Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория массового обслуживания. Учебное пособие
.pdf
§ 8. Многочлены Пуассона—Шарлье 281
Итак, мы доказали формулу (1) в предположении, что
mi(λ) 6= 0, i = 0, . . . , n, если M
n+1
(λ) = m
(λ) = 0. (11)
n+1
Если же это предположение не верно, т о мы можем воспользоваться
теоремой о непрерывной зависимости реше ния системы дифференциальных уравнений от параметров, принимая з а эти параметры элементы матрицы A. Заметим, что многочлены mi(x), i = 0, . . . , n, не зависят
от α0, β1, γ1. Изменив нужным образом последние элементы, мы можем добиться выполнения условия (11). Заметим еще, что M0(x) = 1,
поэтому Ln(λ) > 0.
§ 8. Многочлены Пуассона—Шарлье
Многочлены pk(x, a), k > 0, определенные равенством
(1 − z)xeaz=
X
pk(x, a)
k>0
(az)
k!
k
, a > 0,
называются многочленами Пуассона—Шарлье. Заметим, хотя этим
нигде пользоваться не будем, что {pk(x, a)}
является последова-
k>0
тельностью ортогональных многочленов, соответствующих весу dα(x)
стилтьесовского типа, где α(x) — неубывающая ступенчатая функция
со скачками
k
a
−a
e
k!
в точках k = 0, 1, . . .; см. [17].
Положим
qk(x) = qk(x, a) = akpk(−x, a), k > 0.
Выпишем основные рекуррентные формулы, связывающие многочлены
qk(x), k > 0.
)
q0(x) = 1,
q
(x) = aqk(x) + xqk(x + 1), k > 0;
k+1
(1)
)
q0(x) = 1, q1(x) = x + a,
q
(x) = (a + k + x)qk(x) − akq
k+1
k−1
(x).
(2)
Отметим еще формулы
q
k+1
qk(x) = a
(x) = qk(x) + kq
k
n
X
k
1 +
s
C
x(x + 1) . . . (x + s − 1)a
k
s=1
(x + 1), k > 1, (3)
k−1
o
−s
. (4)
282 Дополнение
Полагая
−a 1 0 . . . 0 0
Ak=
a −(a + 1) 2 . . . 0 0
0 a −(a + 2) . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . −(a + k − 1) k
,
0 0 0 . . . a −(a + k)
с помощью (2) получае м
q
(x) = det(xI −Ak), (5)
k+1
где I — единичная матрица размерности (k + 1) × (k + 1).
Из соотношений (2) легко получается, что многочлены qk(x), k > 0,
имеют лишь действительные неотрицательные различные корни, причем корни многочленов qk(x) и q
(x) перемежаются.
k−1
§ 9. Формула обращения Лагранжа
А. Теорема о неявной функции. Функция f (z) от нескольких комплексных переменных z = (z1, . . . , zn), определенная в некоторой области, содержащей точку a = (a1, . . . , an), называется аналитической
в этой точке, если в некоторой окрестности точки a функция f(z) =
= f (z1, . . . , zn) представляется степенным рядом по переменным z1, . . .
. . . , zn. Функция f (z) = f(z1, . . . , zn) аналитична в области, если она
аналитична в каждой точке этой о бласти.
A1. Пусть функция F (z, w) аналитична в некоторой окрестности
точки (a, b) и
∂
F (a, b) 6= 0. Тогда существует единственная функция
∂w
w = w (z) такая, что
1) w(a) = b;
2) функция w(z) аналитична в некоторой окрестности точки a;
3) в некоторой окрестности точки (a, b) выполнено
F (z, w(z)) ≡ 0.
A2. Утверждение, высказанное в пункте A1, остается в силе, если
1) под F (z, w) понимать вектор-функцию
F (z, w) = {F1(z, w), . . . , Fn(z, w)};
2) под z, w, a, b, понимать векторы
z = (z1, . . . , zp), a = (a1, . . . , ap),
w = (w1, . . . , wn), b = (b1, . . . , bn);
§ 9. Формула обращения Лагранжа 283
3) условие
∂
F (a, b) 6= 0 заменить условием
∂w
n
∂
det
Fj(a, b)o6= 0.
∂w
i
Б. Формула обращения Лагранжа. Рассмотрим, в частности, уравнение
F (w, z) = z −wf (z) = 0.
Предположим, что функция f (z) аналитична в некоторой окрестности точки z = 0 и f (0) 6= 0. Так как
∂
F (0, 0) = 1 − wf′(z)
∂z
(0,0)
= 1,
то в некоторой окрестности точки w = 0 уравнение
z − wf(z) = 0
имеет единственное аналитическое решение
X
z =
akwk.
k>1
При этом коэффициенты akдаются формулами
ak=
1k!d
dz
k−1
k−1
[f(z)]
k
z=0
, k > 1.
Если же функция g(z) аналитична в окрестности точки z = 0, то
в некоторой окрестности точки w = 0
X
bk=
g(z) = g(0) +
k−1
1k!d
dz
k−1
[g′(z)f (z)]
k>1
bkwk,
k
z=0
, k > 1.
В. Теорема Руше. Иногда при определении комплексной функции,
заданной неявно, может быть использована теорема Руше.
Пусть f(z) и g(z) — аналитические функции в замкнутой области,
ограниченной жордановой кривой Γ, и пусть |g(z)| < |f (z)| на Γ. Тогда
функция f (z) и f (z) ± g(z) не имеют нулей на Γ и имеют одинаковое
число нулей в области, ограниченной Γ.
284 Дополнение
§ 10. Сужение процесса
Пусть ξ(t), t > 0 , — сл. процесс со значениями в измеримом пространстве (X, A). Положим для A ∈ A
xA(t) = индикатор события {ξ(t) ∈ A};
t
Z
τ(t) =
xA(u) du;
0
(0)
s(τ) = inf {t: τ (t) = τ}.
Определение. Сужением процесса ξ(t), t > 0, относительно A ∈ A
назовем процесс ξA(τ) = ξ(s(τ )), 0 6 τ < τ (+∞).
Это определение корректно, если
1) каждая реализация процесса xA(t), t > 0, измерима по Лебегу
(и значит в силу ограниченности интегрируема на каждом конечном промежутке времени).
2) ξA(τ) является сл.в. для всякого τ.
Предположим, что существует
T
Z
1
plim
T →∞
xA(t) dt = P (A) и P (A) > 0; (1)
T
0
здесь plim есть предел по вероятности. Отметим, что в это м случае
P {τ(+∞) = +∞} = 1.
Положим для B ∈ A
yB(τ) = индикатор события {ξA(τ) ∈ B}.
Предложение. Если B ⊂ A, то из существования одного из пре-
делов при T → ∞
plim
T
Z
1
xB(t) dt = P (B), plim
T
0
T
Z
1
yB(t) dt = PA(B)
T
0
следует существование другого и
PA(B) =
P (B )
. (2)
P (A)
§ 10. Сужение процесса 285
Доказательство. 1◦. Покажем сначала, что для каждой реализа-
ции и любог о T > 0
T
Z
xB(v) dv =
0
τ (T )
Z
yB(u) du. (3)
0
Воспользуемся для этого следующим утверждением.
Пусть (X, B(X )), (Y, B(Y )) — измеримые пространства и f (µ) — образ
меры µ на (X, B(X)) при измеримом отображении f : X → Y (под мерой
µ на (X, B(X)) понимаем неотрицательную счетно-аддитивную фу нкцию множеств на B(X ), воз можно принимающую значение +∞ и такую,
что µ(∅) = 0). Тогда для любой неотрицательной, возможно принимающей значения +∞, измеримой функции ϕ на Y
Z
ϕ(f(x)) dµ(x) =Zϕ(y) d(f (µ))(y).
В нашем случае, так как yB(u) = xB(s(u)), s−1= τ и согласно (0)
dτ(v)/ dv = xA(v), а также xB(v)xA(v) = xB(v), то
τ (T )
Z
yB(u) du =
0
τ (T )
Z
xB(s(u)) du =
0
(s◦τ)(T )
Z
0
xB(v) dτ (v) =
′
T
Z
=
xB(v)xA(v) dv =
0
′
T
Z
xB(v) dv,
0
здесь T′= (s ◦ τ )(T) 6 T . Для доказательства (3) осталось показать,
что
T
Z
xB(v) dv = 0. (4)
′
T
Согласно определению функции s для всякого ε > 0 существует T′′> 0
такое, что
T′6 T′′6 T′+ ε, τ (T′′) = τ (T )
и так как функция τ(t) непрерывна по t, то τ (T′) = τ(T ), т.е. верно (4):
T
Z
xB(v) dv 6
′
T
T
Z
xA(v) dv = τ(T ) −τ (T′) = 0.
′
T
Отметим еще, что τ ◦ s = id.
286 Дополнение
2◦. Теперь в силу (0), (3) для T > 0
1
τ (T )
τ (T )
Z
yB(u) du.
0
T
Z
1
T
0
xB(v) dv =
Z
1
T
0
T
xA(v) dv ·
Положим P(A) = p. В силу (1) для 0 < ε < p и 0 < δ < 1 существует
T (ε, δ) такое, что с вероятность 1 − δ
T
Z
1
T
0
xA(t) dt − p
6 ε при T > T (ε, δ).
Таким образом, с вероятностью 1 − δ
T (p − ε) 6 τ(T ) 6 T (p + ε);
1
τ (T )
1
τ (T )
τ (T )
Z
yB(u) du 6
0
τ (T )
Z
yB(u) du >
0
(p − ε)T
(p + ε)T
(p+εT )
Z
1
1
0
(p−ε)T
Z
0
yB(u) du 6
2ε(p + ε)
6
p(p − ε)
yB(u) du >
2ε(p − ε)
> −
p(p + ε)
(pT )
Z
1
+
(pT )
+
(pT )
1
yB(u) du;
0
(pT )
Z
0
yB(u) du
при T > T (ε, δ). Откуда
pT
1
pT
Z
yB(u) du
0
6 ε ·
4
p − ε
Z
1
T
0
T
xB(v) dv −
T
Z
1
T
0
xA(v) dv ·
при T > T (ε, δ) с вероятностью 1 − δ, что дает (2).
§ 11. Обобщение неравенства К олмогорова
Пусть ξ1, . . . , ξn— независимые сл.в. с нулевыми средними. Тогда
для всякого a > 0 и α > 1 выполнено
α
α
.
Pnmax
16k6n
|ξ1+ . . . + ξk| > ao6
E|ξ1+ . . . + ξn|
a
§ 12. Предельные теоремы для специального класса процессов 287
Доказательство. Положим
s0= 0, sk= ξ1+ . . . + ξk, k = 1, . . . , n;
A =nmax
|sk| > ao; Ak=nmax
16k6n
A =
n
X
k=1
06i<k
Ak.
|si| < a, |sk| > ao;
Тогда
E|sn|α> E|sn|αIA=
n
X
k=1
E|sn|αI
n
X
=
A
k
E{|sk+ (sn− sk)|αI
k=1
}.
A
k
Оценим снизу каждое слагаемое. При фиксированных ξ1, . . . , ξkфункция
|sk+ x|αI
A
k
выпукла (вниз) по x. Поэтому по неравенств у Иенсена имеем
(ξ1,...,ξk)
E
|sk+ (sn− sk)|αI
> |sk+ E
A
k
(sk)
(sn− sk)|αI
A
k
= |sk|αI
.
A
k
Следовательно,
E|sn|α>
n
X
k=1
E|sk|αI
A
k
> a
n
X
α
EI
= aαEIA= aαP (A).
A
k=1
k
§ 12. Предельные теоремы для специального класса
однородных марковских процессов
Для специального клас са однородных марковских процессов (с дискретным и непрерывным временем и фазовым пространством) приводятся достаточные и необходимые (в случае существования стационарного распределения) условия существования lim
Pt(x, Γ), где
t→∞
Pt(x, Γ) — в е роятность перехода из x в Γ за время t, а также необхо-
димые и достаточные условия существования эргодического распределения.
Формулировка основных результатов
1◦. Пусть F — сепарабельное нормированное пространство; F+—
замкнутый выпуклый конус в этом пространстве с вершиной в точке
0 ∈ F .
Сопряженное к F пространство обозначим через M = F∗. Функционал α ∈ M назовем положительным, если α(f ) = (α, f ) > 0 для всех
288 Дополнение
f ∈ F+. Через M+обозначим множество положительных функциона-
лов. Для α и β из M запись α > β или β 6 α означает, что α − β ∈M+.
Если α > β и α 6= β, то будем писать α > β или β < α. Анало гичная
запись используется и для элементов из F (если в этих определениях
M+заменить на F+). Запись αn⇁ α означает, что последовательность
{αn} функционалов из M слабо сходится к α ∈ M .
Сделаем следующие предположения относительно пространства M .
M1. α > 0, β > 0 влечет |α + β | = |α| + |β|.
M2. Для всякого α ∈ M сущест вуют элементы α+> 0 и α−> 0 из M
такие, что α = α+− α−и |α| = |α+| + |α−|.
M3. αn⇁ α, |αn| → c, β ∈ M влечет |αn− α + β| → c − |α| + |β|.
2◦. Линейный ограниченный оператор P : M → M назовем стохастическим, если из α ∈ M+следует Pα∈ M+и |Pα| = |α|. Рас смот-
рим семейство P = {Pt, t ∈ T } стохастических операторов с полугруп-
повым свойством P
t+s
= PtPsдля всех t, s ∈T . Здесь T = {1, 2, . . .} или
T = (0, ∞). Отметим, что из M2 следует, что |Ptα| 6 |α| для всех t ∈T
и α ∈ M . Полугруппу P = {Pt, t ∈ T } стохастических операторов назо-
вем сжимающей, если из α ∈ M и |α| = |Ptα| для всех t ∈T следует, что
α > 0 или α 6 0.
3◦. Точка α ∈ M называется инвариантной (о тносительно P), если
Ptα = α для всех t ∈T . Точка α = 0 является тривиальной инвариантной
точкой.
Точку π ∈ M назовем слабо эргодической, если π — инвариантная
точка, π > 0, |π| = 1 и Ptα ⇁ λπ для всякого α ∈ M , где λ — действительное число (возможно зависящее от α). Ясно, что если существует
слабо эргодическая точка, то она единственная.
Теорема 1. Пусть P = {Pt, t ∈ T } есть сжима ющая полугруппа
стохастических операторов. Тогда
C1. Если не существует нетривиальной инвариантной точки, то
Ptα ⇁ 0 для всякого α ∈ M.
C2. Если существует нетривиальная инвариантная точка, то су-
ществует слабо эргодическая точка π; при этом Ptα ⇁ λπ, 0 < λ 6 |α|,
если α > 0.
Замечание 1. Пусть существует нетривиаль ная инвариантная точка и выполнено утверждение C2. Тогда полугруппа P = {Pt, t ∈ T }
стохастических операторов является сжимающей. В самом деле, пусть
α ∈ M и |α| = |Ptα| для всех t ∈T . Покажем, что α > 0 или α 6 0. Выбе-
рем α+и α−согласно M2. Имеем Ptα ⇁ λπ, Ptα+⇁ λ+π, Ptα−⇁ λ−π,
где λ, λ+, λ−— некоторые числа и λ = λ+− λ−. Из M3 следует, что
|Ptα − λπ| → |α| − |λ|, |Ptα±− λ±π| → |α±| − |λ±|.
§ 12. Предельные теоремы для специального класса процессов 289
Но тогда из неравенства
|Ptα−λπ| = |(Ptα+−λ+π)−(Ptα−−λ−π)| 6 |Ptα+−λ+π| + |Ptα−−λ−π|
следует
|α| − |λ| 6 |α+| + |α−| − |λ+| − |λ−|
т.е. |λ+− λ−| > |λ+| + |λ−|, откуда вытекает, что λ+= 0 и/или λ−= 0.
Согласно C2 это дает α+= 0 и/или α−= 0.
Замечание 2. В приводимом ниже доказательстве теоремы 1 не используется M2, но используется, что |Ptα| 6 |α| для всех t ∈T и α ∈ M .
4◦. Точку π ∈M назовем эргодической, если она является инвариант-
ной, π > 0, |π| = 1 и Ptα ⇁ |α|π для всех α > 0. Последнее условие в силу
M3 равносильно тому, что
Ptα −|α|π
→0 для всех α > 0. Ясно, что если существует эргодическая точка, то она единственная. Отметим, что
если π — эргодическая точка, то Ptα сходится по норме к (|α+|− |α−|)π
уже для всех α ∈ M , где α+и α−выбираются по α согласно M2.
Сопряженное к M пространство обозначим через W = M∗. Функци-
онал w ∈ W назовем положительным, если w(α) = [w, α] > 0 для всех
α ∈ M+. Пусть W+— множество положительных функционалов из W .
Для элемент ов w1и w2из W запись w1> w2или w26 w1означает, что
w1− w2∈ W+. Запись w1> w2означает, что w1> w2и w16= w2. Так
как F изометрично некоторому линейному многообраз ию в F∗∗= W ,
то будем считать, что F ⊂ W . Тогда F+⊂ W+. Запись wn⇁ w для
элементов из W означает, что последовательность элементов wnиз W
слабо сходится к элементу w ∈ W .
Пусть (Pt)∗: W → W есть линейный ограниченный оператор, со-
пряженный к оператору Pt: M → M . Положим P∗t= (Pt)∗. Тогда
P∗= {P∗t, t ∈ T } является полугруппой операторов. Точка w ∈W называется инвариантной (относительно P∗), если P∗tw = w для всех t ∈ T .
Теорема 2. Пусть существует нетривиальная инвариантная
точка из M . Тогда следующие утверждения равносильны:
У1. Существует эргодическая точка.
У2. 1) P — сжимающая полугруппа;
2) инвариантная точка в W единственная с точностью до
умножения на действительное число.
У3. 1) P — сжимающая полугруппа;
2) если w — инвариантная точка из W , удовлетворяющая усло-
виям w > 0 и [w, π] = 0, то w = 0; здесь π — инвариантная
точка из M такая, что π > 0, |π| = 1.
У4. 1) P — сжимающая полугруппа;
2) π∗∈ PF.
290 Дополнение
Здесь π∗— линейный ограниченный функционал из W , определяемый
равенством π∗(α) = [π∗, α] = |α+| − |α−|, где α+и α−выбраны по
α ∈ M согласно M2. Подпространство PF ⊂ W определяется усло-
вием: w ∈PF , если существует u ∈F и последовательность {tk} эле-
∗t
ментов из T таких, что P
k
u ⇁ w при tk→ +∞.
Следствие 1. Пусть π∗∈ F . Тогда следующие утверждения рав-
носильны:
1◦. P — сжимающая полугруппа.
2◦. Существует эргодическая точка.
3◦. Для всякого u ∈F имеет место слабая сходимость P∗tu ⇁ c ·π∗,
где c — действительное число, возможно зависящее от u.
5◦. Полугруппу P = {Pt, t ∈ T } стохастических операторов назовем
неприводимой, если для любых α и w из M и W соответственно из α > 0
и w > 0 следует существование такого t ∈ T , что [w, Ptα] > 0.
Полугруппу P назовем слабо неприводимой, если для любых α и u
из M и F соответственно из α > 0 и u > 0 следует существование такого
t ∈ T , что (Ptα, u) > 0.
Теорема 3. Пусть существует нетривиальная инвариантная
точка из M . Тогда следующие утверждения равносильны:
1◦. Существует эргодическая точка π ∈ M такая, что [w, π] > 0
для всех w > 0, w ∈W .
2◦. P — сжимающая неприводимая полугруппа.
3◦. P — сжимающая полугруппа и [w, π] > 0 для всех w > 0, w ∈ W .
Здесь π — инвариантная точка из M такая, что π > 0 и |π|= 1.
Теорема 4. Пусть существует нетривиальная инвариантная
точка из M . Тогда следующие утверждения равносильны.
1◦. Существует эргодическая точка π ∈ M та кая , что (π, u) > 0
для всех u > 0, u ∈ F .
2◦. 1) P — сжимающая слабо неприводимая полугруппа;
2) [w, π] > 0 для всякой инвариантной точки w > 0, w ∈ W ; здесь
π — инвариантная точка из M, π > 0, |π| = 1.
3◦. 1) P — сжимающая полугруппа и (π, u) > 0 для всех u > 0, u ∈F ;
2) то же, что и 2) из 2◦.
6◦. Требование M1 можно осла бить, а именно заменить на
M∗1. α > 0, β > 0 влечет |α + β| > |α|.
Доказательства теорем 1—4 остаются прежними, е сли учесть, что
в этом случае для любых α и β из M+существует конечное число p =
= p(α, β) > 0 такое, что |α + β|p> |α|p+ |β|p. То же самое относится
и к требованию M3, если его заменить на
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]