Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория массового обслуживания. Учебное пособие
.pdf
§ 10. Обслуживание с преимуществом (рекуррентный поток) 201
с параметром b; требуется определить длину ζ
(i−1)
промежутка време-
ν
ни, начинающегося с момента поступления вызова, заставшего в системе ν вызовов, до следующего непосредственно момента освобождения
системы от вызовов. Таким образом,
P {w
(i)
< t} = P {ζ
ν
(i−1)
ν
< t}.
Отсюда следует, что если WiN(t) — ф.р. времени ожидания начала обслуживания N-го вызова при условии, что этот вызов является вызовом
приоритета i, то
= p
X
+
ν>0
(i)
+ . . . + p
0N
(i)
p
n+ν,N
P {w
(i)
n−1,N
(i)
ν
+
< t} =
X
p
ν>0
(i)
n+ν,N
P {ζ
(i−1)
ν
< t};
WiN(t) = p
(i)
+ . . . + p
0N
(i)
n−1,N
при N → ∞ имеем
(i)
p
n+ν,N
(i)
p
0N
+ . . . +p
(i)
n−1,N
→ p
(i)
+ . . . +p
0
WiN(t) → Wi(t) = 1 − Ciρi(1 − ρi)−1+ Ciρ
→ p
(i)
n−1
(i)
n+ν
= Ciρ
= 1−
X
ν>0
ν+1
;
i
(i)
p
= 1−Ciρi(1 − ρi)−1;
n+ν
X
ν
ρ
ν>0
i
P {ζ
i
(i−1)
ν
< t}.
Теперь формула (1) следует из (15) § 1 Главы 2.
В. Схема 2. Сохраняя обозначения предыдущего пункта, для этой
схемы имеем
WiN(t) = p
(i−1)
0N
+ . . . + p
(i)
P {w
ν
(i−1)
n−1,N
< t} = P {ζ
X
ν>0
(i)
ν
(i−1)
p
n+ν,N
< t}.
+
P {w
(i)
ν
< t},
Далее, так же как в предыдущем пункте, следует перейти к пределу
при N → ∞ и воспользоваться снова формулой (15) § 1 Главы 2.
Задача 1. Рассмотрим систему обслуживания с ожиданием такую
же, как в § 7 (рекуррентный поток, экспоненциальное время обслуживания, n приборов), в предположении, что все приборы одинаковы, т.е.
b1= . . . = bn. Пусть в начальный момент в системе находится i + 1 вызо-
вов; пусть i + 1 6 n, так чт о все вызовы обслуживаются. Предположим,
далее, что среди этих i + 1 вызовов один вызов «терпеливый», а остальные (в том числе и вновь поступающие) вызовы «нетерпеливые». Этим
самым принимается соглашение о том, что если вызов в момент своего поступления застает все приборы занятыми, а «терпеливый» вызов
202 Гл. 3. Системы обслуживания многими приборами
еще не обслужился, то прерывается обслуживание «терпеливого» вызова и начинается обслуживание поступившего вызова. Обслуживание
«терпеливого» вызова в озобновляется, как только освободится один из
приборов.
Обозначим при этом через τiмомент окончания обслуживания «тер-
−sτ
пеливого» вызова, i = 0, 1, . . . , n − 1; vi(s) = Ee
i
. Показать, что для
i = 0, 1 . . . , n − 1
i
s + b
1
1
Mi(s + b1)
+
Mn(s + b1)
π(s)v
(s); (2)
n−1
b
vi(s) =h1 −
здесь π(s) = Ee
Mi(s + b1)
Mn(s + b1)
−sπ
, π — случайная величина, ра вная периоду занятости
системы или, более точно, π есть длина промежутка времени, начинающегося с момента поступления вызова, заставшего в системе лишь
один свободный прибор, до следующего непосредственно момента, когда освободится один из приборов.
Показать, что
b
[1 − γ(s)]
1 +
s
b
[1 − γ(s)]
s
, γ(s) = α(s + b −bγ(s)), b = b1+ . . . + bn, (3)
π(s) =
причем последнее функциональное урав нение определяет единственную функцию γ(s), аналитическую в полуплоскости Re s > 0, в которой
|γ(s)| < 1.
Указание. При выводе формулы (2) воспользоваться методом введения дополнительных событий («катастроф»), моменты наступления
которых образуют пуассоновский поток с параметром s > 0 и которые
происходят независимо от работы системы обслуживания, а также § 5.
При выводе формулы (3) воспользоваться § 1 Главы 2.
Задача 2. Рассмотрим вновь систему обслуживания, описанную в
этом параграфе, в предположении, что b1= . . . = bn; при этом обратимся к схеме 1: вызовы одного приоритета обслуживаются в порядке
поступления. Обозначим через vNвремя пребывания в системе вызова,
поступившего в систему N -м по счету, при условии, что этот вызов есть
вызов самого низшег о приоритета. Показать, что существует
lim
N→∞
определяемый соотношениями
v(s) = p0v0(s) + . . . + p
∞
Z
v(s) =
−st
e
dV (t),
0
n−1vn−1
P {vN< t} = V (t),
(s) + Cρ[(1 − ρ)−1− R(s)]v
n−1
(s),
§ 11. Свойства процессов обслуживания 203
где v0(s), . . . , v
но α(s) = α
r−1
в задаче § 7; R(s) = R(ρ, s, α
(s) определяются формулой (2), в которой положе-
n−1
(s); p0, . . . , p
, C, ρ определяются формулой, указанной
n−1
(s)).
r−1
§ 11. Свойства процессов обслуживания; закон сохранения
интенсивностей
0◦. Пусть ν(t) — число вызовов в системе обслуживания в момент t;
+
+
t
, t
, . . . — последовательные моменты поступления вызовов в систему;
1
2
−
−
t
, t
, . . . — последовательные моменты окончания обслуживания вызо-
1
2
вов в системе. Предположим, что существуют пределы
+
p
n
= lim
N→∞
P {ν(t
∗
p
= lim
n
+
− 0) = n}, p
N
P {ν(t) = n}, n = 0, 1, 2, . . . .
t→∞
−
= lim
n
N→∞
P {ν(t
−
+ 0) = n},
N
Оказывается, что
+
−
p
= p
n
для всех n > 0.
n
Этот факт справедлив при общих предположениях относительно потока
заявок и их обслуживания и составляет содержание приводимого ниже
свойства 1. Как следствие приводится закон сохранения интенсивностей, который, в частности, связывает распределение {p
лением {p
∗
}.
n
+
} с распреде-
n
Свойство 2 содержит достаточные условия, при выполнении ко-
торых
+
∗
p
= p
n
для всех n > 0.
n
1◦. Пусть ξ (t), t>0, — сл. процесс со значениями в I={0, ±1, ±2, . . .},
удовлетворяющий условиям
1) почти все реализации имеют скачки, равные ±1;
2) почти все реализации имеют скачки в состояние 0 ∈I бесконечное
число раз.
Положим
+
+
t
, t
, . . . — последовательные моменты положительных скачков;
1
2
−
−
t
, t
, . . . — т о же для отрицательных скачков;
1
2
±
π
— распределение сл.в. ξ
n
+
ξ
n
= ξ(t
±
n
+
n
.
− 0), ξ
−
n
= ξ(t
−
n
+ 0);
Свойство 1. Пусть Γ ⊂ I. Тогда
n
X
1
+
π
k=1
(Γ) −
k
n
n
X
1
n
k=1
c
−
π
(Γ)
k
n
6
,
n
204 Гл. 3. Системы обслуживания многими приборами
где
cn6 E|ξ
−
| + min{E|ξ
1
−
|, E|ξ
n
+
|}.
n
В частности, если
(а) существуют lim
(б) E|ξ
−
| < ∞;
1
1
n
E|ξ
n→∞
−
n
±
π
(Γ) = π±(Γ);
n
| → 0 или
1
n
E|ξ
+
| → 0,
n
то
π+(Γ) = π−(Γ).
Замечание 1. Если ξ(t) — число вызовов в системе обслуживания
в момент t, то положительный скачок процесса ξ(t) соответствует поступлению вызова, а отрицательный скачок — окончанию обслуживания некоторого выз ова. Свойство 1 показывает, что если π+и π−—
финальные распределения числа вызовов в системе, рассматриваемых
в мо менты их поступления и окончания обслужива ния соответственно,
то эти распределения совпадают.
Замечание 2. Условие 1) можно опустить, если
— условие 2) заменить на условие: почти все реализации имеют
скачки в состояние «0» или в состояние противоположного знака
бесконечное число раз;
— каждый из моментов {t
±
} повторяется в последовательности
n
столько раз, какова величина соответствующего скачка;
— последовательность {ξ
t
±
n+1
= t
±
n
Доказательство свойства 1. Если x
{ξ
±
n
∈ Γ} и X
±
n
, то ξ
(Γ) = x
±
n+1
±
1
±
} определяется таким образом, что если
n
±
= ξ
± 1.
n
(Γ) + . . . + x
±
(Γ) — индикатор события
±
(Γ), то почти для всех реализаций
n
n
выполнено
|X
+
(Γ) − X
n
−
(Γ)| 6 |ξ
n
−
| + min{|ξ
1
+
−
|, |ξ
|}.
n
n
Остается воспользоваться тем, что
n
X
k=1
±
π
(Γ);
k
EX
±
(Γ) =
n
|Eξ| 6 E|ξ|, E min(ξ, η) 6 min(Eξ, Eη)
для любых с лу чайных чисел ξ и η.
Следствие 1. Пусть дополнительно известно, что
(а) ξ(t) принимает неотрицательные значения;
(б) процесс ξ(t) является регенерирующим с конечным математи-
ческим ожиданием цикла регенерации.
§ 11. Свойства процессов обслуживания 205
Если ξ+(T ) — число положительных скачков процесса до момента T ; ξ−(T ) — то же для отрицательных скачков, то с вероятностью 1
lim
T →∞
ξ+(T )
T
= lim
T →∞
ξ−(T )
. (1)
T
Левая часть этого равенства представляет соб ой предельную интенсивность положительного скачка, правая часть — то же для отрицательного скачка. Если, например, ξ(t) есть число вызовов в системе в момент t, то равенство (1) означает, что интенсивность входящего потока
равна интенсивности выходящего потока. По этой причине будем называть равенство (1) законом сохранения интенсивностей.
Следствие 2. В частности, если ξ
скачков вида n → n + 1 процесса ξ(t) до момента T , а ξ
+
(T ) — число положительных
n
−
(T ) — то же
n
для отрицательных скачков вида n + 1 → n, то (с вероятностью 1)
lim
T →∞
+
ξ
(T )
n
= lim
T
T →∞
−
ξ
(T )
n
. (2)
T
Это равенство получается из (1), если вместо процесса ξ(t) взять
процесс
η(t) =
(
1, если ξ(t) > n;
0, если ξ(t) 6 n.
Пример 1. Пусть ξ(t) — процесс гибели и размножения с допол-
нительными случайными скачками в моменты регенерации некоторого
процесса восстановления. Более точно, рассмотрим процесс восстановления, для которого t1, t2, . . . — последовательные моменты восстановления. Предположим, что в каждом из промежутков
(0, t1), (t1, t2), . . . , (tn, t
n+1
), . . .
процесс ξ(t) является процессом гибели и размножения, для которого ak— интенсивность размножения в состоянии k; bk— интенсивность
гибели в состоянии k; k = 0, 1, . . .; b0= 0. При этом
P {ξ(tn+ 0) = j/ξ(tn− 0) = i} = q
ij
и qijне зависит от n и реализации ξ(t) до момента tn. Рассмо трим
случай, когда
q
i,i+1
= q
+
, q
i,i−1
i
= q
−
−
, q
= 0, qii= qi, q
0
i
−
+ qi+ q
i
i
+
= 1.
В этом примере будем предполагать, что процесс восстановления рекуррентный и a есть интенсивность восстановления.
Положим
∗
p
n
= lim
P {ξ(t) = n}, p
t→∞
+
= lim
n
P {ξ(tN− 0) = n}.
N→∞
206 Гл. 3. Системы обслуживания многими приборами
Предполагается, конечно, что эти пределы существуют (например, если
распределение сл.в. tk− t
не существуют, то за p
∗
n
нерешетчатое). Если указанные пределы
k−1
+
и p
можно взять пределы соответствующих
n
среднеарифметических выражений. В этом случае закон сохранения
интенсивностей приобретает вид
+
+
+
n
a + p
∗
an= p
n
p
q
n
n+1
q
−
n+1
a + p
∗
n+1
b
, n > 0. (3)
n+1
Докажем это равенство. Воспользуемся равенством (2). Положим
где λ
+
ξ
(T ) = λ
n
+
(T ) — число положительных скачков вида n → n + 1 процесса
n
+
(T ) + µ
n
+
n
(T ),
ξ(t) до мо мента T , рассматриваемых лишь в моменты восстановления;
+
µ
(T ) — то же, но считаются лишь те скачки, которые произошли не
n
в моменты восстановления.
Если теперь
λ(T ) — число всех восстановлений до момента T ;
λn(T ) — число скачков вида n → n ± 1 до T , рассматриваемых лишь
в моменты восстановления;
то из
plim
λn(T )
λ(T )
λ
= p
+
n
T
(T )
+
n
λn(T )
=
λ(T )
, plim
·
+
λ
(T )
n
λn(T )
+
λ
(T )
n
λn(T )
= q
λ(T )
·
, (4)
T
+
, plim
n
λ(T )
T
= a
(plim означает сходимость по вероятности) при T → ∞ следует
+
λ
(T )
plim
n
T
= p
+
+
q
a. (5)
n
n
Отметим, что используемые величины для каждой реализации положительны, начиная с некоторого T (зависящего от реализации). Значения
последних двух пределов из (4) очевидны. Значение первого предела
(4) можно получить из результата § 8 главы 1 применительно к процессу
ξN= ξ(tN− 0).
Покажем теперь, что при T → ∞
+
µ
(T )
plim
n
T
∗
= p
an. (6)
n
Пусть xn(T ) — суммарное время пребывания процесса ξ(t) в состоянии n
до T ; тогда из
plim
+
µ
(T )
n
T
xn(T )
T
=
= p
xn(T )
T
∗
, plim
n
µ
·
xn(T )
+
(T )
n
µ
,
+
(T )
n
xn(T )
= a
(7)
n
§ 11. Свойства процессов обслуживания 207
следует (6). Значение последнего предела очевидно. Значение же первого предела (7) следует из § 8 главы 1.
Таким образом, левые части формул (2) и (3) совпадают. Покажем,
что это же верно и относительно правых частей. Это получается аналогичным образом, если воспо льзоваться равенствами
−
ξ
(T ) = λ
n
−
λ
(T )
n
T
−
µ
(T )
n
T
=
=
−
(T ) + µ
n
λ
n+1
λ(T )
x
n+1
T
(T )
(T )
−
(T ),
n
−
λ
(T )
(T )
(T )
(T )
,
·
λ(T )
T
,
(8)
n
·
λ
n+1
−
µ
n
·
x
n+1
где
−
λ
(T ) — число отрицат е льных скачков вида n + 1 → n процесса ξ(t) до
n
момента T , рассматриваемых лишь в моменты восстановления;
−
µ
(T ) — то же, но считаются лишь скачки, которые произошли не в мо-
n
менты восстановления.
Пример 2. Определим процесс ξ(t) так же, как в примере 1, но
будем теперь предполагать, что если на временной оси исключить промежутки, в которых ξ(t) = 0, то последовательность моментов t1, t2, . . .
на новой оси времени образует рекуррентный процесс восстановления
с интенсивностью a. В обозначениях примера 1 закон сохранения интенсивностей принимает вид
+
+
+
p
q
a(1 − p
n
n
∗
) + p
0
∗
n
∗
p
0
an= p
a0= p
n+1
+
1
q
−
q
a(1 − p
1
−
n+1
a(1 − p
∗
) + p
0
∗
∗
) + p
0
∗
b1. (9)
1
n+1
b
n+1
, n > 0;
Доказательство проводится так же, если заметить, что
lim
T →∞
λ(T )
T
= a(1 − p
∗
). (10)
0
Выражение λ(T )/T встречалось в (4) и (8) и имело в примере 1 своим
пределом a. В самом деле, в данном случае (10) следует из § 8 главы 1 и
λ(T )
=
T
λ(T − x0(T ))
T −x0(T )
T − x0(T )
·
T
.
2◦. Пусть ξ(t), t > 0, — однородный марковский процесс со значе-
ниями в измеримом пространстве (X, B(X)), для которого существуют
моменты t1= z1, . . . , tk= z1+ . . . + zk, . . . такие, что
1) сл.в. {zk}
лены с общей ф.р. A(x) = 1 − e
независимы в совокупности и одинаково распреде-
k>1
−ax
, a > 0;
2) между соседними моментами 0 = t0, t1, . . . однородный марков-
ский процесс ξ(t) определяется переходными вероятностями Pt, т.е. для
208 Гл. 3. Системы обслуживания многими приборами
x ∈ X, Γ ∈ B(X )
P {ξ(s + t) ∈ Γ/ξ(s) = x} = Pt(x, Γ);
3) в каждый из моментов t1, t2, . . . процесс ξ(t) совершает скачок
согласно переходным вероятностям Q, т.е.
P {ξ(tk+ 0) ∈ Γ/ξ(tk− 0) = x} = Q(x, Γ).
В семействе вероятностных мер на (X, B(X )) определим отображения
π 7→ Ptπ, π 7→ Qπ,
полагая
t
(p
π
Пусть πtесть распределение сл.в. ξ(t). Положим π
)(Γ) =
Z
Pt(x, Γ)π( dx), (Qπ)(Γ) =
X
Z
Q(x, Γ)π( dx).
X
+
= π
N
tN−0
для
N > 1.
Свойство 2. Предположим, что существуют
+
lim
π
N→∞
= π+, lim
N
t→∞
πt= π,
т.е.
+
lim
π
N→∞
(Γ) = π+(Γ), lim
N
πt(Γ) = π(Γ) для всех Γ ∈ B(X).
t→∞
Тогда вероятностные меры π+и π удовлетворяют стационарному
уравнению
π = a
∞
Z
0
−auPu
e
Qπ du. (10)
В частности, если это уравнение имеет единственное решение в семействе вероятностных мер, то
π+= π. (11)
Доказательство. Достаточно проверить, что
∞
Z
πt= e
π
−at
+
N+1
=
0
· Ptπ0+
PuQπ
t
Z
0
+
dA(u), (12)
N
PuQπ
dA(u). (13)
t−u
§ 11. Свойства процессов обслуживания 209
Уравнение (12) очевидно. Проверим (13). Имеем
πt= [1 − A(t)]Ptπ0+
X
+
n>1
−atPt
=e
X
+
n>1
Z
z1+...zn6t
π0+
Z
z1+...+zn6t
dA(z1) . . . dA(zn)[1 − A(t −z1− . . . − zn)]×
×P
−atPt−z1−...−z
ane
t−z1−...−z
n
n
QP
QP
z
z
n
n
. . . QP
. . . QP
z
2
QP
z
z
2
QP
Это уравнение после замены переменных интегрирования
(z1, z2, . . ., z
, zn)7→(u1, u2, . . ., u
n−1
, un)=(t−z1−. . .−zn, zn, . . ., z3, z2)
n−1
с якобианом, равным 1, переходит в уравнение
−atPt
πt= e
X
+
n>1
X
+
n>2
π0+
Z
u1+...+un6t
ui>0
−atPt
= e
Z
u2+...+un6t
−atPu
ane
Z
π0+
06u16t
n−1e−a(t−u1)
a
u
2
×P
Q . . . QP
1
QP
ae
u
2
−au
×
. . . QP
u
1
1
P
u
n
QP
Q du
u
t−u1−...−u
n
QP
h
−a(t−u1)Pt−u
e
1
(t−u1)−u2−...−u
n
π0du1. . . dun=
n
π0du2. . . du
Z
= e
−atPt
π0+
06u16t
ae
−au
1
z
1
π0=
1
π0dz1. . . dzn.
1
π0+
u
1
P
Qπ
t−u
1
i
n
du1,
=
что совпадает с (13).
Замечание 3. Основное содержание свойства 2 состоит в равенстве
(11). Отметим, что если PtQ — сжимающий оператор, см. § 12 Д ополнения, и существ ует (стационарное) нетривиальное решение уравнения
(10), то оно единственное с точностью до умножения на константу. Следовательно, в этом случае уравнение (10) имеет единственно е решение
в семействе вероятностных мер.
Задача 1. В систему обслужива ния поступает рекуррентный поток вызовов с интенсивностью a. Длительность обслуживания вызова
210 Гл. 3. Системы обслуживания многими приборами
определяется экспоненциальным распределением с интенсивностью bn,
зависящей от числа n вызовов в системе. Пусть ν(t) — число вызовов
в системе в момент t; p
∗
= lim
n
P {ν(t) = n}; p
t→∞
+
— финальная вероятность
n
застать в системе n вызовов в момент поступления вызова. Показать,
что
+
a = p
n
∗
b
n+1
n+1
+
= 1, an= 0.
n
, n > 0.
p
Указание. См. пример 1 с q
Задача 2 (продолжение). Показать, что формулы предыдущей за-
дачи остаются в силе, если относительно входящего потока известно
лишь, что
λ(T )
plim
T →∞
= a, (14)
T
где λ(T ) — число вызовов, поступивших в с истему до момента T .
Указание. Показать сначала, что формула (3) остается в силе, если относительно процесса восстановления, используемого в примере 1,
известно лишь, чт о выполнено (14).
Задача 3. В с истему обслуживания поступает поток вызовов, определяемый процессом рождения с интенсивностью an, зависящей от числа n вызовов в системе, n > 0. Длительность обслуживания имеет произвольное распределение со средним b−1. Пусть p
же, как в задаче 1; p
−
— финальная вероятность оставить в системе
n
∗
определяется так
n
n вызовов пос ле окончания обслуживания вызова. Показать, что
∗
p
n
Указание. См. пример 2 с a = b, q
что величина p
+
, используемая в этом примере, равна p
n+1
an= p
−
b(1 − p
n
∗
), n > 0.
0
−
= 1 для n > 1, bn= 0; показать,
n
−
.
n
Задача 4. В систему обслуживания с ожиданием поступает пуассоновский поток вызовов. Длительность обслуживания одного вызова
имеет произвольное распределение. Показать, что
+
∗
−
= p
, n > 0.
n
n
−
следует из свойства 1. Равенство же
n
Указание. Равенство p
+
∗
p
= p
n
получить из (11).
n
p
= p
n
+
= p
n
Задача 5. Рассмотрим систему обслуживания с относительным
приоритетом, рассмотренную в § 5 главы 2. Пусть νi(t) — число вызовов
приоритета i, находящихся в системе в момент t; p
+
p
— финальная вероятность застать в системе n вызовов приоритета i
in
в момент поступления вызова приоритета i; p
∗
= lim
in
−
— финальная вероят-
in
P {νi(t) = n};
t→∞
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]