Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория массового обслуживания. Учебное пособие
.pdf
§ 5. Связь процессов n
+
и n(t) в стационарном режиме 231
N
Полагая
1
lim
P {0 < ξ(t) < h} = λ
h
h↓0
0
и принимая во внимание, что P {ξ(t) = 0}= P∗(0), получим из (7):
[−s + a − a(p, z)]P
∗
(z, s) = λ
i
h
Ri(z) + P∗(0)
0
i
a
piz
βi(s) − λ0P
i
λ
0
−
(z). (8)
i
При s = a − a(p, z) получаем (см. еще лемму 4):
i
ziPi(z) =hRi(z) + P∗(0)
a
piz
βi(a − a(p, z))Qi(z).
i
λ
0
Теперь из леммы 2 имеем
a
¯
P (0) = P∗(0)
a
=
λ
(1 − ρ). (9)
λ
0
Из (8) и формул лемм 2 и 4 при z = 1 получаем:
∗
sP
(1, s) = λ0Pi(1)[1 − βi(s)]
i
или
∗
P
(1, s) =
i
λ
λ
0
i
·
[1 − βi(s)], (10)
s
λ
откуда находим:
1 − P∗(0) =
X
i∈Ω
∗
P
i
(1, 0) =
X
λ
0
λiβi1=
λ
i∈Ω
λ
0
ρ,
λ
что вместе с (9) дает λ0= λ. Формула (8) те перь совпадает с (4).
3◦. Так как λ0= λ, то формула (9) дает P∗(0) = 1 − ρ. Так как,
далее, P {i(t) = i} = P
∗
(1, 0), то из (10) следует (2). В силу же равенства
i
∗
P
(1, s) = P {i(t) = i} ·E{e
i
−sξ(t)
/i(t) = i}
из (10) получаем (3).
Нам осталось получить формулу (1). Положим в (4) s = 0 и просуммируем левую и правую части по всем i ∈ Ω. Получим
n
X
Ri(z) +¯P (0)(p, z) −
i∈Ω
X
i∈Ω
P
−
i
(z)o.
a[1 − (p, z)]
X
i∈Ω
∗
P
(z, 0) = λ
i
Теперь формула (1) следует из того, что
X
∗
P
(z, 0) = P∗(z) − P∗(0);¯P (0) =
i
i∈Ω
X
Ri(z) =¯P (z) −¯P (0) =
i∈Ω
X
i∈Ω
a
P∗(0);
λ
Pi(z) −¯P (0)
и формулы (2) § 4.
232 Гл. 4. Системы обслуживания с разделением времени
Замечание. Положим
∗
p
ik
= lim
P {ni(t) = k}, p
t→∞
Если pij= 0 для вс е х i и j из Ω, то p
+
= lim
ik
∗
ik
P {niN= k/iN= i}.
N→∞
+
= p
для всех i ∈ Ω и всех целых
ik
чисел k > 0. В самом деле, в этом случае для набора z = {zj, j ∈ Ω}
такого, что zj= 1 для всех j ∈Ω, кроме j = i ∈ Ω, и |zi|6 1 из (1) следует:
P∗(z) = Pi(z)/Pi(1).
§ 6. Соотношения для первых моментов вложенной цепи
Маркова
Для вложений цепи Маркова ηN= {nN, iN}, N > 1, где nN=
= {njN, j ∈ Ω}, положим
xj= lim
EnjN, xij= lim
N→∞
N→∞
EnjNδ
i,u(nN)
.
Отметим, что xjи xijмогут быть определены согласно (8), (9) § 3 и что
xij/Ri(1) есть среднее число требований на фазе j в момент переклю-
чения обслуживания на фаз у i (в стационарном режиме).
Лемма 6. Для любых i и j из Ω
X
xij+ xji=
(xαidαj+ xαjdαi) + cij, (1)
α∈Ω
где
dij= apjβi1+ pij,
X
λcij=
λα(a2pipjβα2+apiβα1pαj+apjβα1pαi)+2λiδij−λidij−λjdji.
α∈Ω
Доказательство следует из (7) § 3 и формул
bα(z)
i
z=1
∂
∂
j
Rα(z)
i
2
¯
P (z)
= apiβα1+ pαi= dαi,
z=1
= a2pipjβα2+ apiβα1pαj+ apjβα1pαi,
= xαi− Rα(1)δαi,
z
α
z=1
Rα(z)
j
z=1
− xαiδαj− xαjδαi+ 2Rα(1)δαiδαj,
=
z=1
X
α∈Ω
2
∂
∂zi∂z
j
Rα(z)
z=1
.
2
∂
∂zi∂z
Rα(z)
j
∂
∂zi∂z
z
α
2
z=1
bα(z)
j
∂zi∂z
=
∂
∂z
2
∂
∂z
∂zi∂z
§ 7. Вид функции потерь 233
§ 7. Вид функции потерь
Так как
li(t) = ni(t) − δ
i,i(t)
, i ∈ Ω,
то
Eli(t) = Eni(t) − P {i(t) = i}.
Полагая
¯ni= lim
Eni(t),¯li= lim
t→∞
t→∞
Eli(t),
с учетом (2) § 5 получим:
¯
li= ¯ni− λiβi1;
поэтому функция потерь (1) § 1 принимает вид
X
J = (c,¯l) = (c, ¯n) −
ciλiβi1. (1)
i∈Ω
Здесь ¯n = {¯ni, i ∈ Ω}. Выразим ¯n и затем J через {xij}.
Предполагая, что Bi(+0) = 0 для всех i ∈Ω, воспользуемся для этой
цели фо рмулой (3) § 3 и формулой (1) § 5, переписав последнюю в виде
[1 − (p, z)]P∗(z) =
=
Так как
∂
∂z
P∗(z)
i
λ
a
n
λ
a
X
i∈Ω
¯
P (z) −
z=1
h
Pi(z) − Pi(z)
X
[Rα(z) +¯P (0)pαzα] βα(a − a(p, z))o. (2)
α∈Ω
= ¯ni, то вторая производная по ziлевой части
z
i
Qi(z)
i
=
(2) в точке z = 1 равна −2pi¯ni. Эта же производная право й части (2)
с учетом формул, помещенных в конце предыдущего параграфа, равна
n
X
λ
−
a
[Rα(1)+¯P (0)pα]a2p
α∈Ω
= −
X
λ
a
α∈Ω
n
λ
α
a2p
λ
= −nap
2
i
2
βα2+ 2hxαi+
i
X
2
i
α∈Ω
h
βα2+2
∂z
∂
i
λαβα2+ 2λp
Rα(z)
a
(1 − ρ)pαδ
λ
+¯P (0)pαδ
z=1
X
xαiβα1+ 2(1 − ρ)ap
i
α∈Ω
i
αi
i
αi
apiβ
o
α1
apiβ
=
α1
2
i
o
=
o
β
i1
откуда находим:
¯ni= λ
X
xαiβα1+
α∈Ω
ap
X
i
λαβα2+ (1 − ρ)apiβi1.
2
α∈Ω
Таким образом, получена
,
234 Гл. 4. Системы обслуживания с разделением времени
Лемма 7.
J = λ
X
cixαiβα1+ const,
i,α∈Ω
где const не зависит от выбора функции переключения u = u(n); или
в векторно-матричной записи
J = λ(c, X′β) + const, (3)
где
c = {ci, i ∈ Ω}, β = {βi1, i ∈ Ω}, X = {xij; i, j ∈ Ω}.
§ 8. Экстремальная задача
Согласно § 1 наша цель — в классе U = {u} всех функций переключе-
ния (фаз обслу живания) найти функцию переключения u∗, для которой
J(u∗) = min
u∈U
J(u).
Функционал J = J(u) записывается в виде (3) § 7, в котором числа xij,
составляющие матрицу X , естественно зависят от выбранной функции
переключения u ∈ U. Кроме того, эти числа удовлетворяют системе
уравнений (1) § 6. В связи с эт им расс мотрим следующую задачу линейного программирования: найти минимум линейног о функционала (3)
§ 7 по X = {xij}, где все xijнеотрицательны и удовлетворяют системе
линейных уравнений (1) § 6. Если этот минимум равен J∗и существует
функция переключения u∗∈ U, для которой J (u∗) = J∗, то, конечно,
u∗есть оптимальная функция переключения (на которой достигается
минимум функционала J(u) по всем u ∈ U ). Мы скоро убедимся, что
это на самом деле имеет место, и найдем вид функции переключения.
Очевидно, что вместо функционала (3) § 7 мы можем рассматривать
функционал J = (c, X′β).
Итак, рассмотрим следующую задачу линейного программирования:
найти минимум функционала
J = (c, X′β), (1)
где элементы матрицы X = {xij; i, j ∈ Ω} удовлетворяют неравенствам
xij> 0 для всех i, j ∈ Ω (2)
и системе уравнений
X
xij+ xji−
(xαidαj+ xαjdαi) = cij. (3)
α∈Ω
§ 9. Оценка снизу функционала потерь 235
Для произвольного порядка π элементов из Ω будем писать iπ≺j или
проще i ≺ j (когда ясно, о каком порядке π идет речь), если элемент i ∈Ω
предшествует элементу j ∈Ω согласно порядку π.
Мы будем еще использовать следующее предположение: для любого порядка π элементов из Ω существует набор чисел {xij}, удовлетворяющих (2), (3), для которого xij= 0 при i ≺ j.
Это предположение не является ограничением, так как в существовании такого набора {xij} можно убедиться непосредственно, вспомнив
вид коэффициентов cij, а еще проще это вытекает из следующих рассуждений. Выберем функцию переключения, соответствующую дисциплине обслуживания с относительным приоритетом (фаз обслуживания), предоставляющей преимущество фазе i по отношению к фазе j,
если i ≺ j. Для такой функции переключения набор {xij} удовлетворяет
(2), (3) и условию xji= 0 при i ≺ j.
§ 9. Оценка снизу функционала потерь
Пусть r — число элементов из Ω. Выберем некоторую нумерацию
этих элементов числами 1, 2, . . ., r. Мы можем считать, что Ω={1, . . ., r}.
Запишем систему уравнений (3) § 8 в матричном виде
X + X′= X′D + D′X + C,
где D = {dij}, C = {cij}, или в виде
(I − D′)X + X′(I − D) = C.
Используя запись (см. конец § 3) D = P + aβp′, получим
(I − P′)X + X′(I − P ) = apβ′X + aX′βp′+ C. (1)
Для k = 1, . . . , r через Rkобозначим матрицу, образованную из P
заменой последних r − k столбцов нулевыми столбцами. В конце § 3 мы
видели, что любое собственное значение матрицы P по модулю меньше
единицы. Следовательно, то же самое верно и для матрицы Rk. В частности, допустимо разложение
X
n>0
n
R
.
k
X
n
R
β; (2)
k
n>0
(I − Rk)−1=
Положим
wk= (I − Rk)−1β =
236 Гл. 4. Системы обслуживания с разделением времени
отсюда видно, что wk> 0 (запись w > 0 для вектора w означает, что
компоненты этого вектора неотрицательны). Представим wkв виде
wk= uk+ vk; uk> 0, vk> 0;
wk= (wk1, . . . , wkr)′; uk= (wk1, . . . , wkk, 0, . . . , 0)′.
Так как Rkuk= P uk, Rkvk= 0, то из (2) следует:
β = (I − P )uk+ vk. (4)
Умножим каждую из частей равенства (1) слева на вектор-строку
′
u
и справа на вектор-столбец uk. Так как
k
′
u
(I − P′)Xuk= [(I − P )uk]′Xuk= (β′− v
k
= (X′β, uk) − (vk, Xuk) = u
′
au
pβ′Xuk= a(p, uk)(X′β, uk) = au
k
′
u
Cuk= (Cuk, uk),
k
то
[1 − a(p, uk)](X′β, uk) = (vk, Xuk) +
′
)Xuk=
k
′
Xβ p′uk;
k
1
(Cuk, uk). (5)
2
′
X′(I − P )uk;
k
Отметим, что 1 − a(p, uk) > 0, так как из (4) следует:
uk= (I − P )−1(β − vk) =
X
Pn(β − vk) 6
n>0
X
Pnβ =
n>0
= (I − P )−1β = γ = (γ1, . . . , γr)′,
т.е. a(p, uk) 6 a(p, γ) = ρ < 1.
Положим
hk=
(vk, Xuk)
1 − a(p, uk)
, bk=
(Cuk, uk)
1
2
1 − a(p, uk)
,
X′β =y = (y1, . . . , yr)′;
(3)
(6)
тогда равенство (5) запишется в виде
(uk, y) = hk+ bk; k = 1, . . . , r;
или
w11y
1
w21y1+ w22y
2
= h1+ b1,
= h2+ b2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
wr1y1+ wr2y2+ . . . + wrryr= hr+ br,
или в векторной записи
W y = h + b. (7)
Функционал же потерь (1) § 8 в новых обозначениях равен J = (c, y).
§ 10. Структура оптимальной дисциплины обслуживания 237
Отметим, что матрица W обратима. В самом деле, из (2) следует:
wk− β > 0, т.е.
wki> βi1> 0. (8)
Лемма 8. Если
то J = (c, y)>J∗= (z, b), где W
′−1
W
c > 0, (9)
′−1
c = z = (z1, . . ., zr)′. Кроме того, J =J
тогда и только тогда, когда zk> 0 влечет xji= 0 п ри i 6 k < j.
Доказательство. Из (7) и (9) следует:
J = (c, y) = (c, W−1h) + (c, W−1b) = (z, h) + (z, b) > J∗= (z, b),
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда zk> 0 влечет
hk= 0. Но в силу (3) и (6)
X
[1 − a(p, uk)]hk= (vk, Xuk) =
wkiwkjxji.
i6k<j
Остается заметить, что согласно (8) равенство hk= 0 равносильно
xji= 0 для всех i и j таких, как i 6 k < j.
В силу предположения, сформулированного в конце § 8, существует
набор чисел {xij}, удов летворяющих (2), (3) § 8, для которого xji= 0
при i < j. Для такого набора все hk= 0; следовательно J = J∗. В частности, это означает, что при выполнении условия (9) указанный набор
X = {xij} является одним из решений задачи линейного программирования (1)—(3) § 8.
В следующем параграфе мы покажем, что существует такая нумерация фаз из Ω, при которой условие (9) выполняется автоматически.
∗
§ 10. Структура оптимальной дисциплины обслуживания
Определим последовательно фазы αr, α
, . . . , α1согласно следую-
r−1
щим рекуррентным соотношениям:
Mr= Ω; cα(Mr) = cα, α ∈ Mr;
cαi(Mi)
γαi(Mi)
M
cα(M
= min
= Ω \ {αr, . . . , αi} = Mi\ {αi}; (2)
i−1
) = γα(Mi)
i−1
Видно, что упорядоченный набор фаз αr, α
α∈M
cα(Mi)
γα(Mi)
i
h
cα(Mi)
γα(Mi)
= mi, αi∈Mi; (1)
i
− m
, α ∈ M
i
, . . . , α1может быть опре-
r−1
. (3)
i−1
делен неоднозначно (если минимум в (1) достигается на нескольких фазах из Mi).
238 Гл. 4. Системы обслуживания с разделением времени
Пронумеруем теперь фазы из Ω так, чтобы αi= i (i = 1, . . . , r).
Лемма 9. Для указанной нумерации фаз
′−1
W
c = z, (4)
где
В частности, W
′−1
z =
c > 0.
n
c1(M1)
γ1(M1)
, . . . ,
cr(Mr)
γr(Mr)
o
′
.
Доказательство разобьем на этапы.
1◦. Проверим прежде всего, что wki= γi(Mk), k > i. Из (3), (4) § 9
следует, что
βk= (Ik− Pk) ¯wk;
где Ik— единичная матрица размерности k × k; Pk— матрица размерности k × k, получаемая из матрицы P отбрасыванием последних r − k
строк и столбцов;
βk= (β11, . . . , βk1)′; ¯wk= (wk1, . . . , wkk)′.
Поэтому так же, как компонента γiвектора γ = (γ1, . . . , γr)′, удовлетворяющего уравнению β = (I − P )γ, имеет смысл среднего суммарного
времени обслуживания требования, начиная с фазы i ∈ Mrдо первого
выхода из множества фаз Mr, так и компонента wkiвектора ¯wkимеет
тот же смысл, если Mrзаменить на Mk; т.е. wki= γi(Mk), i ∈ Mk.
2◦. Полагая z = (z1, . . . , zr)′, запишем (4) в виде c = W′z или развернуто
c1(Mr) = w11z1+ w21z2+ . . . + wr1zr,
c2(Mr) = w22z2+ . . . + wr2zr,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(5)
cr(Mr) = wrrzr.
Из последнего уравнения получаем:
zr=
=
w
rr
γr(Mr)
,
cr(Mr)
c
r
а так как wri= γi(Mr), то система уравнений (5), кроме последнего,
с учетом обозначений (2) и (3) и соотношения (1) запишется в виде
c1(M
c2(M
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cr(M
) = w11z1+ w21z2+ . . . + w
r−1
) = w22z2+ . . . + w
r−1
) = w
r−1
r−1 1zr−1
r−1 2zr−1
r−1 r−1zr−1
,
,
(6)
.
§ 10. Структура оптимальной дисциплины обслуживания 239
Отметим, что в силу (1) ci(M
) > 0 для всех i 6 r − 1. Система же
r−1
уравнений (6) аналогична системе (5), если в (5) число r заменить на
r − 1. Остается воспользоваться методом индукции.
Положим теперь
L(i) = zi+ . . . + zr, i = 1, . . . , r.
Обозначим через L1, . . . , Lsмножество различных значений функции
L(α) на Ω; s 6 r. Будем считать, что L1> L2> . . . > Ls. Пусть
∗
M
= {α ∈ Ω: L(α) = Li}. (7)
i
Лемма 10. Для того чтобы функция переключения u ∈ U была
оптимальной, необходимо и достаточно, чтобы фазы из M
преимущество перед фазами из M
Доказательство. Согласно лемме 9 W
∗
, если i < j.
j
′−1
c > 0. В силу леммы 8
∗
имели
i
функция переключения u ∈ U, порождающая X = {xαβ}, оптимальна
тогда и только тогда, когда zk> 0 влечет xβα= 0 при α 6 k < β. Отметим
далее, что в силу определения (7)
1) при 1 6 i < j 6 s номер каждой фазы из M
фазы из M
2) если α ∈ M
∗
;
j
∗
и zα> 0, то zβ= 0 для всех других фаз из M
i
этом β < α; в связи с этим положим ωi= α, если α ∈M
3) в M
∗
при i 6= s существует фаза α ∈ M
i
Необходимость. Пусть 1 6 i < j 6 s, k = ωi∈ M
∗
меньше номера любой
i
∗
такая, что zα> 0.
i
∗
. Тогда zk> 0 и,
i
i
∗
; при
i
∗
и zα> 0;
следовательно, xβα= 0 при α 6 k < β. В частности, xβα= 0 при α ∈ M
и β ∈ M
перед любой фазой β ∈M
∗
. Таким образом, всякая фаза α ∈ M
j
∗
j
Достаточность. Пусть α ∈ M
.
∗
, β ∈ M
i
∗
имеет преимущество
i
∗
и i < j. Так как фаза α
j
имеет преимущество перед фазой β, то xβα= 0. При этом α 6 k = ωi< β.
Если теперь zk> 0, то в силу того, что фаза k совпадает с одной из фаз
{ωi}, xβα= 0 при α 6 k < β.
Теперь теорема § 2 следует из леммы 10, если учесть, что множества
∗
Ω
1
, . . . , Ω
∗
совпадают соответственно с множествами M
s
∗
, . . . , M
s
∗
.
1
Задача 1. Пусть P = 0. Это значит, что каждый вызов обслужи-
вается лишь на одной фазе (на которую он поступил). Показать, что
оптимальный порядок обслуживания заключается в обслуживании по
правилу относительного приоритета с приоритетным индексом i-ой фазы, равным
Ri=
c
i
.
β
i1
Считается, что большему приоритетному индексу фазы соответствует
более высокий приоритет.
∗
i
240 Гл. 4. Системы обслуживания с разделением времени
Задача 2. В систему обслуживания поступает r независимых пуас-
соновских потоков вызовов. Вызовы i-го потока последовательно проходят обслуживание на i-ой цепочке приборов. У каждого прибора
допускается неограниченное ожидание; в каждый момент обслуживание происходит не более, чем на одном приборе. Пусть ci— стоимость
ожидания за единицу времени вызовом i-го потока; τij— среднее время
обслуживания на (i, j)-ой фазе, т.е. на j-ом приборе i-ой цепочки. Показать, что оптимальный порядок обслуживания заключается в обслуживании по правилу относите льного приоритета фаз с приорите тным
индексом (i, j)-ой фазы, равным
.
Rij= c
X
τik.
i
k>j
Задача 3 (продолжение). Будем теперь считать, чт о с вероятностью qijвызов i-го потока проходит обслуживание лишь на первых j
приборах i-ой цепочки;
X
qij= 1. Показать, что в этом случае за оп-
j>1
тимальный приоритетный индекс (i, j)-ой фазы можно взять число
s
X
q
ik
Rij= ci· max
s>j
s
X
k=j
k=j
τ
X
ik
m>k
.
q
im
Задача 4. В систему обслуживания поступает r независимых пуас-
соновских потоков вызовов. Для обслуживания вызова i-го потока требуется случайное время, подчиненное распределению Bi(t). В каждый
момент может обслуживаться лишь один вызов. Прерывание обслуживания любого вы з ова допускается лишь через h единиц времени его
обслуживания (если, конечно, не закончено его обслуживание за эт о
время). Пусть ci— стоимость ожидания за единицу времени выз овом
i-го потока. Предположим, что длительность обслуживания любого
вызова ограничена (с вероятностью 1) некоторой константой и кратна
числу h. Указать оптимальный допустимый порядок обслуживания вызовов в системе (минимизирующий средние потери в единицу времени
в стационарном режиме).
Указание. Свести к предыдущей задаче, полагая
τij= h, qij= Bi(jh) − Bi(jh − h).
Задача 5 (продолжение). Полагая h ↓ 0 и jh → t, получить, что
оптимальный приоритетный индекс вызова i-го приоритета, уже обслу-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]