Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория массового обслуживания. Учебное пособие
.pdf
§ 3. Обслуживание ненадежным прибором с ожиданием 111
∞
Z
X
= z
n>0
d(1 − e
0
= z
= [ϕ(a − az) − ϕ(a)]
X
n>0
−ax
kn(a)
)Kn(x) ∗ e
a − a(1 − z)
a(1−z)x
a
[ϕ(a − az) − ϕ(a)] =
X
[e(a) · ϕ(a)]ne(a) = e(a)
n>0
∗ [ϕ(a − az) − F (x)] =
ϕ(a − az) − ϕ(a)
1 − e(a) · ϕ(a)
Теперь уже формула (3) следует непосредственно. Предлагаем доказать
формулу (3) исходя из вероятностного смысла входящих в нее членов;
например, ϕ(a) есть вероятность того, что за время восстановления прибора (вышедшего из строя, когда в системе не было клиентов) в систему
не поступит ни один клиент; e(a) имеет аналогичный смысл; ϕ(a − az)
есть вероятность того, что за время восстановления в систему не поступят синие клиенты. При этом формулу (3) удобно з аписать в виде
X
R(z) =
[e(a) · ϕ(a)]n·nz[1 − e (a)] + e(a)[ϕ(a − az) − ϕ(a)]o.
n>0
Г. Условие существ ования стационарного распределения. В даль-
нейшем нам потребуется следующее утве рждение из теории марковских цепей (см. § 6 Главы 1). Пусть неприводимая непериодическая
однородная цепь Маркова задается матрицей переходных в е роятностей
{aij}
i,j>0
. Через a
(k)
обозначим вероятность перехода из со с тояния i
ij
в сост ояние j за k шагов. Известно, что такая цепь Маркова принадлежит одному из следующих двух классов:
либо для любой пары состояний i и j a
(k)
→ 0 при k → ∞, и в этом
ij
случае не сущес твует стационарного распределения;
либо все состояния эргодические, т.е. lim
k→∞
(k)
a
= πj> 0, и в этом слу-
ij
чае {πj}— стационарное распределение и не су щ ествует никаких
других стационарных распределений.
Следующее условие является достаточным для эргодичности состо-
яний марковской цепи. Для того чтобы неприводимая непериодическая
однородная цепь Маркова имела стационарное распределение (и, следовательно, все состояния были эргодическими), достаточно существование ε > 0, натурального числа i0и набора неотрицательных чисел
x0, x1, x2, . . . таких, что
X
aijxj6 xi− ε для i > i0,
j>0
X
aijxj< +∞ для i 6 i0.
j>0
.
112 Гл. 2. Системы обслуживания одним прибором
X
Заметим, что сумме
aijxjможно придать следующий смысл.
j>0
Пусть некоторая система может находиться в одном из состояний
0, 1, 2, . . .. Эволюция системы определяется марковской цепью с мат-
рицей переходных вероятностей {aij}. Рассмотрим, далее, сл.в. x, принимающую значения x0, x1, x2, . . . в за висимости от того, в каком состо-
янии находится система. Тогда
сл.в. x после одного шага, если в начале этого шага система находилась
X
aijxjесть математическое ожидание
j>0
в состоянии i. Этим замечанием мы ниже воспользуемся.
Д. Вложенная марковская цепь. Вернемся к описанной выше систе-
ме обслуживания. Рассматривая состояние системы (т.е. число клиентов, находящихся в системе) лишь в моменты окончания обслуживания
клиентов, мы получаем цепь Маркова. Ясно, что эта цепь однородная
неприводимая и непериодическая. Через {aij}
обозначим матрицу
i,j>0
переходных вероятностей ее.
Случай ah1< 1. Пусть x — случайное число, равное среднему време-
ни, необходимому для обслуживания клиентов, оставшихся в системе
после окончания обслуживания некоторого клиента; x = xi= i ·h1, если
число оставшихся клиентов равно i. Тогда (см. еще замечание в конце
предыдущего пункта) при i > 0
X
aijxj= (i − 1 + ah1) · h1= i · h1− h1(1 − ah1) = xi− ε;
j>0
здесь ε = h1(1 − ah1) > 0; при i = 0
∞
X
aijxj< +∞, если ϕ1=
j>0
Z
t dF (t) < +∞.
0
Таким образом, в данном случае
xi= ih1, ε = h1(1 − ah1), i0= 0,
и значит, все с остояния рассматриваемой цепи Маркова эргодические.
Так как pkN— вероятность перехода системы из начального состояния
в состояние k за N шагов, то при N →+∞
X
pkN→ pk> 0, k > 0,
pk= 1;
k>0
и числа pk, k > 0, не зависят от начального состояния системы обслу-
живания.
Положим
P (z) =
X
pkzk= lim
k>0
N→∞
PN(z);
§ 3. Обслуживание ненадежным прибором с ожиданием 113
из (2) имеем
zP (z) = [P (z) −P (0) + P (0)R(z)] · h(a −az) (5)
или
P (z) = P (0) ·
1 − R(z)
h(a − az) − z
h(a − az).
Можно убедиться (например, по теореме Руше, имея в виду условие
ah1< 1), что функция h(a − az) − z в круге |z| < 1 не имеет нулей.
Константа P (0) определяется из условия P (1) = 1. Из (1)—(4) следует
теперь существование предело в
lim
ωN(s) = ω(s), lim
N→∞
vN(s) = v(s), (6)
N→∞
определяемых соотношениями
P (z) = ω(a − az) · h(a −az), (7)
v(s) = ω(s) · h(s). (8)
Случай ah1> 1. Так как вложенная цепь Маркова однородная не-
приводимая и непериодическая, то (см. начало предыдущего пункта)
существуют lim
pkN= pk> 0, k > 0, и пределы (6), а также выполнены
N→∞
соотношения (5), (7), (8). Но теперь не обязательно, чтобы выполнялось
P (1) = 1. Покажем, что в этом случае pk= 0, k > 0, т.е. P (z) ≡0. В самом
деле, из (5) имеем
P (z)[h(a −az) − z] = P (0)[1 − R(z)] · h(a − az).
Если ah1> 1, то функция h(a −az) − z имеет корень в (0, 1), а функция
1 − R(z) (так же как и функция h(a − az)) не принимает нулевое значение в (0, 1), ибо функция 1 − R(z) строго убывает в (0, 1) и 1 − R (0) = 1 ,
1 −R(1) = 0. Отсюда следует, что P (0) = 0, и значит, P (z) = 0 при |z|6 1.
Пусть теперь ah1= 1. Для некоторого числа T > 0 положим
(
ˆ
H(t) =
H(t), если t 6 T,
1, если t > T .
Выберем T таким, чтобы aˆh1< 1 (знаком ˆ мы будем снабжать вероятности и величины, соответствующие замене H(t) наˆH(t). Тогда
ˆp0> p
0
и
ˆp0= (1 − aˆh1)
1 − e(a)ϕ(a)
1 − e(a)[1 − aϕ1]
.
Но при T → +∞ имеемˆh1→h1и, следовательно, ˆp0→0, откуда p0= 0,
что и требовалось.
114 Гл. 2. Системы обслуживания одним прибором
Задача 1. Рассмотрим случай, когда прибор работает надежно (не
выходит из строя). Пусть ξN— число клиентов, оставшихся в системе
после обслуживания N-го клиента (нумерация клиентов ведется в порядке их поступления); ηN— число клиентов, поступивших в систему
за время о бслуживания N-го клиента. Тогда
ξ
= (ξN− 1)++ η
N+1
N+1
;
здесь x+= max(0, x). Из этого соотношения вывести формулу (2), в которой положено R(z) = z.
Обобщить на случай ненадежной работы прибора.
Указание. Случайные величины ξNи η
PN(z) = Ez
ξ
N
, Ez
η
N
= β(a − az).
независимы;
N+1
Задача 2. Рассмотрим случай, когда прибор работает надежно.
Доказать, что среди всех рекуррентных обслуживаний, имеющих одно и то же среднее время обслуживания, наименьшая длина очереди
будет при регулярном обслуживании (время обслуживания постоянно).
Задача 3 (продолжение). То же, когда прибор работает ненадежно.
Задача 4. Рассмотрим случай, когда прибор работает надежно.
Для того чтобы вероятности pk, k > 0, представлялись в виде
pk= p0λk, k > 0,
где λ — некоторая константа, 0 < λ < 1, необходимо и достаточно, чтобы
ф.р. B(t) имела вид
B(t) = 1 − e
−bt
, a < b.
Задача 5. Относительно потока клиентов предположим, что они
могут поступать лишь в «вызывающие моменты», образующие пуассоновский поток с параметром a, причем в каждый «вызывающий момент» поступает k клиентов с вероятностью ak, k > 0;
X
Φ(z) =
akzk, Φ(1) = 1.
k>0
Доказать, что предложение остается в силе, ес ли вместо
R(z), h(a −az), ωN(a − az), vN(a − az),
ω(a − az), v(a − az), ah
1
писать соответственно
R(Φ(z)), h(a − aΦ(z)), ωN(a − aΦ(z)), vN(a − aΦ(z)),
ω(a − aΦ(z)), v(a − aΦ(z)), aΦ′(1)h1.
§ 3. Обслуживание ненадежным прибором с ожиданием 115
Задача 6. Рассмотрим случай, когда прибор не выходит из строя
в свободном состоянии (при отсутствии клиенто в).
Предположим, что клиент, заставший систему в момент своего по-
ступления свободной (от клиентов), прежде чем начнет обслуживаться,
ожидает случайное время с ф.р. K(t) (прибор «разогревается»). Доказать, что предложение остается в силе, если положить
∞
Z
R(z) = zk(a − az), k(s) =
−st
e
dK(t).
0
Задача 7. Доказать, что если
1) ah1< 1;
2) ф.р. H(t) и F (t) имеют n + 1 конечных первых моментов, то
(k)
P
(1) = lim
z↑1
(k)
P
(z) < +∞ при k = 1, . . . , n.
Указание. Следует из соотношения
zP (z) = [P (z) − P (0) + P (0)R(z)] · h(a −az).
Задача 8. Рассмотрим тот случай, когда прибор работает надежно,
а моменты поступления вызовов образуют поток Эрланга n-го порядка,
т.е.
A(t) = P {zk< t} =
at
Z
n
x
e−xdx, n > 0.
n!
0
Показать, что
ω(a − az)[β(a − az) − z
n+1
] = R
n+1
(z)
есть многочлен степени n + 1. Далее показать, что в круге |z| 6 1 уравнение
имеет n + 1 корней (по которым и определяется многочлен R
z
n+1
= β(a − az)
n+1
(z);
отметим, что одним из корней я вляется z = 1).
Указание. Напомним, что поток Эрланга n-го порядка можно по-
лучить просеив анием пуассоновского потока с параметром a, с помощью
следующей операции просеивания: первые n вызов ов пуассоновского
потока просеиваются, следующий вызов остается; затем снова n вызовов просеиваются, следующий — остается и т.д. В связи с этим указанная система «равносильна» следующей: вызовы поступают по пуассоновскому закону, а о бслуживаются они группами по (n + 1 ) вызовов
в каждой группе; при этом длит е льность обслуживания каждой группы
116 Гл. 2. Системы обслуживания одним прибором
имеет распределение B(t). Теперь, воспользовавшись обозначениями
этого параграфа, полу чить следующие аналоги формулам (1) и (2):
PN(z) = ωN(a − az) · β(a − az),
n+1
z
P
(z) = [PN(z) − p0N− p1Nz − . . . − pnNzn+
N+1
+ (p0N+ p1N+ . . . + pnN)z
n+1
]β(a − az).
Отметим, что здесь N означает номер группы вызовов (из n + 1
вызовов); при этом группы вызовов нумеруются в порядке их обслуживания.
PN(z) =
X
pkNzk,
k>0
где pkNесть вероятность того, что после окончания обслуживания N -й
группы вызовов в системе осталось k вызовов.
Задача 9. Рассмотрим теперь систему обслуживания ненадежным
прибором, описанную в этом параграфе, но в предположении, что поток
поступающих вызовов является потоком Эрланга порядка n, т.е.
at
Z
n
A(t) =
x
e−xdx, n > 0.
n!
0
Показать, что
ω(a − az)[h(a − az) − z
n+1
] = p0U0(z) + p1U1(z) + . . . + pnUn(z),
где функции Uk(z) определяются соотношениями
Ui(z) = zi[1 − Ri(z)], i = 0, 1, . . . , n;
, k = 0, 1, . . . , n;
λ=a
ϕ(a − az) − ϕ(λ)
1 − e(λ)ϕ(λ)
λ
·
λ − a + az
R
(z) = (−1)
n−k
R(λ, z) =
(az)
k
k!
1 − e(λ)
1 − e(λ)ϕ(λ)
k
∂
z
∂λ
+ e(λ)
k
R(λ, z)
k
(отметим, что константы p0, p1, . . . , pnопределяются (n + 1) корнями
уравнения
z
n+1
= h(a − az)
лежащими в |z| 6 1).
Указание. Воспользоваться указанием к предыдущей задаче,
а также следующим. Аналогом формулам (1) и (2) служат
PN(z) = ωN(a − az)h(a − az),
n+1
z
P
(z) = [PN(z) − p0N− p1Nz − . . . − pnNzn+
N+1
+ p0NR0(z) + p1NR1(z) · z + . . . + pnNRn(z) · zn] · h(a − az),
§ 3. Обслуживание ненадежным прибором с ожиданием 117
где Rk(z) есть условная вероятность того, что если после окончания обслуживания некоторой группы вызовов (напомним (см. указание к задаче 8), что обслуживание является групповым по n + 1 вызовов в каждой группе) в системе осталось k вызовов, k = 0, 1, . . . , n, то все вызовы,
поступающие в систему до начала обслужива ния очередной группы вызовов, окажутся красными. Действуя так же, как при выводе формулы
(3), получим
∞
Z
n
X
R
n−k
(z) = z
k+1
m>0
Gm(x) ∗ [1 − E(x)]+
0
+ Km(x) ∗ e
a(1−z)x
∗ [ϕ(a − az) − F (x)]od
ax
Z
k
u
e−udu.
k!
0
Задача 10. Пуассоновский поток вызовов, поступающих с интен-
сивностью a, обслуживается одним прибором. Длительность обслуживания имеет распределение B(t). Порядок обслуживания предполагается инверсионным, т.е. среди вызовов, ожидающих начала об с лу живания, первым об с лу живается тот, который поступил по з же остальных.
Показать, что
ω(s) = 1 − ρ +
a
s
1 +
[1 − π(s)]
a
[1 − π(s)]
s
,
где π(s) определяется условиями
π(s) = β(s + a − aπ(s)), |π(s)| < 1, Re s > 0.
Указание.
ω(s) = p0+ (1 − p0)β1(s + a − aπ(s));
β1(s) =
b
[1 − β(s)].
s
Задача 11. Рассмотрим систему обслуживания, описанную в этом
параграфе, но при условии, что прибор работает надежно. Предположим, что β(s) есть рациональная функция, т.е. представляется в виде
отношения двух многочленов; при этом пусть степень многочлена, стоящего в знаменателе, равна n. Показать, что pk, k > 0, имеет вид
здесь ρ
−1
1
, . . . , ρ
pk= c1ρ
−1
есть корни уравнения (корни предполагаются различ-
n
k
+ . . . + cnρ
1
k
, k > 0;
n
ными)
z = β(a − az),
лежащие в области |z| > 1.
118 Гл. 2. Системы обслуживания одним прибором
§ 4. Обслуживание ненадежным прибором с ограниченной
очередью
Рассмотрим теперь систему обслуживания клиентов такую же, как
в § 3, но с дополнительным условием: в системе одновременно может
находиться не более n клиентов, так что поступивший клиент, заставший в системе в момент своего поступления n клиентов, «теряется», т.е.
к обслуживанию не принимает ся и на дальнейшее поступление клиентов влияния не оказывает, n > 1. Обозначения сохраняются прежними
с той лишь разницей, что теперь нумерация клиентов ведется в том
порядке, в котором они обслуживаются, а значит, «потерянные» клиенты в этой нумерации не участвуют. Ясно, что, например, PN(z) есть
многочлен степени n − 1.
Введем следующую операцию «усечения ряда»: если
X
F (z) =
akzk,
k>0
то положим по определению
F (z)
= a0+ a1z + . . . + anzn.
n
Предложение. а) При N → +∞ существует предел
lim PN(z) = P (z)
такой, что
P (z) =
n−1
X
pkzk, pk> 0, P (1) = 1;
k=0
б) в некоторой окрестности точки z = 0 функция h(a −az) −z ана-
литична и не обращается в нуль; в этой окрестности функция
1 − R(z)
h(a − az) − z
· h(a − az)
разлагается в ряд по целым неотрицательным степеням z и
n−1
,
P (z) = P (0)
1 − R(z)
h(a − az) − z
· h(a − az)
константа P (0) определяется из условия P (1) = 1.
Доказательство. Для получения формулы, аналогичной формуле (2) § 3, мы должны учесть, что встречающиеся степени zkдолжны
иметь показатель k не больший, чем n. Если ввести операцию «усечения степени», положив по определению
l
F (z)
= a0+ a1z + . . . + anzn+ zn(a
n
n+1
+ a
n+2
+ . . .),
§ 4. Обслуживание ненадежным прибором с очередью 119
если
F (z) =
X
k>0
akz
k
X
(предполагается, что существует F (1) =
ak), то для нашего случая
k>0
l
zP
(z) = [PN(z) − PN(0) + PN(0) · R(z)] ·h(a − az)
N+1
,
n
откуда PN(z), PN(1) = 1 определяются рекуррентным образом.
Утверждение а) предложения следует из того, что в данном случае
мы имеем конечную однородную неприводимую непериодическую цепь
Маркова. При N → ∞ из последнего соотношения получае м
l
zP (z) = [P (z) −P (0) + P (0)R(z)] · h(a −az)
,
n
откуда
или
zP (z)
= [P (z) − P (0) + P (0)R(z)]h(a − az)
n−1
P (z)[h(a − az) − z]
= P (0)[1 − R(z)]h(a − az)
n−1
n−1
n−1
или
P (z)[h(a −az) − z]
=
n−1
= P (0) ·
1 − R(z)
h(a − az) − z
· h(a − az) · [h(a − az) − z]
n−1
отсюда уже следует утверждение (б) предложения, если воспользоваться тем, что из
P (z)R(z)
= Q(z)R(z)
n
,
n
где P (z), Q(z), R(z) — функции, разлагающиеся в ряд по целым неотрицательным степеням в некоторой окрестности точки z = 0 и R(0) 6= 0,
следует
P (z)
= Q(z)
n
.
n
Замечание. Если клиенты могут поступать лишь в «вызывающие»
моменты, образующие пуассоновский поток с параметром a, причем
в каждый «вызывающий» момент поступает k клиентов с в ероятностью
ak, k > 0, то предложение остается в силе, если R(z), h(a −az) заменить
на R(Φ(z)), h(a − aΦ(z)), где
X
Φ(z) =
akzk, Φ(1) = 1.
k>0
,
120 Гл. 2. Системы обслуживания одним прибором
§ 5. Обслуживание с преимуществом (произвольное время
обслуживания для вызовов каждого приоритета)
А. Классификация систем обслуживания с преимуществом.
Пусть на некоторое обслуживающее устройство поступает r потоков вызовов (клиентов) L1, . . . , Lr. Вызовы потока Li(i = 1, . . . , r) будем еще
называть вызовами приоритета i. Будем говорить, что вызовы потока
Liимеют более высокий приоритет по сравнению с вызовами потока
Lj, если i < j. Вызовы высшего приоритета имеют преимущество пе-
ред вызовами низшего приоритета, и это преимущество заключается
в следующем. Среди вызовов, находящихся в системе и ожидающих
начала обслуживания, вызовы более высокого прио ритета обслуживаются впереди вызовов низшего приоритета. Вызовы одного приоритета
обслуживаются в том порядке, в котором они поступают. Если во время обслуживания некоторого вызова поступает вызов более высокого
приоритета, то можно представить случаи, когда обслуживание прерывается и сразу же начинается обслуживание поступившего вызова
более вы с окого приоритета или когда такое прерывание не происходит.
В связи с этим мы будем различать следующие схемы обслуживания
с преимуществом.
Схема 1.1. Если во время обслу живания вызова поступает вызов более высокого приоритета, то прерывается обслуживание вызова и начинается обслуживание поступивш его вызо ва; когда система освободится
от выз овов более высокого приоритета, чем прерванный вызов, последний дообслуживается оставшееся время обслуживания.
Схема 1.2. То же, но прерванный вызов «теряется».
Схема 1.3. To же, но прерванный вызов обслуживается заново (не
учитывается время имевшегося обслуживания).
Схема 2. Если вызов начал обслуживаться, то он обслуживается
до конца, несмотря на поступление вызовов б олее высокого пр иоритета
(прерывание не происходит).
Будем предполагать, что
— потоки L1, . . . , Lrнезависимы;
— моменты поступления вызовов приоритета k образуют пуассонов-
ский поток с пара метром ak(k = 1, . . . , r);
— длительности обслуживания вызовов (всех по токов) есть незави-
симые случайные величины;
— длительность обслуживания вызова приоритета k имеет ф.р.
Bk(t), k = 1, . . . , r.
За основные характеристики обслужива ния такой системы принимаются: время ожидания начала обслуживания для вызова приоритета k;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]