Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория массового обслуживания. Учебное пособие
.pdf
§ 3. Метод Винера—Хопфа 271
Теорема 1. Пусть f(s) — аналитическая функция переменного s =
= σ + iτ в полосе σ−< σ < σ+и такая, что |f (s)|6 Mε|s|−ρ, ρ > 0, если
σ−+ ε 6 σ 6 σ+− ε, ε > 0. Тогда при σ−< λ < σ < µ < σ
+
f(s) = f+(s) + f−(s),
λ+i∞
Z
λ−i∞
µ+i∞
Z
µ−i∞
f(z)
z − s
f(z)
z − s
dz,
dz,
f+(s) =
f−(s) =
1
2πi
1
2πi
где f+(s) аналитична в полуплоскости Re s > λ, а f−(s) аналитична
в полуплоскости Re s < µ.
Доказательство следует из интегральной формулы Коши, примененной к прямоугольнику с вершинами λ ± iA и µ ± iA при A →+∞.
Теорема 2. Если ln K (s) удовлетворяет условиям теоремы 1
(в част ности, K(s) аналитична в полосе σ−< σ < σ+, не и меет нулей
и K(s) → 1 при |s| → ∞ в полосе σ−+ ε 6 σ 6 σ+− ε), то существу-
ет представление K(s) = K+(s) · K−(s), где K+(s) и K−(s) — аналитические, ограниченные и не имеющие нулей функции при σ > σ−+ ε
и σ 6 σ+− ε соответственно.
В самом деле, теорема 1 применительно к функции f(s) = ln K(s)
дает
ln K(s) =
1
2πi
λ+i∞
Z
λ−i∞
ln K(z)
z − s
dz +
1
2πi
µ+i∞
Z
µ−i∞
ln K(z)
z − s
dz = f+(s) + f−(s),
где функции f+(s) и f−(s) ограничены и аналитичны при σ > σ−+ ε
и σ 6 σ+− ε соответственно (λ можно взять как угодно близко к σ−,
аналогично µ можно взять как угодно близко к σ+). Ос тается положить
K+(s) = exp{f+(s)}, K−(s) = exp{f−(s)};
тогда
ln K(s) = ln K+(s) + ln K−(s)
или
K(s) = K+(s) · K−(s).
Теорема 3 (Лиувилля). Если целая функция f(s) удовлетворяет
условию
|f(s)| 6 M|s|α, α > 0,
272 Дополнение
то f (s) есть многочлен степени не выше целой части числа α.
Теорема следует из неравенства Коши
|an| 6
M(R)
n
R
для коэффициентов разложения
X
f(s) =
ansn;
n>0
здесь
M(R) = max
|s|=R
{|f(s)|}.
Следствие. Если комплексная плоскость s разбита на секторы
K1, . . . , Knлучами, исходящими из начала координат, то всякая целая
функция f (s), удовлетворяющая условию
α
|f(s)| 6 Mi|s|
i
, αi> 0, s ∈ Ki, i = 1, . . . , n,
есть многочлен степени не выше целой части ч исла min(α1, . . . , αn).
§ 4. Тождество Вальда
Рассмотрим сумму случайного числа случайных слагаемых
n
X
ξk.
k=1
Предположим, что
1) ξ1, ξ2, . . . — взаимно независимые случайные величины;
2) Eξi= m, E|ξi| < c < ∞;
3) n — случайная величина, принимающая неотрицательные целые
значения и не зависящая от сл.в . ξiпри i 6 n;
4) En < ∞.
Тогда справедливо тождество Валь да
n
E
X
k=1
ξ
= m · En.
k
Приведем простое доказательство этого тождества, данное А.Н.Кол-
могоровым и Ю.В. Прохоровым [11].
Положим pk= P {n = k} и
(
σk=
0, если n < k,
1, если n > k;
§ 5. Решение уравнения Винера—Хопфа в нормированном кольце 273
n
X
ζn=
k=1
ξk=
X
σkξk,
k>1
тогда σkесть сл.в . , не зависящая от ξk, и P {σk= 1} = P {n > k}. Кроме
того,
т.е.
|Eσkξk| = |Eσk· Eξk| 6 cP {n > k} = c
X
|Eσkξk| 6 c
k>1
X
kpk= c · En < ∞,
k>1
X
pi,
i>k
поэтому
Eζn=
X
Eσkξk= m
k>1
X
k>1
Eσk= m
X
P {n > k} = m · En,
k>1
что и требовалось.
§ 5. Решение уравнения Винера—Хопфа в нормированном
кольце
Пусть R — коммутативное нормированное кольцо с единицей e;
P : R → R — линейный оператор и Pe = e. Следующие три условия на
оператор P равносильны
P 1. 2P (aP a) = P a2+ P a · P a для любого a ∈ R.
P 2. P (aP b) + P (bPa) = P ab + P a · P b для любых a, b ∈ R.
P 3. P R и (I − P )R есть подкольца кольца R; P2= P .
Здесь I — единичный оператор.
P 1 ⇒ P 2. В равенстве из P 1 вместо a взять a + b.
P 2 ⇒ P 3. Полагая b = e в P 2, получим P2a = P a для любого a ∈R,
т.е. P есть оператор проектирования. Пусть a, b ∈ P R; тогда Pa = a,
P b = b и в силу P 2 имеем
P (ab) = P (aP b) = P ab + P a · P b − P (bP a) = P a · P b = ab,
т.е. ab = P (ab) ∈ P R и, тем самым, PR есть подкольцо. Пусть a′, b′∈
∈ (I − P )R. Покажем, что a′b′= (I − P )(a′b′) ∈(I − P )R, т.е. (I − P )R
есть подкольцо. Для некоторых a и b из R имеем a′= a − P a, b′= b −P b;
P (a′b′) = P {(a−P a)(b−Pb)} = P ab−P (aP b)−P(bP a)+P (Pa · Pb) = 0
в силу P 2, так как P (P a · P b) = P a · P b. Откуда a′b′= (I − P )(a′b′).
P 3 ⇒ P 1 получается из P2= P и P (a − P a)2= 0.
Для f ∈R рассмотрим уравнение относительно g
∞
g∞= P (f g∞). (1)
274 Дополнение
Это есть аналог уравнения Винера— Хопфа в нормированном коммутативном кольце. Без ограничения общности будем считать, что kfk = 1.
Если к уравнению (1) применим метод последовательных приближений
g
= P (f gn), n > 0, g0= e,
n+1
X
то, полагая g = g(z) =
gnzn, |z| < 1, получим g∞= lim
n>0
(1 − z)g. Эле-
z↑1
мент g ∈R удовлетворяет уравнению
g − zP (fg) = e, (2)
которое будем называть однородным в отличие от уравнения
g − zP (fg) = h, P h = h, (3)
называемого неоднородным. Ограничение Ph = h не существенно, так
как в противном случае, полагая ¯g = g − h,¯h = zP (f h), придем к аналогичному уравнению ¯g − zP (f ¯g) =¯h.
Элементарная функция от элементов кольца, например, exp g или
ln(e + g) или (e − g)−1, понимается как предел соответствующего ряда
Тейлора ; при этом под сходимостью имеется в виду сходимость по норме
кольца.
Предложение 0. Пусть выполнено P 1. Тогда неоднородное урав-
нение (3) имеет единственное решен ие, представимое в виде
g = g∗P {[(e − zf )g∗]−1h}, (4)
где g∗— единственное решение однородного уравнения (2).
Предложение 1. Каждое из условий P 1—P 3 равносильно условию
P 4. Однородное уравнение (2) имеет единственное решение, пред-
ставимое в виде (для всякого f ∈ R, kfk = 1)
g = exp{−P ln(e − zf )}= exp
X
n>1
P f
n
n
z
n
. (5)
Доказательство предложения 0. 1◦. Существование и един-
ственность решения уравнения (3), и значит (2), следует из
(I − zP F)g = h или g = (I − zP F )−1h; |z| < 1;
где F — оператор, действующий по правилу: Fg = fg для g ∈ R. Следует
при этом учесть, что kP k = 1, kF k = kf k= 1.
2◦. Покажем, что
P [(e − zf )g∗]−1= e.
§ 5. Решение уравнения Винера—Хопфа в нормированном кольце 275
Для этого воспользуемся равенством P (e−zf )g∗=e и условиями P 2—P 3.
Полагая
a = [(e − zf )g∗]−1, b = (e − zf )g∗, c = g∗P a
имеем
P (e − zf )c = P (bPa) = P ab + P a · P b −P (aP b) = e,
откуда с у четом того, что Pc = c (так как g∗∈P R, P a ∈P R и P R — под-
кольцо, а P2= P ), получим c −zP (f c) = e, т.е. c есть решение уравнения
(2). В силу единственности такого решения имеем c = g∗, т.е. P a = e.
3◦. Проверим, что элемент g, определяемый формулой (4), является
решением уравнения (3). Так как в силу P 3 имеем Pg = g, то достаточно
проверить, что P (e − zf )g = h. Сохраняя обозначения предыдущего
пункта и используя P 2, получим
P (e − zf )g = P (bP ah) = P (abh ) + P b · P ah − P (ahPb) =
= P (abh) = P h = h.
Доказательство предложения 1. P 1 ⇒ P 4. Будем пользовать-
ся тем, что условия P1—P 3 равносильны. Если g′= g′(z) есть производная по z элемента g = g(z), то из (2) имеем
g′− zP (fg′) = P (fg),
откуда в силу (4) и P2
g′= gP {[(e − zf )g]−1P fg} = gP (e − zf)−1f
или
(ln g)′= −P [ln(e − zf )]′, g(0) = e,
что равносильно (5).
Другое доказательство получается из следующих рассуждений. Так
как в силу P 3
g = exp{−P ln(e −zf )}∈ P R,
то Pg = g и поэтому достаточно проверить, что P (e − zf )g = e. Имеем
(e − zf )g = exp{(I − P ) ln(e − zf )} = e + (I − P )a
для некоторого a ∈ R. Отсюда в силу P2= P следует, что P (e −zf )g = e.
P 4 ⇒ P 1. Так как
(I − zP F)−1e = g = exp{−P ln(e − zf )},
то дифференцируя дважды левую и пра вую час ти по z, получим в точке
z = 0
2P (fP f) = P f2+ P f · P f.
В силу произвольного выб ора элемента f ∈ R это дает P 1.
276 Дополнение
§ 6. Комбинаторная формула Спитцера
А. Пусть u1, u2, . . . — последовательность независимых одинаково
распределенных случайных величин; Uk= u1+ . . . + uk— их частные
суммы. Тогда при |z| < 1 справедлива формула Спитцера, выражающая зависимость распределения сл.в. max(0, U1, . . . , Un) от распределения сл.в. max(0, Uk):
X
ωn(t)zn= exp
n>0
h
X
γn(t)
n>1
i
n
z
; (1)
n
здесь ωn(t) и γn(t) — характеристические функции сл.в. max(0, U1, . . .
. . . , Un) и max(0, Un) соответственно, т.е.
ωn(t) = E exp(it max
16k6n
γn(t) = E exp(itU
x+= max(0, x) =
+
U
), n > 1; ω0(t) = 1;
k
+
), n > 1;
n
1
(x + |x|),
2
Простое следствие этой формулы есть
n
X
E max
16k6n
+
U
k
1
=
k=1
+
EU
. (2)
k
k
Другим важным следствием формулы (1) является
h
X
k
z
P {Uk6 0}i. (3)
k
k>1
1 +
X
znPnmax
n>1
16k6n
Uk6 0o= exp
Б. Предельное поведение ве личины max(0, U1, . . . , Un).
Пусть ak= P {Uk> 0}.
1) Если
с вероятностью единица выполнено
X
k>1
a
k
< +∞, то (за исключением с лу чая P {ui= 0} = 1)
k
max
16k6n
U
+
→ sup
k
n→∞
+
U
= max
k
k>1
lim
Un= −∞. (5)
k>1
+
U
< +∞; (4)
k
При этом
ω(t) = E expit max
k>1
+
U
k
= exp
h
X
k>1
γk(t) − 1
k
i
.
§ 7. Решение линейной системы обыкновенных дифф. уравнений 277
X
a
k>1
k
= +∞, то с вероятностью единица
k
2) Если
max
16k6n
U
+
→ sup
k
k>1
U
+
k
= lim
n→∞
Un= +∞. (6)
3) Если E|ui| < +∞ и P{ui= 0} < 1, то случай 1) отвечает случаю
Eui< 0, а случай 2) — случаю Eui> 0.
В. Из утверждения Б вытекает следующая форма усиленного закона
больших чисел для одинаково распределенных случайных величин:
Eui= m тогда и только тогда, когда
X
n
1
P
k
u1+ . . . + u
k
k
− m
> εo< +∞
при любом ε > 0.
§ 7. Решение линейной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений с матрицей Якоби
Теорема. Пусть
A =
−α0γ
β1−α1γ2. . . 0 0
0 β2−α2. . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . −α
0 . . . 0 0
1
n−1γn
0 0 0 . . . βn−α
,
n
где αi, βi, γi— действительные числа, βi>0, γi>0. Тогда решение x(t) =
= {x0(t), x1(t), . . . , xn(t)}′уравнения
x′(t) = Ax(t)
с начальным условием xk(0) = δik, где δik— символ Кронекера,
(
δik=
1, i = k,
0, i 6= k,
а i — некоторое число из ряда 0, 1, . . . , n, дается формулой
X
xk(t) = xik(t) =
Mi(λ)Mk(λ)
(i)γ(k)
β
λ
eλt, 0 6 k 6 n, (1)
Ln(λ)
278 Дополнение
где
(i)
β
= β0β1. . . βi, β0= 1,
(k)
γ
= γ0γ1. . . γk, γ0= 1,
M0(x) = 1, M1(x) = x + α0,
M
(x) = (x + αk)Mk(x) − βkγkM
k+1
Ln(x) =
n
X
0
2
M
(x)
k
(k)
(k)
β
· γ
(x), 0 < k 6 n,
k−1
(2)
и суммирование производится по всем корням λ (действительным
и различным) многочлена M
n+1
(x).
Замечание. В силу этой теоремы решение x(t) уравнения x′(t) =
= Ax(t) с произвольным начальным условием x(0) = {x
ется формулой
xk(t) =
n
X
i=0
0
x
xik(t).
i
0
, x
0
1
, . . . , x
0
} да-
n
0
Доказательство. Используя (2), нетрудно проверить, что корни
многочлена Mk(x), k = 1, . . . , n + 1, действительны и различны и что
корни многочленов Mk(x) и M
(x) перемежаются.
k+1
Пусть uk(s) — преобразование Лапласа функции xk(t),
∞
Z
−st
e
xk(t) dt, k = 0, . . . , n.
0
−stx′
e
(t) dt = suk(s) − δik,
k
Тогда
uk(s) =
∞
Z
0
и из уравнения x′(t) = Ax(t) получаем
(sI − A)u(s) = δi, (3)
где u(s) = {u0(s), u1(s), . . . , un(s)}′, δi= {δi0, δi1, . . . , δin}′, I — единичная
матрица размерности (n + 1) × (n + 1).
Положим
m0(x) = 1, m1(x) = x + αn,
m
(x) = (x + α
k+1
n−k)mk
(x) − β
n+1−k
· γ
n+1−kmk−1
(x),
0 < k 6 n.
mk(x) есть определитель матрицы, получаемой из xI − A вычеркива-
нием n + 1 − k верхних строк и n + 1 − k первых столбцов. Заметим
§ 7. Решение линейной системы обыкновенных дифф. уравнений 279
также, что Mk(x) есть определитель матрицы, получаемой из xI − A
вычеркиванием n + 1 − k нижних строк и n + 1 − k последних столбцов. Применяя правило Крамера к систе ме (3), получим
β
|sI − A|uk(s) =
i+1
Mi(s) · m
γ
k+1
. . . βkMi(s) · m
(s), i = k,
n−i
. . . γiMk(z) · m
(s), i < k,
n−k
(s), i > k;
n−i
здесь |sI − A| = det(sI −A) = M
n+1
(s) = m
n+1
(s).
Обозначим правую часть через Mik(s); тогда uk(s) представляется
в виде отношения двух много членов
uk(s) =
Mik(s)
M
n+1
(s)
,
причем порядок многочлена Mik(s) меньше порядка многочлена
M
(s). Разложим uk(s) на простейшие дроби, учитывая, что корни
n+1
многочлена M
где суммирование производится по корням многочлена M
(s) различны:
n+1
uk(s) =
X
λ
(s − λ)
−1
Mik(λ)
′
M
n+1
(λ)
,
(s).
n+1
Производя обратное прео бразование Лапласа, на ходим
X
λ
Mik(λ)
′
M
n+1
eλt. (4)
(λ)
xk(t) =
Разложим теперь определитель матрицы xI − A по элементам i-го
столбца, получим
M
(x) = (x + αi)Mim
n+1
= [(x + αi)Mi− βiγiM
n−i
− βiγiM
i−1]mn−i
i−1mn−i
− β
= M
− β
i+1γi+1Mimn−i−1
i+1γi+1Mimn−i−1
i+1mn−i
− β
i+1γi+1Mimn−i−1
=
=
или
M
(x) = Mi(x)m
n+1
Пусть λ — корень многочлена M
n+1−i
(x) − βiγiM
n+1
i−1
(x)m
(x), 1 6 i 6 n. (5)
n−i
(x). Предположим на время, что
mi(λ) 6= 0 для i = 0, 1, . . . , n. Тогда и Mi(λ) 6= 0 для тех же значений i.
В самом деле, при i = 0 M0(λ) = 1. Пусть 0 < i 6 n и Mi(λ) = 0. Из (5)
находим
0 = βiγiM
i−1
(λ)m
n−i
(λ).
280 Дополнение
Так как M
жаются (и, значит, различны), то m
положением m
(λ) 6= 0, ибо корни многочленов Mi(x) и M
i−1
(λ) = 0 в противоречии с пред-
n−i
(λ) 6= 0. Итак, с читаем, что
n−i
(x) переме-
i−1
mi(λ) 6= 0, Mi(λ) 6= 0, i = 0, . . . , n. (6)
При x = λ из (5) последовательно находим
Mn(λ)m1(λ) = βnγnM
M
(λ)m2(λ) = β
n−1
n−1γn−1Mn−2
(λ)m0(λ),
n−1
(λ)m1(λ),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M
i+1
(λ)m
n−i
(λ) = β
i+1γi+1Mi
(λ)m
n−i−1
(λ).
Перемножая соответственно левые и правые части этих равенств и учитывая (6), после сокращ ения получим
Mn(λ)m
или
(λ) = βn. . . β
n−i
m
(λ) =
n−i
(n)γ(n)
β
(i)γ(i)
β
i+1γn
Mi(λ)
Mn(λ)
. . . γ
i+1Mi
(λ)
. (7)
Вспоминая определение Mik(s), из (7) по лу чаем
(n)γ(n)
Mik(λ) =
β
Mn(λ)
Mi(λ)Mk(λ)
(i)γ(k)
β
. (8)
Если мы покажем, что
n
M
′
n+1
(λ) =
(n)γ(n)
β
Mn(λ)
X
i=0
M
(i)γ(i)
β
2
(λ)
i
, (9)
то из (4), (8) и (9) получим (1), что и требуется.
Так как M
(x) = |xI −A|, то
n+1
′
M
n+1
(λ) =
n
X
i=0
Mi(λ)m
(λ). (10)
n−i
При этом мы пользуемся следующим утверждением. Пусть A(x) — матрица размерности n × n, элементы которой есть дифференцируемые
функции по x. Обозначим через Ai(x), 1 6 i 6 n, матрицу, получаемую
из A(x) заменой элементов i-го столбца (строки) на их производные.
Тогда
[det A(x)]′=
n
X
det Ai(x).
i=1
Формула (9) получается теперь из (10) и (7).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]