Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория массового обслуживания. Учебное пособие
.pdf
§ 1. Период занятости 91
Используя (1), получаем
π1= (b − a)−1,
π2= b(b − a)−3,
π3= b(2a + b)(b − a)−5,
π4= b(6a2+ 8ab + b2)(b − a)−7,
2
π2− π
Пример 4. B(t) = 1 −e
= a(b − a)−3.
1
−bt
, b > 0; вызовы поступа ют через постоян-
ный промежуток в ремени, равный a−1. При этом
(
A(t) =
0, t 6 a−1,
1, t > a−1,
α(s) = e
−sa
−1
.
Используя (3)—(4), получаем (a < b)
π1= b−1(1 − σ)−1,
π2= 2b−2(1 − σ)
2
π2− π
= b−2(1 − σ)
1
2
−2
1 + σ
1 − σ
−1
b
,
a
b
1 − σ
a
−1
b
,
a
здесь σ — единственный корень уравнения
b
−
(1−σ)
σ = e
лежащий в (0, 1). Отметим, что 1 − σ
a
,
b
> 0, т.е. 0 < σ <
a
a
b
< 1.
Сделаем теперь с леду ющие обобщения.
Пусть в систему обслуживания, состоящую из одного прибора, поступает r потоков вызовов L1, . . . , Lr. Будем предполагать, что
• потоки L1, . . . , Lrнезависимы;
• поток вызовов Lkявляется пуассоновским с параметром ak;
• длительности обслуживания вызовов в совокупности независи-
мы;
• длительность времени об с лу живания вызова потока Lk— есть
сл.в. с ф.р. Bk(t), k = 1, . . . , r.
Под периодом занятости системы понимается длительность промежутка времени, начинающегося с момента поступления некоторого
вызова, заставшего систему свободной от вызовов, до следующего непосредственно момента освобождения системы от вызовов. Ясно, что порядок обслуживания вызовов здесь не имеет значения. Для образности изложения введем следующую терминологию и установим в связи
92 Гл. 2. Системы обслуживания одним прибором
с этим порядок обслуживания. Вызовы потока Lkбудем еще называть
вызовами приоритета k и говорить, что вызовы потока Liимеют более
высокий приоритет по отношению к вызовам потока Lj, если i < j. При
этом в ы з овы приоритета i имеют преимущество перед вызовами приоритета j, i < j; это преимущество заключается в следующем. Среди
вызовов, ожидающих начала обслуживания, вызо вы высшего приоритета обслуживаются раньше вызовов низшего приоритета. Для вызовов
одного приоритета порядок обслуживания считаем инверсионным. Это
значит, что среди ожидающих вызовов одного приоритета первым обслуживается тот, который пос тупил позже остальных. Такую ситуацию
можно представить следующим образом. Имеются r ящиков, занумерованных числами 1, . . . , r. Поступающий вы з ов (изделие) приоритета k
помещается в ящик с номером k над имеющимися в нем изделиями.
На обслуживание выбирается, начиная с ящика с меньшим номером,
изделие, находящееся сверху в ящике.
Если во время обслуживания некоторого вызова поступает вызов
более высокого приоритета, то можно представить случаи, когда обслуживание прерывает ся и сразу же начинается обслуживание поступившего вызова более высокого приоритета. В связи с этим мы будем
различать следующие схемы обслуживания с преимуществом.
Схема 1.1. Если во время обслу живания вызова поступает вызов более высокого приоритета, то прерывается обслуживание вызова и начинается обслуживание поступивш его вызо ва; когда система освободится
от выз овов более высокого приоритета, чем прерванный вызов, последний дообслуживается оставшееся время обслуживания.
Схема 1.2. То же, но прерванный вызов теряется .
Схема 1.3. To же, но прерванный вызов обслуживается заново (не
учитывается время имевшегося обслуживания).
Схема 2. Если вызов начал обслуживаться, то он обслуживается
до конца, несмотря на поступления вызовов более высокого приоритета
(прерывания не происходит).
Для всех этих схем мы будем интересоваться периодом занятости
системы. Введем обозначения, годные для всех этих схем:
Π(t) — ф.р. периода за нятости системы;
Πk(t) — ф.р. периода занятости системы обслуживанием вызовов при-
оритета k и выше, т.е. длительности промежутка времени, начинающегося с момента поступления вызова приоритета k или
выше, заставшего систему с вободной от вызовов, до следующего непосредственно момента освобождения сист емы от вызовов
приоритета k и выше; если дополнительно известно, что этот период занят ости начинается с обслуживания вызова приоритета
i(i = 1, . . . , k), то у казанную ф.р. будем обозначать через Πki(t).
§ 1. Период занятости 93
Ясно, чт о Π(t) = Πr(t). Обозначим еще через Hk(t) ф.р. длины
промежутка времени, начинающегося с момента поступления вызова приоритета k, заставшего систему свободной от вызовов, до
следующего непосредственно момента освобождения системы от
этого вызова и вызо вов приорит е та выше чем k.
Положим
σi= a1+ . . . + ai, i = 1 . . . , r; σ0= 0;
σ = σr; Π0(t) ≡ 0.
Предложение 3. Для сх емы 1.1 и схемы 2
а) σπ(s) =
r
X
aiβi(s + σ − σπ(s)), причем это функциональное урав-
i=1
нение определяет единственную функцию π(s), аналитическую в полуплоскости Re s > 0, в которой |π(s)| 6 1.
б) Если
a1β11+ . . . + arβr16 1,
то π(+0) = 1; в противном случае 0 < π(+0) < 1.
в) Если
a1β11+ . . . + arβr1< 1,
то первые три момента ф.р. Π(t) определяются соотношениями
ρ
σπ1=
σπ2=
σπ3=
1
,
ρ
ρ
2
,
3
ρ
ρ
ρ
2
ρ
3
2
+ 3
4
,
5
ρ
где
ρ1= a1β11+ . . . + arβr1,
ρ2= a1β12+ . . . + arβr2,
ρ3= a1β13+ . . . + arβr3,
ρ = 1 −ρ1.
Предложение 4. Для сх емы 1.2
σ
а) hk(s) = βk(s + σ
k−1
) +
k−1
s + σ
k−1
σkπk(s) = a1πk1(s) + . . . + akπkk(s),
πki(s) = π
(s + ak− akπkk(s)), i < k,
k−1,i
πkk(s) = hk(s + ak− akπkk(s)),
[1 − βk(s + σ
k−1
)]π
k−1
(s),
94 Гл. 2. Системы обслуживания одним прибором
причем эта система функциональных уравнений определяет единственные функции hk(s), πki(s), πk(s); i = 1, . . . , k; k = 1, . . . , r, аналити-
ческие в полуплоскости Re s > 0, в которой |hk(s)| < 1, |πki(s)| < 1,
|πk(s)| < 1.
б) Если
то h
a
a1β11+
(+0) = πki(+0) = πk(+0) = 1; в противном случае
k+1
0 < h
2
[1 − β2(σ1)] + . . . +
σ
1
(+0) < 1, 0 < πki(+0) < 1, 0 < πk(+0) < 1.
k+1
σ
a
k
k−1
[1 − βk(σ
k−1
)] 6 1,
в) Положим
ρk1= a1β11+
a
2
[1 − β2(σ1)] + . . . +
σ
1
σ
a
k
k−1
[1 − βk(σ
k−1
)],
ρk= 1 − ρk1,
ρk2= a1β12+ 2h−
a
2
C2ρ1− . . . −
σ
1
+
Ci=
∞
Z
0
a
k
Ckρ
σ
k−1
ρ
1
(ρ1− ρ2) + . . . +
σ
1
−σ
t
i−1
te
dBi(t);
k−1
+
ρ
k−1
(ρ
− ρk)i,
k−1
σ
k−1
тогда при ρk1< 1 выполнено
ρ
hk2=
σ
k−1
σkπk1=
σkπk2=
hk1=
h
2
· ρ
k−1
−Ck+
1
1 − ρ
1 − βk(σ
k−1
σ
k−1
k1
ρ
k
ρ
k2
3
ρ
k
1 − βk(σ
·
k−1
,
,
)
k−1
σ
k−1
i
)
,
ρ
+
ρ
k−1,2
3
k−1
1 − βk(σ
·
)
k−1
σ
k−1
.
Предложение 5. Для сх емы 1.3
o
а) hk(s) = βk(s + σ
k−1
)n1 −
σ
s + σ
k−1
k−1
[1−βk(s + σ
k−1
)]π
k−1
(s)
−1
,
σkπk(s) = a1πk1(s) + . . . + akπkk(s),
πki(s) = π
(s + ak− akπkk(s)),
k−1,i
πkk(s) = hk(s + ak− akπkk(s)),
причем эта система функциональных уравнений определяет единственные функции hk(s), πki(s), πk(s); i = 1, . . . , k; k = 1, . . . , r; анали-
тические в полуплоскости Re s > 0, в которой |hk(s)| < 1, |πki(s)| < 1,
|πk(s)| < 1.
§ 1. Период занятости 95
б) Если
a1β11+
a
σ
h
2
1
1
β2(σ1)
− 1i+ . . . +
σ
a
k−1
h
βk(σ
1
k−1
− 1i6 1,
)
k
то h
(+0) = πki(+0) = πk(+0) = 1; в противном случае 0 < h
k+1
k+1
(+0) <
< 1, 0 < πki(+0) < 1, 0 < πk(+0) < 1.
в) Положим
ρk1= aβ11+
a
σ
h
2
1
1
β2(σ1)
− 1i+ . . . +
σ
a
k−1
h
βk(σ
1
k−1
)
− 1i,
k
ρk= 1 − ρk1;
тогда при ρk1< 1
ρ
k1
,
ρ
k
h
1
·
βk(σ
k−1
− 1i.
)
hk1=
(1 − ρ
σkπk1=
1
k−1)σk−1
Перед тем как приступить к доказательству сформулированных
утверждений, рассмотрим случай r = 1 (поступает лишь один поток
вызовов, различие между схемами отсутствует) и получим с помощью
метода введения дополнительного события (см. § 12 Гл. 0; в данном случае — «катастроф») формулу
π(s) = β(s + a − aπ(s)), a = a1, β(s) = β1(s).
π(s) есть вероятность того, что за период занятости «катастрофа» не
произойдет. Будем период занятости связывать с тем вызовом, с обслуживания которого начинается сам период занятости. Обратно, всякому
вызову можем сопоставить «период занятости», понимая под этим длину промежутка времени, начинающегося с обслуживания этого вызова
до следующего непосредственно момента освобождения системы от этого вызова и вызовов, поступивших после него (напомним, что порядок
обслуживания инверсионный).
Отметим, что периоды занятости, соответствующие вызовам, поступившим в систему во время обслуживания некоторого вызова, не
пересекаются, независимы в совокупности и одинаково распределены.
Отметим еще, что период занятости, соот ветствующий некоторому вызову, складывается из длительности обслуживания его и длин периодов занятости, соответствующих вызов ам, поступившим за время его
обслуживания. Таким образом, чтобы за период занятости, связанный с некоторым вызовом, не произошла «катастрофа» (вероятность
чего есть π(s)), необходимо и достаточно, чтобы за время обслуживания этого вызова не произошло событие следующего суммарного потока
96 Гл. 2. Системы обслуживания одним прибором
событий: пот ока «катастроф» и потока вызовов, в соответствующий период занятости которых наступает «катастрофа». При этом слагаемые
потоки независимы и каждый является пуассоновским с параметром s
и a[1 − π(s)] соответственно; поэтому суммарный поток тоже пуассоновский с параметром s + a[1 − π(s)], откуда уже следует в ы писанная
выше формула.
Доказательство предложения 3. Ясно, что периоды занятости
системы для схемы 1.1, схемы 2 и (рассматриваемой ниже) схемы без
«прерывания» с инверсионным порядком обслуживания имеют одинаковое распределение.
Для того чтобы за период занятости не произошла «катастрофа»,
необходимо и достаточно, чтобы за время обслуживания первого вызова (с которого начинается период занятости и который является вызовом приоритета i с вероятностью
го с уммарного потока событий: потока «катастроф» и потока вызовов,
a
i
) не произошло событие следующе-
σ
в соответствующий период занятости которых наступает «катастрофа».
При этом слагаемые потоки независимы и каждый является пуассоновским с параметром s и σ[1 − π(s)] соответ с твенно; поэтому суммарный
поток тоже пуассоновский с параметром s + σ −σπ(s). Отсюда следует,
что
π(s) =
r
X
a
i
βi(s + σ − σπ(s)).
σ
i=1
Пусть s — произвольная точка в полуплоскости Re s > 0. Покажем,
что уравнение
σz −
r
X
aiβi(s + a − az) = 0
i=1
имеет единственное решение z = π(s) такое, что |z| < 1. Это следует из
теоремы Руше, так как если z находится на окружности |z| = 1, то
Re (s + σ − σz) > 0,
r
X
aiβi(s + a − az)
i=1
r
X
6
ai|βi(s + σ − σz)| <
i=1
r
X
ai= σ = |σz|.
i=1
Следовательно, уравнение
r
σπ(s) =
X
aiβi(s + σ − σπ(s))
i=1
имеет в полуплоскости Re s > 0 единственное решение z = π(s) такое,
что |π(s) < 1|. Аналитичность π(s) в полуплоскости Re s > 0 следует из
предложения о неявной функции.
§ 1. Период занятости 97
Пусть s = 0, тогда для определения π(+0) = Π(+∞) имеем уравнение
r
X
σz =
aiβi(σ − σz).
i=1
Графики левой и правой частей при z ∈ (−1, +1) изображены на рис. 4.
1
−1 1
0
(1, 1)
z
Рис. 4.
Так как правая часть выпукла вниз, то вопро с о существовании решения последнего урав нения в (−1, +1) сводится к выяснению величины
производной прав ой части в то чке z = 1 − 0, которая равна
r
X
При
лишь одно, которое равно π(+0) = lim
aiβi16 1 в (−1, +1) нет решения; в противном случае имеется
i=1
s↓0
π(s).
r
X
i=1
aiβi1.
Доказательство предложения 4. Для тог о чтобы за промежуток времени, начинающийся с момента начала обслуживания вызова
приоритета k и оканчивающийся следующим непосредственно моментом освобождения системы от этого вызова и вызовов приоритета выше
k (напомним еще, что вызовы одного приоритета обслуживаются в инверсионном порядке), не произошла «катастрофа» (вероятность чего
есть hk(s)), необходимо и достаточно, чтобы либо за время обслуживания вызова приоритета k не наступило «нежелательное» со бытие следующего суммарного потока событий: потока «катастроф» и потока
вызовов приоритета выше k (вероятность чего есть βk(s + σ
k−1
), либо
слагаемые потоки независимы и каждый является пуассоновским с параметром s и σ
соответственно), либо за время обслуживания вы-
k−1
зова приоритета k произошло «нежелательное» событие (вероятность
чего есть 1 − βk(s + σ
)), при этом таким «нежелательным» событи-
k−1
ем о казалось появление вызова приоритета выше k (вероятность чего
98 Гл. 2. Системы обслуживания одним прибором
σ
есть
k−1
s + σ
), и чтобы за период занят ости системы обслуживанием
k−1
вызовов приорите та выше k «катастрофа» не наступила (вероятность
чего есть π
hk(s) = βk(s + σ
(s)). Отсюда получается, что
k−1
) + [1 − βk(s + σ
k−1
k−1
)]
σ
k−1
s + σ
k−1
π
k−1
(s).
Вероятностное толкование остальных формул в терминах «катастроф»
теперь не представляет трудностей. Дальнейшие рассуждения проводятся по известной уже схеме (см. до казательство предложения 3).
Доказательство предложения 5. Предлагается прочес ть длинное предложение, которым начинается доказательство предложения 4,
и закончить его следующими словами: «...после этого прерванный вызов прио ритета k начинает обслу живаться заново, и нужно, чтобы за
промежуток времени, начинающийся с момента начала (вторичного) обслуживания вызова приоритета k и оканчивающийся следующим непосредственно моментом освобождения системы от этого вызова и вызовов приоритета выше k, «катастрофа» не произошла (вероятность чего
есть hk(s))»; отсюда следует, что
σ
hk(s) = βk(s + σ
) + [1 − βk(s + σ
k−1
k−1
)]
k−1
s + σ
k−1
π
k−1
(s)hk(s).
Остальные соотношения ничем не отличаются от аналогичных соотношений предложения 4. Дальнейшие рассуждения проводятся по обычной схеме.
Задача 1. Доказать, что период занятости системы для случая
«A(t) = 1 − e
−at
, время обслуживания постоянно и равно b−1» имеет
ф.р. Π(t), равную
Π(t) =
[bt]
X
n=1
e
−ρn
(ρn)
n−1
n!
, ρ = a/b;
здесь [x] — целая часть числа x.
Указание. Воспользоваться тем, что уравнение
X
n>1
n
R(x)
n−1
n!
n
x
R(x) = x · e
имеет решение
R(x) =
(получить разложением Лагранжа или см. [16], стр. 152).
§ 1. Период занятости 99
Задача 2. Доказать, что σ в примере 4 равно
n−1
b
n
σ =
X
n>1
a
n!
b
−n
a
e
.
Задача 3. П уассоновский поток вызовов с инт енсивностью a по-
ступает на обслуживающее устройство. Длительность обслуживания
одного вызова имеет распределение B(t). Через ξTобозначим сумму
времен обслуживания всех вызовов, поступивших в [0, T ). Предполагается, что в начальный момент система пуста. Показать, что
−sξ
ϕ(s) = Ee
T
= exp{aT [β(s) −1]}.
Отметим, что если поток вызовов рекуррентный, определяемый ф.р.
A(t), то
ϕ(s) =
X
Pk(T )[β(s)]k,
k>0
где Pk(T ) — вероятность поступления k вызовов в [0, T ). Отсюда следует
ϕ1= β
X
1
k>0
k · Pk(T ),
что является частным случаем тождества В альда (см. § 4Д).
Задача 4. На обслуживающее устройство поступает пуассоновский
поток вызовов с параметром a. Длительность обслуживания одного вызова имеет ф.р. B(t). Обозначим через C(t) ф.р. времени обслуживания
всех вызовов, поступивших за время обслуживания одного вызова. Показать, что
γ(s) = β(a − a β(s)); γ1= aβ
2
1
Указание. Восполь з оваться или методом «катастроф», или соотношением
∞
C(t) =
X
n>0
Z
−ax
e
0
n
(ax)
dB(x) · Bn(t); Bn(t) = [B(t)]
n!
n
.
∗
Задача 5. Распространить предложение 1 на с лу чай, когда вызовы
могут поступать лишь в «вызывающие моменты», образующие пуассоновский поток с параметром a, в каждый же «вызывающий момент»
поступает k вызовов с вероятностью ak, k > 0,
X
ak= 1.
k>0
Задача 6. Показать, что уравнение
z = β(a − az)
100 Гл. 2. Системы обслуживания одним прибором
при aβ1> 1 имеет единственный корень в круг е |z| < 1.
Указание. Воспользоваться теоремой Руше; за контур взять границу области {z : |z| 6 1, |z −1| > ε},
|β(a − az)| < 1 при |z| = 1, z 6= 1;
если z = 1 + εeiϕ, то
|β(a − az)|2= 1 + 2εaβ1cos ϕ + 0(ε)
|z|2= 1 + 2ε cos ϕ + 0(ε).
Задача 7. Показать, что уравнение
r
X
σz =
aiβi(σ − σz)
i=1
(см. предложение 3) при a1β11+ . . . + arβr1> 1 имеет единственный
корень в круге |z| < 1.
Задача 8. Показать, что уравнение относительно π(s)
π(s) = β(s + a − aπ(s))
для каждого s, Re s > 0, можно решать методом итераций, именно:
π(s) = lim
n→∞
πn(s),
где
π
(s) = β(s + a − aπn(s)), π0(s) = 0.
n+1
(обозначения те же, что и в предложении 1).
§ 2. Число вызовов, обслуженных в период занятости
Пусть pk— вероятность того, что за период занятости системы будет
обслужено k вызовов, k > 1. Положим
X
p(z) =
Предложение. Если A(t) = 1 − e
pkzk, |z| 6 1.
k>1
−at
, a > 0, то
p(z) = zβ(a − ap(z)), (1)
причем это функциональное уравнение определяет единственную
функцию p(z), ана литическую в круге |z| < 1, в котором |p(z)|< 1. При
этом
p(1) =
(
1, если aβ16 1,
ρ, если aβ1> 1;
(2)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]