Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория массового обслуживания. Учебное пособие
.pdf
§ 5. Обслуживание с преимуществом (произвольное время) 121
время пребывания в системе вызова приоритета k; длина очереди для
вызовов каждого приоритета; период занятости системы обслуживанием вызовов приоритета k и выше. О периоде занятости см. § 1.
Обозначим через WKN(t) и VKN(t) функции распределения длительности ожидания начала обслуживания и длительности пребывания
в системе N -го вызова (нумерация вызовов производится в порядке их
обслуживания) при условии, что он является вызовом приоритета k.
Мы будем интересоваться поведением функций WKN(t) и VKN(t) при
N → +∞. В частности, будет показано, что при некоторых услови-
ях (условиях существования стационарного распределения) суще с твуют пределы
lim
WKN(t) = Wk(t), lim
N→∞
VKN(t) = Vk(t),
N→∞
представляющие ф.р. При этом будем говорить, что Wk(t)(Vk(t)) есть
стационарная ф.р. времени ожидания начала обслуживания (соот ветственно времени пребывания в системе) для вызова приоритета k.
Б. Схема 1.1, B1(t) = . . . = Br(t) = B(t). Ha обслуживание вызовов приоритета k вызовы низшего приоритета влияния не оказывают. Считая условно, что появление вызова приоритета высшего, чем k,
означает выход прибора из строя, мы видим, чт о определение характеристик качества обслуживания вызовов приоритета k (т.е. времени
ожидания и времени пребывания в системе для выз ова приоритета k)
сводится к определению тех же характеристик для системы обслуживания, описанной в § 3, со следующими данными:
−akt
,
t
, σi= a1+ . . . + ai, σ0= 0,
(t).
k−1
C(t) = E(t) = 1 − e
D(t) = F (t) = Π
A(t) = 1 −e
−σ
k−1
Условием существования стационарного распределения является
(a1+ . . . + ak)β1< 1
(заметим, что h(s) = δ(s)). При этом условии первые три момента для
функции D(t) (= F (t) = H (t)) равны соответственно
β
1 − σ
(1 − σ
(1 − σ
1
k−1
β
k−1
β
k−1
,
β
1
2
,
3
β1)
2
3β
(1 − σ
2
σ
k−1
k−1
β1)
.
5
3
β1)
+
4
δ1=
δ2=
δ3=
122 Гл. 2. Системы обслуживания одним прибором
В. Схема 1.1, общий случай. Определение характеристик качества обслуживания вызовов приоритета k сводится к аналогичной
задаче для системы, описанной в § 3, со следующими данными:
−akt
, B(t) = Bk(t),
−σ
k−1
(t);
k−1
t
,
здесь Π
A(t) = 1 − e
C(t) = E(t) = 1 − e
D(t) = F (t) = Π
(t) — ф.р. периода занятости системы обслуживанием вызо-
k−1
вов приоритета k − 1 и выше (см. § 1). Со гласно предложению 3 § 1
имеем
σ
k−1πk−1
(s) =
k−1
X
aiβi(s + σ
i=1
k−1
− σ
k−1πk−1
(s)).
Условием существования стационарного распределения служит
a1β11+ . . . + akβk1< 1.
При этом (см. предложение § 3)
k
ωk(s) =
X
1 −
i=1
s − ak+ ak· βk(s + σ
aiβ
i1
(s + σ
k−1
k−1
− σ
− σ
k−1
k−1
· π
· π
k−1
k−1
(s))
(s))
.
Первые два момента времени ожидания равны
ρ
ωk2=
3ρ
ρ
3
k−1
k3
ωk1=
· ρ
k
+
2ρ
2ρ
k−1
ρ
2
k−1
k2
,
· ρ
k
2
k2
· ρ
ρk2· ρ
2ρ
3
k−1
k−1,2
· ρ
;
k
+
2
k
здесь
ρi1= a1β11+ . . . + aiβi1,
ρi2= a1β12+ . . . + aiβi2,
ρi3= a1β13+ . . . + aiβi3,
ρi= 1 − ρi1; ρ0j= 0.
Первые два момента времени пребывания в системе вызова приоритета
k равны
vk1= ωk1+ h1,
vk2= ωk2+ 2ωk1· h1+ h2,
где
h1=
ρ
β
k−1
k1
, h2=
ρ
β
2
k−1
k2
+ βk1·
ρ
k−1,2
ρ
3
k−1
.
§ 5. Обслуживание с преимуществом (произвольное время) 123
Г. Схема 1.2. Для полу чения характеристик качества обслуживания вызовов приорит ета k мы можем воспользоваться результатом § 3
для случая
A(t) = 1 −e
E(t) = 1 − e
−akt
, H(t) = Hk(t),
−σ
t
k−1
, F (t) = Π
k−1
(t);
здесь Hk(t) и Π
(t) имеют тот же смысл, что в предложении 4 § 1.
k−1
Условием существования стационарного распределения служит
a1β11+
a
2
[1 − β2(σ1)] + . . . +
σ
1
σ
a
k
k−1
[1 − βk(σ
k−1
)] < 1.
Д. Схема 1.3. Эта схема разб ирается так же, как предыдущая
схема 1.2, если Hk(t) и Π
(t) определять согласно предложению 5 § 1.
k−1
Условием существования стационарного распределения служит
a1β11+
a
σ
h
2
1
1
β2(σ1)
− 1i+ . . . +
σ
a
k−1
h
βk(σ
1
k−1
− 1i< 1.
)
k
Е. Схема 2. Такая схема обслуживания с преимуществом ра з обрана в работе [28]. Для полноты изложим эту работу, изменив разве лишь
стиль изложения.
E1. Обозначения. В каждый момент очередь будем характеризо-
вать вектором k = (k1, . . . , kr); здесь ki— число вызовов приоритета i,
находящихся в системе, i = 1, . . . , r; piN(k) — вероятность того, что N -й
вызов (нумерация вызовов производится в порядке их обслужив ания)
является вызовом приоритета i и, покидая прибор (после окончания
обслуживания), оставляет в системе очередь типа k = (k1, . . . , kr).
Если z = (z1, . . . , zr), k = (k1, . . . , kr) — два вектора размерности r (все
векторы, рассматриваемые ниже, будут иметь лишь эту размерность),
то положим
k
k
1
zk= z
1
. . . z
r
.
r
Далее, положим
X
PiN(z) =
piN(k)zk,ˆPN(z) =
k>0
здесь условие k > 0 означает k1> 0, . . . , kr> 0;
(uiz) = (u, . . . , u, z
(z, ui) = (z1, . . . , z
(uizvj) = (u, . . . , u, z
, . . . , zr),
i+1
, u . . . , u),
r−i
, . . . , z
i+1
r−j
r
X
PiN(z); (1)
i=1
, v, . . . , v).
124 Гл. 2. Системы обслуживания одним прибором
Условие, при котором производится су ммирование, будем заключать
в скобки ⌊ ⌋, например:
k
k
1
PiN(z) =X⌊k1> 0, . . . , kr> 0⌋piN(k1, . . . , kr)z
1
. . . z
r
.
r
E2. Получение основных формул. Условимся считать каждый вызов
либо красным, либо синим, причем произвольный вызов объявляется
красным с вероятностью zi, если он является вызовом приоритета i,
независимо от того, какого цвета другие вызовы. Тогда:
PiN(z) есть вероятность того, что N -й вызов является вызовом прио-
ритета i и, покидая прибор после окончания обслуживания, не
оставляет в системе синих вызовов;
ˆ
PN(z) есть вероятность того, что N -й вызо в, покидая прибор, оставляет
в системе разве лишь красные вызовы (т.е. не оставляет синих
вызовов);
i−1
ˆ
PN(0
z) −ˆPN(0iz) =
=X⌊16j6r; ki>1, k
>0, . . ., kr>0⌋pjN(0, . . ., 0, ki, . . ., kr)z
i+1
ki
i
. . .z
k
r
есть вероятность того, что N-й вызов, покидая прибор, оставляет
в системе хотя бы один вызов приоритета i, не оставляет вызовов
приоритета выше i и все оставшиеся вызовы являются красными;
ˆ
PN(0r) — вероятность того, что N -й вызов, покидая прибор, оставляет
систему свободной от вызовов;
X
k>0
Z
k
z
0
(a1u)
k1!
k
1
−a1u
e
. . .
(aru)
kr!
k
r
−aru
e
dBi(u) =
∞
= βi(σ − az) — вероятность того, что за время обслуживания вызова
приоритета i в систему не поступят синие вызовы; здесь σ =
= a1+ . . . + ar, az = a1z1+ . . . + arzr; аналогично
ωiN(σ − az) есть вероятность того, что за время ожидания начала об-
служивания N-го вызова в систему не поступят синие вызовы
при условии, что N -й вызов есть вызов приоритета i.
Заметим еще, что произвольный поступивший вызов является вызовом приоритета i с вероятностью qi=
Теперь формула
ziP
i,N+1
(z) = [ˆPN(0
i−1
z) −ˆPN(0iz) + qiz
a
i
, i = 1, . . . , r.
σ
i
ˆ
PN(0r)]βi(σ − az) (2)
r
может быть получена с помощью следующих рассуждений. Для того
чтобы (N + 1)-й вызов был красным вызовом приоритета i и, покида я
прибор, оставлял в системе разве лишь красные выз овы (вероятность
чего есть ziP
(z)), необходимо и достаточно, чтобы либо N-й вызо в,
i,N+1
§ 5. Обслуживание с преимуществом (произвольное время) 125
покидая прибор, оставлял в системе хотя бы один вызов приоритета i,
не оставлял вызовы приоритета выше i, все оставшиеся вызовы были
красными (вероятность чего естьˆPN(0
i−1
z) −ˆPN(0iz)) и за время обслу-
живания следующего (N + 1)-го вызова (приоритета i) синие вызовы не
поступали (вероятность чего есть βi(σ −az)), либо N-й вызов, покидая
прибор, оставлял систему свободной от вызовов (вероятность чего есть
ˆ
PN(0r)), следующий поступив ший вызов был вызовом приоритета i (ве-
роятность чего есть qi) и красным (вероятность чего есть zi) и за время
обслуживания его в систему не поступали синие вызовы (вероятность
чего есть βi(σ − az)).
Сейчас мы получим еще формулу
i−1z1r−i
PiN(1
) = PiN(1r)ωiN(ai− aizi)βi(ai− aizi). (3)
Для этого заметим, что:
PiN(1r) есть вероятность того, что N -й вызов есть вызов приоритета i;
PiN(1
i−1z1r−i
) =X⌊k1> 0, . . . , kr> 0⌋piN(k1, . . . , kr)z
k
i
есть вероят-
i
ность того, что N -й вызов есть вызов приоритета i и все вызовы
приоритета i, оставшиеся в системе после его обслуживания,
являются красными;
∞
X
m>0
Z
m
z
i
0
(aiu)
m!
m
−aiu
e
dBi(u) = βi(ai− aizi) есть вероятность того, что
за время обслуживания вызова приоритета i в систему не поступят синие вызовы приоритета i; аналогично
ωiN(ai− aizi) есть вероятность того, что за время ожидания начала
обслуживания N-го вызова в систему не поступят синие вызовы
приоритета i при условии, что N-й вызов есть вызов приоритета i.
Теперь формула (3) получается из следующих рассуждений. Для
того чтобы N -й вызов был вызовом приоритета i и все вызовы приоритета i, оставшиеся в системе по с ле его обслуживания, были красными
(вероятность чего есть PiN(1
i−1z1r−i
)), необходимо и достаточно, чтобы
N-й вызов был вызовом приоритета i (вероятность чего есть PiN(1r)), за
время ожидания начала обслуживания этого вызова в систему не поступали синие вызовы приоритета i (вероятность чего есть ωiN(ai− aizi))
и за время его обслуживания в систему не поступали синие вызовы
приоритета i (вероятность чего есть βi(ai− aizi)).
Мы не накладывали никаких ограничений на числа z1, . . . , zrкроме
0 6 zi6 1(i = 1, . . . , r), так что формулы (2) и (3) справедливы для всех
таких z1, . . . , zr. Так как PiN(z) есть ряд по степеням z1, . . . , zrс неотрицательными коэффициентами иˆPN(1r) = 1, а функции βi(s) аналитич-
126 Гл. 2. Системы обслуживания одним прибором
ны в полуплос кости Re s > 0, то отсюда следует, что формулы (2) и (3)
справедливы для всех z1, . . . , zrтаких, что |zi|6 1, i = 1, . . . , r. Эти фор-
мулы показывают, что функции PiN(z) и ωiN(s), i = 1, . . . , r,N > 1, могут
быть определены рекуррентным образом.
E3. Докажем, что при
a1β11+ . . . + arβr1< 1 (4)
существуют пределы
lim
piN(k) = pi(k),
N→∞
не зависящие от начального состояния системы, и
X
pi(k) > 0,
⌊1 6 i 6 r, k > 0⌋pi(k) = 1.
Воспользуемся следствием § 6 Гл. 1. Будем рассматривать состояние
системы лишь в моменты, когда некоторый вызов покидает прибор (после окончания обслуживания). При этом под состоянием системы понимаем вектор (i, k), означающий, что вызов, покидающий прибор, есть
вызов приоритета i и оставляет в системе очередь типа k = (k1, . . . , kr).
Таким путем мы получаем однородную цепь Маркова, которую обозначим через M. Неприводимость и непериодичность этой цепи очевидны.
Занумеруем все состояния цепи числами 1, 2, . . . так, чтобы состояниям (1, 0), . . . , (r, 0) соответствовали числа 1, . . . , r, а в остальном нумерация произвольна. Если состоянию (i, k) соответс твует номер s, то будем
писать s = s(i, k). Тогда цепь M характеризуется некоторой матрицей
{qst}
переходных вероятностей. Для каждого состояния s = s(i, k)
s,t>1
положим
ys= k1β11+ . . . + krβr1.
ysможно рассматривать как среднее время, необходимое для обслуживания очереди типа k = (k1, . . . , kr). При такой интерпретации
X
qsty
t>1
есть среднее время, необходимое для обслуживания очереди, получающейся после одного шага, если в начале этого шага было состояние
s = s(i, k). Пусть s = s(i, k) и k = (0, . . . , 0, kl, . . . , kr), kl> 1. Тогда
X
t>1
qst· yt=
r
X
(aiβl1)βi1+ (kl− 1)βl1+
i=1
r
X
=
j=l
r
X
j=l+1
kjβj1− β
kjβj1=
h
1 −
l1
r
X
i=1
aiβ
i
6 ys− ε,
i1
t
§ 5. Обслуживание с преимуществом (произвольное время) 127
где
ε = min
16l6r
β
l1
h
1 −
r
X
i=1
aiβ
i
.
i1
Требование ε > 0 равносильно требованию (4). Если же s = s(i, 0),
то
X
qstyt=
t>1
r
X
l=1
r
X
q
(aiβl1)βi1< +∞.
l
i=1
Нам осталось заметить, что piN(k) есть вероятность перехода (из
начального состояния) в состояние (i, k) за N шагов.
E4. Будем предполагать, что условие (4) в ыполнено. Тогда суще-
ствуют пределы
lim
PiN(z) = Pi(z), lim
N→∞
ˆ
PN(z) =ˆP (z),
N→∞
|zi| 6 1 (i = 1, . . . , r);
при этом
ˆ
P (z) =
r
X
Pi(z),ˆP (1r) = 1. (5)
i=1
Из (2) получаем
ziPi(z) = [ˆP (0
i−1
z) −ˆP (0iz) + qiz
ˆ
P (0r)]βi(σ − az). (6)
i
Из (3) вытекает существование предела
lim
ωiN(ai− aizi) = ωi(ai− aizi), |zi| 6 1,
N→∞
и
i−1z1r−i
Pi(1
(откуда ωi(+0) = 1, так что функция Wi(t) = lim
) = Pi(1r) · ωi(ai− aizi) · βi(ai− aizi) (7)
WiN(t) есть ф.р.).
N→∞
E5. Докажем, что соотношения (4)—(6) определяют единственные
функции Pi(z), i = 1, . . . , r, аналитичные в круге |z1| < 1, . . . , |zr| < 1
и |Pi(z)| 6 1.
В самом деле, из (6) имеем
или
r
X
βi(σ − az)
i=1
r
X
i=1
ziPi(z)
Pi(z)
βi(σ −az)
r
X
=
i=1
[ˆP (0
i−1
z) −ˆP (0iz) + qiz
ˆ
P (0r)]
i
[zi− βi(σ − az)] = (qz − 1)ˆP (0r), (8)
128 Гл. 2. Системы обслуживания одним прибором
здесь qz = q1z1+ . . . + qrzr=
(k)
(v
az
. Положим
σ
z) = (v1, . . . , v
, zk, . . . , zr);
k−1
тогда из (6) будем иметь
Pi(z)
βi(σ − az)
=
βi(σ − a(v
Pi(v
(k)
z)
(k)
z))
(9)
для |zj| 6 1, |vj| 6 1, zi6= 0. Предельным переходом убеждаемся, что (9)
верно и для случая zi= 0.
Определим, далее, функции uk1, . . . , u
переменных zk, . . . , zrра-
k,k−1
венствами
uki= β
k−1
X
σ −
i
ajukj−
j=1
r
X
j=k
ajz
, i = 1, . . . , k − 1. (10)
j
Для корректности этого определения надо убедиться в разрешимости
этой системы уравнений. Докажем большее, а именно: система (10)
определяет единственные функции uki= uki(zk, . . . , zr), i = 1, . . . , k − 1,
аналитические в области
r
X
ajRe zj<
j=k
r
X
j=k
a
j
(11)
и |uki| < 1(i = 1, . . . , k − 1). Из теоремы Руше следует, что уравнение
u =
k−1
X
i=1
aiβ
σ − u −
i
r
X
j=k
ajz
j
(12)
в каждой точке (zk, . . . , zr) области (11) имеет единственное реше-
k−1
ajz
j
σ − u −
X
ai, ибо на окружности
i=1
> 0,
r
X
j=k
ajz
k−1
X
<
j
i=1
ai= |u|.
ние u = uk= uk(zk, . . . , zr) такое, что |uk| <
k−1
X
|u| =
aiвыполнены неравенства
i=1
r
X
Reσ − u −
j=k
k−1
X
i=1
aiβ
σ − u −
i
r
X
j=k
ajz
k−1
6
j
X
i=1
a
β
i
i
По теореме о неявной функции uk= uk(zk, . . . , zr) есть аналитическая
функция в области (11). Нам осталось положить
§ 5. Обслуживание с преимуществом (произвольное время) 129
(ибо тогда uk=
k−1
X
i=1
uki= β
aiuki).
σ − uk−
i
Единственность следует из того, что если u
r
X
j=k
ajz
j
∗
k1
, . . . , u
∗
k,k−1
— другое
решение, то
k−1
X
удовлетворяет (12) и |u
∗
k
| <
∗
u
=
k
k−1
X
ai, значит uk= u
i=1
i=1
aiu
∗
ki
∗
, а из (13) uki= u
k
(i = 1, . . . , k − 1).
Теперь Pi(z) можно выразить черезˆP (0r) следующим образом. Положим
z1= ur1(zr), . . . , z
r−1
= u
r,r−1(zr
).
Тогда из (8), (10) получим
Pr(ur1, . . . , u
βr(σ − ur(zr) − arzr)
r,r−1
, zr)
[zr− βr(σ−ur(zr)−arzr)] =
ur(zr)+arzr−σ
σ
а в силу (9)
Pr(z)
βr(σ − az)
Pr(ur1, . . . , u
=
βr(σ −ur(zr) − arzr)
r,r−1
, zr)
уже для всех z, |zj| 6 1(j = 1, . . . , r). Далее, полагая
(13)
ˆ
P (0r),
∗
ki
z1= u
r−1,1(zr−1
таким же путем определяем P
, zr), . . . , z
(z) и т.д.
r−1
r−2
= u
r−1,r−2(zr−1
, z
r−2
),
Нам осталось найти константуˆP (0r). Для этого используем условие
ˆ
P (1r) = 1. При z2= . . . = zr= 1 имеем
z1− β1(σ − az)
1 − z
1 − βi(σ − az)
1 − z
1
1
=
qz − 1
z1− β1(a1− a1z1)
=
1 − z
1 − βi(a1− a1z1)
1 − z
1
a
1
= −
1 − z
1
.
σ
1
;
, i = 2, . . . , r;
Поэтому при z1↑ 1, учитывая (8), получаем
r
−P1(1r) +
X
Pi(1r)a1βi1= −
i=1
a
1
P (0r).
σ
ˆ
130 Гл. 2. Системы обслуживания одним прибором
Аналогично
r
−Pj(1r) +
X
Pi(1r)ajβi1= −
i=1
a
j
ˆ
P (0r), j = 1, . . . , r;
σ
откуда
ˆ
P (0r) = 1 − a1β11− . . . − arβr1. (14)
Отметим, что
Pi(1r) =
a
i
. (15)
σ
E6. Определим теперь функции ωi(s), i = 1, . . . , r. Из (7) во всяком
случае имеем
ωi(s) =
Pi(1, . . . , 1, 1 − a
σ
a
i
βi(s)
−1
s, 1, . . . , 1)
i
, |1 − a
−1
i
s| 6 1.
Пусть
zj= 1, j = k + 1, . . . , r;
zk= 1 −
s
;
a
k
zi= uki(zk, . . . , zr), i = 1, . . . , k − 1;
тогда из (9) будем иметь
βk(s)
s
, 1, . . . , 1)
a
k
1
(s + σ
σ
k−1
;
− uk);
Pk(z)
βk(σ −az)
Pj(z)
βj(σ − az)
σ − az = s + σ
Pk(1, . . . , 1, 1 −
=
Pj(1r)
=
k−1
= Pj(1r), j = k + 1, . . . , r;
βj(0)
− uk; qz − 1 = −
отсюда в комбинации с формулами (8) и (9), (13)—(15) получаем
ωk(s) =
r
X
1−
ajβ
j=1
j1
k−1
X
−
aj+ uk− s−
j=1
ak− s − akβ
k
r
X
j=k+1
k−1
X
aj+ s − u
j=1
1−β
j
k−1
X
aj+ s − u
j=1
h
a
j
k
i
k
.
Таким образом, нами доказано (положено uk(s) = σ
Предложение. Если
a1β11+ . . . + arβr1< 1
то:
k−1
· π
k−1
(s)).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]