Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория массового обслуживания. Учебное пособие
.pdf
§ 12. Предельные теоремы для специального класса процессов 291
M∗3. P
t
n
α ⇁ α0, |P
t
n
α|→ c, β ∈M влечет |P
t
n
α − α0+ β|→ c −|α0|+
+ |β|.
7◦. В приложениях пространство W часто имеет сложную структу-
ру. Чтобы избавиться от использования всего пространства W, можно
воспользоваться следующим утверждением. Пусть W0— любое подпространство из W , содержащее PF и π∗. Тогда предыдущие теоремы
остаются верными, если в их формулировке W заменить на W0. При
этом в определении неприводимости полугруппы P следует W также
заменить на W0. Доказательства остаются без изменений.
8◦. Утверждения теорем 1—3 остаются в силе, если под M понимать
полное подпространство пространства F∗. В этом случае
1) M+есть совокупность положительных функционалов из F∗, которые содержатся в M;
2) каждый функционал из W = M∗есть сужение некоторого функционала из F∗∗на M.
При этом утверждения теорем 1 — 3 и их доказательств а остаются
без изменения.
9◦. Можно избавиться и от вве дения пространства F, если в норми-
рованном прос транстве M ввести подходящим образом понятие слабой
сходимости. Это делается следующим образом. Пусть M — некоторое
полное нормированное пространство, M+— замкнутый выпуклый конус в этом пространстве с вершиной в точке 0 ∈ M . Предположим, что
в M наряду с сильной топологией, порожденной нормой пространства
M, задана некоторая топология, согласованная с линейной структуро й,
которую будем называть слабой, а сходимость отно с ительно этой топологии — слабой сходимостью. Будем считать, что
1) всякое ограниченное (по норме) множество из M слабо компактно в M ;
2) из сильной сходимости следует слабая сходимость;
3) выполнены предположения M 1—M 3.
В этом случае утверждения тео рем 1—3 остаются в силе, если в теореме 2 исключить предложение У4, использующее в своей формулировке
пространство F . Утверждение следствия 1 также остается верным, если
в нем исключить предложение 3◦.
10◦. В том ча стном случае, когда всякое ограниченное (по норме)
множество из M компактно в M , из теорем 1—2 непосредственно следует, что существование эргодической точки равносильно сжимаемости
полугруппы P. Более того, верна следующая
Теорема 5. Пусть (E, ρ) — компактное метрическое простран-
ство и P = {Pt, t ∈ T }— семейство операторов, действующих в E, об-
292 Дополнение
ладающих полугрупповым свойством P
t+s
= PtPsи удовлетворяющих
условию
ρ(Ptx, Pty) 6 ρ(x, y) для всех x и y из E и t ∈T.
Здесь T = {1, 2, . . .} или T = (0, ∞). Тогда следующие два утверждения
равносильны.
1◦. Существует единственная инвариантная (относительно P)
точка π ∈ E; при этом ρ(Ptx, π) → 0 при t → ∞ для всех x ∈ E.
2◦. Если x, y ∈ E и ρ(x, y) = ρ(Ptx, Pty) для всех t ∈ T , то x = y.
11◦. Пример. Рассмотрим однородную цепь Маркова с множеством
состояний {0, 1, 2, . . .}. Пусть p
t
— вероятность перехода из i в j за вре-
ij
мя t ∈ T . Здесь T = {1, 2, . . .} или T = (0, ∞). Цепь Маркова назовем
сжимающей, ес ли для любой пары сос тояний i1и i2существует состо-
яние j и время t ∈ T такие, что p
t
i1j
> 0 и p
t
i2j
> 0.
Предложение 1. Пусть цепь Маркова является сжимающей. То-
гда
1◦. Если не существует стационарного распределения, то lim
t→∞
t
p
ij
= 0 для всех состоянии i и j.
2◦. Если существует стационарное распределение π = (π0, π1, . . .),
то оно единственное и lim
t→∞
t
p
= λiπjдля любых i и j, где число λ
ij
возможно зависит от i и 0 < λi6 1.
Отметим, что из 2◦и существования стационарного распределения
следует сжимаемость цепи Маркова.
Конечно, в 2◦не обязательно λi= 1. Например, если T = {1, 2, . . .},
−u
p00= 1, p
= 1 − pi0= e
i i+1
цепь является сжимающей и p
i
для i > 1, ui> 0 и
t
→ λ1πj, где 0 < λ1= 1 − e−u< 1 и π =
1j
X
ui= u < ∞, то
i>1
= (1, 0, 0, . . .) — стационарное распределение.
Предложение 2. Пусть существует стационарное распределение
π = (π0, π1, . . .). Тогда следующие два утверждения равносильны.
t→∞
t
p
= πjдля любых i и j.
ij
1◦. lim
2◦. Цепь является сжимающей и всякое ограниченное решение си-
стемы уравнений
X
t
p
xj= xi, i > 0, t ∈ T ,
ij
j>0
имеет вид x = (x0, x1, . . .) = c(1, 1, . . .).
Предложение 3. Пусть существует стационарное распределение
π = (π0, π1, . . .). Тогда следующие два утверждения равносильны.
t→∞
t
p
= πj> 0 для всех i и j .
ij
1◦. lim
=
i
§ 12. Предельные теоремы для специального класса процессов 293
2◦. Цепь является сжимающей и неприв одимой.
В самом деле, пусть c, l1, m — нормиров анные пространства числовых последовательностей (см. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин «Элементы теории функций и функционального анализа», изд. «Наука»,
1972 г.). Положим F = c и F+= {x = (x0, x1, . . .) ∈c : xk> 0 для всех k >
> 0}. Тогда M = F∗= l1, W = M∗= m, M+и W+— замкнутые выпук-
лые конусы пространств M и W соответственно, состоящие из последовательностей неотрицательных чисел. Для всякого t ∈ T определим
оператор Pt: M →M , полагая
(Ptα)(j) =
X
i>0
t
αip
, где α = (α0, α1, . . .) ∈ M.
ij
Тогда P = {Pt, t ∈ T } есть полугруппа стохастических операторов. Те-
перь предложения 1—3 совпадают с теоремами 1—3, если заметить, что
(1) Выполнены предположения M1—M 3.
(2) Обычно е понятие неприводимости совпадает в данном случае
с понятием неприводимости (и слабой неприводимости), введенным в пункте 5◦.
(3) Следующие утверждения равносильны:
(а) P — сжимающая полугруппа,
(б) Для любой пары состояний (i1, i2) существует t ∈ T и состоя-
ние j такие, что p
t
i1j
> 0 и p
t
i2j
> 0.
Утверждения (1)—(2) проверяются непосредственно. Проверим
утверждение (3).
(а) ⇒ (б). Пусть (i1, i2) — некоторая пара состояний. Достаточно
считать, что i16= i2. Положим εi= (0, . . . , 0, 1, 0, . . .), здесь единица стоит на i-ом месте. Пусть α = ε
− ε
i
1
. Существует t ∈ T такое, что
i
2
|α| > |Ptα| (иначе α > 0 или α 6 0, что неве рно), т.е.
|α| − |Ptα| = 2 −
X
j>0
t
i1j
− p
t
i2j
|p
| =
X
j>0
h
t
(p
i1j
+ p
t
i2j
) − |p
t
i1j
− p
t
i2j
|i> 0.
Так как каждое слагаемое последней суммы неотрицательно, то существует такое j, что p
i1j
+ p
t
i2j
−|p
t
i1j
t
−p
|> 0, откуда p
i2j
t
i1j
> 0 и p
t
i2j
> 0.
t
(б) ⇒ (а). Отметим, что по α ∈ l1точки α+и α−из l1определяются однозначно условием α = α+− α−, α+> 0, α−> 0, |α| = |α+| + |α−|;
при эт ом из α
+
> 0 следует α
j
−
= 0. Пусть |α| = |Ptα| для всех t ∈ T .
j
Требуется показать, что α+= 0 или α−= 0. Так как
Ptα = Ptα+− Ptα−, Ptα+> 0, Ptα−> 0,
|Ptα| = |α| = |α+| + |α−| = |Ptα+| + |Ptα−|,
294 Дополнение
то из (Ptα+)(j) > 0 следует (Ptα−)(j) = 0. Пусть α+> 0 и α−> 0, тогда
существует пара состояний (i1, i2) такая, что α
+
> 0 и α
i
1
−
> 0. Отсюда
i
2
следует, что
t
p
> 0 ⇒ (Ptα+)(j) > 0 ⇒ (Ptα−)(j) = 0 ⇒ p
i1j
t
i2j
= 0
для всех t ∈ T и всех сос тояний j. Но это противоречит утверждению
(б), т.е. α+= 0 или α−= 0.
Доказательство теорем 1—5.
1◦. В этом пункте будет предполагаться, что полугруппа P является
сжимающей.
t
Лемма 1. Если α ∈ M и P
Доказательство. Пусть |Ptα|↓c. Согласно M 3 имеем |P
→ c − |γ|. Если теперь τ ∈ T , то
t
k
|P
α − γ| > |P
tk+τ
откуда получаем c − |γ| > c − |Pτγ| или |γ| 6 |Pτγ|. Следовательно,
|γ| = |Pτγ| для всякого τ ∈ T . Отсюда следует, что γ > 0 или γ 6 0.
t
Лемма 2. Если P
k
α1⇁ γ1, P
λ — некоторое действительное число.
Доказательство. Согласно лемме 1 γi> 0 или γi6 0 для i = 1, 2.
Достаточно рассмотреть случай γ1> 0 и γ2> 0. Так как для всяко-
го действительного числа λ′выполнено P
в силу леммы 1 имеем γ1− λ′γ2> 0 или 6 0. Пусть λ = sup{λ′: γ1−
− λ′γ2> 0}. Покажем, что λ есть конечное число и γ1= λγ2. Из γ1−
− λ′γ2> 0 и M 1 следует, что |γ1| > |λ′| · |γ2|, следовательно, λ — ко-
нечное число. Для любого числа ε > 0 имеем γ1− (λ + ε)γ26 0, γ1−
− (λ − ε)γ2> 0, т.е. 0 6 γ1− λγ2+ εγ26 2εγ2. Отсюда получаем, что
|γ1−λγ2| − ε|γ2| 6 |γ1−λγ2+ εγ2| 6 2ε|γ2|. Следовательно, |γ1−λγ2| 6
6 3ε|γ2| и, тем самым, γ1= λγ2.
k
α ⇁ γ (при tk→∞), то γ > 0 или γ 6 0.
α − Pτγ| > |P
t
k
α2⇁ γ2и γ26= 0, то γ1= λγ2, где
tk+τ
α| − |Pτγ| > c − |Pτγ|,
t
k
(α1− λ′α2) ⇁ γ1− λ′γ2, то
t
k
α −γ|→
Лемма 3. Если τ ∈ T и для некоторого α ∈ M выполнено Pτα = α,
то α — инвариантная точка.
Доказательство. Для любого целого числа m > 1 имеем Pmτα = α,
поэтому |α| > |Ptα| > |Pmτα| = |α|, где t 6 mτ , т.е. |α| = |Ptα| для всех
t ∈ T . Отсюда следует, что α > 0 или α 6 0. Пусть α > 0. Для s ∈ T име-
ем Pτ(Psα) = Ps(Pτα) = Psα, откуда для β = Psα − α имеем Pτβ = β.
Отсюда о пять получаем, что β > 0 или β 6 0. Если Psα − α > 0, то со-
гласно M1 из Psα = α + (Psα − α) следует |Psα| = |α| + |Psα − α|. Но
§ 12. Предельные теоремы для специального класса процессов 295
в силу α > 0 имеем |Psα|= |α|, поэтому |Psα − α| = 0, т.е. Psα = α. Аналогично рассматривается случай Psα − α 6 0. Таким образом, Psα = α
для всех s ∈ T .
Лемма 4. Если в M не существует нетривиальной инвариантной
точки и α ∈M , то Ptα ⇁ 0.
Доказательство. В силу слабой компактности всякого ограниченного (по норме) замкнутого множества из M достаточно показать, что
t
k
из P
α ⇁ π0следует π0= 0. Пусть τ ∈ T . Используя диагональный
процесс выбора, можно получить последовательность {t
кую, что имеет место слабая сходимость P
целого числа m > 0. Будем считать, что {t
′
t
+mτ
k
′
} = {tk}.
k
α ⇁ πmдля всякого
′
} ⊂ {tk} та-
k
Предположим, что π06= 0. В силу леммы 1 π0> 0 или π06 0; по-
этому достаточно рассмотреть случай π0> 0 (иначе α следует заменить
на −α). Согласно лемме 2 имеем πm= λmπ0, где λm— действительное
число. Покажем, что
|πm| 6 |α|, |π
Из |Ptα| ↓ c следует |P
гласно M3 имеем c − |πm| ← |P
tk+(m+1)τ
= |P
α − π
откуда получаем, что |α| − |πm| > c − |πm| > 0 и c − |πm| > c − |π
+ |π
− Pτπm|, что вместе с |π
m+1
− Pτπm| = |π
m+1
+ (π
m+1
tk+mτ
α| ↓ c и |P
tk+mτ
−Pτπm)|→c −|π
m+1
m+1
| − |πm|, m = 0, 1, 2, . . . . (1)
m+1
tk+(m+1)τ
α − πm| > |Pτ(P
− Pτπm| > |π
α| ↓ c, поэтому со-
tk+mτ
α − πm)| =
|+ |π
m+1
m+1
m+1
| − |πm| дает (1).
−Pτπm|,
| +
m+1
Из (1) следует, что 0 < |π0| 6 |π1| 6 . . . или 1 = λ06 |λ1| 6 |λ2| 6 . . ..
Покажем, что λm> 0 для всех m = 0, 1, . . .. Если для некоторого це-
лого числа m > 0 выполнено λmλ
π
6 0, Pτπm> 0, но тогда в силу M1 имеем |π
m+1
+ |Pτπm|= |π
|+ |πm|, что в с очетании с (1) дает πm= 0, т.е. λm= 0.
m+1
m+1
< 0, то π
> 0, Pτπm6 0 или
m+1
−Pτπm|= |π
m+1
m+1
|+
Итак, 1 = λ06 λ16 λ26 . . . или 0 < π06 π16 π26 . . ..
Так как |πm| = λm|π0| 6 |α| и |π0| > 0, то последовательность чисел
{λm} ограничена. Пусть λm↑ λ. Положим π = λπ0. Тогда πm6 π
и |π −πm| = (λ −λm)|π0| → 0.
Наконец, проверим, что Pτπ = π. В самом деле, |π − Pτπ| 6 |π −
−π
m+1
|+ |π
−Pτπm|+ |Pτ(πm−π)| 6 |π −π
m+1
m+1
|+ (|π
|−|πm|) +
m+1
+ |πm− π| → 0, т.е. |π − Pτπ| = 0.
Согласно лемме 3 отсюда следует, что π — инвариантная точка, а из
предположения настоящей леммы получаем, что π = 0. Это же противоречит тому, что π > π0> 0.
Лемма 5. Если существует нетривиальная инвариантная точка,
то существует единственная инвариантная точка π, удовлетворяющая условиям π > 0 и |π| = 1; при этом вс якая инвариантная точка
имеет вид λπ, где λ — действительное число.
296 Дополнение
Доказательство. Если α — инвариантная точка, то |α| = |Ptα| для
всех t ∈ T , поэтому α > 0 или α 6 0. Следовательно, если существует
нетривиальная инвариантная точка, то существует инвариантная точка π, удовлетворяющая условиям π > 0, |π| = 1. Пусть α — инвариантная
точка, покажем, что α = λπ, где λ — действительное число. Достаточно
рассмотреть случай, когда α > 0, |α|= 1. Так как α − π есть инвариантная точка, то α − π > 0 или α − π 6 0. Пусть α − π > 0. Из M 1 следует
|α| = |π + (α − π)| = |π| + |α − π|, откуда |α − π| = 0, т.е. α = π. Ана-
логично рассматривается случай α − π 6 0. (Лемма 5 следует из лемм
1—2).
Лемма 6. Пусть существует нетривиальная инвариантная точка. Тогда для вся кого α ∈ M им еет место слабая сходимость Ptα ⇁ γ,
где γ — инвариан т ная точка.
Доказательство. В силу слабой компактности всякого ограничен-
t
ного замкнутого множества из M достаточно показать, что из P
′
t
k
и P
α ⇁ γ′следует, что γ и γ′есть инвариа нтные точки и γ = γ′.
Так как π = P
t
k
π ⇁ π 6= 0, то из леммы 2 следует, что γ = λπ. Ана-
k
α ⇁ γ
логично проверяется, что γ′= λ′π. Здесь λ и λ′— некоторые дей-
t
ствительные числа. Из |Ptα| ↓ c следует |P
|Ptα − γ′| = |Pt(α − γ′)| ↓ c1следует |P
Но в силу M 3 с учето м того, что P
c − |γ| ←|P
t
k
α − γ| = |(P
t
k
α − γ′) − (γ − γ′)| → c1− |γ −γ′|,
t
t
k
α − γ′⇁ γ −γ′, имеем
k
k
α| ↓ c. Аналогично из
α − γ′| ↓ c1и |P
′
t
k
α − γ′| ↓ c1.
откуда c − |γ| = c1− |γ − γ′|. Кроме того,
′
t
c − |γ′| ← |P
k
α − γ′| → c1,
что дает c1= c − |γ′|. Из по лу ченных двух равенств находим, что |γ −
− γ′| = |γ| − |γ′| или |λ − λ′| = |λ| − |λ′|. Аналогично доказывается, что
|λ′− λ| = |λ′| − |λ|. Отсюда вытекает, что λ = λ′, т.е. γ = γ′.
Лемма 7. Если существует нетривиальная инвариантная точка, α ∈ M и α > 0, то Ptα ⇁ γ, где γ — нетривиальная инва риантная
точка и |γ| 6 |α|.
Доказательство. В силу леммы 6 точка γ является инвариантной.
Так как |Ptα|= |α| для всех t ∈T , то из M3 следует |Ptα −γ|→ |α| −|γ|;
в частности, |α| > |γ |. Нам осталось лишь доказать, что γ 6= 0. Если
π — инвариантная точка такая, что π > 0 и |π| = 1, то γ = λπ, где λ —
некоторое действительное число. Можно считать, что |α| = 1. Из M 3
получим, что
|Pt(α − π)| = |Ptα − λπ − (1 − λ)π| ↓ 1 − |λ| + |1 − λ|.
§ 12. Предельные теоремы для специального класса процессов 297
Если теперь γ = 0, т.е. λ = 0, то 2 = |Ptα| + |π| > |Pt(α − π)| ↓ 2, т.е.
|Pt(α − π)| = 2 для всех t ∈ T . Так как полугруппа P = {Pt, t ∈ T } яв-
ляется сжимающей, то Pt(α − π) = Ptα − π > 0 или Ptα − π 6 0 для
всякого t ∈ T . Так как |Ptα| = |π|, Ptα > 0 и π > 0, то согласно M 1
имеем Ptα = π и, тем самым, Ptα ⇁ π = γ 6= 0.
Доказательство теоремы 1 теперь непосредственно вытекает из
лемм 4—7.
2◦. Доказательство теоремы 2. У1 ⇒ У2.
1) Пусть α ∈ M и α+, α−— выбраны согласно M2. Тогда из
− |α±|π
|Ptα| =
→ 0 следует, что
(Ptα+− |α+|π) − (Ptα−− |α−|π) + (|α+| − |α−|)π
→
(|α+| − |α−|)π
=
Если теперь |α|= |Ptα| для всех t ∈T , то |α+|+ |α−|= |α|=
Ptα±−
→
|α+| − |α−|
|α+|−|α−|
откуда |α+|= 0 или |α−|= 0, т.е. α > 0 или α 6 0. Тем самым, полугруп-
па P является сжимающей.
2) Определим функционал π∗на M равенством π∗(α) = |α+| − |α−|.
Проверим, что этот функционал является линейным и ограниченным,
т.е. π∗∈ W. Действительно, пусть α и β ∈ M. Тогда из α + β = (α++
+ β+) −(α−+ β−) = (α + β)+−(α + β)−следует (α++ β+) + (α + β)−=
= (α−+ β−) + (α + β)+, откуда с учетом M1 получаем
|α+| + |β+| + |(α + β)−| = |α−| + |β−| + |(α + β)+|.
Отсюда следует, что
π∗(α + β) = |(α + β)+| − |(α + β)−| = (|α+| − |α−|) + (|β+| − |β−|) =
= π∗(α) + π∗(β),
т.е. π∗— линейный функционал. Очевидно, что |π∗| = 1.
Проверим, что π∗— инвариантный (относительно P∗) функционал
из W. Для всякого α ∈ M и t ∈ T имеем
.
,
[P∗tπ∗, α] = [π∗, Ptα] = [π∗, Ptα+] − [π∗, Ptα−] = |Ptα+| − |Ptα−| =
= |α+| − |α−| = [π∗, α],
т.е. P∗tπ∗= π∗для всех t ∈ T .
Пусть теперь w — инвариантная точка из W. Покажем, что существует число λ такое, что w = λπ∗. В силу M2 достаточно проверить,
что [w, α] = λ[π∗, α] = λ|α|, λ = [w, π] для всякого α ∈ M+. Так как
[w, Ptα − |α|π] = [w, Ptα] − λ|α| = [P∗tw, α] − λ|α| = [w, α] −λ|α|
298 Дополнение
и
[w, Ptα − |α|π]
6 |w| ·
Ptα − |α|π
→ 0,
то [w, α] = λ|α|.
У2 ⇒ У3. Пусть π — инвариа нтная точка из M, π > 0, |π| = 1. Если
w — инвариантная точка из W, w > 0 и [w, π] = 0, то из совпадения w
с инвариантной точкой π∗∈ W с точностью до умножения на действи-
тельное число и [π∗, π] = 1 следует, что w = 0.
У3 ⇒У4. Согласно теореме 1 для всякого α ∈M имеем Ptα ⇁ λ(α)π,
где λ(α) — зависящее от α число. Функционал λ(·) линеен, и так как
|λ(α)| = |λ(α+) − λ(α−)| 6 |λ(α+)| + |λ(α−)| 6 |α+| + |α−| = |α|, то он
ограничен. Обозначим этот функционал через λ∗. Так как |[λ∗, α]|6 |α|
и [λ∗, π] = 1 = |π|, то |λ∗| = 1. Покажем, что λ∗является инвариантной точкой из W . Так как для всякого α ∈ M и s ∈ T выполнено Ptα ⇁ λ(α)π, Pt(Psα) = P
t+s
α ⇁ λ(α)π, Pt(Psα) ⇁ λ(Psα)π, то
λ(α) = λ(Psα), т.е. [P∗sλ∗, α] = [λ∗, Psα] = λ(Psα) = λ(α) = [λ∗, α]. Тем
самым, P∗sλ∗= λ∗для всех s ∈ T .
Положим w = π∗− λ∗. Если α ∈ M+, то [w, α] = [π∗, α] − [λ∗, α] =
= |α| − [λ∗, α] > 0 , т.е. w > 0. Кроме того, w — инвариантная точка из W
и [w, π] = 0. Поэтому w = 0, т.е. λ∗= π∗. Из приводимой ниже леммы 8
следует, что λ∗∈ PF, поэтому π∗∈ PF.
У4 ⇒ У1. Согласно тео реме 1 для всякого α ∈ M имеем Ptα ⇁
⇁ [λ∗, α]π. Так как π∗∈ PF и [λ∗, π] = 1 = [π∗, π], то в силу леммы 8
получаем λ∗= π∗. Поэтому для α > 0 имеем Ptα ⇁ [π∗, α]π = |α|π, т.е.
точка π является эргодической.
При доказательстве У3 ⇒ У4 ⇒ У1 была использована
Лемма 8. Пусть полугруппа P является сжимающей и суще-
ствует нетривиальная инвариантная точка из M. Если u ∈ F , то
P∗tu при t → ∞ слабо сходится к некоторому элементу из PF ⊂ W ;
кроме того, λ∗∈ PF и каждый элемент из PF совпадает с λ∗с точностью до умножения на действительное число.
Доказательство. Пусть u0= u и ut= P∗tu0∈ W . Покажем, что
ut⇁ cλ∗, где c = (π, u0), π — инвариантная точка из M такая, что
π > 0, |π| = 1. Это следует из теоремы 1, так как для всякого α ∈ M
[ut, α] = [P∗tu0, α] = [u0, Ptα] = (Ptα, u0) → λ(α)(π, u0) = c · [λ∗, α]. Осталось показать, что λ∗∈PF . Для этого достаточно выбрать u0∈F так,
чтобы c = (π, u0) = 1. Это можно сделать, так как π 6= 0.
3◦. В связи с пунктом 9◦покажем, что У3 ⇒ У1 без использования
пространства F. Сначала проверим, что λ∗есть инвариантная точка
из W = M∗и |λ∗| = 1. Это делается так же, как при доказательстве
У3 ⇒ У4. Так как w = π∗− λ∗— инвариантная точка из W, w > 0,
§ 12. Предельные теоремы для специального класса процессов 299
[w, π] = 0, то из У3 вытекает, что w = 0, т.е. λ∗= π∗. Отсюда следу-
ет, что для α ∈ M∗выполнено Ptα ⇁ [λ∗, α]π = [π∗, α]π = |α|π. Таким
образом, точка π является эргодической.
4◦. Доказательство утверждения следствия 1. 1◦⇒2◦. Если
α ∈ M и α > 0, то (Ptα, π∗) = [π∗, Ptα] = |Ptα| = |α| > 0. Следовательно,
Ptα 6⇁ 0. Но тогда в силу теоремы 1 существует нетривиальная инва-
риантная точка. Так как ещё π∗∈ PF, то 1◦⇒ 2◦следует из У4 ⇒ У1.
2◦⇒ 3◦. Пусть π — эргодическая точка. Тогда для всякого α ∈ M
имеем, что Ptα сходится по норме к (|α+|− |α−|)π = [π∗, α]π. В частности, [P∗tu, α] = [u, Ptα] = (Ptα, u) → (π, u)[π∗, α], т.е. P∗tu ⇁ (π, u) · π∗.
3◦⇒1◦. Определим функционал c на F условием P∗tu ⇁ c(u)π∗для
u ∈ F . Функционал c, очевидно, является линейным. Его ограничен-
ность следует из того, что если α ∈ M и α > 0, то
|c(u)||α| = |c(u)[π∗, α]| ← |[P∗tu, α]| = |(Ptα, u)| 6 |u| · |α|,
т.е. |c(u)| 6 |u|. Тем самым, c ∈ M . Так как ещё [π∗, α] = [P∗tπ∗, α] →
→ c(π∗)[π∗, α], то c(π∗) = 1 = |π∗|, поэтому |c| = 1.
Если α > 0 и u ∈ F , то (Ptα, u) = [P∗tu, α] → c(u)[π∗, α] = |α|(c, u);
поэтому Ptα ⇁ |α|c. Но тогда в силу M3 имеем
−
|α|c
= 0, т.е. Ptα сходится к |α|c по норме.
Пусть теперь α ∈ M и |α| = |Ptα| для всех t ∈ T . Так как Ptα =
= Ptα+− Ptα−⇁ (|α+| − |α−|)c = γ, то согласно M3 имеем |Ptα −
− γ | → |α| − |γ| = |α| −
− |α+|c) − (Ptα−− |α−|c)
этому 0 = |α| −
|α| = |α+|+ |α−|, дает |α+|= 0 или |α−| = 0, т.е. α > 0 или α 6 0. Следо-
вательно, полугруппа P является сжимающей.
|α+| − |α−|
|α+| − |α−|
6
. Кроме того, |Ptα − γ| =
Ptα+− |α+|c
. Последнее равенство с учетом того, что
Ptα − |α|c
+
Ptα−− |α−|c
→ |α| −
(Ptα+−
→ 0, по-
5◦. В связи с пунктом 9◦покажем (без использования пространства
F ), что для предложений следствия 1 верно 2◦⇒ 1◦. Пусть π — эрго-
дическая точка, α ∈ M . Тогда Ptα сходится по норме к (|α+| − |α−|)π.
Если |α| = |Ptα| для всех t ∈ T , т о |α+| + |α−| = |α| = |Ptα| =
− |α−|)π
α > 0 или α 6 0. Тем самым, полугруппа P является сжимающей.
дической точки π в силу теоремы 2 следует сжимаемость полугруппы P.
Осталось проверить, что полугруппа P неприводима. Пусть W ∋w > 0
и M ∋ α > 0. Так как
=
|α+| − |α−|
6◦. Доказательство теоремы 3. 1◦⇒2◦. Из существования эрго-
[w, Ptα − |α|π]
, откуда следует, что |α+| = 0 или |α−| = 0, т.е.
6 |w| ·
Ptα − |α|π
→ 0,
(|α+| −
300 Дополнение
то [w, Ptα] → |α|[w, π]. Но |α| > 0 и [w, π] > 0, поэт ому суще ствует t ∈ T
такое, что [w, Ptα] > 0.
2◦⇒3◦. Из неприводимости полугруппы P и инвариантности точки
π > 0 следует, что [w, π] > 0 для всех w > 0.
3◦⇒ 1◦. Согласно теореме 1 для всяко го α ∈ M выполнено Ptα ⇁
⇁ [λ∗, α]π, где λ∗— инвариантная точка из W и |λ∗| = 1 (см. доказа-
тельство У3 ⇒ У4 теоремы 2). Покажем, что λ∗= π∗. Так как для
α > 0 выполнено [π∗−λ∗, α] = |α| − [λ∗, α] > 0, то w = π∗−λ∗> 0. Если
w > 0, то должно быть [w, π] > 0. Но [w, π] = [π∗, π] − [λ∗, π] = 1 − 1 = 0.
Следовательно, w = 0, т.е. λ∗= π∗. Отсюда следует, что для всякого
α > 0 выполнено Ptα ⇁ [λ∗, α]π = [π∗, α]π = |α|π, т.е. π — эргодическая
точка.
7◦. Доказательство теоремы 4. 1◦⇒ 2◦. Сжимаемость полу-
группы P следует из теоремы 2. Проверим слабую неприводимость. Пусть π — эргодическая точка, α ∈ M, u ∈ F . Если α > 0, то
(Ptα, u) → |α|(π, u). Но при α > 0 и u > 0 имеем |α|(π, u) > 0, поэтому
существует t ∈ T такое, что (Ptα, u) > 0.
Пусть теперь w — инвариантная точка из W, w > 0 и [w, π] = 0. Тогда для α > 0 имеем [w, α] = [w, Ptα] = [w, Ptα − |α|π] → 0, так как
Ptα − |α|π
→ 0, поэтому [w, α] = 0. Из M 2 следует, что [w, α] = 0 для
всех α ∈ M, т.е. w = 0.
2◦⇒ 3◦. Нужно лишь проверить, что (π, u) > 0 для всех u > 0. Это
же следует из слабой неприводимости полугруппы P.
3◦⇒ 1◦. Согласно теореме 1 для всяко го α ∈ M выполнено Ptα ⇁
⇁ [λ∗, α]π. Так как w = π∗− λ∗— инвариантная точка из W,w > 0
и [w, π] = 0, то w = 0, т.е. λ∗= π∗. Поэтому для α > 0 имеем Ptα ⇁ |α|π,
т.е. π — эргодическая точка.
8◦. Доказательство теоремы 5. 1◦⇒2◦. Если ρ(x, y)=ρ(Ptx, Pty)
для всех t ∈ T , то ρ(x, y) 6 ρ(Ptx, π) + ρ(Pty, π) → 0 при t → ∞, т.е.
ρ(x, y) = 0 или x = y.
2◦⇒1◦. Пусть x ∈ E. Из множества {Ptx, t ∈ T } выберем подпосле-
t
довательность {P
k
x}, сходящуюся к некоторому элементу π ∈E. Если
π — инвариантная точка, то в силу
ρ(Ptx, π) = ρ(Ptx, Ptπ) 6 ρ(P
k
x, P
t
k
π) = ρ(P
t
k
x, π) → 0
t
при tk> t → +∞ имеем Ptx → π. Кроме того, инвариантная точка π единственная, так как если π и π′— инвариантные точки, то из
ρ(π, π′) = ρ(Ptπ, Ptπ′) для всех t ∈ T следует π = π′. Тем самым, π не
зависит от выбора x.
Таким образом, достаточно доказать инвариантность точки π. Положим τk= t
− tk. Можно считать, что τk→ +∞ (иначе в ыберем
k+1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]