Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория массового обслуживания. Учебное пособие
.pdf
§ 10. Структура оптимальной дисциплины обслуживания 241
живаемого t единиц времени, равен
Ri(t) = cisup
Bi(x) − Bi(t)
x
Z
x>t
t
.
[1 − Bi(u)] du
Указание.
s
X
qik= Bi(sh) − Bi(jh − h);
k=j
s
X
k=j
X
τ
qim=
ik
m>k
s
X
[1 − Bi(kh − h)] · h;
k=j
Rij→ Ri(t).
Задача 6 (продолжение). Пусть
x
Z
Bi(x) = 1 −expn−
λi(τ) dτo.
0
λi(x) имеет смысл мгновенной интенсивности окончания обслуживания вызова i-го потока в зависимости от затраченного на обслуживание
x единиц времени. Предположим, что λi(x) есть в озрастающая функция. Показать, что
Ri(t) = ciλi(t).
Задача 7 (продолжение). Пусть τi(t) есть среднее время дообслуживания вызова i-го потока в зависимости от уже затраченного на обслуживание t единиц времени. Предположим, что τi(t) есть убывающая
функция времени t. Показать, что в качестве оптимального приоритетного индекса для (i, t)-вызова (т.е. вызова i-го потока, уже обслуживаемого t единиц времени) можно взять
c
Ri(t) =
i
τi(t)
.
Задача 8 (продолжение). П ривести пример функций Bi(t), i =
= 1, . . . , r, таких, что в системе одновременно могут встретиться
(i1, t1) — вызов и (i2, t2) — вызов, причем R
R
(t) и R
i
1
(t) дифференцируемы и имеют локальный максимум в точ-
i
2
(t1)=R
i
1
(t2) и функции
i
2
ках t1и t2соответственно. В этом случае порядок обслуживания вызовов по максимальному приоритетному индексу неосуществим. Показать, что этого не может быть, если выполнено условие задачи
6 и/или 7.
242 Гл. 4. Системы обслуживания с разделением времени
Задача 9. В этой главе был рассмотрен случай, когда вызов , обслуженный на фазе α, поступал в очередь фазы β с вероятностью pαβ,
X
pαβ6 1. С вероятностью же 1 −
β
X
pαβтакой вызов покидал систе-
β
му. Пусть теперь вызов, обслуженный на фазе α, увеличивает очередь
системы на вектор l
(α)
= {l
(α)
, β ∈ Ω}. Предполагается, что распределе-
β
ние этого вектора не зависит от номера акта обслуживания и предыдущей эволюции (реа лизации) процесса обслуживания. Пусть bpαβ= El
b
P = {bpαβ}. Через γ = {γα, α ∈ Ω} обозначим решение уравнения
(α)
β
(I −bP )X = β.
Если M ⊂Ω, то через γ(M ) = {γα(M), α ∈M } обозначим решение этого
же уравнения, если в матрице I −bP исключить строки и столбцы, со-
ответствующие фазам, не входящим в M , и то же самое сделать с компонентами векторов x и β. Показать, что основное предложение § 2
остается в силе.
Задача 10. Показать, что предложение § 2 остается в силе, если
входящие пуассоновские потоки заменить на квазипуассоновские (т.е.
стационарные потоки без последействия).
,
Глава 5
СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОЦЕН ИВАНИЯ
ХАРАКТЕР ИСТИК СИСТЕМ ОБСЛ УЖИВАНИЯ
§ 0. Предварительные сведения
0◦. Введение. Рассмотрим систему обслуживания с ожиданием,
в которую поступает пуассоновский поток вызовов с интенсивностью a.
Длительность обслуживания одного вызова предполагается экспоненциально распределенной с интенсивностью b. Обозначим через τ(θ)
среднее время ожидания начала обслуживания в стационарном режиме как функцию от θ = (a, b). Теория массового обслуживания во многих случаях позволяет найти зависимость некоторой характеристики
качества системы через параметры, определяющие эту систему. Так,
в данном случае
(
ρ
b−1, если ρ = a/b < 1,
τ(θ) =
Однако практически параметры a и/или b бывают неизвестными, хотя мо гут быть известны наблюдения x = (x1, . . . , xn) и y = (y1, . . . , ym),
где x — последовательность длин n промежутков между двумя последовательными моментами поступления вызовов, а y — последователь ность
длительностей обслуживания m вызовов. В этом случае требуется высказать суждение об истинном значении характеристики τ (θ) в зависимости от наблюдений (x, y ). Иногда поступают следующим о бразом. По
x определяют оценку ba для a, по y — оценкуbb для b. Затем в качестве
оценки для τ(θ) предлагается оценка τ(bθ), гдеbθ = (ba,bb). В этой главе
приводится статистический метод оценивания непосредственно самой
характеристики τ (θ). В качестве оценки для τ(θ) будет использоваться
несмещенная оценка, основанная на полной достаточной статистике.
1◦. Постановка статистической задачи. Исходным материалом
для статистического исследования служит совокупность результатов
наблюдений x, представляющих собой значение случайной величины
с распределением Pθ, зависящим от ненаблюдаемого параметра θ ∈ Ω .
Статистические выводы призваны по результатам наблюдений x высказать суждение относительно истинного значения ненаблюдаемого параметра θ ∈ Ω.
Пример. Пусть x = (x1, . . . , xn), где случайные числа x1, . . . , x
независимы и каждое имеет нормальное распределение N(µ, σ2). При
этом µ и/или σ2могут быть неизвестными. Если, например, неизвест-
1 − ρ
+∞, е сли ρ > 1.
n
244 Гл. 5. Статистический метод оценивания характеристик
ны µ и σ2, то за ненаблюдаемый параметр θ принимается θ = (µ, σ2)
и тогда Ω = R1× R
+
.
1
Математической моделью статистического эксперимента может служить вероятностный автомат, преобразующий входной с игнал в выходной. Для описания такого автомата будем интерпретировать:
Ω = {θ} как множество входных сигналов,
X = {x} как множество выходных сигналов.
Автомат работает по правилу — если входной сигнал есть θ, то выходной
сигнал будет x с распределением Pθ:
входной сигнал выходной сигнал
θ
//
Pθ(x)
//
x
параметр наблюдение
Требуется по выходному сигналу x и «передаточной функции» P
высказать суждение о входном сигнале.
Обозначим через D множество возможных решений относительно
истинного значения параметра θ.
Пример 1. Решением может быть точка из Ω, а D = Ω.
Пример 2. Пусть Ω = Ω1+ . . . + Ωs, а через diобозначим решение
вида θ ∈ Ωi. Тогда D = {d1, . . . , ds}.
Итак, по наблюдению x мы должны вынести решение δ(x) ∈ D.
Функция δ(x), отображающая множество X возможных результатов
наблюдений в пространство D возможных решений, называется решающей функцией, или решающим правилом.
Обычно с самого начала рассматривают не все множество решающих
правил, а ограничиваются некоторым классом ∆ допустимых решающих правил.
Нам еще необходимы дополнительные соображения, позволяющие
упорядочить решающие правила и, в частности, для любых двух решающих правил δ1= δ1(x) и δ2= δ2(x) указать, какое из них предпочтительнее другого.
2◦. Функция риска. Одна из возможностей, позволяющая частично
упорядочить решающие правила, заключается в следующем.
Пусть L(d|θ) есть потери при принятии решения d ∈ D, если θ есть
истинное значение ненаблюдаемого параметра. Если мы используем
решающее правило δ = δ(x), то средние по тери составляют
θ
R(δ|θ) = EθL(δ(x)|θ).
§ 0. Предварительные сведения 245
Функция R(δ|θ) называется функцией риска, или средним риском, при
использовании решающего правила δ = δ(x), если истинное значение
ненаблюдаемого параметра равно θ.
Обычно в таких ситуациях выбирается реша ющее правило, которому соответствует по возможности минимальный с редний риск.
3◦. Трудности в постановке статистических задач. Нам нужно
иметь критерий, который позволял бы сравнивать между собой решающие правила. Если, например, для двух решающих правил δ1= δ1(x)
и δ2= δ2(x) выполнено
R(δ1|θ) 6 R(δ2|θ)
для всех θ ∈ Ω (и хотя бы при одном θ выполнено строгое неравенство),
то решающее правило δ1(в указанном смысле) предпочтительнее правила δ2.
Если для реш ающего правила δ∗выполнено
R(δ∗|θ) 6 R(δ|θ) (1)
для всех θ ∈Ω и все х решающих правил δ, то ясно, что решающее правило δ∗предпочтительнее любого δ. В этом случае правило δ∗называется
решающим правилом с равномерно наименьш им риском.
Пример. Пусть требуется по результатам наблюдений оценить τ(θ),
где τ = τ (θ) есть отображение Ω в некоторое множество D. В этом случае решающую функцию называют еще оценкой для τ(θ). Оценка δ(x)
называется несмещенной, ес ли Eθδ(x) = τ (θ) для всех θ. Предположим,
что D = R1и L(d|θ) = [d − τ(θ )]2. Для несмещенной оценки δ(x) функция риска равна дисперсии оценки
R(δ|θ) = Eθ[δ(x) − τ (θ)]2= varθδ(x).
Ограничимся рассмотрением лишь несмещенных оценок. Класс таких
оценок обозначим через ∆. Если δ∗∈∆ и выполнено (1) для всех θ ∈ Ω
и δ ∈ ∆, т о оценка δ∗называется несмещенной оценкой с минимальной
дисперсией.
К сожалению, не всегда любая пара решающих правил срав нима.
Например, для случая, изображенного на рис. 6, мы не можем отдать
предпочтение ни одному из решающих правил δ1или δ2.
Таким образом, возникает необходимость упорядочения решающих
правил. В этом основная трудность в постановке статистических задач.
4◦. У порядочение решающих правил. А. Минимаксный подход. Про-
стой способ, позволяющий упорядочить решающие правила, заключается в следующем. Для δ положим
R(δ) = supθR(δ|θ).
246 Гл. 5. Статистический метод оценивания характеристик
R
R(δ1|θ)
R
R(δ1|θ)
R(δ2|θ)
R(δ2|θ)
θ
Рис. 6. Рис. 7.
Теперь правило δ1будем считать предпочтительнее δ2, если R(δ1) 6
6 R(δ2). Если же для решающего правила δ∗выполнено R(δ∗) 6 R(δ)
для всех δ ∈ ∆, то δ∗называется минимаксным решающим правилом.
Такое правило дает самую надежную гарантию от больших потерь. Рисунок 7 поясняет недо статок минимаксного подхода: согласно этому
подходу правило δ1лучше δ2, так как maxθR(δ1|θ) < maxθR(δ2|θ), хотя
правило δ2выглядит предпочтительнее δ1.
Б. Байесовский подход. Другой очень важный спо соб, позволяющий
упорядочить решающие правила, заключается в следующем. Для δ
положим
R(δ) =
здесь µ интерпретируется либо
1) как априорное распределение параметра θ; либо
2) как степень значимости (точнее, распределение степени значимости), которую экспериментатор приписыва е т разным θ.
Правило δ∗называется байесовским, если
Z
R(δ|θ) dµ(θ);
Ω
θ
R(δ∗) = minδR(δ).
Есть несколько принципиальных утверждений в пользу такого подхода. Смысл одного из них заключается в том, что какое бы решающее
правило δ мы ни взяли, существ ует (при достаточно общих условиях)
байесовское решающее правило δ′(отвечающее некоторому априорному
§ 0. Предварительные сведения 247
распределению пара метра θ), которое предпочтительнее, чем решающее
правило δ в том смысле, что
R(δ′|θ) 6 R(δ|θ)
равномерно по θ ∈ Ω.
Недостаток байесовского подхода в том, что кроме указания на то,
что параметр θ — случайная величина, требуется априорное распределение параметра. Но, как правило , мы не имеем надежной информации
об априорном распределении параметра θ, а всякое толкование о «степени доверия» или «неуверенности» в данном значении θ не поддается
оценке числом.
5◦. Достаточная статистика. Любая функция T = T (x) от на-
блюдений x называется статистикой. На самом деле от статистики еще
требуется, чтобы она была случайной величиной, если x есть случайная величина. Это дополнительное требование равносильно требованию измеримости отображения T = T (x) измеримого пространства X
в некоторое измеримое пространство Y .
Статистика T = T (x) называется достаточной статистикой для семейства распределений
P = {Pθ, θ ∈ Ω}
на выборочном пространстве X (или дос таточной для параметра θ, если ясно, о каком семействе идет речь), когда условное распределение
случайной величины x при условии T (x) = t не зависит от θ.
Естественно предполагать, что статистические выводы о параметре
θ на основании на блюдения x зависят от x через достаточную статистику T(∗). Отметим, что статистика T (x) = x является достаточной
и чт о, как правило, выбирают достаточную статистику T = T (x) возможно меньш е й размерности (так называемую необходимую достаточную статистику, размерность которой не может быть уменьшена).
Прием нахождения достаточной статистики основан на следующем
утверждении: чтобы статистика T = T (x) была достаточной, необходимо и достаточно, чтобы плотность p(x|θ) распределения Pθ(относительно некоторой меры на X одной и той же для всех θ) имела вид
p(x|θ) = g(T (x)|θ) ·h(x), (2)
где первый множитель может зависеть от θ, а от x зависит лишь через
T (x); второй же множитель от θ не зависит.
Если x = (x1, . . . , xn), где x1, . . . , xnнезависимы и равномерно распределены в интервале (0, θ) с неизвестным правым концом θ, то статистика T (x) = max(x1, . . . , xn) является достаточной.
248 Гл. 5. Статистический метод оценивания характеристик
Или если x = (x1, . . . , xn), где случайные величины x1, . . . , xnнезависимы и каждая имеет нормальное распределение N (µ, δ2), то статистика
T = (T1, T2) при
n
X
T1(x) = ¯x =
T2(x) = s2=
1
n
n − 1
xi,
1
n
X
1
(xi− ¯x)
1
2
является достаточной для параметра θ = (µ, σ2).
Если T = T (x) — достаточная статистика, а p(θ) есть плотность априорного распределения, то апостериорное распределение параметра θ зависит от x через T (x). В самом деле, для плотности апостериорного
распределения имеем с учето м (2)
p(θ|x) =
p(θ)p(x|θ)
X
p(ω)p(x|ω)
ω∈Ω
p(θ)g(T (x)|θ)
=
X
ω∈Ω
.
p(ω)g(T (x)|ω)
Конечно, верно и обратное утверждение. Таким образом, апостериорное распределение зависит от x через T (x) тогда и только тогда, когда
T (x) есть достаточная статистика.
Иногда удобнее пользоваться эквивалентным определением достаточной статистики. Статистика T (x) называется достаточной, если для
всякого θ ∈ Ω вероятность Pθ(E) зависит от (измеримого) множества
E ⊂ X через множество T (E) = {T (x) : x ∈ E}, т.е.
Pθ{x ∈ E} = Pθ{T (x) ∈ T (E)}.
6◦. Достаточное условие существования решающего правила с равномерно наименьшим риском. Пусть D — выпуклое множество вектор-
ного пространства и пусть при каждом θ ∈ Ω ф ункция потерь L(d|θ) выпукла (вниз) по d ∈ D. Пусть далее δ = δ(x) — любое решающее правило.
Через δ∗обозначим решающее правило, для которого δ∗(x) = h(T (x)),
где
h(T ) = Eθ{δ(x)/T (x) = T } = EθTδ(x). (3)
Здесь T (x) — достаточная статистика. Ясно, что последнее вы ражение
не зависит от θ, так как T (x) — достаточная статистика. Тогда
R(δ|θ) > R(δ∗|θ) для всех θ ∈Ω.
Это утверждение следует из неравенства Иенсена. Отметим, что δ∗(x)
зависит от x через достаточную статистику. Кроме того,
Eθδ(x) = Eθδ∗(x).
§ 0. Предварительные сведения 249
Решающее правило δ(x) называется несмещенной оценкой для τ(θ),
если Eθδ(x) = τ(θ) для всех θ. Класс таких решающих правил обозначим через ∆.
Введем еще понятие полной статистики. Говорят, что система P =
= {Pθ} распределений полна, если из Eθf(x) = 0 для всех θ следует, что
P — почти всюду f (x) = 0 (т.е. множество тех x, для которых f(x) = 0,
имеет меру нуль для каждой из мер Pθ∈ P). Пусть теперь T = T (x)
есть некоторая статистика и PT= {P
T
}, где P
θ
T
— распределение ста-
θ
тистики T(x), когда x имеет распределение Pθ. Статистика T = T (x)
называется полной, е сли семейство PTполно. Статистика T (x) называется ограниченно полной, если функции f (x) выбираются из класса
ограниченных функций.
Теорема. Если
а) существует полная достаточная статистика T = T (x);
б) при каждом θ ∈ Ω функция потерь L(d|θ) выпукла (вниз) по
d ∈ D, где D — выпуклое множество векторного пространства;
в) класс ∆ несмещенных решающих правил для τ(θ) не пуст ;
то существует единс т в енное (P — почти всюду) решающее п равило
δ∗∈ ∆ такое, что
R(δ∗|θ) 6 R(δ|θ)
для всех θ ∈ Ω и всех δ ∈ ∆.
При этом
а) δ∗= δ∗(x) зависит от x через достаточную статистику T (x);
б) δ∗не зависит от конкретного вида функции потерь.
Доказательство. Пусть δ ∈ ∆. Положим δ∗(x) = h(T (x)), где h(T )
определяется из (3). Ясно, что δ∗∈ ∆. В силу полноты достаточной
статистики T (x) решающее правило δ∗есть единственная оценка из ∆,
зависящая от x через T (x) (если существует еще одно решающее правило δ1= δ1(x) = ϕ(T (x)) ∈ ∆, то Eθ(δ∗− δ1)(x) = 0 для всех θ и, значит,
δ1(x) = δ∗(x) P — почти всюду). Тем самым, δ∗не зависит от δ ∈ ∆
и функции по терь L(d|θ).
7◦. Достат очное условие полноты статистики. Приведем доста-
точное условие того, чтобы статистика T (x) была полной (и достаточной).
Пусть
k
n
dPθ(x) = c(θ) exp
X
θjTj(x)odµ(x)
j=1
и Ω ⊂ Rkсодержит хоть одну то чку из Rkвместе с некоторой ее окрестностью. Тогда статистика T (x) = {T1(x), . . . , Tk(x)} является полной
250 Гл. 5. Статистический метод оценивания характеристик
(и достаточной). Доказательство см. в [13], стр. 183. Ясно, что вместо θ
можно писать cj(θ), где вектор-функция {c1(θ), . . . , ck(θ)} осуществляет
непрерывное взаимнооднозначное отображение Ω в некоторое подмножество Θ ⊂ Rk, содержащее хотя бы одну точку из Rkцеликом с некоторой ее окрестностью.
8◦. Теорема Басу ([13]). Пусть T — ограниченно полная статистика,
U — некоторая статистика. Следующие два утверждения равносильны:
(а) для каждого θ ∈ Ω статистики T и U независимы;
(б) распределение статистики U не зависит от θ ∈Ω (такая статисти-
ка U называется свободной, см. [19]).
§ 1. Метод получения оценок
Пусть наблюдения x1, . . . , xn— независимы и одинаково распределены с общей ф.р. Fθ(t). Предположим, что существует полная достаточная статистика и для каждого фиксированного числа t оценка
∗
δ
(x) = F
t
∗
(t), x = (x1, . . . , xn), является наилучшей для функции от па-
x
раметра τt(θ) = Fθ(t). Под наилучшей оценкой будем понимат ь несмещенную оценку, зависящую от x через полную достаточную статистику
T (x). Как мы знаем, такая о ценка является несмещенной с минималь-
ной дисперсией и, более того, несмещенной с равномерно наименьшим
риском для всякой выпуклой функции потерь (в классе всех несмещенных оценок).
Если теперь функция τ (θ) представляется в виде
∞
Z
и Ω = R
τ(θ) =
+
= {θ : θ > 0}, то наилучшей оценкой для τ(θ) служит
1
δ∗(x) =
Fθ(t) dA(t) (1)
0
∞
Z
∗
F
(t) dA(t). (2)
x
0
В самом деле, δ∗(x) зависит от x через T (x) и для всех θ > 0
∞
Z
Eθδ∗(x) =
0
EθF
∗
(t) dA(t) =
x
Покажем, что для всякого x функция F
(
δt(x) =
∞
Z
Fθ(t) dA(t) = τ (θ).
0
x
1, x1< t;
0, x1> t.
∗
(t) есть ф.р. Пусть
j
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]