Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория массового обслуживания. Учебное пособие
.pdf
§ 5. Рекуррентный поток 21
называется ведущей функцией потока. Для простейшего потока с интенсивностью a имеем α(x) = ax. В общем случае, пусть α(x) — действительная неотрицательная неубывающая функция на [0, ∞). Тогда
можно определить поток ν(t) без последействия, для которого выполнено (2). Такой поток называется пуассоновским с ведущей функцией
α(x).
§ 5. Рекуррентный поток
Рассмотрим некоторый поток вызовов и обозначим через t1, t2, . . .
последовательные моменты поступления вызовов; t
> tn, n > 1. По-
n+1
ложим
An(t) = P {tn< t}, Pn(t) = P {ν(t) = n}, n = 0, 1, . . . ;
где t0= 0 и ν(t) есть число вызовов, поступивших до момента t. Функции An(t) и Pn(t) связаны соотношением
An(t) = Pn(t) + A
(t), n > 0. (1)
n+1
Положим для s > 0 и |z| 6 1
αn(s) = Ee
−st
∞
Z
n
−st
=
e
dAn(t) =
−0
EZ
ν(t)
∞
Z
An(t) d(1 − e
0
X
=
Pn(t)zn.
n>0
−st
) = s
∞
Z
−st
e
An(t) dt;
0
Тогда из (1) следует
∞
Z
−st
s
e
Pn(t) dt = αn(s) − α
0
(s), (2)
n+1
что в свою очередь влечет
∞
Z
π(z, s) = s
−stEzν(t)
e
0
Случай 1. Рекуррентный поток. Положим zn= tn− t
dt =
X
zn[αn(s) − α
n>0
(s)]. (3)
n+1
n−1,n
> 1,
и предположим, что z1, z2, . . . — независимые одинаково распределенные случайные величины с общей ф.р. A(t). Это означает, что поток
вызовов является рекуррентным. Положим для s > 0
∞
Z
n
−st
=
e
dA(t).
−0
α(s) = Ee
−sz
22 Гл. 0. Теория входящего потока
Тогда формулы (2)—(3), учитывая равенства
−st
tn= z1+ . . . + zn, αn(s) = Ee
n
= [α(s)]n, n > 1, α0(s) ≡ 1,
запишутся в виде
∞
Z
−st
s
e
Pn(t) dt = [α(s)]n[1 − α(s)], n > 0;
0
π(z, s) = s
∞
Z
e
0
−stEzν(t)
dt =
1 − α(s)
1 − zα(s)
.
Чтобы упростить нахождение моментов числа поступлений выз овов
в промежутке [0, t), воспользуемся следующим приемом. Положим
X
X
n>k
ν(t)
C
=
k>0
k
Pn(t).
n
zkBk(t),
B(z, t) = E(1 + z)
где
Bk(t) =
В частности,
X
B2(t) =
B1(t) =
X
n>2
n(n − 1)
nPn(t) = Eν(t),
n>0
Pn(t) =
2!
1
Eν2(t) −
2
1
Eν(t).
2
Тогда
∞
Z
β(z, s) = s
−st
e
B(z, t) dt = π(1 + z, s) =
0
=
1 − α(s) − zα(s)
1 − α(s)
h
X
k>0
α(s)
1 − α(s)
=
i
X
k
z
=
zkβk(s).
k>0
Отсюда получаем
∞
βk(s) = s
Z
0
e
−st
Bk(t) dt =
h
α(s)
1 − α(s)
i
k
, k > 0.
Случай 2. Рекуррентный поток с запаздыванием. Если же слу-
чайные величины z1, z2, . . . независимы и начиная со второй одинаково
§ 6. Квазирекуррентный поток 23
распределены, то мы имеем дело с рекуррентным потоком вызовов с запаздыванием. Положим для s > 0
α1(s) = Ee
−sz
1
, α(s) = Ee
−sz
n
, n > 2.
Тогда формулы (2)—(3), учитывая равенства (tn= z1+ . . . + zn)
αn(s) = Ee
−st
n
= α1(s)[α(s)]
n−1
, n > 1,
запишутся в виде
∞
Z
−st
s
e
Pn(t) dt = α1(s)[α(s)]
0
∞
Z
−st
s
e
P0(t) dt = 1 −α1(s);
0
π(z, s) = s
∞
Z
−stEzν(t)
e
0
n−1
[1 − α(s)], n > 1;
dt = 1 − α1(s) + zα1(s)
1 − α(s)
1 − zα(s)
. (4)
Для нахождения моментов случайной величины ν(t) можно воспользоваться тем же приемом, который был изложен в конце предыдущего
случая.
Задача. Рекуррентный поток с запаздыванием, определяемый
функциями A1(t) и A(t), является стационарным, если и только если
t
Z
A1(t) = a
Предполагается, что A(+0) < 1 и a−1=
[1 − A(u)] du.
0
∞
Z
0
t dA(t) < +∞.
§ 6. Квазирекуррентный поток
Рассмотрим поток событий и предположим, что в момент наступления события поступает группа вызовов; причем число вызовов в группе
равно k с вероятностью akнезависимо от потока событий и размеров
предыдущих групп вызовов; k = 0, 1, 2, . . .. Положим
X
Φ(z) =
akzk, |z| 6 1; |Φ(1)| = 1.
k>0
24 Гл. 0. Теория входящего потока
Обычно в этом случае момент наступления события называют «вызывающим моментом» (моментом, в который могут поступать вызовы),
а вместо потока событий говорят о потоке «вызывающих моментов».
Таким образом, чтобы задать поток вызовов, нужно задать поток «вызывающих моментов» и распределение {ak, k > 0} числа вызовов, по-
ступающих в вызывающий момент. Если поток вызывающих моментов
является рекуррентным (с запаздыванием), то поток вызовов назове м
квазирекуррентным (с запаздыванием). Пусть ν(t) есть число вызывающих моментов из промежутка [0, t), a ν∗(t) — число вызовов, поступивших в [0, t). Положим
∗
(t) = P {ν∗(t) = k}, k > 0.
k
X
Pk(t)[Φ(z)]
k>0
k
(1)
Формула
Pk(t) = P {ν(t) = k}, P
X
∗
P
(t)zn=
n
n>0
или в другой записи
Ez
ν∗(t)
= E[Φ(z)]
ν(t)
, |z| 6 1, (2)
получается из следующих рассуждений. Выберем число z, 0 6 z 6 1,
и снова будем объявлять каждый вызов либо красным, либо синим,
причем произвольный вызов объявляется красным с вероятностью z
независимо от цвета других вызовов. Тогда, например, Φ(z) =
X
akz
k>0
есть вероятность того, что в выбранный вызывающий момент синие
вызовы не поступят. Для того чтобы в промежутке [0, t) не поступали
синие вызовы, вероятность чего есть
X
∗
P
(t)zn,
n
n>0
необходимо и достаточно, чтобы в каждый вызыва ющий момент из промежутка [0, t) синие вызовы не поступали, вероятность чего есть
X
Pk(t)[Φ(z)]k.
k>0
k
Таким образом, формула (1) верна при 0 6 z 6 1, но так как левая и правая части в (1) являются степенными рядами, эта формула верна и при
|z| 6 1.
Полагая теперь
π(z, s) = s
∞
Z
−stEzν(t)
e
0
dt, π∗(z, s) = s
∞
Z
−stEzν∗(t)
e
0
dt,
§ 7. Рекуррентный поток 25
из (2) по лу чаем
π∗(z, s) = π(Φ(z), s).
Функция же π (z, s) определена в предыдущем параграфе.
Задача. Пусть ξ — число вызовов, поступающих в некоторый вы-
зывающий момент. Показать, что
Eν∗(t) = Eξ · Eν(t);
varν∗(t) = (Eξ)2· var ν(t) + varξ · Eν(t).
§ 7. Рекуррентный поток
Рассмотрим некоторый поток событий и, как обычно, через t1, t2, . . .
обозначим последовательные моменты наступления событий. Предположим, что в момент tnнаступления n-го события поступает продукт
размера wn, n > 1. Считаем, что случайные величины w1, w2, . . . независимы в совокупности и одинаково распределены. Обозначим через w(t)
суммарный размер продукта, поступившего до момента t. Цель этого
параграфа — найти распределение случайной величины w(t).
Если ν(t) — число событий (число поступлений продукта), наступивших до момента t, то
w(t) = w1+ . . . + wn, когда ν(t) = n > 1.
Положим
−λw
ω(λ) = Ee
1
, λ > 0; Pn(t) = P {ν(t) = n}, n > 0.
Тогда
Ee
−λw(t)
= P0(t) +
X
n>1
Pn(t)Ee
−λ(w1+...+wn)
откуда окончательно
ω(λ, s) = π(ω(λ), s),
где при s > 0 и |z| 6 1
∞
Z
ω(λ, s) = s
−stEe−λw(t)
e
0
dt; π(z, s) = s
Функция же π (z, s) определена в § 5.
=
X
=
Pn(t)[ω(λ)]n= E[ω(λ)]
n>0
∞
Z
−stEzν(t)
e
0
dt.
ν(t)
,
26 Гл. 0. Теория входящего потока
Если поток моментов поступления продукта является рекуррентным
(с запаздыванием), то поток продукта, т.е. процесс w(t), назовем рекур-
рентным потоком продукта (с запаздыванием).
Пример 1. Пусть моменты t1, t2, . . ., в которые поступают продукты, образуют пуассоновский поток с интенсивностью a. Тогда
Ez
ν(t)
= e
−at(1−z)
и, следовательно,
Ee
−λw(t)
−at[1−ω(λ)]
= e
.
В частности,
Ew(t) = atEw1, Ew2(t) = atEw
2
+ (atEw1)2, var w(t) = atEw
1
2
.
1
Пример 2. Если wnпринимает значения, кратные единице, то мы
приходим к квазирекуррентному потоку, см. § 6.
§ 8. Строение стационарного потока с ограниченным
последействием
Из свойства аддитивности математического ожидания следует, что
для стационарного потока существует такое число λ, 0 6 λ 6 ∞, что
Eν(t) = λt,
здесь, как обычно, ν(t) есть число событий, насту пивших до момента t. Число λ называется интенсивностью стационарного пото ка. Будем
предполагать, что
X
Pk(t) ≡ 1, t > 0,
k>0
где Pk(t) = P {ν(t) = k}.
Следующее предложение описывает строение стационарного потока
с ограниченным последействием.
Предложение 1. Поток событий является стационарным с ограниченным последействием и конечной положительной интенсивностью, если и только если этот поток является квазирекуррентн ым
потоком с запаздыванием (см. § 6 ), определяемым функциями
A1(t) = a
t
Z
[1 − A(u)] du, A(t), Φ(z) = zn.
0
§ 8. Строение стационарного потока с последействием 27
Доказательство этого утверждения имеется в [5] и [6]. Итак, стационарный поток с ограниченным последействием и конечной положительной интенсивностью однозначно определяется ф.р. A(t) и целым
положительным числом n. При этом он устроен следующим образом.
События могут наступать лишь в так называемые «вызывающие мо-
менты» t1, t2, . . .. Если zk= tk− t
, k > 1, t0= 0, то сл.в. z1, z2, . . .
k−1
независимы в совокупности, а сл.в. z2, z3, . . . одинаково распределены.
При этом
P {zk< t} = A(t), k > 2;
t
Z
P {z1< t} = a
∞
Z
a−1=
0
[1 − A(u)] du = A1(t);
0
[1 − A(u)] du =
∞
Z
u dA(u).
0
В каждый же из моментов t1, t2, . . . наступает ровно n событий. Отметим, что так как не обязатель но A(+0) = 0, то некоторые из моментов
t16 t26 t36 . . .
могут совпадать с положительной вероятностью. Отметим еще, что
λ = na.
Следующее предложение описывает строение стационарного ординарного потока с ограниченным последействием и конечной положительной интенсивностью. Такой поток иначе называют потоком
Пальма.
Предложение 2. Поток событий является потоком Пальма, если и только если этот поток является рекуррентным потоком с запаздыванием, определяемым функциями A1(t) и A(t) такими, что
t
Z
A1(t) = a
[1 − A(u)] du, A(+0) = 0. (1)
0
Доказательство. 1◦. Если поток событий является потоком Паль-
ма, то согласно предложению 1 достаточно проверить, что n = 1 и
A(+0) = 0. Пусть n > 1, тогда P1(t) ≡ 0 и, следовательно, при t > 0
P {ν(t) > 2/ν(t) > 1}= P {ν(t) > 2}/P {ν(t) > 1} =
= P {ν(t) > 1}/P {ν(t) > 1} = 1,
что противоречит о рдинарности потока. Значит, n = 1. Далее, так как
28 Гл. 0. Теория входящего потока
P {ν(t) > 2} = P {z1+ z2< t} > P {z1< t, z2= 0} =
= P {z1< t} · P {z2= 0} = P {ν(t) > 1} · A(+0),
т.е.
P {ν(t) > 2/ν(t) > 1} > A(+0) при t > 0,
то из ординарности потока следует A(+0) = 0.
2◦. Пусть теперь поток событий является рекуррентным потоком
с запаздыванием, определяемым функциями A1(t) и A(t) такими, что
выполнено (1). Согласно предложению 1 достаточно прове рить ординарность потока. Это следует из неравенства
P {ν(t) > 2/ν(t) > 1} 6 A(t) при t > 0,
которое в свою очередь следует из
P {ν(t) > 2} = P {z1+ z2< t} 6 P {z1< t; z2< t} =
= P {z1< t} · P {z2< t} = P {ν(t) > 1} · A(t).
Задача 1. Пусть в каждый из моментов t1, t2, . . ., образующих поток Паль ма, поступают вызовы группами размера ξ1, ξ2, . . . соответственно. Предположим, что случайные величины ξ1, ξ2, . . . одинаково
распределены и независимы как между собой, так и от случайных ве-
личин t1, t2, . . .. Предположим далее, что существует целое число n > 1
и неотрицательное число p < 1 такие, что
P {ξ1= k · n} = (1 − p)p
k−1
, k = 1, 2, . . . .
Показать, что такой поток вызовов является стационарным с ограниченным последействием и, наоборот, всякий стационарный поток с ограниченным последействием и конечной положительной интенсивностью
эквивалентен описанному.
Задача 2. Для стационарных ординарных потоков из условия
отсутствия последействия следует условие ограниченности последействия. Без условия ординарности последнее утверждение нев е рно.
Задача 3. Для стационарного потока с ограниченным последействием условия
X
1)
Pk(t) = 1 для всех t > 0;
k>0
2) λ < +∞
равносильны.
Задача 4. Для всякого стационарного потока существует
1
lim
P {ν(t) > 1} = µ,
t
t↓0
§ 9. Просеивание потока 29
где, как обычно, ν(t) — число событий, нас тупивших до момента t, см.
[24]. Число µ (конечное или бесконечное) называют параметром ста-
ционарного потока. Показать, что для любого стационарного потока
с конечным положительным параметром условия
1) ординарность потока;
2) λ = µ
эквивалентны.
Указание. 2) ⇒ 1), так как
P {ν(t) > 2} 6
X
kPk(t) −
k>1
X
Pk(t) = λt − P {ν(t) > 1},
k>1
откуда
0 6 lim
t↓0
1
P {ν(t) > 2} 6 λ − lim
t
1
P {ν(t) > 1} = λ − µ = 0.
t
t↓0
1) ⇒ 2) — это есть теорема Королюка [24].
Задача 5. Показать, что для стационарного потока с λ < +∞ ор-
динарность равносильна условию
P {zk> 0} = 1, k = 1, 2, . . . ;
здесь tk= z1+ . . . + zk, k > 1, — последовательные мо менты наступления
событий потока.
§ 9. Просеивание потока
Если задан некоторый поток вызовов, то «просеиванием» его можно
образовать другие потоки. Например, если поток изделий поступает на
устройство, распределяющее их по разным приборам, то часто бывает
важно знать поток изделий, поступающих к отдельно взятому прибору.
Рассмотрим некоторый поток вызовов. «Отбросим» первые ν1вызовов, следующий вызов оставим; затем снова «отбросим» ν2вызовов,
следующий вызов оставим и т.д. Поток оставшихся вызовов назовем
просеянным потоком. Операцию, сопоставляющую исходному потоку
просеянный поток, назовем операцией просеивания. Операция просеивания задается совместным распределением по с ледовательности слу-
чайных чисел ν1, ν2, . . .. Для задания же просеянного потока нужно
задать исходный пот ок и операцию просеивания.
Основное внимание будет уделено частной операции просеивания,
которую назовем рекуррентной. Она определяется тем, что случайные
величины ν1, ν2, . . . независимы и одинаково распределены. Положим
ak= P {ν1= k}, k = 0, 1, . . . ;
30 Гл. 0. Теория входящего потока
X
ν
F (z) = Ez
1
=
akzk, |z| 6 1;
k>0
F (1) = 1.
Таким образом, рекуррентная операция просеивания задается функцией F(z).
Предложение 1. Поток, полученный из рекуррентного потока
с помощью рекуррентной операции просеивания, есть рекуррентный
поток.
Доказательство. Это очевидное ут верждение формально доказывается следующим образом. Пусть t1, t2, . . . — последовательные моменты пост упления вызовов основного потока; τ1, τ2, . . . — последовательные моменты поступления вызовов просеянного потока. Положим
t0= τ0= 0. Если n — целое неотрицательное число, то τn= tkдля неко-
торого случайного числа k > 0. Распределение случайной величины
τ
− τnоднозначно определяется следующими факторами:
n+1
— распределением длительностей промежутков от момента τn= t
до следующих моментов поступления вызовов основного потока;
— распределением слу чайной величины ν
n+1
.
Но каждый из этих факт оров не зависит от того, как поступали вызовы просеянного потока до момента τn: первый фактор — в силу рекуррентности основного потока, второй фактор — в силу рекуррентности
операции просеивания. Это и доказывает предложение.
Положим
B(t) = P {τ
− τn< t} = P {τ1< t}.
n+1
Тогда из
k
P {τ1< t} = a0P {t1< t} + a1P {t2< t} + . . . + akP {t
следует
B(t) =
X
k>0
akA
(t), (1)
k+1
где
Ak(t) = P {tk< t}.
Так как
t
Z
A1(t) = A(t), A
или
(t) =
k+1
−0
Ak(t) = [A(t)]
Ak(t − x) dA(x), k > 1,
k
, k > 1,
∗
k+1
< t} + . . .
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]