать для исследования системы последовательного обслуживания в общих предположениях. В [27] рассмотрена более общая с истема,
чем описанная в п. 1, а именно: каждый этап о бслуживания представляет собой многоканальную систему обслуживания, но в предположении, что длительность обслуживания является постоянной величиной
на каждом приборе; показано, что время пребывания вызова в системе
не зависит от порядка расположения фаз обслуживания.
Несмотря на значительные успехи в решении проблемы обслуживания последовательной цепочкой приборов , вопрос о фактическом
определении характеристик такого обслуживания остается открытым.
Настоящий параграф ни в коей мере не претендует на решение этой проблемы. В нем лишь уточняются некоторые результаты R.M. Loynes’а,
решаются частные случаи и предлагаются некоторые возможные пути
исследования этой проблемы.
5. Рекуррентные соотношения для определения времени пребыва-
ния в системе. Пусть τ
вызова на k-м приборе; v
пребывания N -го вызова в системе из n приборов. Величины v
(k)
есть момент окончания обслужив ания N -го
N
(k)
(k)
= τ
N
− tN; в частности, v
N
(n)
есть время
N
(k)
N
опре-
§ 12. Некоторые решенные и нерешенные задачи 213
деляются следующими рекуррентными соотношениями (N > 1):
v
N+1
v
N+1
v
N+1
(1)
(2)
(3)
= max(0, v
= max(v
= max(v
(1)
N+1
(2)
N+1
(1)
N
− zN) + s
(2)
, v
− zN) + s
N
(3)
, v
− zN) + s
N
(1)
N+1
,
(2)
N+1
(3)
N+1
,
,
(1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
Ясно, чт о всегда v
(n)
N+1
(1)
N
= max(v
6 v
(2)
6 . . . 6 v
N
(n−1)
N+1
(n)
, v
− zN) + s
N
(n)
. Будем считать, что в началь-
N
(n)
N+1
.
ный момент система обслуживания свободна от вызовов , что рав носильно т ому, что v
(1)
v
= . . . = v
0
(k)
связаны соотношениями (1) уже для N > 0, где
N
(n)
= 0 и положено z0= 0. Теперь из (1) при n = 2 по ин-
0
дукции получим
(2)
v
= max
N
16k6i6N
Если последовательности случайных величин {zN}, {s
{s
(2)
+ . . . + s
N
(2)
i
+ s
(1)
+ . . . + s
i
(1)
k
− z
− . . . − zk}. (2)
N−1
(1)
N
}, {s
(2)
N
независимы в совокупности и каждая из них состоит из одинаково распределенных независимых случайных величин (достаточно симметрической независимости), то, производя их перенумерацию в обратном
порядке, получим, что случайные величины v
(2)
w
N
= max
16i6j6N
{s
(2)
+ . . . + s
1
(2)
i
+ s
(1)
i
(2)
N
+ . . . + s
и
(1)
− z2− . . . − zj} (3)
j
}
одинаково распределены. Для произвольного n > 1 аналогом формулы (3) служит формула
(n)
w
= max
N
16i16...6in6N
Отметим, что с вероятностью 1 выполнено 0 6 w
большей обозримости процедуры вычисления w
{s
(n)
+ . . . + s
1
+ s
(n)
i
1
(1)
i
+ s
n−1
(n−1)
+ . . . + s
i
1
+ . . . + s
(n−1)
+ . . .
i
2
(1)
− z2− . . . − z
i
n
(n)
N
(n)
1
(n)
6 w
2
составим таблицу.
}. (4)
i
n
6 . . .. Для
В бесконечном прямоугольнике, обведенном жирной линией, выберем путь, начинающийся с левого верхнего квадратика и оканчивающийся в одном из нижних квадратиков. При этом движения по такому
пути разрешаются лишь вправо и вниз. Соберем (просуммируем) все s,
встречающиеся на таком пути, и от полученной суммы вычтем сумму
тех z, которые находятся под этим путем. Полученное число назовем
оценкой пути. В таблице представлен один из допустимых пу тей. Оцен-
(n)
(n)
ка такого пути равна s
+ s
1
(n−1)
+ s
2
2
+ . . . + s
(1)
2
+ s
(1)
3
− (z2+ z3).
214 Гл. 3. Системы обслуживания многими приборами
Таблица.
+ s
+ s
(n)
1
(n−1)
1
(n)
r
s
2
(n−1)
s
2
s
(n−1)
s
3
(n)
3
s
(n−1)
s
N
(n)
N
+
+ s
(1)
1
(1)
s
2
-
(1)
s
3
(1)
s
N
Теперь w
− 0 z
(n)
есть максимальная оценка по все м допустимым путям,
N
2
z
3
z
N
оканчивающимся в N -м столбце или раньше. Отметим еще раз, что
случайные величины v
(n)
N
и w
(n)
одинаково распределены.
N
Из таблицы видно, что в случае постоянного времени обслуживания на всех приборах s
(1)
= c1, . . . , s
N
(n)
= cn(N > 1) время пребывания
N
вызова в системе из n приборов не зависит от порядка расположения
приборов и равно в установившемся режиме c1+ . . . + cn+ w, где w —
время ожидания вызова в установившемся режиме в системе обслуживания, состоящей из одного прибора с тем же рекуррентным потоком
вызовов и длительностью обслуживания c = max(c1, . . . , cn).
Рассмотрим другой пример. Пусть с вероятностью единица s
(n)
. . . = s
= sN, последовательности {zN} и {sN} независимы и каждая
N
(1)
N
= . . .
из них составлена из независимых одинаково распределенных случайных величин. Из таблицы видно, что вопрос об исследовании распределения времени пребывания вызова в системе в установившемся
режиме сводится к исследованию распределения случайной величины
max(0, U1, U2, . . .), где UN=u1+. . .+uN+(n−1) max(u1, . . ., uN), а случайные величины u1, u2, . . . независимы и одинаково распределены с тем
же распределением, что и у случайных величин sN−zN. В случае n = 1
имеем дело с одним прибором и обычным процессом восстановления.
6. Условие предустойчивости и эргодичности. Положим
(k)
x
(k)
= s
N
− zN, N > 1, k = 1, . . . , n; a
N
(k)
N
= P {x
(k)
+ . . . + x
1
(k)
N
> 0}.
Введем следующие два условия.
Условие 1. С вероятностью е диница выполнено
sup
N>1
(n)
w
= max
N
N>1
w
(n)
N
< +∞.
Условие 2. Это условие состоит в выполнении одного из следующих двух условий:
§ 12. Некоторые решенные и нерешенные задачи 215
(k)
X
N>1
(k)
1
a
N
< +∞ для всех k = 1, . . . , n;
N
(j)
X
a
N>1
N
< +∞ для j > k.
N
= c,
a) P {x
(k)
= 0} < 1 и
1
б) с вероятностью единица zN= c = const и для некоторого k выпол-
(i)
нено s
6 c при i < k, s
1
Теорема 1. Условия 1 и 2 равносильны.
Доказательство теоремы нетрудно получить, используя лишь результат Ф. Спитцера [20, теорема 4.1]. Если су щ ествует конечный мо-
(k)
X
N>1
(1)
1
X
N>1
a
N
< +∞ и P {x
N
(n)
, . . . , s
a
, то в формулировке условия 2 мож-
1
(k)
N
< +∞ требованием Ez1> Es
N
(k)
1
= 0} < 1 равносильны
(k)
. В этом
1
мент E|x
условию Ex
(k)
|, то условия
1
(k)
< 0 [20]. Если существуют конечные первые моменты
1
случайных величин z1, s
но заменить требование
случае получается условие предустойчивости, данное R.M. Loynes [35].
Положим HN(t) = P {v
(n)
< t} = P {w
N
Теорема 2. Существует lim
(n)
< t}.
N
HN(t) = H(t). При этом если усло-
N→∞
вие 2 не выполнено, то H(t) ≡ 0. Если же условие 2 выполнено, то
H(t) есть собственная функция распределения и не зависит от на-
чального состояния тогда и только тогда, когда выполнено условие
2а. Под нач альным состоянием понимается распределение вектора
(v
(1)
1
, . . . , v
(n)
1
).
7. Многомерный аналог уравнения Винера—Хопфа. Положим
wN= w
u
(n)
и
N
(k)
= max
N
16i16...6i
Иначе, u
(n)
{s
+ . . . + s
1
n−k6in−k+1
=N
. . . + s
(k)
— максимальная из оценок тех путей, которые оканчива-
N
(n)
(n−1)
+ s
i
1
(k)
− z2− . . . − zN}, k = 1, . . . , n.
i
n−k+1
+ . . .
i
1
ются в N -м столбце и k-й снизу строке (см. таблицу). Имеем:
(1)
N
(1)
N+1
+ s
),
(1)
N+1
− z
N+1
, u
(2)
N+1
+ s
(1)
N+1
),
w
u
= max(wN, u
N+1
(1)
= max(u
N+1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(n−1)
u
N+1
(n)
u
N+1
= max(u
= u
(n)
N
+ s
(n−1)
N
(n)
N+1
+ s
− z
(n−1)
N+1
N+1
.
− z
N+1
, u
(n)
n+1
+ s
(n−1)
N+1
),
216 Гл. 3. Системы обслуживания многими приборами
Далее положим:
gN= gN(x) = gN(x0, x1, . . . , xn) = P {wN< x0, u
A(t) = P {z1<t}; Bi(t) = P {s
bi= bi(x0, x1, . . . , xn) = e(x0, x1, . . . , xn)Bi(xi);
e(x) =
(i)
<t}; a = e(x0)P {−z1< min(x1, . . ., xn)};
1
(
1, xi> 0 для i = 0, 1, . . . , n;
0, в противном слу чае.
(1)
< x1, . . . , u
N
(n)
N
< xn};
Наконец, введем операторы Qi, Bi, A равенствами
Qig=(Qig)(x0, x1, . . . , xn)=g(x0, x1, . . . , x
i−1
, min(x
i−1
, xi), x
, . . . , xn),
i+1
Big = big, Ag = ag; i = 1, . . . , n;
где умножение понимается в смысле свертки, а функция g принадлежит
нормированному кольцу фу нкций многих переменных с ограниченной
вариацией, или более точно g ∈ R, где R — алгебра ограниченных борелевских мер в евклидовом пространстве E
n+1
со сверткой в качестве
операций умножения и нормой, равной полной вариации соответствующей меры.
В принятых обозначениях нетрудно показать, что
g
= Q1B1Q2B2. . . QnBnAgN. (5)
N+1
Кроме тог о, существует lim
gN= g∞∈R, для которого выполнено урав-
N→∞
нение типа (5), являющееся многомерным аналогом уравнения Винера—
Хопфа.
Воспользуемся следующими свойствами операторов Qi, Bi, A:
QiBj= BjQi, j 6= i, i − 1 QiA = AQi, i 6= 1
QiBi= QiBiQ
QiB
i−1Qi
= B
i
i−1Qi
QiQj= QjQi, |i − j| > 1 BiA = AB
Q
i−1Qi
= Q
i−1QiQi−1
= QiQ
i−1Qi
Q1AQ1= AQ
BiBj= BjB
i
1
i
и положим Q = Qn. . . Q2Q1, f = ab1. . . bn, тогда уравнение (5) можно
переписать в следующем эквивалентном виде:
∗
g
N+1
∗
где g
выражается через gN(и наоборот) с помощью конечного ис-
N
пользования операторов Qi, Bi, A. Например, при n = 2 g
= Qf g
∗
, N > 0, (6)
N
∗
= Q2B2g
N
N
§ 12. Некоторые решенные и нерешенные задачи 217
и g
N+1
= Q1B1Ag
∗
. Положим g∗=
N
N>0
∗
g
N
· zN, g
∗
= e. Тогда при ма-
0
X
лых z уравнения (6) равносильны уравнению
g∗− zQf g∗= e. (7)
В случае n = 1, как следует, например, из [??] и [??], имеем
g∗= exp{−Q ln(e − zf )}, (8)
g
∗
∞
= lim
N→∞
g
∗
N
= lim
(1 − z)g∗= exp
z↑1
n
X
Qfk− e
k>1
k
o
. (9)
В случае n > 1, по крайней мере, первая из этих формул неверна. Но,
как и в случае n = 1, верной остается теорема 3.
Теорема 3. Каждое из условий 1 и 2 равносильно сходимости ряда
X
Qfk− e
k>1
k
(по норме нормированного кольца R).
Вопрос о фактическом определении распределения времени пребывания вызова в системе из n последовательно расположенных приборов
в установившемся режиме остается открытым. Решение этого вопроса
равносильно определению g∞или g
∗
. Для этого достаточно решить
∞
уравнение (7). Хотя формула (8) неверна при n > 1, несколько решенных примеров говорят в пользу формулы (9). Пока не удалось ни доказать, ни опровергнуть формулу (9). В случа е положительного решения
из этой формулы можно было бы извлечь в терминах преобразований
Лапласа—Стилтьеса распределение времени пребывания вызова в системе в установившемся режиме.
Глава 4
СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ
С РАЗДЕЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ
§ 0. Описание системы
Система состоит из конечного множества Ω = {α} фаз обслуживания. У каждой фазы обслуживания допускается неограниченная очередь. Одновременно обслужива ние может проходить только на одной
фазе (в этом и состоит разделение обслуживания во времени). Прерывание обслуживания на фа з е не допускается.
Поступившее требование направляется в очередь фазы α ∈Ω с вероятностью pα,
ется в очередь фазы β с вероятностью pαβ;
а с вероятностью 1 −
Входящий поток требований — пуассоновский с интенсивностью a.
Длительность обслуживания на фазе α ∈ Ω определяется ф.р. Bα(t).
Длительности обслуживания требований на фазах предполагаются
независимыми между собой и от входящего потока требований.
Нам осталось лишь определить порядок обслуживания требований,
т.е. правило, указывающее по состоянию системы, какое требование и на
какой фазе следует обслуживать.
В каждый момент времени очередь в системе характеризуется вектором
X
pα= 1. Требование, обслуженное на фа зе α, направля-
α∈Ω
X
pαβ6 1 для всех α ∈ Ω;
X
β∈Ω
pαβпокидает систему.
β∈Ω
l = {lα, α ∈ Ω},
где lα— длина очереди у фазы α в рассматриваемый момент (без у чета
обслуживаемого требования, если такое имеется). Че рез L обозначим
множество з начений, принимаемых l. Элемент l = {lα, α ∈ Ω}, для ко-
торого все lα= 0, будем обозначать через O.
После завершения обслуживания на некоторой фазе выбор очередной фазы обслуживания осуществляется в зависимости от количества l ∈ L, оставшихся в системе требований. Именно, пусть каждому
l ∈L, l 6= 0, сопоставляется элемент u(l) ∈Ω. От отображения
0 6= l 7→ u(l)
потребуем лишь, что u(l) = α влечет lα6= 0.
§ 1. Функция потерь 219
Если после завершения обслуживания на некоторой фазе количество требований, оставшихся в системе, характеризуется ве ктором l ∈L
и l 6= 0, то начинается обслуживание на фазе α = u(l). Требование,
заставшее систему свободной, сразу же начинает обслуживаться с той
фазы, на которую это требование поступило. Требования, ожидающие
начала обслуживания на некоторой фазе, обслуживаются в порядке их
поступления на эту фазу. Функцию u = u(l), определяющую порядок
обслуживания требов аний в системе, естественно назвать функцией пе-
реключения (ф аз обслуживания).
Таким образ ом, вся система обслуживания задается набором объектов
Ω; p = {pα, α ∈ Ω}; P = {pαβ; α, β ∈ Ω}; a; {Bα(t), α ∈ Ω}; u.
§ 1. Функция потерь
Пусть cα— стоимость ожидания (за единицу времени) у фазы α ∈ Ω.
Положим
l(t) = {lα(t), α ∈ Ω},
где lα(t) — длина очереди у фазы α в момент t (без учета требования, обслуживаемого в момент t, если такое имеется). Если xl(t) — индикатор
события {l(t) = l}, l ∈ L, и
T
Z
Xl(T ) =
xl(t) dt,
0
то суммарные потери до момента T равны
X
(c, l)Xl(T ),
l∈L
где
c = {cα, α ∈ Ω}, l = {lα, α ∈ Ω}; (c, l) =
X
cαlα.
α∈Ω
Средние же потери за единицу времени до момента T равны
JT= E
X
1
T
l∈L
(c, l)Xl(T ) =
T
Z
X
1
T
=
(c, l)Exl(t) dt =
l∈L
0
T
Z
X
1
T
l∈L
0
(c, l)P {l(t) = l} dt =
T
Z
1
(c, El(t)) dt,
T
0
220 Гл. 4. Системы обслуживания с разделением времени
где El(t) = {Elα(t), α ∈ Ω}. Для стационарного режима средние потери
за единицу времени равны
J = (c,¯l), (1)
где¯l = {¯lα, α ∈ Ω}, а¯lαесть математическое ожидание длины очереди
у фазы α в стационарном режиме. Позже мы укажем условия, при
которых каждое из¯lαконечно.
Обозначим через U множество функций переключения u. Ясно,
что потери J зависят от выбранного порядка обслуживания требований в системе, т.е. от функции переключения u ∈ U . Подчеркивая это,
мы будем писать J = J (u).
В этой работе решается следующая
Задача. 1) найти условия, при которых существует функция переключения u∗∈ U , такая, что
J(u∗) = min
J(u) (2)
u∈U
(всякую функцию u∗∈U , удовлетворяющую (2), будем называть опти-
мальной функцией переключения);
2) указать структуру оптимальной функции переключения.
§ 2. Оптимальный порядок обслуживания
Сделаем следующие предположения.
П1. Начиная с любой фазы обслуживания каждое требование с положительной вероятностью покидает систему после прохождения конечного числа фаз обслуживания. Формально это означает следующее.
Для n-й ст епени матрицы
P = {pij}
положим
Pn= {p
(n)
ij
i,j∈Ω
}
i,j∈Ω
.
Тогда для каждого i ∈ Ω существует целое число n > 1 такое, что
X
j∈Ω
(n)
p
> 0.
ij
1 −
П2. Первые два момента длительности обслужива ния на любой фазе
конечны, т.е.
∞
Z
β
=
i
t dBi(t) < ∞, β
1
0
∞
Z
=
2
0
t2dBi(t) < ∞
i
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]