Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория массового обслуживания. Учебное пособие
.pdf
§ 5. Задача Пальма; рекуррентный поток 181
Так как
∆ij= ∆
i i+1
+ ∆
i+1,i+2
+ . . . + ∆
j−1,j
и сл.в. ∆
i i+1
, . . . , ∆
j−1,j
Bij(t) = Bi(t) ∗ B
независимы, то
(t) ∗ . . . ∗B
i+1
j−1
(t)
или в преобразованиях Лапласа—Стилтьеса
βij(s) = βi(s)β
Отметим, что G(t) = Bn(t) и F (t) = B
i+1
(s) . . . β
i,n+1
(s). (1)
j−1
(t), если в начальный момент
система находилась в состоянии i. Нам теперь достаточно определить
функции Bi(t), i = 0, 1, . . . , n.
Справедливы с леду ющие очевидные соотношения (положено¯B =
= 1 − B):
t
Z
¯
Bi(t) =¯B
i−1
(t) +
(1 − e−x)¯Bi(t − x) dB
0
(x), i = 1, . . . , n, (2)
i−1
B0(t) = A(t)
или в преобразованиях Лапласа—Стилтьеса
1 − βi(s) = 1 − β
(s) + [1 − βi(s)][β
i−1
i−1
(s) − β
(s + 1)],
i−1
β0(s) = α(s),
откуда
β
(s + 1)
βi(s) =
1 − β
i−1
i−1
(s) + β
i−1
(s + 1)
, i = 1, . . . , n;
β0(s) = α(s).
Представляя βi(s) в виде
βi(s) =
Mi(s)
M
получим
M
(s) − Mi(s)
i+1
Mi(s + 1)
откуда
M
(s) − Mi(s)
i+1
Mi(s + 1)
или
M
(s) = Mi(s) + λ0(s)Mi(s + 1), i = 0, 1, . . . , n. (4)
i+1
, i = 0, 1, . . . , n; M0(s) = 1, (3)
(s)
i+1
Mi(s) − M
=
M
i−1
M1(s) − M0(s)
=
M0(s + 1)
i−1
(s + 1)
(s)
, M1(s) =
1
=
α(s)
1
α(s)
− 1 = λ0(s)
,
182 Гл. 3. Системы обслуживания многими приборами
По индукции получаем
i
X
Mi(s) =
j
C
λ0(s)λ1(s) . . . λ
i
j=0
(s), M0(s) ≡ 1; (5)
j−1
здесь
λi(s) = λ0(s + i) =
1
α(s + i)
− 1; i = 0, 1, . . . , n.
В силу (1), (3)
βij(s) =
Mi(s)
, i < j. (6)
Mj(s)
Заметим, что если начальное состояние характеризуется набором чисел
q0, q1, . . . , qn, где qi— вероятность того, что в начальный момент система
находится в состоянии i, q0+ q1+ . . . + qn= 1, то
∞
ϕ(s) =
g(s) =
Z
−st
e
dF (t) =
0
∞
Z
−st
e
dG(t) = βn(s) =
0
n
X
i=0
qiβ
i n+1
M
(s) =
Mn(s)
n+1
(s)
n
X
M
1
n+1
(s)
qiMi(s);
i=0
(7)
.
Формулы (7) дают полное решение задачи Пальма.
Найдем среднюю длину промежутка времени между двумя после-
довательными моментами потерь вызовов. В силу (7), (4)
1 − g(s)
=
s
откуда, имея в виду M
или (см. (5))
g1= α
или
g1= α
Величина g
−1
имеет смысл интенсивности потерь.
1
λ0(s)sMn(s + 1)
M
n+1
(0) = α(0) = 1, получим
n+1
(s)
=
g1= α1Mn(1)
n
X
i
C
1
n
1 +
1
λ0(1)λ1(1) . . . λ
n
i=0
n
X
C
i=1
λ0(i) =
i
λ0(1)λ0(2) . . . λ0(i)o,
n
1
α(i)
1 − α(s)
s
− 1.
Mn(s + 1)
·
α(s)M
(1)
i−1
n+1
(s)
,
§ 5. Задача Пальма; рекуррентный поток 183
В частном случае, когда A(t) = 1 − e
−at
, a > 0, т.е. α(s) =
a
a + s
, имеем
(учесть (5))
λi(s) = (s + i)a−1,
i
X
Mi(s) =
j
C
s(s + 1) . . . (s + j − 1)a−j,
i
j=0
т.е. (см. (4) из § 8 Дополнения)
Mi(s) = a−iqi(s).
Задача 1. Доказать, что в случае, когда моменты поступления
вызовов образуют пуассоновский поток, а в начальный момент система свободна от вызовов, поток потерянных вызовов не является потоком Пальма. Найти начальное состояние системы (в виде вероятностей q0, q1, . . . , qn) такое, чтобы поток потерянных вызовов был потоком
Пальма.
Указание. Для того чтобы поток потерянных вызовов был потоком
Пальма, необходимо и достаточно при G(+0) = 0 (см. § 8 Гл. 0), чтобы
или
F (t) = λ
t
Z
[1 − G(u)] du, λ−1=
0
ϕ(s) =
λ
[1 − g(s)],
s
∞
Z
[1 − G(u)] du
0
но уже при n = 1
M0(s)
M2(s)
= ϕ(s) 6=
h
λ
1 −
s
M1(s)
M2(s)
i
.
Задача 2 . Доказать, что среди всех рекуррентных потоков вызовов,
определяемых произвольными ф.р. A(t), A(+0) < 1, лишь бы только
∞
Z
t dA(t) = a−1= const,
0
интенсивность потерь будет минимальной при
(
A(t) =
0, если t 6 a−1;
1, если t > a−1.
Найти это значение.
184 Гл. 3. Системы обслуживания многими приборами
Указание. Пусть {A(t)}— множество всех ф.р., имеющих одина-
ковый первый момент. Тогда для всякой константы c > 0 α(c) =
∞
Z
−ct
=
e
dA(t) принимает наименьшее значение α(c) = e
0
−ca
−1
.
Задача 3 . Доказать, что среди всех рекуррентных потоков вызовов,
определяемых произвольными ф.р. A(t), A(+0) < 1, лишь бы только
∞
Z
t dA(t) = a−1= const,
0
не существует потока, дающего максимальную интенсивность потерь.
Указание. Пусть для всякого ε > 0
(
1 − ε, t 6 (aε)−1,
1, t > (aε)−1;
∞
Z
t dA(t) = a
0
−1
−c(aε)
−1
→ 1 при c > 0 и ε ↓ 0.
тогда
и
∞
Z
α(c) =
0
В этом случае g
A(t) =
−ct
e
dA(t) = 1 −ε + εe
−1
→ a − 0.
1
Задача 4. Рекуррентный поток вызовов, определяемый ф.р. A(t),
обслуживается n одинаковыми приборами. Каждый выз ов обслуживается одним прибором. Вызов, заставший все приборы занятыми, становится в очередь. Длительность обслуживания вызова имеет экспоненциальное распределение с параметром b = 1. Под состоянием системы
в некоторый момент будем понимать число вызовов, находящихся в системе в этот момент. Сохраняя в остальном обозначения этого параграфа, показать, что при A(t) = 1 − e
βij(s) =
−at
Mi(s)
Mj(s)
, i < j,
где
Mk(s) = a−kqk(s),
q
(s) = (a + kn+ s)qk(s) − aknq
k+1
kn= min(k, n).
k−1
(s),
§ 6. Обслуживание дублирующими приборами 185
Указание. Считая, что максимальное число вызовов, которое одновременно может находиться в системе, равно N > n, и вводя затем
«поглощающее» состояние N + 1, написать аналог системы (1) § 4. Да-
лее, действуя, как в § 4, найти π
N+1
(s) =
∞
Z
−st
e
P
0
N,N +1
(t) dt.
§ 6. Обслуживание дублирующими приб орами
Постановка задачи. Рассматривается работа n одинаковых прибо-
ров, функционирующих следующим об разом:
— время работы любого прибора до мо мента выхода его из ст роя
есть сл.в. с ф.р. A(t); A(+0) < 1;
— после выхода из строя прибора последний восстанавливается,
и время его восстановления есть сл.в., не зависящая от состояния других приборов и имеющая экспоненциальное распределение B(t) = 1 − e
−bt
;
— в каждый момент работает не более одного прибора;
— если некоторый прибор вышел из строя, а среди оставшихся есть
исправные, то любой из них сразу же приступает к работе.
Назовем моментом отказа момент в ы хода из строя одного из при-
боров при условии, что остальные к этому моменту не восстановлены.
Ставится задача описать поток отказов или, более точно, найти
законы распределения первого момента отказа, а также длин промежутков между двумя последовательными моментами отказа при условии, что в начальный момент t = 0 число неисправных приборов равно
i = 0, 1, . . . , n.
Формулировка основного результата. Без ограничения общности
можно считать b = 1 (этого можно всегда достичь, изменив масштаб
времени).
Пусть t1, t2, . . . — последовательные моменты отказа, zk= tk− t
k−1
k > 1, t0= 0. Так как время восстановления любого прибора подчинено
экспоненциальному распределению, то при k > 1
,
P {z
< t/z1, . . . , zk} = P {z
k+1
k+1
< t}
и не зависит от k, т.е. поток отказов является рекуррентным потоком
с запаздыванием.
Положим (напо мним, что в начальный момент i приборов неис-
правны)
Fi(t) = P {t1< t},
G(t) = P {zk< t}, k > 2,
186 Гл. 3. Системы обслуживания многими приборами
ϕi(s), g(s) — преобразования Лапласа—Стилтьеса этих функций, т.е.
ϕi(s) =
∞
Z
−st
e
dFi(t), g(s) =
0
∞
Z
−st
e
dG(t).
0
Основной результат заключен в следующем.
Предложение.
ϕi(s) =
Mi(s)
Mn(s)
при i = 0, 1, . . . , n −1; (1)
ϕn(s) = g(s); (2)
M
(s)
n−1
g(s) =
n
s + n
Mn(s)
, (3)
где
n
X
M0(s) = 1; Mn(s) = 1 +
λk(s) =
α(s + k)
k
C
λ0(s)λ1(s) . . . λ
n
k=1
1
− 1 = λ0(s + k);
(s), n > 1;
k−1
α(s) — преобразование Лапласа—Стилтьеса функции A(t).
Сделаем следующие
Замечания. 1◦. На ф.р. A(t) не накладывались никакие ограни-
чения, кроме A(+0) < 1. Если же у ф.р. A(t) существуют первые k
моментов, то у ф.р. Fi(t) и G(t) существ уют те же моменты, которые
могут быть найдены из (1)—(3) дифференцированием по s.
2◦. Если A(t) = 1 − e
−at
, то функции Mn(−s), n > 0, превращаются
в многочлены Пуассона—Шарлье. В этом случае функции Fi(t) и G(t)
представляются в виде суммы экспонент и легко определяются по корням соответствующего многочлена Пуассона—Шарлье.
3◦. Обозначим через Pk(t) вероятность того, что в момент t k при-
боров исправны, остальные восстанавливаются, 0 6 k 6 n. В случа е
A = 1 − e
P
k
Если обозначить pk= lim
−at
обычной процедурой можно получить уравнения
′
(t) = (n − k + 1)bP
pk=
′
P
(t) = −nbP0(t) + aP1(t),
0
(t) − [(n − k)b + a]Pk(t) + aP
k−1
′
P
(t) = bP
n
Pk(t), то можно получить, что
t→∞
n!
(n − k)!
ρk· p0, ρ =
(t) − aPn(t).
n−1
X
b
,
a
k=0
n
pk= 1.
(t), 0 < k < n,
k+1
§ 6. Обслуживание дублирующими приборами 187
Доказательство предложения. Обозначим через ν(t) число не-
исправных приборов в момент t; ν(0) = i. Наряду с этой системой рассмотрим систему об служивания, описанную в § 5 (рекуррентный поток,
экспоненциальное обслуживание, n приборов, бе з ожидания), и для этой
системы обозначим через µ(t) число приборов, занятых обслуживанием в момент t; предположим, что µ(0) = i. Каждый из процессов ν(t)
и µ(t) принимает лишь значения 0, 1, . . . , n. Если считать состояние
n (значение процесса, равное n) поглощающим для обоих процессов,
то легко видеть, что процессы ν(t) и µ(t) совпадают (отличаясь лишь
терминологией). Отсюда следует, например, что распределение первого момента отказа (момента, при котором впервые ν(t) = n) совпадает
с распределением момента, при котором впервые µ(t) = n, т.е.
Fi(t) = Bin(t), i < n,
откуда следует (1).
Формула (2) о чевидна. Обратимся к доказательству формулы (3).
Если в начальный момент все приборы неисправны, то первый момент
отказа про изойдет через время ξ = ξ1+ ξ2, где ξ1— случайное время,
через которое хотя бы один прибор восстановится; при этом система перейдет в состояние n − 1, a ξ2— случайное время перехода из состояния
n − 1 (начиная с момента начала работы исправного прибора) в состо-
яние n. Ясно, что сл.в. ξ1и ξ2независимы и
P {ξ1< t} = 1 − e
−nt
, P {ξ2< t} = F
n−1
(t) = B
n−1,n
(t),
откуда и следует (3 ).
Задача. n агрегатов обслуживаются одним рабочим. При этом
предполагается, что:
1) каждый агрегат может находиться в любой момент либо в исправном, либо неисправном состоянии;
2) время, в течение которого агрегат находится в исправном состоянии, имеет экспоненциальное распределение с параметром 1;
3) после выхода из строя агрегата последний требует внимания рабочего для проведения восстановительных работ; при этом, если остальные агрегаты исправны, рабочий немедленно начинает
восстанавливать вышедший из строя агрегат; в противном случае
агрегат восстанавливае тся в порядке очередности;
4) длительно сти восстановления аг регатов независимы в совокупности и одинаково распределены с общей ф.р. A(t).
Обозначим через ν1(t) число исправных агрегатов в момент t . Для
системы, рассмотренной в этом параграфе, через ν(t) обозначим число
неисправных приборов. Убедиться в том, что при ν(0) = ν1(0) процессы
188 Гл. 3. Системы обслуживания многими приборами
ν(t) и ν1(t) совпадают (отличаясь лишь терминологией). Пользуясь
этим, показать, что коэффициент за г ру женности рабочего (интервалы,
в которых рабочий свободен от восстановительных работ, чередуются
с интервалами занятости рабочего; если τcи τ3— средние длины этих
интервалов соответственно, то коэффициент загруженности рабочего
определяется как
τ
3
τc+ τ
3
τ
3
) равен
τc+ τ
3
, где τc= 1/n, τ3= a−1M
(1); a−1=
n−1
∞
Z
t dA(t).
0
§ 7. Рекуррентный поток, экспоненциальное обслуживание
(разное для разных приборов); прямой и инверсионный
порядки обслуживания
В систему обслуживания, состоящую из n обслуживающих прибо-
ров, поступает поток вызовов. Предполагаем, что:
— поток вызовов является рекуррентным, определяемым ф.р.
A(t), A(+0) < 1;
— длительности обслуживания всех вызовов есть независимые
сл.в.;
— обслуживающие приборы занумеро ваны числами 1, 2, . . . , n; дли-
тельность времени обслуживания вызова на приборе с номером i
имеет экспоненциальное распределение с параметром bi;
— каждому вызову, заставшему в момент своего поступления сво-
бодные от обслуживания приборы, ставится в соответствие один
из этих приборов; правило, по которому производится такое соответствие, может быть произвольным;
— вызов, заставший в момент своего поступления все приборы за-
нятыми обслуживанием, остается в системе, ожидая начала обслуживания;
— в зависимости от того, какой из ожидающих в ы з овов поступает
на освободившийся прибор, будем различать следующие схемы.
Схема 1 (прямой порядок обслуживания). Вызовы обслуживаются
в том порядке, в котором они поступают.
Схема 2 (инверсионный порядок обслуживания). Из числа вызовов, ожидающих начала обслуживания, на освободившийся прибор поступает тот вызов, который поступил позже остальных. Эту ситуацию
можно себе представить следующим образом. Поступающее в систему
изделие (вызов) помещается в ящик над имеющимися в нем изделиями.
На обслуживание вы бирается изделие, находящееся в ящике сверху.
§ 7. Рекуррентный поток, экспоненциальное обслуживание 189
Для таких систем обслуживания будем интересоваться нахождением
времени ожидания начала обслуживания.
Обозначим через pkNвероятность того, что N-й вызов (нумерация
вызовов производится в порядке их поступления в систему) в момент
своего поступления застанет в системе k вызовов; WN(t) — ф.р. времени
ожидания начала обслуживания для вызова с номером N .
Предполагаем, что
∞
Z
a−1=
t dA(t) < +∞,
0
b = b1+ . . . + bn.
Предложение. Если a/b < 1, то:
а) существуют пределы
lim
pkN= pk, lim
N→∞
WN(t) = W (t),
N→∞
не зависящие от начального состояния с истемы, при этом
X
pk> 0,
pk= 1;
k>0
б) p
= C · ρk, k > 0; C = p
k+n−1
; здесь ρ — единственный корень
n−1
уравнения
ρ = α(b − bρ),
лежащий в (0, 1);
в) в случае прямого порядка обслуживания
ρ
W (t) = 1 − C ·
1 − ρ
−b(1−ρ)t
e
;
г) в случае инверсионного порядка обслуживания
w(s) = 1 − p>n+ p>n· π(s), p>n= Cρ(1 − ρ)−1,
b
[1 − γ(s)]
1 +
s
b
[1 − γ (s)]
s
, γ(s) = α(s + b − bγ(s)),
π(s) =
причем последнее функциональное уравнение имеет единс т в енное решение γ(s), аналитическое в полуплоскости Re s > 0, в которой |γ(s)|<
< 1; заметим, что γ(0) = ρ.
Если же a/b > 1, то пределы, указанные в а), в случае прямого
порядка обслуживания равны нулю.
190 Гл. 3. Системы обслуживания многими приборами
Замечание. В этих схемах неопределенной является константа C.
Эта константа зависит от правила, по которому всякому вызову, заставшему в момент своего поступления свободные от обслуживания приборы, ставится в соответствие один из них. Заметим, что Cρ(1 − ρ)
−1
есть вероятность т ого, что произвольно выбранный вызов застает в момент своего поступления все приборы занятыми обслуживанием. Константа C может быть определена, например, методом статистических
испытаний.
Доказательство проводится так же, как для случая n = 1, рас-
смотренного в § 7 Главы 2.
Задача ([21]). Показать, что в случае b1= . . . = b
(Cρ )−1=
1
1 − ρ
n
X
+
i=1
i
C
n
Ci(1 − αi)
n(1 − αi) − i
·
n(1 − ρ) − i
n
,
где
αi= α(ib1),
Ci=
α
1 − α
1
α
i
. . .
1
1 − α
.
i
Кроме того,
n−1
X
pk=
i=k
Ui= CρC
(−1)
i
j=i+1
i−kCk
n
X
Ui, k = 0, 1, . . . , n − 1,
i
j
C
n
Cj(1 − αj)
n(1 − αj) − j
·
n(1 − ρ) − j
.
§ 8. Рекуррентный поток, постоянное время обслуживания
Система обслуживания состоит из n приборов. Длительность обслуживания вызова на любом приборе есть величина пос тоянная, равная 1. Предположим, что моменты поступления вызовов обра з уют рекуррентный поток, определяемый ф.р. A(t), A(+0) < 1. Каждый вызов
обслуживается лишь на одном приборе. Обслуживание поступившего
вызова начинается немедленно, если имеется хоть один незанятый прибор; в противном случае поступивший вызов обслуживается в порядке
очередности. Предположим, что в начальный момент все приборы свободны.
Так как все приборы одинаковы (длительность обслуживания на
каждом из них одна и та же), то для определения таких характеристик, как время ожидания начала обслуживания, длина очереди и др.,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]