Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Развитие теории и практики оценки стоимости
.pdf
Ясно, что премиальные платежи образуют обыкновенную простую вечную ренту с параметрами pmt = 300 и i = 7%. Из формулы (3.8) следует ответ:
PV = pmt / i = 300 / 0,07 = 4285,71 евро.
Как и в ранее рассмотренных рентах, период платежа может
отличаться от периода выплаты процентов. Тогда говорят об об-
щей вечной ренте. В расчетах общая вечная рента, как ранее было
сделано для общей ренты, заменяется эквивалентной простой
вечной рентой. Связь (2.35) параметров обыкновенных общей и
простой эквивалентных рент не зависит от числа рассматриваемых периодов выплаты процентов, т.е. справедлива и для вечных
рент. Поэтому для расчета величины обыкновенной общей вечной ренты с помощью (2.35) она преобразуется в обыкновенную
простую ренту, после чего используется формула (3.8), где ставка i
принимает значение j = i
(p)
/p.
Для примера выберем следующее условие. Для оплаты обслуживания моста через реку требуется 1 тыс. р. в конце каждого месяца.
Если деньги стоят 10% эффективно, то какую сумму надо инвестировать, чтобы на проценты поддерживать обслуживание моста?
Платежи в 1 тыс. р. образуют обыкновенную общую вечную
ренту. Если pmt – платеж эквивалентной обыкновенной простой
ренты, то из формулы (2.35) следует, что
pmt = 1 · s(1/12;10%) = ПЛТ(0,1;1/12;;–1) = 12,5405366 тыс. р.
Тогда с помощью (3.8) получаем ответ:
PV = 12,5405366/0,1 = 125,405366 тыс. р.
Прямая капитализация дохода
Термин капитализация (дохода) употребляется в нескольких
значениях. В широком толковании капитализация – это связь
доходов и порождающей их инвестиции. Понятие капитализации – важный инструмент оценки инвестиций, активов и обязательств. Оно положено в основу доходного подхода, суть которого состоит в определении стоимости объекта оценки по данным
о его доходах и расходах.
141
В узком толковании капитализация – это нахождение вечной
ренты. Это понятие используется в одном из вариантов доходного подхода, который называется методом прямой капитализации.
Он используется в случае постоянного потока дохода от объекта
оценки. Капитализировать поток платежей при заданном проценте, который в таком случае называется ставкой (или нормой)
капитализации, это означает определить величину соответствующей вечной ренты (3.8), которая порождает эти платежи.
В соответствии с традицией при капитализации для вечной
ренты будем употреблять обозначение V (а не PV, как для текущей
стоимости ранее), для величины процентной ставки – R (а не i),
наконец, периодический платеж обозначать как I (а не pmt).
В этих обозначениях из формулы (3.8) получается формула прямой капитализации
V = I / R. (3.9)
Прямая капитализация с учетом обесценивания
Первым по времени возникновения методом, реализующим
доходный подход, явился метод прямой капитализации, которым
оценщики пользовались еще в XIX в. (Fuhrer M., 1944; Трифонов Н.Ю., 2021а). Хоть впоследствии пришло понимание, что
этот метод, как и все другие методы доходного подхода, является
частным случаем метода приведенного потока платежей, который
будет подробно рассмотрен в п. 3.3, тем не менее метод прямой
капитализации применяется и ныне в виде самостоятельного инструмента.
Достаточно долгий (вечный) постоянный доход в реальном
мире могут приносить объекты оценки лишь некоторых видов.
Примером могут служить векселя, которые обеспечивают постоянный купонный доход в течение всего срока своего действия.
Поэтому для оценки стоимости этих ценных бумаг используется
формула прямой капитализации (3.9).
Эта формула описывает вечную ренту, поэтому в прямом виде
не может использоваться для нахождения стоимости объектов
оценки, дающих постоянный доход, но в течение своей конечной экономической жизни заканчивающийся полным обесцениванием. Необходимо ее дополнение, связанное с включением
142
в рассмотрение обесценивания. При этом можно использовать
любой из описанных выше методов обесценивания. Но для получения конечных аналитических выражений следует использовать
методы описания обесценивания, связанные с финансовыми
множителями.
Так, с помощью создания фонда возмещения в (Медведев Г.А.,
2000) было описано обесценивание истощаемых активов, таких
как шахты или нефтяные скважины. В работе «Метод прямой капитализации с ускоренным возвратом капитана» (Трифонов Н.Ю., 2013в) для описания прямой капитализации при ускоренном обесценивании объекта оценки был использован прием
создания фонда амортизации.
В общем для описания процесса оценки изнашивающегося
объекта используется прием создания фонда обесценивания:
фонда возмещения или фонда амортизации (в зависимости от
природы описываемого объекта) для компенсации процесса
обесценивания. Такой фонд можно также назвать резервом обесценивания. Очевидно, что резерв обесценивания будет равен накопленному за время использования объекта обесцениванию,
а годовой платеж P в фонд обесценивания будет описываться
формулой (3.2) в случае объекта оценки с замедленным обесцениванием (как у недвижимости) и формулой (3.4) в случае объекта оценки с ускоренным обесцениванием (как у машин и оборудования, включая транспортную и вычислительную технику).
Поскольку для компенсации обесценивания используется
фонд обесценивания, годовое обесценивание определяется как
увеличение фонда обесценивания за соответствующий год. Если
годовой доход от обесценивающегося объекта оценки постоянен
и равен I, то годовая прибыль составит I – P. Эта прибыль может
быть рассмотрена как процент на инвестицию, т.е. первоначальную стоимость V объекта оценки.
Это соображение позволяет рассчитать стоимость приносящего
доход изнашивающегося объекта оценки и лежит в основе многих
формул доходного подхода. Если R – ставка процента, действующая на рынке объекта оценки, или норма прибыли, требуемая потенциальным покупателем от вложенной инвестиции V, а S – оста-
точная стоимость объекта оценки после n лет эксплуатации, то
V · R = I – P.
143
Выражая отсюда известный доход I и подставляя выражение
{
для ежегодного платежа P из формулы (3.2) или формулы (3.4),
получим
I = V · R + (V – S) · f(n; i),
где функция обесценивания f(n; i) в зависимости от природы опи-
сываемого объекта тождественна множителю амортизации или
же множителю возмещения:
rni
(;)
Выражая отсюда V, имеем следующее равенство:
V = [I + S · f(n; i)] / [R + f(n; i)]. (3.11)
Введя величину относительного обесценивания
D = (V – S) / V, (3.12)
перепишем формулу (3.12) в виде
V = I / [R + D · f(n; i)]. (3.13)
Формула (3.13) представляет собой общую формулу прямой ка-
питализации с частичным возвратом капитала. Ее частные случаи
используются в доходном подходе к оценке стоимости и будут
рассмотрены далее.
При рассмотрении стоимости обесценивающегося со временем объекта из класса машин или оборудования, приносящего
постоянный доход I, формула (3.13) принимает вид
fni
(;)
=
−−для машин и оборудования;
sni
(;)
для недвижимоости.
(3.10)
V = I / [R + D · r(n; i)], (3.14)
в которой, как обычно, D – процент обесценивания объекта за
время использования n; R – ставка капитализации, действующая
на рынке объекта оценки, или требуемая инвестором норма доходности; r(n; i) – множитель амортизации; i – ставка амортизации для соответствующей группы машин или оборудования (для
автомобилей может быть взята из табл. 3.7).
При рассмотрении стоимости обесценивающегося со временем объекта недвижимости с доходом I формула (3.13) принимает вид
144
V = I / [R + D · s(n; i)], (3.15)
в которой, как и ранее, D – процент обесценивания объекта за
время использования n; R – ставка капитализации, действующая
на рынке объекта оценки, или требуемая инвестором норма доходности; s(n; i) – множитель возмещения; i – ставка возмещения для данного объекта недвижимости.
При полном обесценивании объекта оценки за время исполь-
зования (т.е. при S = 0, а значит, D = 1) формула упростится.
Дальнейшее упрощение полученного выражения связано с необходимостью конкретизировать в расчете значение ставки
возмещения i. В случае равенства ставок i = R получаем формулу,
описывающую возврат капитала методом Инвуда; приняв i = R0
(«безрисковая» ставка), получаем метод Хоскольда, а в предельном переходе i → 0 при S = 0 (D = 1) формулы (3.14) и (3.15) дают
метод Ринга (Фридман Дж., 1995; The Appraisal, 2013).
Понятно, что подобное различие в рекомендациях выбора ставки возмещения не может обеспечить разумную точность оценки.
В то же время ясно, что величина ставки возмещения связана
с природой объекта оценки и отражает индивидуальные особенности его обесценивания со временем, аналогично тому, как это
происходит со ставкой амортизации для автомобилей (см. п. 3.1).
Необходимо проведение статистических исследований обесценивания объектов недвижимости различных классов, подобно
тому, как это когда-то сделал Ф.-В. Росс в Германии.
Если присутствуют подобные данные для исследуемого объекта, то также можно провести необходимые расчеты. В статье
«Стоимость объекта недвижимости прямой капитализацией дохода с учетом данных затратного подхода года» автором данной
монографии (Трифонов Н.Ю., 2014в) предложен способ определения этого параметра расчета стоимости объекта недвижимости.
Показано, что выражение для накопленного обесценивания Δt
объекта недвижимости за t лет при сроке экономической жизни
n лет (t ≤ n) через множители возмещения, зависящие от ставки
возмещения i, имеет вид
sni
ΔtVS
=−()
(;)
st i
(; )
(3.16)
,
145
которое, учитывая явное выражение вида (2.32) множителя воз-
+−
+−
11
11
мещения через алгебраические функции, можно переписать
в следующем виде:
t
i
Δ
VS
()
=−
t
()
n
i
()
(3.17)
.
Формулы (3.16) и (3.17) определяют зависимость обесценивания объекта недвижимости от времени t, представляющую собой
вогнутую линию, кривизна которой регулируется единственным
параметром – ставкой возмещения i.
Для определения по данным формулам значения этого параметра при заданных значениях первоначальной стоимости V,
остаточной стоимости S в конце экономической жизни и срока
экономической жизни n для конкретного объекта недвижимости
необходимо задаться значением обесценивания Δt, накопленного
за любые t лет (0 < t ≤ n).
Для осуществления предложено следующее. При стандартной
процедуре оценка стоимости объекта недвижимости осуществляется несколькими подходами к оценке. Описанный выше формализм относится к доходному подходу. В то же время существует
много методов, может быть, относящихся к иным подходам, которые позволяют определить обесценивание объекта недвижимости на дату оценки, обычно совпадающую с датой осмотра. Типична ситуация, в которой обесценивание Δt объекта недвижимости определяется в рамках затратного подхода тем или иным
методом, например методом инжиниринга (Харрисон Г.С., 1994).
Получив значение обесценивания Δt объекта недвижимости
в рамках применения затратного подхода в качестве промежуточного результата, с использованием формулы (3.16) или формулы (3.17) по нему рассчитывается ставка возмещения, характерная для данного объекта недвижимости, которая может быть использована для прогнозирования обесценивания на другую дату.
Так же возможно поступить и в случае описания обесценивания
объекта недвижимости в формуле прямой капитализации (3.15)
иным образом, отличным от применения множителя возмеще
ния s(n; i), т.е. моделирующим обесценивание иной кривой. Поскольку эта кривая должна пройти через ту же точку Δt, это дает
-
146
возможность определить параметр ее кривизны для последующе-
jj
=+
/,()
го использования его значения в формуле вида (3.15), где множитель возмещения заменен на другое описание обесценивания
объекта недвижимости.
3.3. ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕННОГО
ПОТОКА ПЛАТЕЖЕЙ
В XX в. при оценке стоимости доходным подходом метод прямой капитализации был дополнен методом приведенного потока
платежей (ППП), в английском наименовании – discounted cash
flow (DCF)-method. Попутно вновь следует отметить отсутствие в
русскоязычной оценочной практике общепринятой терминологии (для метода ППП в литературе можно встретить не менее
пяти различных названий, не считая сокращений), что во многом
связано с неудачными переводами с английского языка.
Последний всемирный финансовый кризис усилил внимание
инвесторов к оценке капитальных объектов, в первую очередь
предприятий, с использованием потребительных видов стоимости (таких как инвестиционная стоимость и пользовательская
стоимость) в противовес меновым, в первую очередь рыночной
стоимости (Trifonov N., 2010; Трифонов Н.Ю., 2011в). В таких
случаях в основу расчета кладется метод ППП.
При своем появлении метод ППП считался оценщиками
сложным из-за большого количества исходных данных и вычислений, поэтому обычно рассматривался как дополнительный.
При этом для упрощения вычислений и в соответствии с тогдашним состоянием рынков в расчетах, относящихся к разным годам
прогноза, использовалось единое значение процентной ставки
приведения (нормы доходности). Именно в таком виде (Fisher I.,
1907; Fisher I., 1930) метод ППП был внедрен в оценочную практику и иногда рекомендуется к использованию и по сей день
(Смирницкий Г. Б., 2013):
n
VI R
∑
=
j
1
1
j
(3.18)
где V – искомая текущая стоимость объекта оценки; Ij – величина j-го текущего периодического чистого дохода, при этом In
147
включает стоимость Vn объекта в конце прогнозного периода (сто-
VI
nn
++
//
()11
имость конечного возврата капитала, по-английски terminal value),
введенную впервые в ППП в статье E. Solomon «The arithmetic of
capital budgeting decisions» (Solomon E., 1956); R – ставка приведения; n – номер последнего периода (года).
С развитием вычислительных мощностей во второй половине
XX в. естественно было ожидать предложений об использовании
в одном расчете различных величин ставки приведения. Действительно, к тому времени оформилась мысль обусловленности величины рыночной ставки рисками деятельности, связанной с объектом оценки (подробнее это будет обсуждено в п. 3.4). Например, при оценке недвижимости логично выглядит применение
одной величины ставки для приведения потока платежей, а другой величины ставки – для приведения стоимости конечного возврата капитала (иногда называемого реверсией). В самом деле,
первая ставка отражает выгоды или ограничения договора аренды, в то время как другая диктуется условиями открытого рынка
(The Appraisal, 1987). Кроме того, ясно, что величина ставки приведения в общем случае со временем должна изменяться как из-за
изменения общеэкономической ситуации, так и из-за изменения
состояния объекта оценки (Трифонов Н.Ю., 2017а). Примером
подобного рода может служить оценка инвестиционного проекта
развития предприятия, в котором по мере его реализации и перехода денежных средств в материальные активы риски инвестирования (и соответственно ставка приведения) должны уменьшаться.
В текущей, в том числе учебной, литературе переменность
ставки иногда отражается в виде следующей (неверной!) формулы (Грибовский С.В., 2017):
n
=+
∑
jj
=
1
j
j
RV R
n
(3.19)
,()
где Rj – ставка приведения в течение j-го периода (года) для периодического платежа; Rn – ставка приведения для конечного
возврата.
В данном виде формула (3.19) неверна с точки зрения финансовой математики, но при постоянстве ставки (Rj = Rn = const)
она переходит в верное выражение (3.18), чем и обусловливается,
возможно, ее происхождение. Получение правильной формулы
148
для метода ППП будет описано далее и будет следовать в основ-
=+
=
/,()
()
=
))
ΠΠ
11
ном статье автора данной монографии «Точная формула метода
приведенного потока платежей в доходном подходе» (Трифонов Н.Ю., 2019).
Для получения правильной формулы, описывающей метод
ППП с переменной ставкой, можно воспользоваться простой
индукцией. Сначала полагается, что ежегодные платежи производятся в конце года, конечного возврата капитала нет и прогнозирование делается на один год. Имеем
V = I1 /(1 + R1).
При периодических платежах в течение двух лет получается, что
V = I1 /(1 + R1) + I2 /(1 + R1)(1 + R2),
так как платеж второго года последовательно приводится сначала
через второй год со ставкой приведения, соответствующей второму году, а затем через первый год со своей ставкой приведения.
Рассуждая аналогично далее, для прогнозного периода в n лет
искомое выражение будет иметь следующий вид:
n
t
где
Π
j
VI R
∑
n
означает цепное произведение (1 + R1) · (1 + R2) · … ×
R=+11
j
t
Π
1
t
=
1
j
1
j
× (1 + Rt).
Величина конечного возврата капитала в общем случае отличается от величины периодических платежей на порядок. Следовательно, должна различаться и ставка их приведения. Исходя из
этого, ставки приведения для конечного возврата капитала обозначаются буквой r. С включением конечного возврата капитала
искомая формула примет вид
n
VI RV r
=+ ++
∑
t
t
/( /(
t
=
j
1
1
jn
n
(3.20)
.
t
=
1
t
Полученное выражение (3.20) вполне корректно с точки зрения финансовой математики и может использоваться, если периодический платеж от объекта оценки поступает в конце периода.
Примером такого может быть ежегодное начисление дивидендов.
149
Но при оценке реального предприятия или инвестиционного
VI
Vr
tt
=
](
ΠΠ
Vt
Vr
()/,
проекта могут прогнозироваться ситуации получения непрерывного потока платежей. Это обстоятельство может моделироваться предположением, что периодический доход распределен равномерно в течение всего периода (обычно года или месяца).
Вслед за моментом платежа (Пратт Ш.П., 1994) возможно выбрать середину периода. С учетом этого замечания получаем следующую формулу для модели ППП с дискретными платежами и
переменной ставкой:
n
=+ ++ +
∑
t
1
RR
/[ /()()
11 1
−
t
1
/
12
t
=
j
0
jn
n
(3.21)
=
t
)
1
при условии R0 = 0.
В общем случае плотность ρ(t) непрерывного потока платежей
может быть неравномерной на всем временном промежутке прогноза [0, n], тогда вместо формулы (3.21) следует использовать выражение
n
=++
vtdt
ρ() ()
∫
0
n
Π
n
=
1
t
(3.22)
1
t
в котором v(t) означает множитель приведения. Предполагая постоянную интенсивность процента, т.е. δ(t) = δ = const, имеем
v(t) = e
–δt
.
фонов Н.Ю 2021в), особенно долгосрочные, или, например,
предприятия розничной торговли, в которых характер потока
платежей двойственный: присутствуют как отдельные периодические платежи, так и периоды времени с частыми денежными
поступлениями (и расходами), требующие непрерывного описания. Такой поток платежей был назван дискретно-непрерывным.
поток платежей, заданный последовательностью моментов платежей (1, 2, …, n, n), совершаемых в эти моменты платежами
(I1, I2, …, In, Vn), а также ставками приведения для периодических
платежей Rt и конечного возврата rt на периодах (t – 1, t) при
t ∈ (1, 2, …, n).
150
Наконец, можно представить инвестиционные проекты (Три-
Дискретная составляющая, как и в (3.20), представляет собой
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]