Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория массового обслуживания. Учебное пособие
.pdf
§ 9. Рекуррентный поток, произвольное время обслуживания 191
правило распределения поступающих вызовов на свободные приборы
не играет никакой роли. Для определенности мы выберем следующее
правило: перенумеруем приб оры числами 1, . . . , n; первые n вызовов
в порядке их поступления рас пределим на приборы 1, . . . , n соответственно; после этого вызов, заставший в момент своего поступления
свободные от обслуживания приборы, распределяется на тот прибор
(из числа свободных приборов), который раньше других освободился
от обслуживания.
Если вызовы занумеровать числами 1, 2, . . . в порядке их поступления, т о при таком способе распределения вызовов по приборам первый прибор будет обслуживать вызовы с номерами 1, n + 1, 2n + 1, . . .
. . . , kn + 1, . . ., и вообще i- й прибор будет обслуживать вызовы с номерами i, n + i, 2n + i, . . . , kn + i, . . . (i = 1, . . . , n).
Отметим (см. § 9 Гл. 0), что поток вызовов, поступающих на прибор
с номером i(i = 1, . . . , n), начиная с момента первого поступления вызова на этот прибор, является рекуррентным, определяемым ф.р. B(t),
преобразование Лапласа—Стилтьеса которой дается выражением
β(s) = [α(s)]n.
Теперь ясно, что задача определения времени ожидания начала обслуживания для описанной сейчас системы сводится к аналогичной задаче для случая n = 1.
§ 9. Рекуррентный поток, произвольное время обслуживания
на каждом приборе; распределение вызовов, независимое от
состояния приборов
Система обслуживания состоит из распределительного устройства
РУ и n обслуживающих приборов, занумерованных числами 1, . . . , n.
Поток вызовов, предъявляющих требование к обслу живанию, поступает на РУ, распределяющее их по приборам. Относительно потока
вызовов, работы РУ и обслуживающих приборов сделаем следующие
предположения:
— моменты поступления вызовов на РУ образуют рекуррентный
поток, определяемый ф.р. A(t);
— занумеруем вызовы в порядке их поступления числами 1, 2 , . . .
и обозначим через νkномер прибора, на который распределяется в ы з ов с номером k, k > 1; чтобы определить работу РУ,
нужно определить последовательность чисел ν1, ν2, . . .; мы будем
предполагать, что последова тельность ν1, ν2, . . . образует однородную (конечную, с числом состояний n) цепь Маркова, опре-
192 Гл. 3. Системы обслуживания многими приборами
деляемую матрицей переходных вероятностей P = {pij}, так что
P {ν
= j/νk= i} = pij, k > 1, 1 6 νk6 n. Для полной определен-
k+1
ности мы еще должны задать P {ν1= i}; положим
P {ν1= i} = pi, p1+ . . . + pn= 1;
— вызов, распределенный на некоторый прибор, или сразу начина-
ет обслуживаться, если прибор свободен, или ожидает начала обслуживания в порядке очередности (в противном слу чае); предполагаем, что длительности времени обслуживания всех вызово в
есть независимые сл.в.; при этом каждый вызов обслуживается
лишь на одном приборе, и если вызов распределен на прибор
с номером i, то длительность времени обслуживания его на этом
приборе имеет ф.р. Bi(t).
Ставится задача определения стационарной ф.р. времени ожидания начала обслуживания вызова, поступившего на РУ, а также условной стационарной ф.р. времени ожидания начала обслуживания при
условии, что поступивший вызов распределен на прибор с номером
i, 1 6 i 6 n.
Найдем сначала поток вызовов, поступающих на прибор с номером
(i)
(i)
0
(i)
, t
, . . . — последовательные моменты поступле-
1
2
= 0.
(i)
(i)
, z
, . . . независимы
1
(i)
(i)
, z
, . . . одинаково распределены;
2
3
2
(i)
k
i, i = 1, . . . , n. Пусть t
ния тех вызовов, которые распределены на прибор с номером i; z
(i)
= t
(i)
− t
k−1
, k > 1, t
k
Предложение. а) Случайные величины z
в совокупности, причем сл.в. z
б) для всякого λ, удовлетворяющего |λ| < 1, матрица I − λP обра-
тима; пусть
P (λ) = λP(I − λP)−1= {pij(λ)},
=
тогда pij(λ) представляется в виде степенного ряда по степеням λ
с радиусом сходимости 1; если
Ai(t) = P {z
(i)
< t}, k > 2,
k
то
αi(s) =
pii(α(s))
1 + pii(α(s))
. (1)
Доказательство. Утверждение а) очевидно. Докажем утверждение б). Если P = {pij}— ма трица переходных вероятностей для однородной цепи Маркова, а p
m
— вероятность перехода из сос тояния i в со-
ij
стояние j за m шагов, т о
m
{p
} = Pm.
ij
§ 9. Рекуррентный поток, произвольное время обслуживания 193
Обозначим еще через q
m
вероятность перехода из состояния i в состоя-
ij
ние j точно за m шагов (без попадания в j до m-го шага); тогда
m
p
= q
ij
m−1
m
+ q
ij
1
p
+ . . . + q
jj
ij
m−1
1
p
ij
jj
или в ма тричном виде
Pm= Q
(m)
H0+ Q
(m−1)
H1+ . . . + Q
(1)
H
; (2)
m−1
здесь
(k)
Q
k
= {q
}, Hk= {δij· p
ij
k
}, k > 1; H0= {δij} = I.
ij
Положим
P (λ) =
Q(λ) =
H(λ) =
X
Pkλk= {pij(λ)}=
k>1
X
(k)λk
k>1
X
Q
= {qij(λ)},
Hkλk;
k>0
n
X
k>1
o
k
k
p
λ
,
ij
(3)
тогда из (2) имеем
P (λ) = Q(λ)H(λ). (4)
Заметим, что ряды (3) сходятся, по крайней мере, в круге |λ| < 1. Так
как
H(λ) = {δij[1 + pij(λ)]}
и 1 + pij(λ) 6= 0 при |λ| < ε, то
H−1(λ) =
n
1 + pii(λ)
o
δ
ij
;
тогда из (4) имеем
Q(λ) = P (λ)H−1(λ),
откуда
qij(λ) =
pij(λ)
1 + pjj(λ)
. (5)
В частности,
qii(λ) =
pii(λ)
1 + pii(λ)
(6)
при |λ|< ε, а так как функции qii(λ) и pii(λ) аналитичны в круге |λ| < 1,
то из последнего соотношения следует, что 1 + pii(λ) 6= 0 при |λ| < 1, т.е.
формула (6) верна, по крайней мере, при |λ| < 1.
194 Гл. 3. Системы обслуживания многими приборами
Заметим еще, что
P (λ) = λP(I − λP)
−1
для |λ| < 1, так как корни уравнения det(I − λP ) = 0 лежат вне круга
|λ| < 1 (напомним, что матрица P стохастична).
Теперь утверждение б) предложения следует немедленно, если воспользоваться результатом § 9 Гл. 0, имея в виду a0= q
(3)
a2= q
, . . .; λF(λ) =
ii
X
k>0
akλ
k+1
= qii(λ) и формулу (3) § 9 Гл. 0.
(1)
, a1= q
ii
(2)
ii
После этого исходна я задача может быть решена следующим образом. Условная стационарная ф.р. Wi(t) времени ожидания начала
обслуживания вызова при условии, что он распределен на прибор с номером i, определяется как стационарная ф.р. времени ожидания для
случая, когда рекуррентный поток вызовов, определяемый ф.р. Ai(t),
преобразование Лапласа—Стилтьеса которой дается формулой (1), обслуживается одним прибором с распределением длительности времени
обслуживания каждого вызова, равным Bi(t). При этом можно воспользоваться результатом §§ 7—9 Гл. 2.
Пусть W
(k)
(t) — ф.р. времени ожидания начала о бслуживания для
k-го вызова (нумерация вызовов происходит в порядке их поступления
на РУ), а W
(k)
(t) — та же функция, но при условии, что k-й вызов рас-
i
пределен на прибор с номером i. Без ограничения общности можем
считать цепь Маркова, управляющую работой РУ, неприводимой. То-
гда lim
k→∞
где p
(k)
W
(t) = Wi(t) и
i
n
X
(k)
(k)
W
(t) =
i=1
(k)
— вероятность того, что k-й вызов распределяется на прибор
i
(k)
p
W
i
(t),
i
с номером i; эти вероятности определяются соотношениями
n
p
(1)
i
= pi, p
(k+1)
i
X
=
j=1
pjp
k
, k > 1.
ji
Мы не можем утверждать, что существует
(k)
lim
W
k→∞
так как хотя и существуют пределы lim
k→∞
(k)
p
необязательно (например, в случае периодической це-
i
вание lim
(t),
k→∞
(k)
W
(t) = Wi(t), но существо-
i
пи), поэтому мы поступим следующим образом. Вероятность того, что
,
§ 9. Рекуррентный поток, произвольное время обслуживания 195
произвольно выбранный вызов среди первых N вызовов будет ожидать
начала обслуживания время, не превосходящее t, равна
N
X
1
(k)
W
(t),
k=1
N
поэтому предел
N
X
1
W (t) = lim
N→∞
k=1
(k)
W
N
(t) (7)
(если он существует) можно толковать как ф.р. времени ожидания начала обслуживания для произвольно выбранного вызова (среди всех
вызовов). Заметим, что
N
X
1
N
k=1
W
(k)
(t) =
n
X
i=1
N
X
1
N
k=1
(k)
(k)
p
W
i
(t). (8)
i
Далее отметим, что для всякой неприводимой цепи Маркова существуют
такие, что
lim
N→∞
X
1
N
k=1
N
(k)
p
i
πi> 0 и
= lim
N→∞
n
X
i=1
1
N
πi= 1.
N
X
k=1
k
p
= π
i
ji
(9)
Воспользуемся, наконец, утверждением: если для последова тельностей
x1, x2, . . .; a1, a2, . . . существуют пределы
x = lim
N→∞
x1+ . . . + x
N
N
, lim
N→∞
aN= a,
то существует
x1a1+ . . . + xNa
lim
N→∞
N
N
= xa.
Поэтому из (8) и (9) следует существование предела (7) и
n
W (t) =
X
πiWi(t). (10)
i=1
Функции Wi(t), i = 1, . . . , n, W (t) и представляют те функции, которые
мы желали определить.
Отметим, что условие существова ния стационарной ф.р. Wi(t) есть
bi> aπi, (11)
196 Гл. 3. Системы обслуживания многими приборами
где
a−1=
∞
Z
t dA(t) < ∞, b
0
−1
i
∞
Z
=
t dBi(t) < ∞,
0
а условием существования ф.р. W (t) является
a−1> max
16i6n
−1
{πib
}. (12)
i
В самом деле, пусть
∞
Z
−1
a
=
i
t dAi(t) = −α
0
′
(0).
i
Так как αi(s) = qii(α(s)) и α(0) = 1, α′(0) = −α−1, то
−1
′
= q
(1)a−1,
ii
i
X
k
kq
= 1/πi.
ii
k>1
но
q
′
(1) =
ii
a
Таким образ ом,
1
−1
a
=
i
a−1.
π
i
Согласно предложению § 8 Гл. 2 условие существования стационарной
ф.р. Wi(t) времени ожидания есть ai/bi< 1 или, что то же, (11). Если
выполнено (12), то все фу нкции Wi(t) есть ф.р., следовательно, и функция W (t), определяемая (10), есть тоже ф.р.
Задача 1. Рассмотреть случай, когда моменты поступления вызовов образуют поток Эрланга; работа РУ управляется цепью Маркова
с матрицей переходных вероятностей
P =
0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
. . . . . . .
0 0 0 . . . 1
,
1 0 0 . . . 0
а длительности времени обслуживания на каждом приборе распределены произвольно.
Указание. αi(s) = [α(s)]n.
§ 10. Обслуживание с преимуществом (рекуррентный поток) 197
Задача 2. Рассмотреть случай, когда моменты поступления вызовов образуют пуассоновский поток, работа РУ управляется матрицей
P =
p1p2. . . p
p1p2. . . p
. . . . . . . .
p1p2. . . p
n
n
,
n
а обслуживающие приборы работают ненадежно (так же как в § 3 Гл. 2).
Указание. В этом случае моменты поступления вызовов, распределенных на прибор с номером i, образуют пуассоновский поток, i =
= 1, . . . , n; далее воспользоваться результатом § 3 Гл. 2.
Задача 3 (продолжение). Рассмотреть случай, когда перед некоторыми приборами допускается ограниченная очередь.
Указание. См. § 4 Гл. 2.
§ 10. Обслуживание с преимуществом (рекуррентный поток
вызовов, экспоненциальное время обслуживания)
Описание системы обслуживания и постановка задачи. Поток вызовов, предъявляющих требование к обслуживанию, поступает в систему, состоящую из n обслуживающих приборов. Относительно пот ока
вызовов, дисциплины распределения вызовов по приборам и дисциплины обслуживания вызовов на приборах делаются следующие предположения:
— поток вызовов является рекуррентным, определяемым ф.р. A(t),
A(+0) < 1;
— длительности обслуживания всех вызовов есть независимые
сл.в.;
— обслуживающие приборы занумерованы числами 1, . . . , n; дли-
тельность времени обслуживания вызова на приборе с номером i
имеет экспоненциальное распределение с параметром bi;
— множество всех вызовов делится на r классов, занумерованных
числами 1, . . . , r; вызовы класса k, k = 1, . . . , r, будем еще называть вызовами приоритета k; каждый поступающий вызов объявляется вызовом приоритета k с вероятностью akнезависимо от
того, сколько и какого приоритета поступило до этого вызовов;
— каждому вызову, заставшему в момент своего поступления сво-
бодные от обслуживания приборы, ставится в соответствие один
из этих приборов; правило, по которому производится такое соответствие, может быть произвольным;
198 Гл. 3. Системы обслуживания многими приборами
— вызовы приоритета i имеют преимущество перед вызовами прио-
ритета j, если i < j; будем при этом говорить, что вызовы класса i
более высокого приоритета по сравнению с вызовами класса j;
указанное преимущество заключается в следующем: пусть вызов в момент своего поступления застает все приборы занятыми;
тогда:
а) если среди обслужив ающихся вызовов есть вызовы низшего
приоритета, чем поступивший, то прерывается обслуживание
вызова самого низшего приоритета (если их много, то среди
вызовов низш е г о приоритета прерывается тот, который позже
остальных поступил в систему) и начинается обслуживание
поступившего вызова;
б) если среди обслужив ающихся вызовов нет вызова более низ-
кого приоритета по сравнению с поступившим вызовом, то последний становится в очередь на обслуживание впереди вызовов низшего приоритета, ожидающих начала обслуживания,
и за вызовами высшего приоритета, находящимися в очереди
(если такие имеются);
— прерванный вызов дообслуживается;
— по тому, какой предусматривается порядок обслуживания для
вызовов одного приоритета, будем различать следующие две схемы:
Схема 1. Вызовы одного приоритета обслуживаются в порядке их
поступления;
Схема 2. Среди вызовов одного приоритета, ожидающих начала
обслуживания, первым обслуживается тот, который поступил позже
остальных.
Для такой системы обслуживания поставим задачу определения предельной ф.р. времени ожидания начала обслуживания для вызова приоритета i, i = 1, . . . , r. Эту ф.р. обозначим через Wi(t).
Положим
R(z, s, β(s) = [z −β(s + b − bz)]−1×
1 − β(s + b − bz)
×nz
1 − z
s
·
s + b − bz
− β(s + b − bz)
s + b − bγ(s)
o
s
,
b = b1+ . . . + bn;
где
γ(s) = β(s + b − bγ(s)),
причем это функциональное уравнение определяет единственную функцию γ(s), аналитическую в полуплоскости Re s > 0, в которой |γ(s)| < 1.
§ 10. Обслуживание с преимуществом (рекуррентный поток) 199
Последнее утверждение верно (и просто проверяется с использованием
предложения Руше), например, для случая, когда β(s) — преобразование Лапласа—Стилтьеса некоторой ф.р. неотрицательной сл.в.
Предложение. а) Для схемы 1 при a(a1+ . . . + ai) < b
где
αk(s) = α(s)
ωi(s) = 1 − CiρiR(ρi, s, α
1 − σ
k
1 − σkα(s)
, 1 − σk= a1+ . . . + αk, σr= 0;
(s)), (1)
i−1
ρi— единственный корень уравнения
ρi= αi(b − bρi),
лежащий в (0, 1).
б) Для схемы 2 при a(a1+ . . . + a
ωi(s) = 1 − C
i−1ρi−1
R(ρ
) < b
i−1
, s, αi(s)), i = 2, . . . , r.
i−1
Для i = 1
ω1(s) = 1 − ρ1+ ρ1π(s),
где
π(s) =
b
[1 − γ1(s)]
s
b
1 +
s
,
[1 − γ1(s)]
γ1(s) определяется уравнением
γ1(s) = α1(s + b − bγ1(s)),
причем это функциональное уравнение определяет единственную
функцию γ1(s), аналитическую в полуплоскости Re s > 0, в которой
|γ1(s)| < 1.
в) Константы Ciзависят от правила, по которому каждому вы-
зову, заставшему в момент своего поступления свободные от обслуживания приборы, ставится в соответствие один из них. Отметим,
что Ciρi(1 −ρi)−1есть предельная вероятность того, что вызов в момент своего поступления застает в системе все приборы занятыми
обслуживанием вызовов приорите т а i и выше.
г) Для обеих схем функции Wi(t) являются неубывающими и неотрицательными. При этом для схемы 1
для схемы 2
Wi(+∞) = 0 при a(a1+ . . . + a
Wi(+∞) = 0 при a(a1+ . . . + ai) > b,
Wi(+∞) = 1 при a(a1+ . . . + ai) < b;
) > b,
i−1
200 Гл. 3. Системы обслуживания многими приборами
0 < Wi(+∞) < 1 при a(a1+ . . . + a
) < b < a(a1+ . . . + ai),
i−1
Wi(+∞) = 1 при a(a1+ . . . + ai) 6 b.
Доказательство разобьем на пункты.
А. Так как поток вызовов является рекуррентным, а каждый вызов с вероятностью a1+ . . . + aiявляется вызовом приоритета i и выше, то поток вызовов приоритета i и выше также является рекуррентным (см. § 9 Гл. 0), определяемым ф.р. Ai(t), преобразование Лапласа—
Стилтьеса которой есть (см. пример 1 § 9 Гл. 0)
1 − σ
αi(s) = α(s)
Обозначим, далее, через p
i
1 − σiα(s)
, 1 − σi= a1+ . . . + ai; σr= 0.
(i)
вероятность того, что N-й вызов (нуме-
kN
рация вызовов производится в порядке их следования) в момент своего
поступления застает в систе ме k вызовов приоритета i и выше (и, быть
может, еще вызовы приоритета низшего, чем i). Так как на обслуживание вызовов приоритета i и выше вызовы низшего приоритета никакого
влияния не оказывают, то согласно § 7 существуют пределы
(i)
kN
= p
(i)
, k > 0,
k
lim
N→∞
p
такие, что
(i)
p
k+n−1
= Ciρ
k
i
, p
(i)
n−1
= Ci,
где ρi— единственный корень уравнения
ρi= αi(b − bρi),
лежащий в (0, 1). При этом предполагается, что
αi1b = [−α
′
(0)]b > 1, т.е. a(a1+ . . . + ai) < b.
i
Б. Схема 1. Пусть N-й вызов в момент своего поступления застает
в системе k вызовов приоритета i и выше (и, быть может, еще вызовы
приоритета низшего, чем i). Вероятность такого собы тия равна p
(i)
kN
(даже если будет известно, какого приоритета N-й вызов). Пусть известно, что N -й вызов есть вызов приоритета i. Посмотрим, сколько
времени этот вызов будет ожидать начала обслу живания. Если k < n
(n — число приборов), то время ожидания равно нулю. Пусть теперь
k > n. По ложим k = n + ν. Здесь ν имеет смысл длины очереди из вызовов приоритета i и выше. В этом слу чае задача определения времени
(i)
w
ожидания начала обслу живания (N-го вызова приоритета i) равно-
ν
сильна следующей задаче: один прибор обслуживает поступающий рекуррентный поток вызо вов, определяемый ф.р. A
(t); длительность
i−1
обслуживания любого вызова имеет экспоненциальное распределение
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]