Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория массового обслуживания. Учебное пособие
.pdf
§ 7. Доказательство для плана 4
◦
261
является достаточной, и ограниченная полнота статистики (r, s) равносильна ограниченной полноте статистики (r, S).
Пусть для некоторой ограниченной измеримой функции f (r, S) выполнено
Eθf(r, S) = 0 для всех θ > 0,
т.е.
h(0, T )e
−θN T
+
здесь через h(r, S) обозначено f(r, S)vr(s, T )C
N
X
r=1
NT
Z
(N−r)T
h(r, S)θre
−θS
dS = 0, θ > 0; (13)
r
как функция от (r, S).
N
Покажем, что
h(0, T ) = 0 (14)
NT
Z
h(r, S)SmdS = 0 для всех m = 0, 1, . . . ; r = 1, . . . , N. (15)
(N−r)T
В самом деле, (14) следует из (13) при θ ↓ 0 . Затем, сокращая обе части
равенства (13) на θ и устремляя опять θ к 0, получим последовательно
(15) для m = 0. Предположим т е перь по индукции, что (15) выполнено
для всех целых неотрицательных чисел m 6 n. Тогда из (13) и (14)
последует
NT
Z
(N−r)T
h(r, S)he
−θS
n
X
−
(−1)
k=0
(θS)
k!
k
i
−(n+1)
θ
dS, θ>0. (16)
0=
N
X
r=1
r+n+1
θ
Так как при θ ↓ 0
h
−θS
e
n
X
−
k=0
(−1)
k
(θS)
k!
k
i
−(n+1)
θ
→ (−1)
n+1
n+1
S
(n + 1)!
,
то из (16) последовательно для r = 1, . . . , N получаем при θ ↓0 равенства
(15) для m = n + 1.
Осталось заметить, что из (15) следует, что для каждого r = 1, . . . , N
h(r, S) = 0 почти всюду.
В. Несмещенная оценка. Нам теперь достаточно найти несмещенную оценку как функцию от достаточной ограниченно полной статистики (r,s).
262 Гл. 5. Статистический метод оценивания характеристик
Пусть 0 6 t = Nτ < NT . Оценка
(
δ = δ(x1, . . . , xN) =
1, если min(x1, . . . , xN) > τ,
0, если min(x1, . . . , xN) < τ,
является несмещенной, так как
Eθδ = Pθ{min(x1, . . ., xN)>τ} = Pθ{x1>τ}. . .Pθ{xN>τ} = e
−Nθτ
= e
−θt
В связи с этим оценка δ∗(r, s) = Eθ{δ/r, s} является искомой. Найдем
эту оценку. Имеем
δ∗(r, s) = Pθ{min(x1, . . . , xN) > τ/r, s} = Pθ{min(y1, . . . , yr) >
> τ /y1+ . . . + yr= s, 0 6 yk< T , k = 1, . . . , r}. (17)
Ясно, что если r = 0, то min(x1, . . . , xN) = T > τ , поэтому в этом слу-
чае δ∗(r, s) = 1; если же s = 0 и r > 1, то min(y1, . . . , yr) = 0 и поэтому
δ∗(r, s) = 0. Пусть теперь 1 6 r 6 N и 0 < s < rT . Тогда
.
δ∗(r, s) =Zqθr(y1, . . . , y
, s) dy1. . . dy
r−1
Z
.
qθr(y1, . . ., y
r−1
, s) dy1. . . dy
r−1
r−1
, (18)
где плотность qθrзадается формулой (4); интегрирование в числителе
производится по области (r − 1)-мерного пространства, определяемой
неравенствами при
.
τ 6 yk6 T , 1 6 k 6 r − 1,
τ 6 s − y1− . . . − y
r−1
6 T
или
τ 6 yk6 T , 1 6 k 6 r − 1,
s − T 6 y1+ . . . + y
r−1
6 s − τ;
(19)
интегрирование в знаменателе производится по области (6). Объем
области (19) при r > 1 обозначим через vr(s, τ, T ). Тогда vr(s, 0, T ) =
= vr(s, T ) и согласно (4) и (18)
δ∗(r, s) =
vr(s, τ, T )
vr(s, T )
при r > 1. (20)
Найдем vr(s, τ, T ). Область (19) с помощью преобразования-переноса
(y1, . . . , y
) 7→ (u1, . . . , u
r−1
) = (y1, . . . , y
r−1
) − (τ, . . . , τ),
r−1
не изменяющего объем, переходит в область
0 6 uk6 T −τ, 1 6 k 6 r −1,
s − rτ − (T − τ) 6 u1+ . . . + u
r−1
6 s − rτ,
§ 7. Доказательство для плана 4
◦
263
объем которой равен vr(s − rτ, T −τ), см. определение vr(s, T ) как объема области (6). Таким образом, vr(s, τ, T ) = vr(s − rτ, T −τ ) и, следовательно, при r > 1
δ∗(r, s) =
vr(s − rτ, T − τ )
vr(s, T )
. (21)
Нам осталось рассмотреть случай r = 1. Из (17) с учетом y1= s
получим (r = 1)
δ∗(r, s) = Pθ{s > τ /r, s} = 1 или 0
в зависимости от того, выполняется ли τ 6 s < T или нет. Следовательно, равенство (21) выполняется (почти всюду) и в случае r = 1.
Г. (другое доказательство). Пусть 0 6 t = Nτ < N T. Покажем, что
оценка
δ∗(r, s) =
является несмещенной для R(t) = e
vr(s − rτ, T − τ )
vr(s, T )
, 0 < s < rT , r = 1, . . . , N, δ∗(0, 0) = 1
−θt
(и функцией от ограниченно пол-
ной достаточной статистики).
В самом деле, из (9) с учетом того, что vr(s, T ) = 0 при s 6∈ (0, rT ),
получим после замены T 7→ T − τ, s 7→ s − rτ
rT
или
Z
θ
vr(s − rτ, T − τ )e
rτ
rT
Z
vr(s − rτ, T − τ )e
rτ
−θ(s−rτ )
−θsθr
ds = θ
ds = (e
−(r−1)
−θτ
[1 − e
−θT)r
− e
−θ(T −τ)]r
,
откуда
rT
Eθrδ∗(r, s) =
Z
vr(s − rτ, T − τ )(1 − e
rτ
−θT)−rθre−θs
=
ds =
e
−θτ
1 − e
− e
−θT
−θT
r
, r > 1.
Теперь имеем
Eθδ∗(r, s) =
N
X
r=0
C
r
(1 − e
N
−θT)re−(N−r)θT
N
X
r
=
r=0
−θτ
C
(e
N
Eθrδ∗(r, s) =
−θT)re−(N−r)θT
− e
= e
−θτ N
= e
−θt
,
264 Гл. 5. Статистический метод оценивания характеристик
что и требовалось.
Задача 1. Пусть для примера 2 § 1 сл.в. ξ, η, ξ∗, η∗независимы
∗
и имеют распределения Fa, Gb, F
∗
, G
соответственно. Показать, что
x
y
оценка
δ∗(x, y) = P {ξ∗6 η∗}
является несмещенной с минимальной дисперсией для
τ(θ) = Pθ{ξ 6 η} =
a
a + b
.
Задача 2 (продолжение). Если B — борелевское множество на плос-
кости, то оценка
δ∗(x, y) = P {(ξ∗, η∗) ∈ B}
является несмещенной с минимальной дисперсией для
τ(θ) = Pθ{(ξ, η) ∈B}.
Задача 3. Распространить результаты §§ 2—7 на случай, когда время жизни элемента имеет гамма-распределение с неизвестным масштабным параметром.
Дополнение
§ 0. Интеграл Лебега—Стилтьеса
Понятие интеграла Лебега—Стилтьеса предполагается известным
(см. [4], [25]). Напомним лишь некоторые положения.
А. Пусть g(x) — функция, определенная на (−∞, +∞). Говорят, что
g(x) есть B-измеримая функция, если для всякого действительно г о числа c множество {x: g(x) < c} является борелевским.
Если g(x) — ограниченная B-измеримая функция на (−∞, ∞),
а A(x) — функция с ограниченным изменением на (−∞, ∞), то существует интеграл Лебега—Стилтьеса
∞
Z
g(x) dA(x).
−∞
Б. Назо вем функцию A(x) правильной в точке x0, если в этой точке
существуют левосторонний и правосторонний пределы A(x0± 0) и
A(x0) =
Если A(x) и B(x) — функции с ограниченным изменением в [a, b] и каждая из этих функций непрерывна во всякой точке из [a, b], в которой
другая не является правильной, то
1
[A(x0− 0) + A(x0+ 0)].
2
b
Z
A(x) dB(x) +
a
b
Z
B(x) dA(x) = [A(x)B(x)]
a
b+0
a−0
=
= A(b + 0)B(b + 0) − A(a −0)B(a −0).
Здесь инте гралы понимаются в смысле Лебега—Стилтьеса (они существуют, ибо каждая из функций A(x) и B(x) ограничена и B — измерима); предполагается, что функции A(x) и B(x) определены слева от a
и справа от b на с только, чтобы можно было говорить о правильности
в точках a и b (см. [4], стр. 237).
В. Если A(x) имеет на [a, b] конечное изменение, а B(x) непрерывно
дифференцируема (достаточно абсолютной непрерывности), то
b
Z
A(x) dB(x) =
a
b
Z
A(x)B′(x) dx.
a
Здесь последний инте г рал понимается в смысле Лебега.
266 Дополнение
§ 1. Преобразование Лапласа и Лапласа—Стилтьеса
Рассмотрим класс S (комплексных) функций A(t) от действительного переменного t, удовлетворяющих условиям:
1) A(t) = 0 при t < 0 и на всяком отрезке [0, T ] имеет ограниченное
изменение;
2) для всякой функции A(t) существуют действительные числа
s0и A такие, что
|A(t)| 6 Ae
s0t
.
Из этих условий следует существование
∞
Z
−st
e
A(t) dt = ϕ(s)
0
для всякого s такого, что Re s > s0. Функция ϕ(s) называется преобразованием Лапласа функции A(t).
А. Функция ϕ(s) аналитична в полуплос кости Re s > s0.
Б. Пусть ϕ1(s) и ϕ2(s) — преобразования Лапласа функций A1(t)
и A2(t) из S и ϕ1(s) = ϕ2(s) при Re s > s0. Тогда во всех точках непрерывности функций A1(t) и A2(t) выполнено
A1(t) = A2(t).
В. Пусть A(t) ∈ S. Положим
T
Z
αT(s) =
−st
e
dA(t).
0
В силу предложений Б и В § 0
T
αT(s) = e
−st
A(t)
T +0
0−0
+ s
Z
−st
e
A(t) dt.
0
В полуплоскости Re s > s0функция
α(s) = lim
T →∞
αT(s) =
∞
Z
−st
e
dA(t) = s
0
∞
Z
−st
e
A(t) dt
0
аналитична. Функция α(s) называется преобразов анием Лапласа—
Стилтьеса функции A(t) из S.
§ 1. Преобразование Лапласа и Лапл аса—Стилтьеса 267
Г. Из предложения Б и соотношения
∞
Z
α(s) = s
−st
e
A(t) dt
0
следует, что если α(s) — преобразование Лапласа—Стилтьеса функций
A1(t) и A2(t) из S при Re s > s0, то во всех точках непрерывности A1(t)
и A2(t) выполнено
A1(t) = A2(t).
Д. Выпишем некоторые часто используемые формулы. Сначала введем обозначение. Знак ; , разделяющий две функции, например A(t) ;
; α(s), означает, что функция, стоящая справа, является преобразова-
нием Лапласа—Стилтьеса от функции, стоящей слева.
Пусть A(t) ; α(s) и B(t) ; β(s); тогда:
∞
Z
1◦. α(s) = s
−st
e
A(t) dt.
0
2◦. A′(t) ; sα(s) − sA(0) предполагается, что A′(t) — функция с огра-
ниченным изменением, a A(t) — абсолютно непрерывная функция на всяком [0, T ], T > 0.
t
Z
3◦.
4◦.
−ax
e
0
t
Z
A(x) dx ;
0
dA(x) ; α(s + a).
α(s)
.
s
5◦. A(t) ∗ B(t) ; α(s) · β(s).
Е. Если ξ — неотрицательная случайная величина с функцией распределения A(t), а E — символ математического ожидания, то
∞
Z
Ee
−sξ
−st
=
e
dA(t) = α(s).
0
Если ξ представляется в виде суммы независимых в совокупности
неотрицательных сл.в.
и
то
ξ = ξ1+ . . . + ξn, P {ξk< t} = Ak(t), k = 1, . . . , n,
−sξ
αk(s) = Ee
k
,
α(s) = α1(s) . . . αn(s)
268 Дополнение
и
A(t) = A1(t) ∗ . . . ∗An(t),
где ∗ — символ взятия стилтьесовской свертки, т.е.
A(t) ∗ B(t) =
t
Z
A(t − x) dB(x) =
0
t
Z
B(t − x) dA(x).
0
Ж. Пусть A(t), A1(t), A2(t), . . . — ф.р., а α(s), α1(s), α2(s), . . . — соот-
ветствующие преобразования Лапласа—Стилтьеса. Имеют место следующие свойства, характеризующие соответствие между A(t) и α(s)
(полученные Леви и Крамеро м):
1) A1(t) = A2(t) равносильно α1(s) = α2(s);
2) An(t) → A(t) (для точек непрерывности A(t)) равносильно
αn(s) → α(s);
3) бо лее того, для того чтобы последовательность ф.р. {An(t)} схо-
дилась к некоторой ф.р. A(t), необходимо и достаточно, чтобы
при любом s = iτ последовательность {αn(s)} сходилась к преде-
лу α(s) = α(iτ), непрерывному по τ при τ = 0. Если это условие выполнено, то предел α(iτ) совпадает с преобразованием
Лапласа—Стилтьеса ф.р. A(t) в точке s = iτ .
З. Для того чтобы функция α(s), определенная в полуплоскости Re s > 0, служила преобразованием Лапласа—Стилтьеса некоторой
ф.р., необходимо и достаточно выполнение следующих условий (теорема С. Бохнера—А.Я. Хинчина):
1) функция ϕ(τ ) = α(iτ), −∞ < τ < ∞, непрерывна при τ = 0
и ϕ(0) = 1;
2) ϕ(τ ) — положительно-определенная функция, т.е. для любых
комплексных чисел a1, . . . , anи любых действительных чисел
τ1, . . . , τnвыполнено
X
ai¯ajϕ(τi− τj) > 0.
§ 2. Тауберовы теоремы
А. Если существует lim
lim
t↓0
t↓0
A(t) = lim
s→∞
A(t), то
α(s), α(s) = s
∞
Z
−st
e
A(t) dt;
0
§ 2. Тауберовы теоремы 269
если существует lim
t→∞
A(t), то
lim
t→∞
A(t) = lim
s↓0
α(s).
Обратные теоремы не имеют места. До некоторой степени заменой
их служат так называемые тауберовы теоремы.
Б. Пусть A(t) — неотрицательная функция и интеграл
∞
Z
ϕ(s) =
−st
e
A(t) dt
0
сходится для Re s > 0, причем при изменении s вдоль действительной
оси существует
lim
sλϕ(s) = A
s→∞
или
lim
sλϕ(s) = A;
s↓0
тогда соответственно
T
Z
−λ
lim
или
T ↓0
lim
T →∞
T
−λ
T
A(t) dt = A
0
T
Z
A(t) dt = A.
0
В. Если существует
lim
an= a,
n→∞
то существует
lim
z↑1
(1 − z)
X
anzn= a.
n>0
Обратное утверждение не верно.
Г. Если существует
X
lim
z↑1
(1 − z)
anzn= a
n>0
и
lim
n→∞
n(an− a
n−1
) = 0,
то существует
lim
an= a.
n→∞
Д. Общие тауберовы теоремы можно найти в книге Н. Винера [2].
270 Дополнение
§ 3. Метод Винера—Хопфа
Изложим идею метода Винера—Хопфа на следующем простом примере. Пусть требуется найти функции ω+(s) и ω−(s), удовлетворяющие
однородному функциональному уравнению
α(s)ω+(s) + β(s)ω−(s) = 0 (1)
в полосе σ−< Re s < σ+комплексной плоскости s, при этом ω+(s) должна быть аналитична в полуплоскости Re s > σ−, а функция ω−(s) —
аналитична в полуплоскости Re s < σ+. Кроме того, требуется, чтобы функции ω+(s) и ω−(s) в соответствующих полуплоскостях удовлетворяли определенным условиям на бесконечности (например, чтобы
функции ω+(s) и ω−(s) в соо тветствующих полуплоскостях были ограничены или имели ст епенной рост). Относительно функций α(s) и β(s)
предполагается лишь, что они аналитичны в указанной полосе и для
простоты не имеют нулей.
Можно выделить два этапа при решении этого уравнения методом
Винера—Хопфа.
Первый этап заключается в факторизации, т.е. в отыскании функции K+(s), аналитической и не имеющей нулей в полуплоскости
Re s > σ−, и функции K−(s), аналитической и не имеющей нулей в полуплоскости Re s < σ+, и таких, чтобы выполнялось соотношение
α(s)
β(s)
=
K+(s)
K−(s)
в полосе σ−< Re s < σ+. При этом уравнение (1) переходит в уравнение
ω+(s)K+(s) = −ω−(s)K−(s). (2)
Второй этап заключается в использовании некоторых (слабых) вариантов теоремы Лиувилля. Например, уравнение (2) может служить
определением функции F (s), равной в правой полуплоскости Re s > σ
левой части уравнения (2), а в полуплоскости Re s < σ+— правой части
уравнения (2). Если допо лнительно известно, что, например,
|ω+(s)K+(s)| 6 M1|s|nпри Re s > σ−,
|ω−(s)K−(s)| 6 M2|s|mпри Re s < σ+,
то функция F (s) ест ь многочлен степени не выше целой части
min(n, m). Отсюда находим ω+(s) и ω−(s). Коэффициенты многочлена
определяются из дополнительных условий.
Ниже формулируются теоремы о существовании факторизации
и теорема Лиувилля. Отметим, что функции K+(s) и K−(s) иногда
могут быть просто угаданы.
−
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]