Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория массового обслуживания. Учебное пособие
.pdf
§ 2. Оптимальный порядок обслуживания 221
для всех i ∈ Ω.
П3. Выполнено условие эргодичности
X
ρ =
i∈Ω
λiβ
i
1
< 1,
где набор Λ = {λi, i ∈ Ω} определяется системо й уравнений
X
λi=
pijλi+ apj, j ∈ Ω,
i∈Ω
или в ма тричном виде
(I − P′)Λ = ap, (1)
где I — единичная матрица, P′— матрица, транспонированная с P , p =
= {pi, i ∈ Ω}. Из П1 следует, что система (1) имеет единственное реше-
ние Λ. Это будет показано позже.
Пусть M ⊂ Ω. Обозначим через γi(M) среднее суммарное время обслуживания треб ования (без учета ожидания), начиная с фазы i ∈M, до
первого выхода из множества фаз M . В частности, положим γi= γi(Ω).
Ясно, что
γi=1 −
X
j∈Ω
p
ij
X
β
+
i
1
pij(β
j∈Ω
+ γj) =
i
1
X
j∈Ω
pijγj+ β
i
1
или в ма тричном виде
(I − P )γ = β, (2)
где γ = {γi, i ∈ Ω}, β = {β
, i ∈ Ω}.
i
1
Из П1 следует, что система (2) имеет единственное решение γ. Это
будет показано позже.
Для любого M ∈ Ω числа γi(M), i ∈ M , определяются аналогично.
Для этого нужно в матрице I − P вычеркнуть столбцы и строки, соответствующие фа з ам из Ω \ M, а в векторах γ и β вычеркнуть компоненты, соответствующие тем же фазам.
Определим последовательно множества Ω
∗
Q
=nα ∈ Ωi:
i
cα(Ωi)
γα(Ωi)
= min
β∈Ω
cβ(Ωi)
γβ(Ωi)
i
∗
, . . . , Ω
1
∗
, полагая
s
o
, i > 1, (3)
где
Ω1= Ω; cα(Ω1) = cα; Ω
h
cα(Ω
) = γα(Ωi)
i+1
cα(Ωi)
γα(Ωi)
= Ωi\ (Ω
i+1
− min
β∈Ω
cβ(Ωi)
γβ(Ωi)
i
∗
+ . . . + Ω
1
i
, α ∈ Ω
∗
); (4)
i
. (5)
i+1
Число s > 1 определяется условием
Ω = Ω
∗
+ . . . + Ω
1
∗
s
, Ω
∗
s
6= ∅.
222 Гл. 4. Системы обслуживания с разделением времени
Для любой выбранной функции переключения (фаз обслуживания) будем говорить, что фаза α ∈ Ω имеет преимущество (или более высокий
приоритет) по отношению к фазе β, если в любой момент начала обслуживания требова ния на фазе β число требований на фазе α равно
нулю.
Цель главы — доказать следующее утверждение.
Теорема. Для оптимал ьности функции переключения u∗∈ U
необходимо и достаточно, чтобы при 1 6 i < j 6 s каждая фаза из Ω
имела преимущество по отношению к любой фазе из Ω
∗
.
i
§ 3. Вложенная цепь Маркова
Рассмотрим случайный процесс
η(t) = {n(t), i(t), ξ(t)}, t > 0,
где n(t) = {ni(t), i ∈ Ω}, ni(t) — число требований, находящихся в момент t на фазе i; i(t) = 0 при n(t) = 0; если же n(t) 6= 0, то i(t) есть
номер фазы, на которой происходит обслуживание в момент t; ξ(t) = 0
при n(t) = 0; если же n(t) 6= 0, то ξ(t) есть остаток времени дообслуживания на фазе i(t), начиная с момента t.
Для определенности будем считать, что n(0) = 0 (с вероятностью 1).
Ясно, что процесс η(t) является марковским. В этом параграфе изучается распределение сл.в. η(t) в специальные моменты времени, а именно
в мо менты окончания обслуживания на фазах. В § 5 изучается распределение сл.в. η(t) в стационарном режиме.
Пусть niN— число требований, оставшихся на фазе i после завершения N актов обслуживания. Под актом обслуживания понимается
обслуживание на одной из фаз. Положим
∗
j
nN= {niN, i ∈ Ω}.
Через iNобозначим номер фазы, на которой происходил N-й акт обслуживания. Процесс ηN= {nN, iN}, N = 1, 2, . . ., вкладыв ается (по тер-
минологии Кендалла) в процес с η(t), t > 0, и образует цепь Маркова со
счетным числом состояний.
Для n = {ni, i ∈ Ω} ∈ L и набора z = {zi, i ∈ Ω} чисел ziположим
Y
n
i∈Ω
i
z
.
i
zn=
Будем писать |z| 6 1, если |zi| 6 1 для всех i ∈ Ω. Запись z = 1 означает,
что все zi= 1.
§ 3. Вложенная цепь Маркова 223
Положим для |z| 6 1 и i ∈Ω
PiN(z) = Ez
n
N
· δ
;¯PN(z) = Ez
i,i
N
X
n
N
=
PiN(z),
i∈Ω
где δ
Отметим, что δ
— символ Кронекера. Далее, положим
i,j
n
RiN(z) = Ez
i,u(nN)
= 1, т.е. u(nN) = i, если после N актов обслужи-
N
· δ
i,u(nN)
, i ∈ Ω.
вания nN6= 0 и сразу же начинается обслуживание на фазе i.
Лемма 1. Для z = {zi, i ∈ Ω} и |zi| 6 1
ziP
где
(z) = [RiN(z) +¯PN(0)pizi]βi(a − a(p, z))Qi(z), (1)
i,N+1
Qi(z) =
X
pijzj+ 1 −
j∈Ω
X
pij, (2)
j∈Ω
a βi(·) есть преобразование Лапласа—Стилтьеса ф.р. Bi(t).
Доказательство. Пусть z = {zi, i ∈ Ω} — набор чисел ziтаких, что
0 6 zi6 1. Требования, находящиеся в системе, будем разделять на
красные и синие следующим образом. Каждое требование, поступающее на фазу i (после некоторой фазы обслуживания или при поступлении в сист е му), объявляется красным с вероятностью ziи синим — с вероятностью 1 − ziнезависимо от цвета остальных требований, находящихся в системе. Таким образом, требование, переходя от фазы к фазе,
может менять свой цвет. Теперь функциям, участвующим в формуле
(1), можно придать следующий вероятностный смысл.
P
(z) есть вероятность того, что (N + 1)-й акт обслуживания про-
i,N+1
ходил на фазе i и после завершения этого акта в системе не остались синие требования;
RiN(z) — вероятность того, что после завершения N актов обслужива-
ния в системе осталось хотя бы одно требование, все оставшиеся
требования — красного цвета и следующий акт обслуживания будет проходить на фазе i;
¯
PN(0) — вероятность того, что после завершения N актов обслужива-
ния в системе не останется ни одного требования;
βi(a[1 − (p, z)]) — вероятность того, что за время обслуживания на фа-
зе i в систе му не поступят синие требования;
Qi(z) — вероятность того, что требование, обслуженное на фазе i, не
станет синим (либо покинет систему, либо останется и будет красным).
224 Гл. 4. Системы обслуживания с разделением времени
Теперь формула (1) получается из следующего утверждения. Для
того чтобы (N + 1)-й акт обслуживания проходил на фазе i, после завершения этого акта в системе не остались синие требования и само
требование, обслуженное за этот акт, было красным (вероятность чего
равна ziP
(z)), необходимо и достаточно, чтобы
i,N+1
1) после завершения N актов обслуживания в системе не остались
синие вызовы и на следующем акте обслуживалось красное требование
на фазе i (вероятность чего равна RiN(z) +¯PN(0)pizi);
2) за (N + 1)-й акт обслуживания на фазе i в систему не поступали
синие вызовы (вероятность чего равна βi(a − a(p, z));
3) требов ание, обслуженное за (N + 1)-й акт на фазе i, либо покинет систему, либо останется в системе и будет по-прежнему красным
(вероятность чего равна Qi(z)).
Лемма 2. Если z = {zi, i ∈Ω} и |zi|6 1, то при N →∞ существуют
пределы
X
lim PiN(z) = Pi(z), lim¯PN(z) =¯P (z) =
Pi(z),
i∈Ω
lim RiN(z) = Ri(z).
При этом
ziPi(z) = [Ri(z) +¯P (0)pizi]βi(a − a(p, z))Qi(z); (3)
lim P {iN= i} = Pi(1) =
ap
Ri(1) =
λ
λ
i
i
−
(1 − ρ); λ =
λ
λ
i
;¯P (0) =
λ
a
(1 − ρ); (4)
λ
X
λi.
i∈Ω
Доказательство. Существование пределов следует из тог о, что однородная цепь Маркова ηN, N = 1, 2, . . ., неприводима и непериодична.
Равенство (3) следует тогда из равенства (1). Остается убедиться лишь
в справедливости формул (4). Для этого мы воспользуемся условием
эргодичности системы (см. предложение П3 в § 2), проверив выполнение достаточного условия существования стационарного распределения
для цепи Маркова (см. § 6 главы 1). Сформулируем последнее условие.
Через E обозначим множество состояний цепи Маркова ηN. Для
каждой функции ϕ = ϕ(x) на E определим функцию Aϕ = (Aϕ)(x) соотношением
(Aϕ)(x) = E{ϕ(η
)/ηN= x}.
N+1
Для того чтобы однородная неприводимая и непериодическая цепь Маркова ηNобладала стационарным ра спределением, достаточно существования числа ε > 0, неотрицательной функции ϕ(x) на E и конечного
§ 3. Вложенная цепь Маркова 225
множества E0состояний из E таких, что
(Aϕ)(x) 6 ϕ(x) − ε для x ∈ E \E0,
(Aϕ)(x) < ∞ для x ∈ E0.
(5)
В нашем случае E = L × Ω. Для x = (n, i) ∈ E через ϕ(x) обозначим
среднее время, необходимое для обслуживания всех требов аний, количество которых характеризуется набором n = {nj, j ∈Ω}, если прервать
поступление требований в систему. Ясно, что
X
ϕ(x) =
njγj.
j∈Ω
Если x = (n, i) ∈E и n 6= 0, то (Aϕ)(x) есть сумма следующих слагаемых:
1) среднего суммарного времени обслуживания всех требований, количество которых характеризуется набором n = {nj, j ∈ Ω}, без учета
среднего времени обслуживания одного из требований на фазе α = u(n);
2) среднего суммарного времени обслуживания всех требований, поступивших в систему за один акт обслуживания на фазе α.
Таким образ ом,
(Aϕ)(x) =
X
njγj− βα1+
j∈Ω
X
(apkβα1)γk=
k∈Ω
= ϕ(x) − β
α1
1 −
X
k∈Ω
apkγ
= ϕ(x) − βα1(1 − ρ),
k
так как согласно (1), (2) § 2 имеем
X
apkγk= a(p, γ) = a(p, (I−P )−1β) = a((I−P′)−1p, β) = (Λ, β) = ρ. (6)
k∈Ω
Пусть E0состоит из элементов (n, i) ∈ E, для которых n = 0. Если
x = (0, i) ∈E0, то
(Aϕ)(x) =
j∈Ω
X
p
(apkβj1)γk= ρ
j
k∈Ω
X
pjβj1< ∞.
j∈Ω
X
Остается положить
ε = (1 −ρ) min
j∈Ω
βj1> 0
и тогда для выбранной функции ϕ = ϕ(x) и множества E0выполняются неравенства (5). Следовательно, цепь Маркова ηN, N > 1, имеет
стационарное распределение. В частности,¯P (1) = 1.
Найдем теперь Pi(1), Ri(1),¯P (0). Из (3) следует для zi6= 0:
¯
P (z) =
X
i∈Ω
Pi(z) =
X
i∈Ω
h
Ri(z)
z
i
+¯P (0)p
i
bi(z), (7)
i
226 Гл. 4. Системы обслуживания с разделением времени
где bi(z) = βi(a − a(p, z)) · Qi(z).
Положим
xj=
∂
∂z
P (z)
j
¯
z=1
, xij=
∂
∂z
Ri(z)
j
. (8)
z=1
Из определения функций¯P (z) и Ri(z) следует, что
X
xj=
xij. (9)
i∈Ω
Теперь из (7), используя равенства
∂z
bi(z)
j
∂
j
Ri(z)
z
i
= apjβi1+ pij= dij,
z=1
= xij− Ri(1)δij,
z=1
X
[Ri(1) +¯P (0)pi]dij. (10)
i∈Ω
∂
∂z
получаем:
Rj(1) =
Так как согласно (3)
Pi(1) = Ri(1) +¯P (0)pi, (11)
то (10) записывается в виде
X
Pj(1) −
dijPi(1) =¯P (0)pj, j ∈ Ω. (12)
i∈Ω
X
Из равенства же¯P (z) =
Pi(z) с учетом¯P (1) = 1 получаем:
i∈Ω
X
Pi(1) = 1. (13)
i∈Ω
Проверив, что набор
Pi(1) =
λ
i
,¯P (0) =
λ
a
(1 − ρ)
λ
является решением системы (12), (13). В самом деле, уравнение (13)
удовлетворяется, а левая часть (12) равна
λ
j
λ
X
ap
j
−
λiβi1−
λ
i∈Ω
X
1
pijλi=
λ
i∈Ω
1
λ
λj−
X
i∈Ω
pijλ
ap
−
i
ap
j
ρ =
λ
ap
j
j
−
λ
λ
что ра вно правой части (12). Здесь мы воспользовались равенствами
из предположения П3 § 2.
Для корректности приведенных рассуждений остается лишь убе-
диться в том, что каждая из матриц I − P и I − D обратима; здесь
D = {dij}
. Эту цель преследует
i,j∈Ω
ρ,
+
§ 4. Случайные процессы η
−
и η
N
N
227
Лемма 3. Из предположения П1 § 2 следует, что ма т рица I − P
обратима. Кроме того,
|I − D| = (1 − ρ)|I − P |. (14)
Доказательство. Воспользуемся теоремой Адамара, указывающей достаточное условие обратимости матрицы (см. например, [15]).
Так как
X
j∈Ω
(n+1)
p
ij
X
j∈Ω
(n)
p
ij
, i ∈ Ω,
6
то, начиная с некоторого n0,
X
j∈Ω
(n)
p
> 0
ij
1 −
для всех i ∈ Ω и n > n0. Но тогда матрица wI − Pnудовлетворяет
условию теоремы Адамара для всех чисел w таких, что |w| > 1. Следовательно, все собственные значения матрицы Pn, а значит, и Pnпо
абсолютной величине мень ше 1. В частности, |I − P | 6= 0.
Докажем теперь формулу (14). Матрица D может быть записана
в виде
D = P + aβp′,
где β — вектор-столбец из элементов {βi1, i ∈ Ω}, p′— вектор-строка из
элементов {pi, i ∈ Ω}. Но тогда
I − D = [I − aβp′(I − P )−1](I − P ) = (I − βΛ′)(I − P ),
где Λ — определяется согласно (1) § 2. Для получения (14) остается воспользоваться равенством
|I − βΛ′| = 1 −(β, Λ) = 1 − ρ.
+
§ 4. Случайные процессы η
−
и η
N
.
N
Рассмотрим случайный процесс η(t) = {n(t), i(t), ξ(t)} в последовательные моменты 0 < τ1< τ2< . . . (не совпадающие с вероятностью 1)
такие, что
ξ(τN− 0) = 0, n(τN− 0) 6= 0; N = 1, 2, . . . .
Положим
±
i
= i(τN± 0), n
N
±
= n(τN± 0).
N
Тогда каждый из процессов
+
η
N
= {n
+
−
−
−
, i
}, η
N
N
N
= {n
−
, i
}, N = 1, 2, . . . ,
N
N
228 Гл. 4. Системы обслуживания с разделением времени
образует цепь Маркова. Пусть
±
P
iN
(z) = Ez
±
n
N
· δ
i,i
−
N
, R
+
(z) = Ez
iN
+
n
N
+
· δ
,
i,i
N
где z = {zi, i ∈ Ω}, |zi|6 1, и предположим, что Bi(+0) = 0 для всех i ∈Ω.
Тогда с вероятностью 1 момент τNесть момент завершения N -го акта
обслуживания; следовательно,
−
i
= iN, n
N
+
= nN, i
N
+
N
= u(n
+
) = u(nN)
N
при n 6= 0 с вероятностью 1.
Лемма 4. Пусть Bi(+0) = 0 для всех i ∈ Ω. Тогда
+
ziP
(z) = P
+
P
iN
iN
(z) = PiN(z), R
−
(z)Qi(z), (1)
iN
+
(z) = RiN(z)
iN
и, следовательно, при N →∞ существуют пределы
lim P
±
(z) = P
iN
±
(z), lim R
i
+
(z) = R
iN
+
(z)
i
такие, что
+
P
(z) = Pi(z), R
i
+
(z) = Ri(z), ziP
i
+
(z) = P
i
−
(z)Qi(z). (2)
i
Нам нужно убедиться лишь в формуле (1). В терминах красных
и синих требований левая часть (1) есть вероятность следующег о события: N -й акт обслуживания проходил на фазе i; после завершения
этого акта в системе не остались синие требования, и само требование, обслуженное за этот акт, было красным. Правая же часть (1) есть
вероятность события: N -й акт обслуживания проходил на фазе i; до
завершения этого акта в системе находились только красные требования; требование, обслуженное за этот а кт, либо покинуло сист е му, либо
по-прежнему осталось красным. Но указанные события совпадают.
§ 5. Связь процессов n
+
и n(t) в стационарном режиме
N
Лемма 5. Если Bi(+0) = 0 для всех i ∈ Ω, то для z = {zi, i ∈ Ω},
|zi| < 1, при t → ∞ существуют пределы
lim Ez
n(t)
= P∗(z) =
λ
·
a
1
1 − (p, z)
X
·
i∈Ω
Pi(z)h1 −
z
i
Qi(z)
i
; (1)
lim P {i(t) = i} = λiβi1, i ∈ Ω; (2)
lim E[e
−sξ(t)
/i(t) = i] =
1
[1 − βi(s)], s > 0, i ∈ Ω. (3)
sβ
i1
Отметим еще, что P∗(0) = lim P {n(t) = 0} = 1 − ρ.
§ 5. Связь процессов n
+
и n(t) в стационарном режиме 229
N
Доказательство разобьем на несколько этапов.
1◦. Покажем сначала, что указанные пределы существуют. Процесс
η(t) является регенерирующим. Точками регенерации служат моменты
начала периодов занятости системы. В силу предельной теоремы для
регенерирующих процессов указанные пределы существуют, если
1) распределение длины одного цикла регенерации абсолютно непрерывно;
2) средняя длина одного цикла регенерации конечна.
Условие 1) выполнено, так как длина одного цикла регенерации есть
сумма двух независимых случайных величин: периода отсутствия требований в сист е ме и периода занято с ти системы; причем распределение
первой сл.в. имеет плотность.
Условие 2) выполнено, если среднее значение периода занято с ти конечно. Убедимся в этом.
Так как период занятости системы не зависит от порядка обс луживания требований, то будем считать, что треб ования обслуживаются
в порядке их поступления в систему. Если ξ есть время обслуживания
одного требования до выхода его из системы, то средняя длина периода
занятости равна (см. § 1 главы 2)
π1=
Eξ
1 − aEξ
,
если aEξ < 1. Но ρ = aEξ. Это следует из равенства
X
Eξ =
i∈Ω
piγ
i
и формулы (6) § 3.
2◦. Положим
∗
P
(z, s, t) = Ez
i
n(t)e−sξ(t)
δ
i,i(t)
, i ∈ Ω.
Из предыдущего пункта следует существование предела
lim
t→∞
∗
P
(z, s, t) = P
i
∗
(z, s),
i
независимого от распределения сл.в. η(t) = {n(t), i(t), ξ(t)} в начальный
момент времени t = 0.
Покажем, что
(−s + a −a(p, z))P
∗
(z, s) = λ[Ri(z) +¯P (0)pizi]βi(s) − λP
i
−
(z). (4)
i
Будем рассматривать процесс η(t) в стационарном режиме; другими
словами, будем считать, что распределение сл.в. η(0) совпадает с пре-
230 Гл. 4. Системы обслуживания с разделением времени
дельным распределением сл.в. η(t) при t → ∞. В частности, для любого t > 0
∗
P
(z, s, t) = P
i
∗
(z, s). (5)
i
Рассматривая возможные изменения процесса η(t) в промежутке от t
до t + h, имеем при h ↓ 0
∗
P
(z, s, t + h) = E{z
i
+ P {0 < ξ(t) < h} · E{z
+ P {ξ(t) > h}E{z
n(t+h)e−sξ(t+h)
n(t+h)e−sξ(t+h)
n(t+h)e−sξ(t+h)
δ
i,i(t+h)
} = P {ξ(t) = 0}ah piziβi(s)+
· δ
δ
i,i(t+h)
/0 < ξ(t) < h}+
i,i(t+h)
/ξ(t) > h}+ o(h). (6)
Так как при h ↓ 0
n(t+h)
E{e
E{z
−sξ(t+h)
δ
/0 < ξ(t) < h} → Ri(z),
i,i(t+h)
/0 < ξ(t) < h, i(t + h) = i} → βi(s),
то второе слагаемое равно
P {0 < ξ(t) < h}· Ri(z)βi(s) + o(h).
Преобразуем третье слагаемое. При ξ(t) > h
i(t + h) = i(t), ξ(t + h) = ξ(t) − h.
Учитывая поступление требований в промежутке от t до t + h, запишем
третье слагаемое в виде
pjz
En
i
n(t)e−s[ξ(t)−h]
z
δ
/ξ(t) > ho+ o(h).
i,i(t)
P {ξ(t) > h}1−ah+ah
X
j∈Ω
Но
∗
P
(z, s, t) = P {ξ(t) > h}E{z
i
n(t)e−sξ(t)
δ
i,i(t)
+ P {0 < ξ(t) < h} E{z
/ξ(t) > h}+
n(t)e−sξ(t)
δ
/0 < ξ(t) < h},
i,i(t)
и так как при h ↓ 0
E{z
n(t)
δ
/0 < ξ(t) < h} → P
i,i(t)
−
(z),
i
то окончательно третье слагаемое в (6) запишем в виде
[1 − ah + ah(p, z) + sh][P
∗
(z, s, t) − P {0 < ξ(t) < h}P
i
−
(z)] + o(h).
i
Теперь формула (6) с учето м (5) принимает вид
[−s + a −a(p, z)]P
∗
(z, s) = P {ξ(t) = 0} a piziβi(s)+
i
1
+
P {0 < ξ(t) < h}[Ri(z)βi(s) − P
h
−
i
(z)] +
o(h)
h
. (7)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]