Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория массового обслуживания. Учебное пособие
.pdf
§ 2. Число вызовов, обслуженных в период занятости 101
здесь ρ (в случае aβ1> 1) есть единственный корень уравнения
ρ = β(a −aρ),
лежащий в (0, 1).
Доказательство. Пусть 0 6 z 6 1. Каждый вызов с вероятностью z
будем объявлять красным, а с дополнительной вероятностью 1 −z — синим, независимо от того, какого цвета были предыдущие вызовы. Тогда
pkzkесть вероятность т ого, что за период занятости обслужено k выз овов и все эти вызовы были красными; p(z) =
X
pkzkвероятность того,
k>1
что за период занятости обслужены лишь красные вызовы.
Далее, будем считать порядок обслуживания инверсионным. Это
значит, что среди ожидающих вызовов на обслуживание в первую очередь принимается тот вызов, который поступил по з же остальных. Это
допущение, конечно, не влияет ни на период занятости, ни на число
вызовов, обслуженных в период занятости.
Среди красных вызовов будем различать темно-красные и светлокрасные следующим образом. С каждым вызов ом связ ан период занятости системы обслуживанием тех вызовов, которые поступили позже
него. Вызов назовем темно-красным, если он сам оказался красным и за
период занятости системы, связанный с этим вызовом, были обслужены лишь красные вызо вы. Теперь p(z) можем дать другое толкование,
а именно:
p(z) есть вероятность того, что взятый вызов оказался темно-
красным.
Так как
мя обслуживания выз ова в систему поступит k вызовов, то
∞
Z
[aup(z)]
k!
0
∞
Z
k
−au
e
k
(au)
−au
e
k!
0
dB(u) есть вероятность того, что за вре-
dB(u) — вероятность того, что за время обслуживания
вызова в систему поступит k вызовов, которые все являются темнокрасными (заметим, что каждый вызов, поступающий в период обслуживания некоторого вызова, является темно-красным с вероятностью
p(z) независимо от того, какого цвета поступили вызовы в тот же пе-
риод о бслуживания). Отсюда следует, что
X
k>0
∞
Z
0
[aup(z)]
k!
k
−au
e
dB(u) =
= β(a − ap(z)) есть в ероятность того, что за время обслуживания вызова
в систему поступали лишь темно-красные вызовы.
102 Гл. 2. Системы обслуживания одним прибором
Для того чтобы за период занятости обслуживались лишь красн ы е
вызовы (вероятность чего есть p(z)), необходимо и достаточно, чтобы
первый вызов (с обслуживания которого начинается период занятости)
был красным (вероятность чего есть z) и чтобы за время его обслуживания в систему поступали лишь темно-красные вызовы (вероятность
чего есть β(a − ap(z))).
Отсюда
p(z) = zβ(a − ap(z)).
Заметим, что на z не накладывалось никаких ограничений, кроме
0 6 z 6 1. Таким образом, формула (1) имеет место для всякого z такого,
что 0 6 z 6 1. По теореме Руше проверяется, что для всякого z из круга
|z| < 1 сущ е с твует единственное решение уравнения
w = zβ(a − aw) (3)
такое, что |w| < 1. В самом деле, на окружности |w| = 1 выполнено
|zβ(a − aw)| 6 |z| < 1 = |w|.
Из предложения о неявной функции (см. § 9Д.) следует, что решение
уравнения (3) есть аналитическая функция в круге |z|< 1. Формула (2)
проверяется так же, как это делалось для аналогичного случая в § 1 при
доказательстве предложения 1.
= Ckρ
−bt
, b > 0, ρ = a/b < 1,
k−1
(1 + ρ)
−2k+1
, k > 1;
Задача 1. Показать, что при B(t) = 1 − e
1
k−1
выполнено pk=
1
k
k−1
C
2(k−1)
Ck=
2(k−1)
ρ
k−1
C
k
есть так называемые числа Каталана.
(1 + ρ)
−2k+1
Указание. При решении этой задачи, а также некоторых задач,
приводимых ниже, воспользовать ся формулой обращения Лагранжа
(см. § 9Д.).
bt
Z
n−1
Задача 2. Если же B(t) =
1
pk=
C
k
k−1
kn+k−2
· ρ
k−1
Указание.
β(s) =
x
(n − 1)!
0
(1 + ρ)
e−xdx, то
−(kn+k−1)
n
b
s + b
, n > 1, k > 1.
.
Задача 3. Показать, что для случая «время обслуживания постоянно и равно b−1», ρ = a/b < 1, выполнено
k−1
pk=
(kρ)
−kρ
e
k!
, k > 1.
§ 3. Обслуживание ненадежным прибором с ожиданием 103
Задача 4. Рассмотрим тот случай, когда вызовы могут поступать лишь в «вызывающие» моменты, образующие пуассоновский поток с параметром a, в каждый же «вызывающий» момент поступает
k вызовов с вероятностью ak, k > 0; Φ(z) =
X
akzk, Φ(1) = 1.
k>0
Показать, что
p(z) = Φ [zβ(a − ap(z))].
Задача 5 (продолжение). Если Φ(z) = zN, то
q(z) = z[β(a − aq(z))]N;
X
q(z) =
Задача 6 (продолжение). Если к тому же B(t) = 1 − e
qkzk, qk= p
k>1
qk=
; pm= 0, если m 6= kN .
k·N
1
C
k
k−1
kN+k−2
· ρ
k−1
(1 + ρ)
−(kN +k−1)
−bt
, то
.
Задача 7 (продолжение задачи 5). Если время обслуживания постоянно и равно b−1, то
k−1
qk=
(k ˆρ)
−kˆρ
e
k!
, k > 1; ˆρ =
a
N.
b
Задача 8. Распространить результат эт ого параграфа на случай
систем обслуживания по схемам 1.1—1.3, 2 (см. § 1).
§ 3. Обслуживание ненадежным прибором с ожиданием;
пуассоновский поток, произвольное время обслуживания;
произвольное время жизни прибора и его восстановления как
в свободном, так и занятом состояниях
Описание системы обслуживания. Поток поступающих клиентов
обслуживается одним устройством в том порядке, в котором они поступают. Относительно потока клиентов и дисциплины их обслуживания
сделаем следующие предположения:
— моменты поступления клиентов образуют пуассоновский поток
с параметром a; через A(t) обозначим ф.р. длины интервала между двумя последовательными моментами поступления клиентов
в систему:
A(t) = 1 −e
−at
, a > 0; t > 0;
— длительности обслуживания клиентов суть независимые сл.в.,
с общей ф.р. B(t);
104 Гл. 2. Системы обслуживания одним прибором
— если в момент T устройство приступило к обслуживанию клиента
и обслуживание длится время > t, то с вероятностью C(t) прибор
выйдет из строя в промежутке [T, T + t);
— после этого прибор восстанавливается, и время восстановления
есть сл.в. с ф.р. D(t);
— прерванное требование дообслуживается;
— если в некоторый момент, скажем, T прибор ос вободился и в те-
чение времени t нет поступлений клиентов, то с вероятность ю
E(t) прибор выйдет из строя в промежутке [T, T + t);
— после этого прибор восс танавливается и время восстановления
есть сл.в. с ф.р. F (t).
Относительно этой системы будем интересоваться нахождением
функций, характеризующих длину очереди (число клиентов, ожидающих начала обслуживания), время ожидания и время пребывания клиента в системе.
Введем следующие обозначения (нумерация клиентов ведется в по-
рядке их поступления):
pkN— вероятность того, что N-й клиент, покидая систему (после окон-
чания обслуживания), оставляет в ней k клиентов, k > 0, N > 1;
X
PN(z) =
pkNzk, |z| 6 1;
k>0
WN(t) — ф.р. время ожидания начала обслуживания для клиента с но-
мером N;
VN(t) — ф.р. времени пребывания в системе клиента с номером N .
Считаем, что в начальный момент прибор исправен, готов начать
обслуживание и начальное состояние системы характеризуется набором чисел pk0, k > 0 ; здесь pk0есть вероятность того, что в начальный
момент в системе находится k клиентов, k > 0;
X
P0(z) =
pk0zk, |z| 6 1, P (1) = 1.
k>0
Предложение. а) PN(z), WN(t), VN(t) для N > 1 могут быть опре-
делены по рекуррентным формулам
zP
(z) = [PN(z) − PN(0) + PN(0)R(z)]h(a − az),
N+1
PN(z) = ωN(a − az) · h(a − az), |z| 6 1;
vN(s) = ωN(s) · h(s), Re s > 0,
здесь
R(z) = z
1 − e(a)
1 − e(a) · ϕ(a)
ϕ(a − az) − ϕ(a)
+ e(a)
1 − e(a) · ϕ(a)
;
§ 3. Обслуживание ненадежным прибором с ожиданием 105
∞
Z
0
−st
e
P (z, t) dt =
−st
e
P (δ(s), t) dB(t);
1 − γ(s)
1 − zγ(s)
;
h(s) =
∞
Z
s
0
б) h(s) есть преобразование Лапласа—Стилтьеса ф.р. H (t), име-
ющей следующий смысл: H(t) есть ф.р. длительности промежутка
времени, начинающегося с момента начала обслуживания вызова до
момента окончания его обслуживания;
в) при N → + ∞ существуют
lim PN(z) = P (z);
lim WN(t) = W (t); lim VN(t) = V (t);
г) при ah1> 1
P (z) ≡ 0, W (t) ≡ 0, V (t) ≡ 0;
д) при ah1< 1 и ϕ1< +∞
X
P (z) =
P (z) =
P (0) =
pkzk; pk> 0; k > 0; P (1) = 1;
k>0
1 − R(z)
h(a − az) − z
(1 − ah1)[1 − e(a)ϕ(a)]
1 − e(a)[1 − aϕ1]
· P (0) ·h(a − az), |z| 6 1;
;
W (t) есть ф.р., определяемая и з соотношения
P (z) = ω(a − az) · h(a −az), |z| 6 1;
V (t) есть ф.р., определяемая из соотношения
v(s) = ω(s) · h(s), Re s > 0.
Замечания. 1. Условие ah1> 1 в силу г) означает, что длина оче-
реди со временем возрастает до бесконечности. Это есть условие насыщения системы. В случае ah1< 1 (ненасыщение системы) первые два
момента длины очереди (точнее числа клиентов, находящихся в с истеме
в установившемся режиме), времени ожидания и времени пребывания
клиента в системе равны соответственно (в установившемся режиме,
т.е. при N → +∞)
X
kpk= P′(1) =
k>1
a2h
2
2(1 − ah1)
+
a2ϕ2e(a)
1
2
1 − e(a)[1 − aϕ1]
+ ah1;
106 Гл. 2. Системы обслуживания одним прибором
X
k2pk= P′(1) + P′′(1) =
k>1
h
a2h
1 − ah
2
+ 1i·
1
+
3(1 − ah1)
e(a)
·
2
1 − e(a)[1 − aϕ1]
a3h
3
a2ϕ
+ a2h2+
2
+ ah
1
+
2
e(a)
3
h
1 +
1
h
a2h
1 − ah
a3[ϕ3+ 3h1ϕ2]
·
1 − e(a)[1 − aϕ1]
i
a2h
2
2
1
12a2h
+
+
(1 − ah1)
1 − ah
i
2
1
+
2
;
ω1= a−1P′(1) − h1;
ω2= a−2P′′(1) − 2ω1h1− h2;
v1= ω1+ h1;
v2= ω2+ 2ω1· h1+ h2.
2. В случае C (t) = 1 − e
−ct
, c > 0,
h(s) = β(s + c − cδ(s)).
h(s) =
−bt
s + b
, b > 0,
b
1 − γ(s + b)
·
1 − δ(s) · γ(s + b)
.
3. В случае B(t) = 1 − e
Доказательство предложения разобьем на ряд этапов.
А. Упрощение задачи. Если прибор приступил к о бслуживанию кли-
ента, то для ожидающих и вновь прибыва ющих клиентов важно лишь
время пребывания клиента на обслуживающем приборе или, более точно, время с момента начала обслуживания клиента до момента окончания об с лу живания его. Это время складывается из времени обслуживания клиента на приборе и времен восстановления прибора для тех
случаев, когда прибор выходил из строя во время обслуживания данного клиента. Обозначим через H(t) ф.р. времени пребывания клиента
на приборе. Если Pk(t) есть в е роятность того, что за время t обслуживания клиента прибор k раз выйдет из строя, а
X
то
P (z, t) =
h(s) =
∞
Z
e
0
zkPk(t),
k>0
−st
P (δ(s), t) dB(t),
что доказывается следующим образом. Левая часть этого соотношения
есть вероятность того, что за время пребывания некоторого клиента
на приборе «катастрофа» не произойдет. Каким о бразом это может
быть? Пусть время, требуемое для обслуживания этого клиента, равно t; для этого необходимо и достаточно, чтобы, во-первых, за время t
§ 3. Обслуживание ненадежным прибором с ожиданием 107
не про изошла «катастрофа», вероятность чего есть e
вторых, «катастрофа» не произошла во время восстановления прибора,
вероятность чего есть
X
Pk(t)[δ(s)]k= P (δ(s), t) (отметим, что δ(s) есть
k>0
−st
, и чтобы, во-
вероятность того, что за время одного во с становления «катастрофа» не
произойдет). Это доказывает выписанное выше соотношение.
Для определения P (z, t) можно воспользоваться формулой из § 5
Гл. 0. В частности, при C(t) = 1 − e
k
(ct)
Pk(t) =
−ct
e
k!
−ct
, c > 0,
, k > 0; P (z, t) = e
−ct(1−z)
;
откуда
h(s) = β(s + c − cδ(s)).
При B(t) = 1 − e
или
−bt
, b > 0, имеем
h(s) =
h(s) =
∞
Z
−(s+b)t
be
0
b
·
s + b
1 − δ(s) · γ(s + b)
P (δ(s), t) dt
1 − γ(s + b)
.
Эти рассуждения и формулы позволяют свести задачу для исходной
системы обслуживания к той же задаче, но для системы обслуживания,
не выходящей из строя в период занятости.
Б. Получение основных формул задачи. Предположим, чт о каж-
дый клиент является либо красным, либо синим, причем произвольный
клиент объявляется красным с вероятностью z, 0 6 z 6 1, независимо от
того, какого цвета остальные клиенты. Вспоминая, что
pkN— вероятность того, что N-й клиент, покидая систему (после окон-
чания обслуживания), оставляет в ней k клиентов, имеем:
pkNzk— вероятность того, что N -й клиент, покидая систему, оставляет
в ней лишь k красных клиентов;
PN(z) =
k
z
X
pkNzk— вероятность того, что все клиенты, оставшиеся
k>0
в системе после обслуживания N -го клиента, красные;
∞
Z
k
(at)
−at
e
k!
0
dH(t) — вероятность того, что за время пребывания кли-
ента на приборе в систему поступит лишь k красных клиентов;
X
k>0
∞
Z
k
(at)
k
z
0
−at
e
k!
dH(t) =
∞
Z
0
−a(1−z)t
e
dH(t) =
108 Гл. 2. Системы обслуживания одним прибором
= h(a − az) — вероятность того, что за время пребывания клиента на
приборе в систему не поступят синие клиенты.
Аналогично
ωN(a − az) — вероятность того, что все поступившие в систему кли-
енты за время ожидания начала обслуживания N-м клиентом
оказались красными.
Отметим, что вероятностное толкование h(a −az) и ωN(a −az) мож-
но получить и следующим образом. Так как поток клиентов является
пуассоновским с параметром a, а каждый клиент является красным
с вероятностью z, то поток кра с ных клиентов является пуассоновским
с параметром az, поток же синих клиентов является пуассоновским с параметром a(1 − z). Отсюда следует, что вероятность того, что за время
пребывания клиента на приборе в систему не поступят синие клиен-
ты, равна
∞
Z
0
−a(1−z)t
e
dH(t) = h(a − az). Аналогично интерпретируется
ωN(a − az).
Для того чтобы все клиенты, оставшиеся в системе после окончания
обслуживания N-го клиента, были красными, необходимо и достаточно,
чтобы за время ожидания начала обслужива ния N-м клиентом и за
время его пребывания на приборе в систему поступили лишь красные
клиенты. Отсюда
PN(z) = ωN(a − az) · h(a − az). (1)
Далее, пусть R(z) — условная вероятность того, что если после окон-
чания обслуживания некоторого клиента система стала свободной, то
все клиенты, поступившие в систему до начала обслуживания следующего клиента, включая и его, окажутся красными. Тогда
zP
(z) = [PN(z) − PN(0) + PN(0)R(z)] · h(a − az). (2)
N+1
В самом деле, для того чтобы (N + 1)-й клиент был красным и, покидая
прибор, оставил в системе разве лишь красных клиентов (вероятность
чего есть zP
(z)), необходимо и достаточно, чтобы N-й клиент, по-
N+1
кидая прибор, либо оставил систему не пустой, при этом оставшиеся
клиенты были красными (вероятность чего есть PN(z) − PN(0)) и за
время пребывания на приборе следующего красного клиента в систему не поступали синие клиенты (вероятность чего ес ть h(a − az)), либо
оставил систему свободной (вероятность чего есть PN(0)), после чего
все клиенты, поступившие в систему до начала обслуживания следующего клиента, включая и его самого, оказались красными (вероятность
чего есть R(z)) и за время пребывания клиента на приборе в систему
не поступали синие клиенты.
§ 3. Обслуживание ненадежным прибором с ожиданием 109
Ниже мы покажем, что
R(z) = z ·
1 − e(a)
1 − e(a)ϕ(a)
ϕ(a − az) − ϕ(a)
+ e(a)
1 − e(a)ϕ(a)
. (3)
Наконец, так как время пребы вания клиента в системе складывается
из времени ожидания начала обслуживания и времени пребывания на
приборе, а последние сл.в. независимы, то
vN(s) = ωN(s) · h(s). (4)
В. Доказательство формулы (3). Если в некоторый момент (этот
момент можем считать равным нулю) прибор освободился от клиентов,
то выход прибора из строя может произойти через время ∆1, после
чего прибо р восстанавливается за время ∇1; пусть следующий интервал «жизни» прибора равен ∆2, последующий интервал восстановления
имеет длину ∇2и т.д. Каждый элемент последовательности {∆i}
имеет распределение E(t), а последовательности {∇i}
— распределе-
i>1
i>1
ние F(t).
Рассмотрим следующие события:
(a) — первый клиент поступит в один из интервалов ∆iи окажется
красным;
(b) — первый клиент поступит в один из интервалов ∇i, окажется
красным, и за оставшееся время восстановления прибора в си-
стему не поступит ни один синий клиент.
Ясно, что
R(z) = P (a) + P (b).
Положим
ζn=
n
X
(∆i+ ∇i), ζ0= 0.
i=1
Если первый вызов поступит через интервал длины x и совершится
событие (a), то произойдет лишь одно из следующих несовместимых
событий
{ζn< x 6 ζn+ ∆
}, n > 0.
n+1
Отсюда заключаем, что
∞
Z
P (a) = z
X
P {ζn< x 6 ζn+ ∆
n>0
0
n+1
}d(1 − e
−ax
),
но
{ζn< x 6 ζn+ ∆
} = {x − ∆
n+1
6 ζn< x},
n+1
110 Гл. 2. Системы обслуживания одним прибором
откуда, полагая
G(t) = P {ζn< t} = [E(t) ∗ F (t)]
n
,
∗
получаем
∞
Z
P {ζn< x 6 ζn+ ∆
} =
n+1
= Gn(x) −
[Gn(x) − Gn(x − u)] dE(u) =
0
x
Z
Gn(x − u) dE(u) = Gn(x) ∗ [1 −E(x)].
0
Возвращаясь к P (a), имеем
P (a) = z
X
gn(a)[1 − e(a)] = z[1 −e(a)]
n>0
X
[e(a) · ϕ(a)]n= z
n>0
1 − e(a)
1 − e(a)ϕ(a)
Найдем теперь P (b). Если первый клиент поступит через интервал
длины x и событие (b) произойдет, то совершится лишь одно из следующих несовместимых для различных n событий:
.
{ζn+ ∆
Если теперь ∇
n+1
< x 6 ζ
n+1
} = {x −∇
n+1
= v и ζn+ ∆
6 ζn+ ∆
n+1
= w, то после поступления первого
n+1
< x}, n > 0.
n+1
клиента оставшееся время восстановления равно w + v − x. Отсюда
P (b) = z
X
n>0
∞
Z
0
d(1 − e
−ax
)
×
∞
Z
0
Z
x−v
x
dF (v)×
X
[a(w + v − x)]
k>0
k
−a(w+v−x)
k!
e
· zkdKn(w),
где
Kn(t) = P {ζn+ ∆
< t} = Gn(t) ∗ E(t).
n+1
Производя суммирования по k и меняя порядок интегрирования по переменным v и w, получим
P (b) = z
= z
X
n>0
X
n>0
Z
0
∞
Z
0
∞
d(1 − e
d(1 − e
−ax
−ax
)
x
Z
)
0
x
Z
dKn(w)[e
0
dKn(w)
∞
Z
−a(w+v−x)(1−z)
e
x−w
a(1−z)(x−w)
−F (x − w) ∗ e
dF (v) =
· ϕ(a − az)−
a(1−z)(x−w)
] =
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]