Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория массового обслуживания. Учебное пособие
.pdf
§ 1. Метод получения оценок 251
Тогда δt= δt(x) является несмещенной оценкой для τt(θ). Поэтому в силу пункта 6◦предыдущего параграфа
∗
δ
(x) = ht(T (x)), где
t
ht(T ) = Eθ{δt(x)/T (x) = T }= Pθ{x1< t/T (x) = T },
но ht(T ) для всякого T есть ф.р. по t.
Ниже будет показано, как для всякого t определяется F
∗
цию F
(t) будем называть наилучшей эмпирической ф.р.
x
∗
(t). Функ-
x
Предыдущие рассуждения остаются в силе, если xi— векторы,
а Fθ(t) — многомерная ф.р. для каждого θ.
Пример 1. Пусть Fθ(t) = 1 − e
ниже, F
∗
(t) для каждого x есть значение бэта-распределения B(1, n −1)
x
−θt
, t > 0; θ > 0. Как будет показано
в точке t/(x1+ . . . + xn) = t/n¯x. Пусть
τ(θ) =
Например, для τ (θ) =
∞
Z
δ∗(x) =
A(t) dF
0
∞
Z
A(t) dFθ(t) = θ
0
1
, имеем A(t) = 1 − e−tи при n > 2
1 + θ
∗
(t) = (n − 1)
x
1
Z
0
∞
Z
e
0
(1 − e
−θt
−n¯xu
A(t) dt.
)(1 − u)
n−2
du.
Пример 2. Пусть наблюдения x1, . . . , xnнезависимы и каждое име-
ет распределение Fa(t) = 1 − e
−at
, a > 0; пусть далее наблюдения y1, . . .
. . . , ymнезависимы от предыдущих и между собой и каждое имеет распределение Gb(t) = 1 − e
= (a, b). Обозначим через F
−bt
, b > 0; x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , ym), θ =
∗
(t) и G
x
∗
(t) наилучшие эмпирические функ-
y
ции для этих случаев соотве тственно.
Найдем наилучшую оценку для
Отметим, что
τ(θ) =
τ(θ) =
ρ
1 + ρ
a
=
a + b
∞
Z
Fa(t) dGb(t).
0
, ρ = a/b.
Поэтому наилучшей оценкой для τ(θ) служит
∞
Z
δ∗(x, y) =
∗
F
x
0
(t) dG
∗
y
(t).
252 Гл. 5. Статистический метод оценивания характеристик
В самом деле, дос таточно проверить лишь несмещенность оценки
δ∗(x, y):
Eθδ∗(x, y) =
∞
Z
∗
EθF
(t) dEθG
x
0
∗
y
(t) =
∞
Z
Fa(t) dGb(t) = τ (θ).
0
Отметим, что если τ(θ) является правильной дробно-рациональной
функцией от ρ, например,
k
ρ
1 +
ρ
1!
k!
+ . . . +
, 0 6 k 6 n,
n
ρ
n!
то, разлагая ее на простейшие дроби, мы таким же образо м можем
получить наилучшую оценку δ∗(x, y) для τ(θ).
В следующих §§ приводится вид наилучшей эмпирической ф.р. F
для случая Fθ(t) = 1 − e
−θt
, θ > 0, при разных способах наблюдения над
∗
(t)
x
сл. величинами с ф.р. Fθ(t). Для того, чтобы придать этим §§ самостоятельную значимость, речь в них идет об оценивании не Fθ(t) для
каждого t, а «надежности элемента» Rθ(t) = 1 − Fθ(t). Если R
соответствующая оценка для Rθ(t), то F
∗
(t) = 1 − R
x
∗
x
(t).
∗
(t) —
x
§ 2. Оценка надежности в случае экспоненциального
распределения; постановка задачи
Для определения надежности элемента, время жизни которого под-
чинено экспоненциальному распределению 1 − e
−θx
, x > 0, с неизвест-
ным параметром θ > 0, проводится испытание с N элементами.
Рассмотрим следующие планы испытаний.
План 1◦. Испытание проводится с заменой вышедшего из строя эле-
мента до появления r-го отказа.
План 2◦. Без замены до момента r-го отказа.
План 3◦. С заменой до момента T .
План 4◦. Без замены до момента T .
Для каждого плана испытаний требуется найти (по результатам ис-
пытания) несмещенную оценкуbR(t) с минимальной дисперсией для надежности R(t) = e
−θt
, где t задано.
§ 3. Формулировка результата
Пусть для всех планов испытания
§ 3. Формулировка результата 253
S — суммарное время жизни всех испытываемых элементов до момента
остановки испытания;
s — суммарное время жизни тех испытываемых элементов, которые вы-
шли из строя до момента остановки испытания (включительно);
r — число отказавших элементов до остановки испытания.
Ниже приводятся для каждого плана испытания несмещенные оцен-
киbR(t) с минимальной дисперсией для R(t) = e
Для планов 1◦—2
здесь (z)+= max(0, z); (z)
◦
r−1
b
R(t) =1 −
0
= 0 или 1 в зависимости о т того z 6 0 или
+
t
, r > 1;
S
+
−θt
(t фиксированно).
z > 0.
Для плана 3
◦
b
R(t) =1 −
NT
r
t
для любого t > 0, если считать z0= 1 для любого действительного числа z.
Замечание. При t > NT оценкаbR(t) абс урдна, так как может при-
нимать свои значения вне отрезка [0, 1].
Для плана 4◦при 0 6 t < N T
b
R(t) =
s − r
t
, T −
N
vr(s, T )
v
r
t
N
при 1 6 r 6 N, 0 < s < rT ;
если же r > 0 и s = 0, тоbR(t) = 0; если же r = 0, тоbR(t) = 1. Здесь при
r > 1
vr(s, T ) =
r
X
k=0
(−1)kC
(s − kT )
k
r
(r − 1)!
r−1
+
.
Замечание. При t > N T несмещенная оценка с минимальной дис-
персией для R(t) = e
−θt
не существует.
Замечание. vr(s, T ) есть объем тела в (r −1)-мерном пространстве,
определяемого неравенствами при r > 1
0 < xk< T , 1 6 k 6 r − 1,
s − T < x1+ . . . + x
r−1
< s.
Замечание. Из предыдущего замечания следует, что 0 6bR(t) 6 1.
Замечание. Ниже будет доказано, чтоbR(t) является несмещенной
оценкой с минимальной дисперсией для R(t) в классе ограниченных
оценок.
254 Гл. 5. Статистический метод оценивания характеристик
§ 4. Доказательство для плана 1
◦
А. Нам потребуется следующее
Предложение. Пусть z1, . . . , zr— независимые случайные величи-
ны, имеющие экспоненциальное распределение 1 − e
−θz
, z > 0, с неиз-
вестным параметром θ > 0. Тогда несмещенной оценкой с минимальной дисперсией для R(t) = e
b
R(t) =1 −
−θt
(t фиксированно) служит оценка
t
z1+ . . . + z
r−1
, r > 1.
r
+
Доказательство. Статистика S = z1+ . . . + zrявляется полной до-
статочной статистикой. Рассмотрим оценку
(
δ = δ(z1, . . . , zr) =
Эта оценка является несмещенной для функции R(t) = e
0, если z1< t,
1, если z1> t.
−θt
от ненаблю-
даемого параметра θ, так как
Eθδ = Pθ{z1> t} = e
−θt
.
Но тогда искомой оценкой для R(t) служит
δ∗(S) = Eθ{δ/z1+ . . . + zr= S}.
Найдем эту оценку. Ясно, что
δ∗(S) = Pθ{z1> t/z1+ . . . + zr= S} =
= P
n
θ
z1+ . . . + z
z
1
.
t
>
z1+ . . . + zr= So.
S
r
Если r = 1, то z1= S и поэтому δ∗(S) = 0 или 1 в зависимости о т
того, выполнено ли t > S или t 6 S, что совпадает с высказанным предложением для этого случая. Пусть теперь r > 1. Так как сл. величины
z
1
z1+ . . . + z
и z1+ . . . + z
r
r
независимы (в этом можно убедиться непосредственным вычислением
либо получить из теоремы Басу), то
δ∗(S) = P
n
θ
z1+ . . . + z
z
1
o
t
>
,
S
r
причем правая часть не зависит от θ и можно считать, в частности, что
θ = 1.
§ 4. Доказательство для плана 1
◦
Известно, что ес ли сл.в. ξ1и ξ2независимы и имеют гаммараспределения G(λ1) и G(λ2) соответственно, то сл.в.
ξ
ξ =
1
ξ1+ ξ
2
имеет бэта-распределение Be(λ1, λ2). В данном случае сл.в.
255
ξ1= z1, ξ2= z2+ . . . + z
r
независимы и имеют гамма-распределения G(1) и G(r −1) соответственно (r > 1). Поэтому сл.в.
z
1
z1+ . . . + z
r
имеет бэта-paспределение Be(1, r − 1), равное
1 − (1 −x)
r−1
при 0 6 x 6 1.
Следовательно,
δ∗(S) =
0 при t/S > 1,
1 −
r−1
t
S
при 0 6
t
6 1;
S
что и требовалось показать.
Б. Пусть x1, . . . , xr— длительности последовательно расположенных
интервалов между соседними моментами выхода из строя элементов
(для плана 1◦). Тогда сл.в. x1, . . . , xrнезависимы и каждая имеет экспоненциальное распределение 1 − e
−Nθx
, x > 0. При этом суммарное
время жизни в с е х испытыва е мых элементов до r-го отказа равно
S = N(x1+ . . . + xr).
Положим zk= N xk; k = 1, . . . , r. Тогда сл.в. z1, . . . , zrнезависимы
и каждая имеет распределение 1 −e
−θz
, z > 0. При этом
S = z1+ . . . + zr.
Применяя предложение пункта A к сл.в. z1, . . . , zr, получим, что
r−1
b
R(t) =1 −
t
S
+
есть несмещенная оценка с минимальной дисперсией для надежности
элемента R(t) = e
−θt
(t фиксированно).
256 Гл. 5. Статистический метод оценивания характеристик
§ 5. Доказательство для плана 2
◦
Пусть опять x1, x1+ x2, . . . , x1+ x2+ . . . + xr— последовательные
моменты отказа элементов до остановки испытания (для плана 2◦). Тогда сл.в. x1, . . . , xrнезависимы и сл.в. xkимеет экспоненциальное распределение
1 − exp{−(N − k + 1)θx}, x > 0.
При этом суммарное время жизни всех испытываемых элементов до
r-го отказа равно
S = Nx1+ (N − 1)x2+ . . . + (N − r + 1)xr; r 6 N.
Положим zk= (N − k + 1)xk, 1 6 k 6 r. Тогда сл.в. z1, . . . , zrнезависимы
и каждая имеет распределение 1 −e
−θz
, z > 0. При этом
S = z1+ . . . + zr.
Опять применим утверждение пункта А § 4 к сл.в. z1, . . . , zr. Получим,
что
b
R(t) =1 −
r−1
t
S
+
есть искомая оценка.
§ 6. Доказательство для плана 3
◦
Пусть ν(T ) — число отказавших элементов до момента T для плана 3◦. Если ν(T ) = r и x1, . . . , xr— длительности последовательно расположенных интервалов между двумя соседними моментами выхода из
строя элементов до момента T , то распределение случайного вектора
(x1, . . . , xr) нe зависит от θ, см. § 1 1 главы 0. Следовательно, ν(T ) есть
достаточная статистика.
Очевидно, что
r
Pθ{ν (T ) = r} =
λ
e−λ; r = 0, 1, . . . ; λ = N θT.
r!
Отсюда следует, что ν(T ) есть полная статистика (распределение cл.в.
ν(T ) принадлежит экспоненциальному т ипу распределений)
Остается убедиться, что для
ν(T )
b
R(t) =1 −
t
NT
(1)
выполнено
b
E
R(t) = e
θ
−θt
. (2)
§ 7. Доказательство для плана 4
◦
257
В самом деле,
E
θ
b
R(t) =
X
r>0
1 −
NT
r
r
t
λ
·
e−λ= e−λ· e
r!
λ−λ
NT
t
= e
−λ
NT
t
−θt
= e
.
Замечание. К формуле (1) можно прийти следующим образом.
Полагая ν = ν(T ), отметим прежде в с его, что
Eν(ν − 1) . . . (ν −k + 1) =
X
r>k
(r − k)!
r
r!
λ
e−λ= λk.
r!
Поэтому оценку для R(t) будем искать в виде
где ν
X
b
R(t) =
k>0
(k)
— k-ая факториальная степень числа ν, т.е.
ν
(0)
= 1, ν
(k)
= ν(ν −1) . . . (ν − k + 1) при k > 1.
akν
(k)
,
Определим коэффициенты a0, a1, . . ., исходя из требования (2) для всех
θ > 0. Имеем
R(t) =
θ
akλk= e
k>0
X
b
E
для всех λ > 0. Откуда
−θt
= e
ak= (−1)
−αλ
=X(−1)
k
k
α
.
k!
α
k
k!
k
λk; α =
NT
t
;
Но тогда
b
R(t) =
ν
X
k=0
akν
(k)
ν
X
k=0
ν!
(ν − k)!
(−1)
=
X
=
k=0
k
α
k
=
k!
ν
k
C
(−1)kαk= (1 − α)ν=1 −
ν
t
NT
ν(T )
.
§ 7. Доказательство для плана 4
◦
А. Достаточная статистикa. Пронумеруем испытываемые элементы числами 1, . . . , N, и пусть Xk— время жизни k-го элемента, k =
= 1, . . . , N . Мы не можем наблюдать X1, . . . , XN, а можем лишь наблю-
дать
min(X1, T ), . . . , min(XN, T ).
Положим xk= min(Xk, T ). Набор чисел x1, . . . , xN— это всё, что можно
получить, проведя испытание по плану 4◦.
258 Гл. 5. Статистический метод оценивания характеристик
Пусть r — число отказавших элементов до момента T . Распределение сл.в. r задается набором вероятностей
pθ(r) = C
r
N
−θT)re−(N−r)θT
(1 − e
, r = 0, . . . , N. (1)
Если r задано и r > 1, a y1, . . . , yr— времена жизни отказавших до T
элементов, то сл. величины y1, . . . , yrнезависимы и каждая имеет распределение
1 − e
1 − e
−θy
при 0 6 y 6 T .
−θT
Следовательно, плотность распределения сл.в. y1, . . . , yrравна
pθr(y1, . . . , yr) = (1 − e
−θT)−rθre−θ(y1+...+yr)
(2)
при 0 6 yk6 T , k = 1, . . . , r, и равна нулю в противном случае.
Так как (r, y1, . . . , yr) есть достаточная статистика, то отсюда следует, что и (r,s) есть достаточная статистика. Здесь s = y1+ . . . + yrесть
суммарное время жизни тех испытываемых элементов, которые вышли
из строя до момента T .
Найдем распределение достаточной статистики (r, s). Множество
значений статистики (r,s) состоит из точки (0, 0) и N отрезков {(r,s) :
0 6 s 6 rT }, r = 1, . . . , N; см. рис. 8.
r
r = N
r = N−1
.
.
.
r = 2
r = 1
r = 0
T 2T . . .
(N−1)T
NT
s
Рис. 8.
Вероятность того, что (r, s) = (0, 0) равна e
−NθT
. Нам остается
лишь найти рас пределение сл.в. (r, s) на каждом из указанных отрезков.
Итак, пусть r задано и r > 1.
Если r = 1, то y1= s и из (2) получаем плотность ф.р. сл.в. s
pθr(s) = (1 − e
−θT)−1θe−θs
; 0 6 s 6 T , r = 1. (3)
§ 7. Доказательство для плана 4
◦
Пусть теперь r > 1. Якобиан преобразов ания
259
(y1, . . . , yr) 7→ (y1, . . . , y
r−1
, s)
равен единице, поэтому плотность распределения сл. ве ктора (y1, . . .
. . . , y
, s) согласно (2) равна
r−1
qθr(y1, . . . , y
, s) = (1 − e
r−1
−θT)−rθre−θs
, (4)
если
0 6 yk6 T , k = 1, . . . , r −1,
0 6 s −y1− . . . − y
в остальных случаях qθr(y1, . . . , y
6 T ;
r−1
, s) = 0. Отсюда следует, что плот-
r−1
(5)
ность распределения статистики s при заданном значении r > 1 равна
pθr(s) =Zqθr(y1, . . . , y
, s) dy1. . . dy
r−1
= vr(s, T ) · (1 − e
r−1
=
−θT)−rθre−θs
, 0 6 s 6 rT ;
здесь интегрирование ведется по области (r −1)-мерного пространства,
определяемой неравенствами (5) или, что то же с амое, неравенствами
0 6 yk6 T , 1 6 k 6 r − 1,
s − T 6 y1+ . . . + y
r−1
6 s,
(6)
a vr(s, T ) есть объем этой области. Отметим, что
vr(s, T ) = 0 для s 6∈ (0, rT ),
так что плотность распределения статистики s (при заданном значении
статистики r) з адается формулой
pθr(s) = vr(s, T )(1 − e
−θT)−rθre−θs
, (7)
верной для все х действительных чисел s.
Покажем, что (почти всюду)
r
vr(s, T ) =
В самом деле, так как
Z
X
k=0
∞
(−1)kC
k
r
pθr(s) ds = 1,
0
то
∞
Z
θ
0
vr(s, T )e
−θs
ds = θ
−(r−1)
(s − kT )
(r − 1)!
(1 − e
r−1
+
. (8)
−θT)r
. (9)
260 Гл. 5. Статистический метод оценивания характеристик
Левая же часть этого равенства есть преобразование Лапласа—Стилтьеса от функции v(s) = vr(s, T ). Пусть w(s), s > 0, есть обращение преобразования Лапласа—Стилтьеса функции
r
Тогда
(1 − e
w(s) =
−θT)r
r
X
k=0
X
=
k=0
(−1)kC
k
(−1)kC
k
r
−kT θ
e
r
.
e(s − kT ), (10)
где функция e(s) определяется равенством
(
e(s) =
1 при s > 0,
0 при s 6 0.
Так как
v(s) =
s
Z
0
(s − x)
(r − 2)!
r−2
w(x) dx (11)
и
s
Z
0
(s − x)
(r − 2)!
r−2
e(x − kT ) dx = e(s − kT )
(s − kT )
(r − 1)!
r−1
(s − kT )
=
(r − 1)!
r−1
+
, (12)
то из (10)—(12) следует (8) при r > 1. При r = 1 формальное применение
формулы (8) дает с учетом (s)
0
= e(s)
+
v1(s, T ) = e(s) − e(s −T ),
что равно 1 при 0 < s 6 T и равно 0 в остальных случаях. В силу (3)
мы можем поэтому считать, что формула (7) верна не только для r > 1,
но и для r = 1.
Итак, мы показали, что статистика (r, s) является до статочной, и на-
шли ее распределение.
Б. Полнота статис тики (r, s). Покажем, что достаточная статистика (r, s) ограниченно полная. Совместное распределение статистик
r и s определяется плотностью, см. (1), (7),
r
pθ(r, s) = pθ(r) · pθr(s) = vr(s, T )C
−θ[s+(N −r)T ]
θre
N
при 0 6 s 6 rT , r = 1, . . . , N; если же (r,s) = (0, 0), то
pθ(0, 0) = e
−θN T
.
Обозначим через S = s + (N − r)T суммарное время жизни всех испытываемых элементов до момента T . Статистика (r, S), как и (r, s),
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]