Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория массового обслуживания. Учебное пособие
.pdf
§ 6. Определение возможного времени ожидания 131
а) существуют
lim
WkN(t) = Wk(t), k = 1, . . . , r,
N→∞
где Wk(t) есть ф.р.;
б) функции Wk(t) определяются соотношениями
ωk(s) =
r
=
где π
X
1−
i=1
k−1
aiβ
(s+σ
i1
k−1−σk−1πk−1
s − ak+ akβk(s + σ
(s) определяется равенством
k−1
σ
k−1πk−1
(s) =
X
aiβi(s + σ
i=1
которое определяет единственную функцию π
в полуплоскости Re s > 0, где выполнено |π
(s))+
r
X
i=k+1
k−1
− σ
k−1
ai[1−βi(s+σ
k−1πk−1
− σ
k−1
(s))
k−1πk−1
(s), аналитическую
k−1
(s)| < 1;
k−1−σk−1πk−1
(s)),
(s))]
в) если
ρi1= a1β11+ . . . + aiβi1,
ρi2= a1β12+ . . . + aiβi2,
ρi3= a1β13+ . . . + aiβi3,
ρi= 1 − ρi1, ρ0j= 0,
,
то первые две момента ф.р. Wk(t) равны соответственно
ρ
2ρ
ρr2· ρ
2
2ρ
k−1
k−1
r2
,
· ρ
k
ρr2· ρ
· ρ
k2
+
2
k
2ρ
3
k−1
k−1,2
· ρ
.
k
ωk2=
3ρ
ρ
3
k−1
r3
· ρ
ωk1=
+
k
§ 6. Определение возможного времени ожидания
Рассмотрим систему об служивания такую же, как в § 3, но с условием, что прибор работает надежно. Обозначим через w(t) воз можное
время ожидания, начинающееся с момента t, или более точно: длину
промежутка времени, начинающегося с момента t и оканчивающегося
моментом, когда система освободится от вызовов, поступивших в систему до момента t. Положим
ω(s, t) = Ee
−sw(t)
и обозначим через P0(t) вероятность того, что в момент t система свободна от вызовов. Метод введения дополнительного события позволяет
132 Гл. 2. Системы обслуживания одним прибором
довольно просто получит ь следующие известные соотношения, определяющие распределение w(t) в предположении w(0) = 0 и aβ16 1,
t
Z
−[s−a+aβ(s)]x
e
0
· P0(x) dxo, (1)
ω(s, t) = e
[s−a+aβ(s)t]
∞
Z
−sx
e
P0(x) dx = [s + a − aπ(s)]−1,
0
·n1 − s
π(s) = β(s + a − aπ(s)), Re s > 0, |π(s)| 6 1.
Первое соотношение, переписанно е в виде
t
−a[1−β(s)]t
e
= e
−st
· ω(s, t) +
Z
0
P0(x)e
−a[1−β(s)](t−x)
· d(1 − e
−sx
), (2)
получается из следующих рассуждений. Пусть s > 0 и независимо от
работы системы обслужив ания происходят «катастрофы», моменты наступления которых образуют пуассоновский поток с параметром s. Вызов будем называть «плохим», если во время его обслуживания наст упает «катастрофа». Так как вероятность того, что за время обслуживания
некоторого вызова произойдет «катастрофа», равна 1 − β(s), а поток
вызовов — пуассоновский с параметром a, то поток «плохих» вызовов —
тоже пуассоновский с параметром a[1 − β(s)]. Наконец, для того чтобы
за время t в систему не поступали «плохие» вызовы (вероятность чего
−a[1−β(s)t]
есть e
не наступила ни за время t (вероятность чего есть e
), необходимо и достаточно, чтобы либо «катастрофа»
−st
), ни за промежуток времени, начинающийся с момента t и оканчивающийся моментом,
когда система освободится от вызовов, пос тупивших до t (вероятность
чего есть ω(s, t)), либо «катастрофа» наступила до момента t, скажем,
в некоторый момент x, в этот момент x система свободна от вызовов
(с вероятностью P0(x)), и за оставшееся время t −x в систему не поступят «плохие» вызовы (вероятность чего есть exp{−a[1 − β(s)](t − x)}).
Это доказывает (2).
Так как при s > 0, t > 0 вероятность ω(s, t) ограничена (единицей)
и при s > 0 функция exp{[s − a + aβ(s)]t} по t возрастает до бесконечности при t → +∞ (ибо в силу aβ16 1 функция s −a + aβ(s) возрастает,
поэтому при s > 0 выполнено s − a + aβ(s) > 0), то из соотношения (1)
следует
∞
Z
−[s−a+aβ(s)]x
e
0
· P0(x) dx = s−1,
§ 6. Определение возможного времени ожидания 133
откуда, вспоминая функциональное уравнение
π(s) = β(s + a − aπ(s))
(см. § 1), определяющее преобразование Лапласа—Стилтьеса распределения периода занятости, получаем
∞
Z
−sx
e
P0(x) dx = [s + a − aπ(s)]−1,
0
что и требовалось.
Задача 1. Показать, что если вызовы могут поступить лишь в «вызывающие» моменты, образующие пуассоновский поток с параметром
a, а в каждый «вызывающий» момент поступает k вызовов с вероятно-
стью ak, k > 0; Φ(z) =
X
akzk, Φ(1) = 1, то соответствующие формулы,
k>0
определяющие распределение w(t), получаются, если β(s) всюду заменить на Φ (β(s)), a именно:
t
ω(s, t) = expn[s − a + aΦ(β(s))t]o·n1−s
∞
Z
−sx
e
P0dx = [s + a − aπ(s)]−1;
0
Z
0
−[s−a+aΦ(β(s))]x
P0(x)e
dxo;
π(s) = Φ[β(s + a − aπ(s))].
Задача 2. Пусть aβ1< 1 и W (x) — стационарное распределение воз-
можного времени ожидания. Систему обслуживания, описанную в этом
параграфе, будем называть основной. Рассмотрим еще дополнительную
систему, которая отличается от основной лишь тем, что допустимое время пребывания вызова в системе ограничивае тся константой с (после
чего вызов теряется). Пусть Wc(x), 0 6 x 6 c — стационарное распре-
деление возможного времени ожидания для дополнительной системы.
Показать, что
(а) Wc(x) = W (x)/W(c) при 0 6 x 6 c.
(б) Wc(x) — стационарное распределение времени ожидания N -го
вызова дополнительной системы при N → +∞.
Указание. (а) Пусть wc(t) — воз можное время ожидания для дополнительной системы в момент t. Показать, что процесс wc(t) стохастически эквивалентен сужению процесса w(t) относительно A = [0, c].
Далее воспользоваться формулой (2) § 10 Дополнения и результатом § 8
главы 1.
134 Гл. 2. Системы обслуживания одним прибором
(б) Можно воспользоваться свойствами 1 и 2 § 11 главы 3.
§ 7. Рекуррентный поток, экспоненциальное время
обслуживания
На обслуживающее устройство поступа е т рекуррентный поток вызовов, определяемый ф.р. A(t), A(+0) < 1. Длительности обслуживания
вызовов независимы, одинаково распределены с общей ф.р. B(t) = 1 −
−bt
− e
, b > 0. Будем различать две схемы обслуживания.
Схема 1 (прямой порядок обслуживания). Вызовы обслуживаются
в порядке поступления их в систему.
Схема 2 (инверсионный порядок обслуживания). Среди вызовов,
ожидающих начала обслуживания, в первую очередь обслуживается
вызов, поступивший позже остальных.
Положим:
pkN— вероятность того, что N-й вызов (нумерация вызовов произво-
дится в порядке их поступления) в момент своего поступления
застает в системе k вызовов, k > 0.
WN(t) — ф.р. времени ожидания начала обслуживания для N-го вы-
зова;
a−1=
∞
Z
t dA(t) < +∞.
0
Предложение. Если a/b < 1, то:
а) существуют пределы
lim
pkN= pk> 0, k > 0; lim
N→∞
WN(t) = W (t),
N→∞
не зависящие от начального состояния с истемы;
б) pk= (1 − ρ)ρk, k > 0, где ρ — единственный корень уравнения
ρ = α(b − bρ),
лежащий в (0, 1);
в) в случае прямого порядка обслуживания
W (t) = 1 − ρ ·e
−(1−ρ)bt
;
г) в случае инверсионного порядка обслуживания
b
[1 − γ(s)]
1 +
s
b
[1 − γ (s)]
s
,
ω(s) = 1 − ρ + ρπ(s), π (s) =
γ(s) = α(s + b − bγ(s)),
§ 7. Рекуррентный поток, экспоненциальное время обслуживания 135
причем последнее функциональное уравнение имеет единс т в енное решение γ(s), аналитическое в полуплоскости Re s > 0, в которой |γ(s)|<
< 1. Заметим, что γ(0) = ρ.
Если же a/b > 1, то пределы, указанные в а), тоже существуют
и pk= 0, k > 0.
Доказательство. Пусть t1, t2, . . . — последовательные моменты поступления вызовов; t0= 0; ν(t) — число вызовов, находящихся в системе
в момент t; νn= ν(tn− 0). Ясно, что последовательность {νn}
n>0
образует однородную цепь Маркова; под состоянием цепи на N -м шаге
понимается число νN. Матрицу переходных вероятностей обозначим
через {aij}
; здесь aij= P {ν
i,j>0
= j/νN= i}, N > 0. Из состояния i
N+1
за один шаг система может перейти (с положительной вероятностью)
лишь в одно из состояний 0, 1, . . . , i + 1, т.е.
aij> 0 для i + 1 > j,
aij= 0 для i + 1 < j.
Очевидно, что
∞
Z
aij=
0
i+1−j
(bx)
(i + 1 − j)!
−bx
e
dA(x), i + 1 > j > 0.
Заметим далее, что pkNесть в ероятность перехода системы (из некоторого начального состояния) в состояние k за N шагов. Докажем, что
при a/b < 1 существуют
lim
pkN= pk, k > 0, (1)
N→∞
такие, что
pk> 0,
X
pk= 1. (2)
k>0
Так как введенная выше цепь Маркова являе тся неприводимой и непериодической, то существование пределов (1) следует из предложения 1
§ 6 Гл. 1. Для того чтобы было выполнено (2), необходимо и достаточно
(предложение 3 § 6 Гл. 1), чтобы система уравнений
X
pk=
piaik, k > 0,
i>0
X
pi= 1
i>0
имела неотрицательное решение, которое в эт ом случае совпадает с пределами (1).
136 Гл. 2. Системы обслуживания одним прибором
Итак, для определения pk, k > 0, имеем систему уравнений
1 = p0+ p1+ . . . ,
p0= p0a00+ p1a10+ . . . ,
p1= p0a01+ p1a11+ . . . ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Отметим, что, например, второе уравнение является следствием остальных. Так как
a
i+k,j+k
= aijпри k > 0, j > 1,
то
p
k+1
X
=
i>0
p
k+i
∞
Z
i
(bx)
−bx
e
i!
0
dA(x), k > 0.
Будем искать решение pk, k > 0, в виде
pk= p0ρk, 0 < ρ < 1;
тогда из последней системы получаем
∞
p0ρ
k+1
= p0ρ
k
X
i>0
Z
0
(bxρ)
i!
i
−bx
e
dA(x),
откуда
ρ = α(b − bρ).
Последнее же уравнение имеет в (0, 1) один корень (здесь мы пользуемся
тем, что a/b < 1). Таким образом, утверждения а) и б) предложения
доказаны.
Утверждение в) следует из того, что если вызо в в момент своего
поступления застал в системе k вызовов, то время ожидания начала
обслуживания в с лу чае схемы 1 имеет ф.р. Bk(t), где
bt
Z
k
B
(t) =
k+1
x
e−xdx = [1 −e
k!
0
−bt]k+1
∗
, B0(t) = 1, t > 0.
Утверждение г) следует из того, что если вызов в момент своего поступления застает прибор занятым обслуживанием, то до начала обслуживания поступивший вызов будет ожидать время, имеющее такое же
распределение, как и период занятости (см. предложение 2 § 1). Отсюда
WN(t) = p0N+ (1 − p0N)Π(t);
π(s) определяется теоремой 2 § 1.
§ 8. Рекуррентный поток, произвольное время обслуживания 137
Наконец, рассмотрим случай a/b > 1. Покажем, что при этом
lim
pkN= pk= 0, k > 0.
N→∞
Для некоторогоˆb > 0 положимˆB(t) = 1 − e
ность обслуживания вызова имеет распределение не B(t) = 1 − e
аˆB(t) = 1 − e
−ˆbt
, то соответствующие вероятности и ве личины будем
−ˆbt
, t > 0. Если длитель-
−bt
снабжать знаком ˆ. Отметим, что
B(t) <ˆB(t), если b <ˆb,
откуда при b <ˆb следует
p0N6 ˆp0N, p06 ˆp0. (3)
Подберемˆb так, чтобы a/ˆb < 1; тогда
ˆp0= 1 − ˆρ,
где ˆρ — единств е нный корень уравнения
ˆρ = α(ˆb −ˆb · ˆρ),
лежащий в (0, 1). Но приˆb → a + 0 выполнено ˆρ → 1 и из (3) следует,
что p0= 0. Теперь из предложения 3 § 6 Гл. 1 следует, что и pk= 0 для
k > 0.
,
§ 8. Рекуррентный поток, произвольное время обслуживания
В систему, состоящую из одного прибора, поступает рекуррентный
поток вызовов, определяемый ф.р. A(t). Длительности обслуживания
вызовов независимы, одинаково распределены с общей ф.р. B(t). Вызовы обслуживаются в том порядке, в котором они поступают. Обозначим через Wr(t) ф.р. времени ожидания начала обслуживания r-го
вызова (нумерация вызовов ведется в порядке их поступления в систему). Будем интересоваться поведением Wr(t) при r →+∞. Этот вопрос,
по-видимому, впервые был изучен Линдлеем [34].
Предположим, что
α1=
∞
Z
t dA(t) < +∞, β1=
0
∞
Z
t dB(t) < +∞.
0
Далее, исключим из рассмотрения тот простой случай, когда длины
интервалов между пост уплениями вызовов и длительности обслуживания вызовов есть постоянные величины, равные одному и тому же
числу.
138 Гл. 2. Системы обслуживания одним прибором
Предложение. а) Существует
lim
Wr(t) = W (t) (1)
r→+∞
такой, что
t
Z
W (t) =
W (t − x) dC(x) при t > 0,
−∞
0 при t < 0;
(2)
здесь
C(t) =
∞
Z
B(x + t) dA(x) (3)
0
(отметим, что A(t) = B(t) = 0 при t < 0).
б) При α1> β1предел (1) не зависит от начального состояния си-
стемы и представляет ф.р. (W (+∞) = 1); при этом соотношения (2)
определяют ее однозначно. Кроме того,
ω(s) = exp
h
X
k>1
+
γ
k
(s) − 1
k
i
, Re s > 0,
где
∞
+
γ
(s) = s
k
∞
Z
C
(t) =
k+1
−∞
Z
−st
e
Ck(t) dt,
0
Ck(t − x) dC(x), C1(t) = C(t).
в) При α16 β1предел (1) не зависит от начального состояния си-
стемы и
W (t) ≡ 0.
Доказательство. Пусть
t1, t2, . . . — последовательные моменты поступления вызовов;
zr= tr− t
, r > 1, t0= 0;
r−1
sr— длительность времени обслуживания вызова с номером r,
wr— время ожидания начала обслуживания вызовом с номером r.
Предположим, что в начальный момент система свободна от вызо-
вов; тогда
w1= 0,
§ 8. Рекуррентный поток, произвольное время обслуживания 139
w
= wr+ sr− z
r+1
w
= 0, если wr+ sr− z
r+1
, если wr+ sr− z
r+1
r+1
r+1
> 0,
6 0,
или, полагая ur= sr− z
, получаем
r+1
(
w
r+1
wr+ ur, если wr+ ur> 0,
=
0, если wr+ ur6 0.
(4)
Заметим, что wrи ur— независимые случайные величины. Положим
Wr(t) = P {wr< t}, C(t) = P {ur< t};
тогда W1(t) = 1 для t > 0 и W1(t) = 0 для t 6 0,
W
(t) = P {w
r+1
< t} = P {w
r+1
= 0} + P {0 < w
r+1
r+1
< t} =
= P {wr+ ur6 0} + P {0 < wr+ ur< t} = P {wr+ ur< t} при t > 0,
т.е.
W
r+1
(t) =
t
Z
Wr(t − x) dC(x) при t > 0,
−∞
0 при t 6 0.
(5)
Таким о бразом, зная C(t) и W1(t), однозначно определяется Wr(t) для
всякого r > 1. На первый взгляд этот факт (ф.р. времени ожидания зависит лишь от разности между временем обслуживания и длиной интервала между двумя поступлениями вызовов) может показаться неожиданным.
Далее заметим, что
W2(t) = P {u1< t},
W3(t) = P {u1+ u2< t, u2< t}, t > 0,
или в общем случае
W
(t) = P {u1+ . . . + ur< t, u2+ . . . + ur< t, . . . , ur< t}.
r+1
Так как u1, . . . , urнезависимы и одинаково распределены, то можно их
перенумеровать в обратном порядке и получить
W
(t) = P {u1< t, u1+ u2< t, . . . , u1+ . . . + ur< t}.
r+1
k
Положим Uk=
X
i=1
W
ui; тогда
(t) = P {Uk< t для всех k 6 r}.
r+1
140 Гл. 2. Системы обслуживания одним прибором
Введем событие
Er= P {Uk< t для всех k 6 r},
тогда
Er⊃ E
⊃ . . . ⊃ E,
r+1
где
E = {Uk< t для всех k 6 1}.
Переходя к вероятностям, получим
lim
W
r→∞
(t) = lim
r+1
P (Er) = P (E),
r→∞
что доказывает существование предела (1).
Используя теорему Лебега о пределе под знаком интеграла, из (5)
получаем (2), где положено
W (t) = P (E).
Ясно, что функция W (t) неотрицательна, не убывает и равна нулю
при t 6 0. Чтобы W (t) была ф.р., достаточно теперь, чтобы W (+∞) = 1.
Заметим, что в случае w1= 0 из (4) по индукции получаем
w
= max{0, ur+ u
r+1
, . . . , ur+ u
r−1
+ . . . + u1}.
r−1
Так как u1, . . . , urнезависимы и одинаково распределены, то отсюда
следует, что случайные величины
w
и max{0, u1, u1+ u2, . . . , u1+ u2+ . . . + ur}
r+1
одинаково распределены. Из этого замечания и тео ремы Спитцера (см.
§ 6, пункт Б Дополнения) следует сформулированная выше теорема для
случая w1= 0.
Пусть теперь w1= x; тогда
w
= max{0, ur, ur+ u
r+1
, . . . , ur+ . . . + u2, ur+ . . . + u1+ x},
r−1
откуда следует, что случайные величины
w
и max{0, u1, u1+ u2, . . . , u1+ . . . + u
r+1
, u1+ . . . + ur+ x}
r−1
одинаково распределены. И опять из т е оремы Спитцера следует, что
lim
W
(t/x) = W (t);
r→∞
r+1
здесь
W
(t/x) = P {w
r+1
< t/w1= x}.
r+1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]