Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория массового обслуживания. Учебное пособие
.pdf
§ 0. Определение потока событий 11
В случае Ak(t) = A(t), k > 1, говорят просто о рекуррентном потоке,
определяемом функцией A(t).
Рекуррентный поток, для которого A(t) = 1 − e
−at
при t > 0, где a —
положительная константа, называет ся пуассоновским ; при этом число
a называется параметром пуассоновского потока.
Поток ν(t) называется потоком без последействия или с отсут-
ствием последействия, если процесс ν(t) является процессом с неза-
висимыми приращениями, т.е. для любого целого числа n > 1 и любых
чисел 0 = τ0< τ1< . . . < τnслучайные числа (приращения процесса)
ν(τk) − ν(τ
), k = 1, . . . , n
k−1
независимы в с овокупности.
Поток ν(t) называется стационарным, если для всякого целого числа n > 1 и всякого набора неотрицательных чисел τ1, . . . , τnраспределение случайного вектора
{ν (c + τk) − ν(c), k = 1, . . . , n}
не зависит от выбора числа c > 0. Иногда используется слабая форма
стационарности потока, заключающаяся в том, что предыдущее условие
выполнено хотя бы при n = 1.
Поток ν(t) называется ординарным, если для любого t > 0
P {ν(t + h) − ν(t) > 2/ν (t + h) − ν(t) > 1} → 0
при h ↓0. Отметим, что ν(t + h) −ν(t) есть число событий, наступивших
в промежутке времени [t, t + h) длины h. Требование ординарности
потока имеет цель исключить возможность наступления в один и тот
же момент более одного события (вызова). Для стационарного потока
условие ординарности записывается в виде
P {ν(h) > 2/ν(h) > 1} → 0 при h ↓ 0.
Стационарный ординарный поток без последействия называется
простейшим.
Мы привели основную классификацию потоков, используемую в теории массового обслуживания.
Приведем, наконец, определение понятия эквивалентности потоков событий. Два потока ν1(t) и ν2(t) назовем эквивалентными, если
для любого целого числа n > 1 и любого набора неотрицательных чисел
τ1, . . . , τnраспределения двух случайных векторов
{ν1(τk), k = 1, . . . , n} и {ν2(τk), k = 1, . . . , n}
совпадают. В частности, если задан некоторый поток событий, то тем
самым задан любой эквивалентный ему поток событий.
12 Гл. 0. Теория входящего потока
§ 1. Строение простейшего потока
Цель этого параграфа — указать строение стационарного ординарного потока без последействия. Предлагаемый метод исследования может
быть использован и в случае, когда предположение ординарности потока не требуется, см. § 3.
Дополнительно будем предполагать, что
1) за конечное время наступит лишь конечное число событий с ве-
роятностью, равной единице, т.е.
P {ν(t) < +∞} = 1 для всякого t > 0;
2) существует число t > 0 такое, что
0 < P {ν(t) = 0} < 1.
Так как поток ν(t) стационарный и без последействия, то для любого целого числа n > 1, любых чисел 0 = τ0< τ1< . . . < τnи любых
неотрицательных чисел k1, . . . , knвыполнено
n
P {ν(τi) − ν(τ
) = ki, i = 1, . . . , n} =
i−1
Y
P {ν(τi− τ
i=1
i−1
) = ki}.
Поэтому поток ν (t) полностью характеризуется набором вероятностей
Pk(t) = P {ν(t) = k}
для всех k = 0, 1, 2., . . . и всех t > 0. Мы сейчас покажем, что существует
число a > 0 такое, что
k
(at)
Pk(t) =
В этом случае
Eν(t) =
k!
X
k>0
−at
e
, k > 0; t > 0. (1)
kPk(t) = at,
поэтому число a имеет смысл интенсивности потока (среднего числа
событий, наступающих за единицу времени).
Из стационарности и отсутствия последействия следует, что
P0(x + y) = P0(x) · P0(y)
для любых чисел x > 0, y > 0. Так как еще P0(x) не возрастает по x, то
отсюда следует
P0(x) = px, где p = P0(1)
§ 1. Строение простейшего потока 13
(показать!). Из предположения 2) вытекает 0 < p < 1. Положим p = e−a,
где a — положительное число. Тогда
P0(t) = e
−at
. (2)
Вместо потока событий будем говорить о потоке вызовов. Выберем
число z такое, что 0 6 z < 1. Каждый поступивший вызов объявим красным с вероятностью z и синим с дополнительной вероятностью 1 − z
независимо от цвета остальных вызовов. Тогда Pk(t)zkесть вероятность того, что до момента t поступит ровно k вызовов и все они будут
красного цвета, a
X
Pk(t)zkесть вероятность того, что до момента t си-
k>0
ние вызовы не поступят. С другой сто роны, поток синих вызовов будет
снова стационарным потоком без последействия, для которого выполнено условие 2). Поэтому из доказанного выше следует, что до момента t
синие вызовы не поступят с вероятностью, которая имеет вид e
Следовательно,
X
Pk(t)zk= e
k>0
−ta(z)
.
−ta(z)
Левая часть этого равенства для всякого t > 0 не убывает по z на отрезке 0 6 z 6 1, равна P0(t) = e
−at
при z = 0 и равна 1 при z = 1 (что
доопределяет a(z) в точке z = 1). Поэтому, полагая a(z) = a[1 − p(z)],
получим
X
Pk(t)zk= e
k>0
−at[1−p(z)]
, (3)
.
где функция p(z) не убывает по z на отрезке [0, 1], p(0) = 0, p(1) = 1.
Пока мы еще нигде не пользовались свойством ординарности потока.
Теперь воспользуемся этим свойством. Так как при k > 1
Pk(t)
1 − P0(t)
= P {ν(t) = k/ν(t) > 1},
то левая часть равенства (3) переписывается в виде
P0(t) + z[1 − P0(t)]P {ν(t) = 1/ ν (t) > 1} + ε(t, z),
где
ε(t, z) =
X
Pk(t)zk6
k>2
X
Pk(t) = P {ν(t) > 2} =
k>2
= [1 − P0(t)]P {ν(t) > 2/ ν (t) > 1} = ε(t),
или в виде, см. еще (2),
1 − at + zatP {ν(t) = 1/ν(t) > 1} + 0(t) при t ↓ 0, (4)
14 Гл. 0. Теория входящего потока
так как при 0 6 z 6 1
0 6 ε(t, z) 6 ε(t) = 0(t).
Правая же часть равенства (3) переписывается при t ↓ 0 в виде
1 − at + atp(z) + o(t). (5)
Теперь из равенства выражений (4) и (5) получаем
p(z) = zP {ν(t) = 1/ν(t) > 1} +
o(t)
t
при t ↓ 0,
откуда следует, что существует предел
lim
P {ν(t) = 1/ν(t) > 1}= p
t↓0
1
и p(z) = zp1. Так как p(1) = 1, то p1= 1, т.е. p(z) = z. Таким образом,
X
Pk(t)zk= e
k>0
−at(1−z)
. (6)
Мы доказали равенство (6) для всех z из отрезка 0 6 z 6 1. Разлагая правую часть равенства (6) в ряд по степеням z и приравнивая
коэффициенты при равных степенях, получим (1). Итак, простейший
поток полностью определяется лишь одним числом a — интенсивностью
потока.
§ 2. Эквивалентные определения простейшего потока
Рассмотрим произвольный поток событий. Следующие утверждения эквивалентны.
1◦. Поток событий является простейшим с интенсивностью a.
2◦. Начиная с произвольного момента T следующее событие насту-
пит в промежутке [T, T + h) с вероятностью ah + o(h) при h ↓ 0, не зависящей от того, как наступали события до момента T (т.е. не зависящей
от траектории потока ν(t) до момента T ).
3◦. Начиная с произвольного момента T следующее событие на-
ступит через случайное время, распределенное по экспоненциальному
закону 1 − e
−at
, t > 0, независимо от того, как наступали события до
момента T .
4◦. Поток событий является пуассоновским с параметром a, т.е. со-
бытия потока наступают последовательно через промежутки времени,
продолжительности которых независимы и имеют одинаковое экспоненциальное распределение 1 − e
−at
, t > 0.
§ 2. Эквивалентные определения простейшего потока 15
Чтобы доказать эквивалентность этих четырех утверждений, достаточно показать, что
1◦⇒ 2◦⇒ 3◦⇒ 4◦⇒ 1◦.
1◦⇒ 2◦. Начиная с произвольного момента T , в промежутке
[T, T + h) не наступит событие с вероятностью, не зависящей от тра-
ектории потока ν(T ) до момента T (в силу отсутствия последействия)
и от T (в силу стационарности потока). Эта вероятность равна P0(h) =
−ah
= e
. Следовательно, вероятность наступления события в промежут-
ке [T , T + h) равна
1 − P0(h) = 1 − e
−ah
= ah + o(h) при h ↓ 0.
2◦⇒ 3◦. Пусть, начиная с произвольного момента T , очередное со-
бытие наступит через случайное время ξ. При некотором предположении о траектории потока ν(t) до момента T обозначим через A(t)
распределение случайной величины ξ. Для положительного числа h
событие {ξ < t + h} складывается из двух непересекающихся событий
{ξ < t} и {ξ > t; t 6 ξ < t + h}. В силу утверждения 2◦для вероятностей
этих событий имеем
A(t + h) = A(t) + [1 − A(t)][ah + o(h)],
откуда
A(t + h) − A(t)
h
= [1 − A(t)]a +
o(h)
h
.
Следовательно, существует производная A′(t) и (если t заменить на
t − h, то получается непрерывность функции A(t) и существование ее
производной слева при t > 0, совпадающей с производной справа)
A′(t) = [1 − A(t)]a.
Отсюда, учитывая начальное условие A(+0) = P {ξ = 0} = 0, получаем
A(t) = 1 −e
−at
при t > 0.
3◦⇒4◦. Пусть n первых соб ы тий потока наступили по следовательно
через промежутки времени, продолжительности которых равны z1, . . .
. . . , zn. После наступления n-го события (n + 1)-ое событие наступит за
время z
С другой стороны, эта вероятность равна 1 − e
< t с вероятностью, равной
n+1
P {z
n+1
< t/z1, . . . , zn}.
−at
, так как в силу
утверждения 3◦вероятность наступления события в промежутке от T =
= z1+ . . . + znдо T + t нe зависит от любого предположения о чередо-
вании моментов наступления соб ытий до T , т.е. от z1, . . . , zn, и равна
16 Гл. 0. Теория входящего потока
−at
1 − e
. Таким образом,
P {z
n+1
< t/z1, . . . , zn} = 1 −e
−at
,
т.е. распределение случайной величины z
не зависит от значений,
n+1
принимаемых z1, . . . , zn, нe зависит от n и является экспоненциальным.
Это и составляет содержание утверждения 4◦.
4◦⇒ 1◦. Лемма. Пусть случайная величина ξ имеет экспоненциальное распределение, т.е.
P {ξ < t} = 1 − e
−at
, t > 0; a > 0;
тогда для любого числа τ > 0
P {ξ −τ < t/ξ > τ } = P {ξ < t}.
Доказательство леммы. Имеем
P {ξ −τ < t/ξ > τ } = P {ξ > τ} · P {ξ − τ < t/ξ > τ }. (1)
Ho
P {ξ −τ < t, ξ > τ } = P {τ 6 ξ < t + τ }=
Кроме того, P {ξ > τ} = e
−aτ
e
(1 − e
= 1 − e
−aτ
−at
−a(t+τ )
− (1 − e
; поэтому из (1) получаем
−aτ
) = e
P {ξ −τ < t/ξ > τ },
−aτ
) = e
−aτ
(1 − e
−at
откуда
P {ξ −τ < t/ξ > τ } = 1 − e
−at
= P {ξ < t}.
Эта лемма показывает, что если события наступают через промежутки времени, длительности которых независимы и имеют одинаковое
экспоненциальное распределение, то распределение времени ожидания
наступления очередного со бытия, начиная с произвольного момента,
не зависит от того, как долго это событие не наступало, как наст упали предыдущие события, и совпадает с тем же самым экспоненциальным распределением. Это означает, что для потока событий в ыполнены
условия стационарности и отс утствия последействия. О рдинарность же
потока следует из
).
P {ν(t) > 1} = P {z1< t} = 1 − e
−at
и P {ν(t) > 2} = P {z1+ z2< t} 6
6 P {z1< t, z2< t} = P {z1< t} · P {z2< t} = (1 − e
что дает P{ν(t) > 2/ν(t) > 1} = P {ν(t) > 2}/P {ν (t) > 1} 6 1 − e
при t ↓ 0.
−at
−at)2
→ 0
,
§ 3. Строение стационарного потока без последействия 17
§ 3. Строение стационарного потока без последействия
В § 1 мы видели, что стационарный поток без последействия характеризуется набором вероятностей
Pk(t) = P {ν(t) = k}, k = 0, 1, 2, . . . ; t > 0.
В том же параграфе показано, что производящая функция этих вероятностей может быть представлена в виде, см. (2) § 1,
X
Pk(t)zk= e
k>0
−at[1−p(z)]
, (1)
где 0 6 z 6 1, a > 0 и функция p(z) на отрезке [0, 1] не у бывает, p(0) = 0,
p(1) = 1.
Лемма. Функция p(z) представляется степенным рядом
X
p(z) =
pk= lim
t↓0
pkzk, где (2)
k>1
P {ν(t) = k/ν(t) > 1}. (3)
Доказательство. Так как левая часть равенства (1) есть степенной
ряд по z с кругом сходимости радиуса, не меньшего единицы (достаточно считать, что z принадлежит действительной прямой, а не комплексной плоскости) и
X
k>0
Pk(t)z
X
k
6
Pk(t)|z|k<
k>0
X
Pk(t) = 1
k>0
при |z| < 1 и t > 0, то функция p(z) тоже представляется степенным
рядом по z с кругом сходимости радиуса, не меньшего единицы (суммирование в (2) начинается с k = 1, так как p(0) = 0).
−at
Представляя правую часть равенства (1) в виде e
· e
atp(z)
, полу-
чим, что k-ая производная ее по z имеет вид
k
d
dz
k
−at[1−p(z)]
e
= Qk(t; z)e
−at[1−p(z)]
, (4)
где Qk(t; z) есть многочлен по t степени k с коэффициентами, зависящими от функции p(z) и ее производных до k-го порядка. Причем свободный член многочлена Qkравен нулю, а коэффициент при t в первой
степени равен ap
представляется в виде (p
(k)
(z). Если z = 0 и t ↓0, то правая часть равенств а (4)
(k)
(0) = k!pk)
at · k!pk+ o(t), k > 1.
18 Гл. 0. Теория входящего потока
Так как k-ая производная левой части равенства (1) no z в точке
z = 0 равна k!Pk(t), то
Pk(t) = atpk+ o(t) при t ↓ 0.
Отсюда следует существование
Pk(t)
lim
t↓0
= pk. (5)
at
В § 1 для стационарного потока без последействия показано, что (см.
(1) § 1) P0(t) = e
−at
. Так как 1 −P0(t) = at + o(t) при t ↓ 0 и
Pk(t)
1 − P0(t)
= P {ν(t) = k/ν(t) > 1}, k > 1,
то из (5) следует существование предела (3).
Наряду с исходным стационарным потоком без последействия рассмотрим вспомогательный поток, который определим следующим образом. Вызовы вспомогательного потока поступают лишь в «вызывающие моменты», образующие простейший поток с инт енсивностью a,
в каждый же «вызывающий момент» поступает группа вызовов, причем число вызовов в группе равно k с вероятностью pk, k > 1, не завися-
щей от потока «вызывающих моментов» и размеров уже поступивших
групп вызовов.
Предложение. Исходный и вспомогательный потоки эквивалентны.
Доказательство. Пусть¯Pk(t) — вероятность поступления до мо-
мента t ровно k вызовов вспомо гательног о потока, k = 0, 1, 2, . . .. Вспо-
могательный поток, так же как и исходный, полностью определя е тся
набором вероятностей¯Pk(t), k = 0, 1, 2, . . . ; t > 0. Поэтому достаточно
показать, что
¯
Pk(t) = Pk(t), k = 0, 1, 2, . . . ; t > 0,
или в силу (1)
X
¯
Pk(t)zk= e
k>0
−at[1−p(z)]
(6)
для 0 6 z 6 1. Каждый вызов вспомогательного потока объявим красным с вероятностью z и синим с дополнительной вероятностью 1 − z
независимо от цвета остальных вызовов. Тогда левая часть равенства
(6) есть вероятность того, что до момента t не поступят синие вызовы
вспомогательного потока. Вычислим эту же вероятность другим способом. Группу вызовов, поступивших в «вызывающий момент», назовем
красной, если все вызовы в группе красно г о цвета. Ясно, что группа
§ 4. Пуассоновский поток с переменной интенсивностью 19
X
вызовов является красной с вероятностью
через P
ющих моментов». Тогда P
мента t будет ровно k «вызывающих моментов», в каждый из которых
∗
(t) вероятность того, что до момента t будет ровно k «вызыва-
k
∗
(t)[p(z)]kесть вероятность того, что до мо-
k
X
поступит красная группа вызовов, а
k>0
pkzk= p(z). Обозначим
k>1
∗
P
(t)[p(z)]kесть вероятность
k
того, что до момента t поступят разве лишь красные группы вызовов
(не поступят не красные группы), что совпадает с вероятностью того,
что до момента t не поступят с иние вызовы вспомогательного потока,
т.е.
Из этого равенства следует равенство (6), если учесть, что P
k
(at)
=
−at
e
k!
, см. (1) § 1.
X
Pk(t)zk=
k>0
X
k>0
∗
P
(t)[p(z)]k.
k
∗
(t) =
k
¯
Задача. Распространить результат этого параграфа на случай, когда ν(t) = {ν1(t), . . . , νr(t)}— вектор размерности r.
Указание. Воспользоваться следующими обозначениями. Если
k = (k1, . . . , kr), z = (z1, . . . , zr),
то
k
k
1
zk= z
1
r
. . . z
, |k| = k1+ . . . + kr.
r
Далее, вместо записи ν(t) > 1, используемой в одномерном случае, воспользоваться записью |ν(t)| > 1. Кроме того, вызов потока νk(t) считать
красным с вероятностью zk, 0 6 zk6 1.
§ 4. Пуассоновский поток с переменной интенсивностью
Разобьем промежуток [0, +∞) точками 0 = x0< x1< x2< . . . на непересекающиеся промежутки
[x0, x1), [x1, x2), . . . (1)
и ра ссмотрим функцию a(t) npи t > 0, равную an, если t ∈ [x
n−1
, xn),
n > 1. Рассмотрим далее пото к событий, являющийся на каждом про-
межутке [x
, xn) простейшим с интенсивностью an. По-прежнему,
n−1
обозначим через ν(t) число событий, наступивших до момента t. Так
как процесс ν(t), t > 0, является процессом с независимыми приращениями, а число событий, наступивших в промежутке ∆ = [x, y), x < y,
20 Гл. 0. Теория входящего потока
равно ν(∆) = ν(y) −ν(x), то поток полностью характеризуется набором
вероятностей
Pk(∆) = P {ν(∆) = k}, k = 0, 1, . . . ; ∆ = [x, y), 0 6 x < y.
Покажем, что
k
−[α(y)−α(x)]
k!
e
, (2)
где
Pk(∆) =
α(x) =
[α(y) − α(x)]
x
Z
a(τ) dτ при x > 0. (3)
0
Если ∆ содержится в одном из промежутков (1), то формула (2) очевидна. Пусть теперь для некоторых целых чисел 1 6 m < n выполнено
x
6 x < xm< . . . < x
m−1
n−1
< y 6 xn.
Тогда точки xm, x
m+1
. . . , x
разбивают промежуток ∆[x, y) на конеч-
n−1
ное число непересекающихся промежутков ∆m, . . . , ∆n:
∆m= [x, xm), ∆
m+1
= [xm, x
), . . . , ∆n= [x
m+1
n−1
, y),
в каждом из которых функция a(t) постоянна и равна am, . . . , anсоответственно. Тогда
ν(∆) =
n
X
i=m
ν(∆i).
Так как случайные числа ν(∆m), . . . , ν(∆n) (независимы и каждое имеет пуассоновское распределение с параметро м am|∆m|, . . . , an|∆n| соответственно (здесь |∆i| есть длина промежутка ∆i)), то их сумма имеет
тоже пуассоновское распределение с параметром
y
Z
am|∆m| + . . . + an|∆n| =
a(τ) dτ = α(y) − α(x),
x
что и требовалось показать.
Пусть теперь функция a(t) при t > 0 такая, что a(t) > 0 и интегрируема на каждом конечном промежутке [0, T ], T > 0. Тогда можно определить поток ν(t) без последствия, для которого выполнено (2)—(3).
Такой поток называется пуассоновским с переменной (мгновенной) ин-
тенсивностью a(t).
Функция
Eν(x) = α(x)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]