Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория массового обслуживания. Учебное пособие
.pdf
§ 10. Наложение потоков 41
Ясно, что
P (B) 6
n
X
Bi(τ), τ = τ1+ . . . + τk. (10)
i=1
X
Оценим теперь вероятность P (A). Наряду с суммарным потоком
X
рассмотрим суммарный поток
первые вызов ы каждого из слагаемых потоков. Через t
значим последовательные моменты поступления вызовов потока
′
′
z
= t
k
′
− t
k−1
, k > 1, t
k
′
= 0. Введем событие
0
A′= {z
′
< τ1, . . . , z
1
′
, вызовами которого являются лишь
n
′
k
< τk, z
′
k+1
> t}.
′
′
, t
1
2
, . . . обо-
X
′
n
Ясно, что
A′⊃ A (11)
и при этом
P (A′\ A) 6
n
X
Bi(τ + t), (12)
i=1
так как если событие A′\A реализовано, то к моменту τ1+ . . . + τk+ t от
одного из слагаемых потоков поступило, по крайней мере, два вызова.
Из (9)—(12) и первого условия предложения 2, учитывая, что функции Bk(t) не убыв ают, снова получаем формулы (7) и (8), но справедливые теперь с точностью до (заранее заданных чисел) ε1> 0 и ε2> 0;
при этом ε1и ε2зависят лишь от τ
0
1
, . . . , τ
0
, t0, а число слагаемых пото-
k
ков должно быть не меньше некоторого числа N0. Отсюда уже следует
условие (5).
X
Задача. Для каждого n > 1 рассмотрим суммарный поток
получающийся наложением n независимых потоков; при этом k-ый по-
n
ток является рекуррентным потоком с запаздыванием, определяемым
функциями A1k(t) и Ak(t):
t
Z
A1k(t) = a
[1 − Ak(u)] du.
k
0
Предположим, что при n → +∞
1) a1+ . . . + an= a = const;
2) max
16k6n
{ak} → 0;
3) при каждом фиксированном t
n
;
,
max
16k6n
{Ak(t)} → 0.
42 Гл. 0. Теория входящего потока
X
Показать, что
⇒ P (a).
n
Указание.
t
n
X
k=1
A1k(t) =
n
X
k=1
h
akt − a
Z
Ak(u) dui→ at,
k
0
так как
t
Z
n
X
k=1
n
X
k=1
a
Ak(u) du 6 t
k
0
Bk(t) 6
n
X
k=1
n
X
akAk(t) 6 t
k=1
A1k(t)Ak(t) 6
max
{A1k(t)} 6 t · max
16k6n
n
X
k=1
n
X
A1k(t) · max
k=1
ak· max
16k6n
16k6n
{ak}.
16k6n
{Ak(t)} =
= at · ma x
16k6n
{Ak(t)} 6
6 at · ma x
16k6n
{Ak(t)};
{Ak(t)};
§ 11. Поток Бернулли
Выше мы, как правило, рассматривали неограниченные потоки вызовов, т.е. такие потоки ν(t), что для всякого целого числа N > 0 найдется число T > 0 такое, что
P {ν(T ) > N }> 0.
Примером ограниченного потока может служить поток Бернулли,
к описанию которого мы и переходим.
Пусть τ1, . . . , τN— независимые случайные числа, каждое из которых равномерно распределено в отрезке [0, T ], T > 0. Положим
(
νk(t) =
0, если τk> t;
1, если τk< t;
ν(t) = ν1(t) + . . . + νN(t).
Поток ν(t), t > 0, называется потоком Бернулли. Такой поток можно
представлять следующим образом. Пусть каждый из N независимых
источников посылает (с вероятностью 1) в отрезке [0, T ], T > 0, лишь
один вызов, причем вероятность того, что от некоторого фиксированного источника поступит вызовов в промежутке ∆ ⊂ [0, T ] длины |∆|
равна |∆|/T . Тем самым, каждый источник порождает поток, состоящий из одного вызова. Суммарный поток, получающийся наложением
§ 11. Поток Бернулли 43
этих потоков, и есть поток Бернулли. Отметим, что поток Бернулли
ограничен (состоит из конечного числа вызовов).
Пусть Pk(t) = P {ν(t) = k}, k = 1, . . . , N . Так как поступление данного
вызова в [0, t) ⊂ [0, T ] равна t/T и вызовы поступают независимо, то
Pk(t) = C
k
t
k
N
T
1 −
N−k
t
T
.
Более того, если промежутки ∆1, . . . , ∆nне пересекаются и [0, T ] =
= ∆1+ . . . + ∆n, то для любых неотрицательных целых чисел k1, . . . , k
таких, что k1+ . . . + kn= N , выполнено
P {ν(∆1) = k1, . . . , ν(∆n) = kn} =
N!
k1! . . . kn!
k
k
1
. . . p
n
, (1)
n
p
1
где ν(∆) — число вызовов, поступивших в промежутке ∆, и
|∆i|
pi=
, i = 1, . . . , n.
T
Наряду с потоком Бернулли ν(t) рассмотрим пуассоновский поток
ν′(t) с интенсивностью a > 0. Если 0 6 t 6 T и 0 6 k 6 N , то
P {ν′(t) = k/ν′(T ) = N} =
= P {ν′(t) = k, ν′(T ) − ν′(t) = N − k}/P {ν′(T ) = N} =
т.е.
= P {ν′(t) = k} · P {ν′(T − t) = N − k}/P {ν′(T ) = N} =
k
(at)
=
k!
e
−at
[a(T − t)
P {ν′(t) = k/ν′(T ) = N} = C
N−k
(N − k)!
k
t
k
N
T
]
−a(T −t)
e
1 −
N−k
t
T
(aT )
.
N!
N
−aT
e
n
,
Более того, если промежутки ∆1, . . . , ∆nне пересекаются и [0, T ] =
= ∆1+ . . . + ∆n, то для любых неотрицательных целых чисел k1, . . . , k
таких, что k1+ . . . + kn= N , выполнено
P {ν′(∆1) = k1, . . . , ν′(∆n) = kn/ν′(T ) = N} =
= P {ν′(∆1) = k1, . . . , ν′(∆n) = kn}/P {ν′(T ) = N} =
= P {ν′(∆1) = k1}. . . P {ν′(∆n) = kn}/P {ν′(T ) = N} =
=
(a|∆1|)
k1!
k
1
−a|∆1|
e
. . .
(a|∆n|)
kn!
k
n
e
−a|∆n|
(aT )
N!
N
−aT
e
откуда, учитывая |∆1| + . . . + |∆n| = T , получаем
P {ν′(∆1) = k1, . . . , ν′(∆n) = kn/ν (T ) = N }=
N!
k1! . . . kn!
k
k
1
. . . p
n
n
. (2)
p
1
n
,
44 Гл. 0. Теория входящего потока
Соотношения (l)—(2) показывают, что если относительно пуассоновского потока вызовов известно, что в отрезке [0, T ], T > 0, поступило
ровно N вызовов, то поток вызовов в этом отрезке является потоком
Бернулли.
Задача 1. Пусть t1, . . . , tN— последовательные моменты поступле-
ния вызовов пот ока Бернулли; zk= tk− t
; k = 1, . . . , N ; t0= 0. Дока-
k−1
зать, что для любого k = 1, . . . , N и 0 6 t 6 T
N
P {zk> t} =1 −
Задача 2. Рассмотренный выше поток Бернулли обозначим через
X
. Показать, что при N = at, где a > 0, пос ледовательность потоков
N
Бернулли
метром a.
X
равномерно сходится к пуассоновскому потоку с пара-
N
Указание. См. предложение 1 § 10; Ak(t) = min
t
.
T
t
, 1для t > 0.
T
Задача 3. Рассмотрим пуассоновский поток ν(t) с ведущей функ-
цией α(x), см. § 4. Предположим, что ν(b) − ν(a) = N, a < b. Показать,
что поток вызовов в промежутке [a, b) эквивалентен суммарному потоку от N независимых источников, каждый из которых посылает лишь
один вызов в [a, b) и момент его поступления содержится в про межутке
[c, d) ⊂ [a, b) вероятностью [α(d) − α(c)]/[α(b) −α(a)].
§ 12. Метод введения дополнительного события
При решении задач массового обслуживания часто приходится пользоваться преобразо ванием Л апласа—Стилтьеса
∞
Z
−st
e
dA(t)
0
некоторой функции распределения A(t) неотрицательной случайной величины или производящими функциями вида
X
pkzkили
k>0
X
k>0
X
k
z
p
k
z
= e
k!
k>0
k
z
p
e−z.
k
k!
Вид этих функций наводит на мысль, что им можно придать некоторый
вероятностный смысл.
Пример 1. Рассмотрим поток вызовов, поступающих в некоторую
систему обслуживания, и пусть число z такое, что 0 6 z 6 1. Раскрасим
поступающие вызовы следующим образом. Каждый вызов объявляется
§ 12. Метод введения дополнительного события 45
либо красным, либо синим, причем произвольный вызов объявляется
красным с вероятностью z независимо от того, какого цвета остальные вызовы. Если теперь pkесть вероятность поступления k вызовов
в некотором интервале времени, то
X
pkzkесть вероятность поступле-
k>0
ния (в этом интервале) разве лишь красных вызовов (или вероятность
того, что в этом интервале синие вызовы не посту пят).
Пример 2. Пусть длительность «жизни» некоторого элемента имеет ф.р. A(t). Возьмем число s > 0 и предположим, что происходят некоторые «катастрофы», моменты наступления которых образуют пуассоновский поток с параметром s. Тогда число
∞
Z
−st
e
dA(t)
0
есть вероятность того, что за время «жизни» элемента не произойдет
никакая «катастрофа».
Мы видим, что вводя некоторое дополнительное событие («катастрофу» или со бытие, заключающееся в том, что вызов оказался синим), мы
тем самым придаем вероятностный смысл преобразованию Лапласа—
Стилтьеса и производящей функции. Если теперь подсчитать вероятность интересующего нас события с двух точек зрения, использующих
введенное событие — «катастрофу», и заметить, что введенное событие
произвольно, т.е. произвольно z, 0 6 z 6 1, или s > 0, то по лу чим соотношение, справедливое для всех z, 0 6 z 6 1, или s > 0. Используя там,
где это необходимо, принцип аналитического продолжения, получаем,
что выведенное соотношение справедливо для более широкой области
изменения z или s. В этом и состоит сущность метода введения дополнительного события. Отметим, что привлекательной стороной этого метода является еще то, что при этом действия над ф.р. заменяются
действиями над их преобразованиями Лапласа—Стилтьеса, а заодно исчезает необходимость проверки законности перехода к преобразованию
Лапласа—Стилтьеса (что приходится делать, если соотношения содержат, например, производные от некоторых ф.р.).
В предыдущих параграфах уже использовался этот метод. Приведем еще один простой пример. Пусть ξ — неотрицательная сл.в. с ф.р.
A(t). Покажем, что
∞
Z
−st
e
dA(t) = s
0
∞
Z
−st
e
A(t) dt =
0
∞
Z
A(t) dt(1 − e
0
−st
)
46 Гл. 0. Теория входящего потока
для всех s > 0. Величину ξ будем интерпретировать как время жизни
некоторого элемента. В терминах «катастроф» левая часть есть вероятность того, что за время жизни элемента катастрофа не произойдет.
Правая же часть есть в ероятность того, что до наступления катастрофы
закончится жизнь элемента. Так как приведенные события совпадают,
то совпадают и вероятности этих событий.
§ 13. Время обслуживания
Пусть некоторое устройство обслуживает поступающие к нему вызовы, предъяв ляющие требование к обслуживанию. Длительность времени обслуживания вызова зависит от числа уже обслуженных вызовов, от продолжительности времени об служивания каждого из них, от
потока поступающих вызовов, от прогноза на будущее и многих других факторов. Перенумеруем вызовы в порядке их поступления на обслуживание числами 1, 2, . . . и обозначим через sk, k > 1, длительность
времени обслуживания k-го вызова. Будем предполагать, что продолжительность обслуживания каждого вызова не зависит от потока их
поступления. Тогда обслуживание в целом считается заданным, если
для каждого натурального числа n > 1 задано распределение случайного вектора (s1, . . . , sn), причем эти распределения согласованы. В основном мы будем рассматривать тот случай, когда сл.в. s1, s2, . . . независимы в совокупности и имеют одну и ту же ф.р. Такое обслуживание
назовем рекуррентным (по аналогии с соответствующим понятием для
входящего потока). Обозначим
B(t) = P {sk< t}, k > 1.
В случае B(t) = 1 − e
−bt
, b > 0, t > 0, обслуживание назыв ается экспо-
ненциальным.
Другой часто встречающийся вид обслуживания соответствует постоянному времени обслуживания каждого вызова , скажем, τ > 0.
В этом случае
B(t) =
(
0, если t 6 τ;
1, если t > τ.
Рассмотрим следующий случай многофазного обслуживания. Пусть
длительность s времени обслуживания любого вызова складывается из
независимых между собой сл.в. s
(1)
, . . . , s
(m)(s(i)
— длительность вре-
мени обслуживания на i-й фазе)
s = s
(1)
+ . . . + s
(m)
.
§ 13. Время обслуживания 47
Если P {s
(i)
< t} = Bi(t), то
P {s < t} = B(t) = B1(t) ∗ . . . ∗Bm(t),
где символ ∗ означает операцию свертки. Например, пусть поступающие на некоторое устройство изделия сначала обрабатываются случайное время s
(1)
, а затем проходят проверку на брак. Пусть для каждого
изделия вероятность обработать его с браком равна p, и тогда устройство подналаживается и длительность подналадки имеет ф.р. C(t).
В этом случае длительность s времени, в течение которого устрой-
ство недоступно для других изделий, имеет ф.р.
B(t) = P {s < t} = B1(t) ∗ B2(t),
где при t > 0
B2(t) = P {s
(2)
< t} = P {s
(2)
+ P {s
= 0}+
(2)
> 0} · P {s
(2)
< t/s
(2)
> 0} = 1 − p + pC(t).
В других ситуациях многофазное обслуживание заключается в том,
что вызов проходит лишь одну фазу обслуживания, причем i-ю фазу
с вероятностью pi, i = 1, . . . , m; p1+ . . . + pm= 1, и при это м тратится
случайное время с ф.р. Bi(t). Тогда время обслуживания вызова имеет
ф.р.
B(t) = p1B1(t) + . . . + pmBm(t).
В случае Bi(t) = 1 − e
−bit
, bi> 0, имеем
B(t) = 1 − p1e
−b1t
− . . . − pme
−bmt
и обслуживание называется гиперэкспоненциальным.
Рассмотрим еще тот случай обслуживания, когда устройство работает ненадежно. Пусть B(t) есть ф.р. длительности времени об с лу живания вызова. Если в момент T вызов начал обслуживаться и длитель ность времени обслуживания > t, то с вероятностью C(t) прибор в ы йдет из строя (таким образом, C(t) есть ф.р. времени «жизни» прибора,
начиная с момента начала обслуживания вызова). Затем эт от прибор
восстанавливается и длительность времени восстановления имеет ф.р.
D(t), а вызов, обслуживание которого было прервано выходом из строя
прибора, продолжает дообслуживать ся и т.д. Таким образом, с каждым
вызовом связано время, в течение которого прибор недоступен для других вызовов. Это время естественно назвать временем пребыв ания вы зова на приборе. Обозначим через H (t) ф.р. этого времени. Очевидно,
что
H(t) =
t
Z
X
Pn(u)Dn(t − u) dB(u); (1)
n>0
0
48 Гл. 0. Теория входящего потока
здесь Pn(u) — ве роятность того, что за время обслуживания вызова,
равное u, прибор n раз выйдет из строя, n > 0; а D
(t) = Dk(t) ∗ D(t),
k+1
k > 0; D0(t) = 1 при t > 0. Полагая
X
из (1) по лу чим
P (z, u) =
h(s) =
∞
Z
e
0
znPn(u),
n>0
−st
P (δ(s), t) dB(t). (2)
Заметим, что согласно § 5 (см. случа й 1)
∞
Z
−st
s
e
0
В частности, если C (t) = 1 − e
P (z, t) = e
P (z, t) dt =
−ct
, c > 0, то
1 − γ(s)
1 − zγ(s)
−(1−z)ct
.
;
поэтому из (2) получаем
h(s) = β(s + c − cδ(s)),
откуда, например,
h1= β1(1 + cδ1),
h2= β2(1 + cδ1)2+ β1cδ2.
Глава 1
РЕГЕНЕРИРУЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ
§ 0. Процесс восстановления
Пусть {zk}
— последовательность действительных неотрицатель-
k>1
ных случайных ве личин. Положим
tn= z1+ . . . + zn, n > 1; t0= 0;
ν(t) = max{n: tn< t}, t > 0.
Например, если величины zkпонимать как длительности существования последоват е льности заменяемых элементов, то tnесть момент замены n-го элемента, a ν(t) есть число замененных до t элементов.
Процесс ν (t) называется процессом восстановления. Таким образом, всякая последовательность {zk}
действительных неотрицатель-
k>1
ных с лу чайных величин задает процесс восстановления ν(t). В связи
с этим го ворят еще, что процесс восстановления есть последователь-
ность {zk}
действительных неотрицательных случа йных величин.
k>1
Процесс восстановления считается заданным, если для каждого целого
числа n > 1 задано распределение случа йного вектора
(z1, . . . , zn).
Мы видим, что понятия процесса восстановления и потока событий (см.
§ 0 главы 0) совпадают.
Процесс восстановления {zk}
называется рекуррентным с запаз-
k>1
дыванием, если случайные величины z1, z2, z3, . . . независимы и, начиная со второй, одинаково распределены.
В случае же, когда все случайные величины z1, z2, . . . одинаково распределены (и независимы), будем говорить о рекуррентном процессе
восстановления.
Ниже рассматриваются лишь рекуррентные процессы восстановле-
ния с запаздыванием. Положим
A1(t) = P {z1< t}, A(t) = P {zk< t}, k > 2.
В случае рекуррентного процесса восстановления
A1(t) = A(t).
Дополнительно предположим, что P {zk= 0} < 1 для всех k > 1.
Предложение. Существует число θ0> 0 такое, что
E{ex p(θν(t))} < +∞
50 Гл. 1. Регенерирующие процессы
для всякого t > 0 и любого θ 6 θ0. В частности, для любого t > 0 случайное число ν(t) имеет конечные моменты всех порядков.
Доказательство. Утверждение достаточно доказать лишь для
случая рекуррентного процесса восстановления. Так как P {zk= 0} < 1,
то существует число δ > 0 такое, что P {zk> δ} = ε > 0. Определим
новый рекуррентный про цес с восстановления {z
(
δ, если zk> δ,
′
z
=
k
0, если zk< δ.
Так как z
′
6 zk, то ν′(t) > ν(t). Но случайная величина ν′(t) имеет
k
′
}
k>1
k
равенствами
отрицательно-биномиальное распределение, откуда и следует высказанное утверждение.
Для рекуррентного процесса восстановления с запаздыванием положим
H1(t) = Eν(t).
В случае A1(t) ≡ A(t) будем обозначать
H(t) = Eν(t).
Пусть
Тогда
Отсюда
(
σk=
1, если tk< t,
0, если tk> t.
X
ν(t) =
A
(t) = Ak(t) ∗ A(t) = A1(t) ∗ P {z2+ . . . + z
k+1
H1(t) = A1(t) +
H1(t) = A1(t) +
σk, Eσk= P {tk< t} = Ak(t),
k>1
Eν(t) =
X
Eσk=
k>1
X
k>1
t
Z
H1(t − u) dA(u), (1)
−0
t
Z
H(t) = A(t) +
H(t −u) dA(u), (2)
−0
t
Z
A1(t − u) dH(u). (3)
−0
Ak(t).
k+1
< t},
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]