Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Развитие теории и практики оценки стоимости
.pdf
перио дов платежей. Если хотят отметить в качестве аргумента
множителя ренты не только число периодов ее выплаты n, но
и действующую в течение всех периодов ставку процента i, используется обозначение a(n; i). Применяется и традиционная за-
пись с двумя нижними индексами через знак «косяка».
Можно понять, как этот финансовый множитель связан с другими финансовыми множителями, введенными выше. По определению множитель ренты a(n; i) представляет собой текущую
стоимость потока (2.17) с условием единичности платежей Cj = 1.
Тогда уравнение стоимостей в начальный момент имеет вид
a(n; i) = v + v2 + v3 + … + vn.
В это выражение входит множитель приведения v = (1 + i)–1.
Ряд a(n; i) представляет геометрическую прогрессию, сумма
которой легко вычисляется с помощью элементарной математики.
Результатом приведения подобных членов является выражение
a(n; i) = (1 – vn)/i. (2.20)
В случае платежей несколько раз в году и соответственно применения номинальной ставки процента формула (2.20) перепишется в виде
a(n; i
(p)
) = p · [1 – (1 + i
(p)
–np
/p)
(p)
] / i
. (2.21)
Формулы (2.20), (2.21) относятся к множителю ренты с обыкновенным аннуитетом (называемом также множителем обыкновенной ренты), но подобные выражения легко могут быть получены для множителя полагающейся ренты.
С помощью множителя ренты определяется величина текущей
стоимости PV по размеру рентного платежа pmt (от английского
payment – платеж):
PV = pmt · an. (2.22)
В пакете Microsoft Excel множитель ренты (2.20)–(2.22) реализуется финансовой функцией ПС, той же, что реализует множитель приведения. Но для множителя ренты используется иной
набор аргументов функции.
111
Естественным обобщением понятия ренты является непрерыв-
ae
{
,.
10
���������
ная рента, т.е. рента с непрерывными платежами. Непрерывная
рента используется и как приближение для часто (например, еженедельно) выплачиваемых платежей, и для описания непрерывных процессов (например, обесценивания), происходящих с объектом оценки.
Вводится понятие множителя непрерывной ренты, т.е. ренты
с плотностью платежей ρ(t) = 1. Множитель непрерывной в интервале (0; n) ренты обозначается
и представляет собой теку-
a
n
щую стоимость непрерывного потока платежей в соответствии
с формулой (2.19):
n
t
δ
−
=⋅
∫
n
0
dt
1
.
Интеграл легко вычисляется, давая следующий результат:
n
δδδ≠
via
−=⋅
()//,;
=
a
n
n
n
0
δ
=
Формулы, связанные с непрерывной рентой, справедливы
и для нецелых n (Купер Ф., 1996).
Множитель итога
Иногда появляется необходимость расчета не текущей, а будущей стоимости ренты. Ее можно интерпретировать как размер
фонда накопления рентных платежей, положенных в фонд под
процент. Если ставка процента постоянна, а будущая стоимость
относится к моменту последнего рентного платежа, на вопрос
о размере фонда отвечает множитель итога, обозначаемый Sn,
или S(n; i). Составляя уравнение стоимостей для момента времени n аналогично множителю ренты, получим
S(n; i) = 1 + A + A2 + A3 + … + A
В это выражение входит множитель накопления A = 1 + i.
Ряд S(n; i) представляет собой сумму геометрической прогрессии
с частным A, которая легко вычисляется с помощью элементарной
112
n–1
.
математики. Результатом приведения подобных членов является
Æ
Se
,;
,.
{
10
δδ
выражение
S(n; i) = (An – 1) / i. (2.23)
В случае платежей несколько раз в году и соответственно применения номинальной ставки процента формула (2.23) перепишется в виде
S(n; i
(p)
) = p·[(1 + i
(p)
/p)np – 1] / i
(p)
. (2.24)
Формулы (2.23), (2.24) относятся к множителю итога обыкновенной ренты (множителю обыкновенного итога), но аналогичные
формулы можно получить и для множителя полагающегося итога.
С помощью множителя итога определяется величина текущей
стоимости FV по размеру рентного платежа pmt:
FV = pmt · Sn. (2.25)
В пакете Microsoft Excel множитель итога (2.23)–(2.25) реализуется финансовой функцией БС, той же, что и реализует множитель
накопления. Однако при этом используется иной набор аргументов.
Вводится понятие множителя непрерывного итога, т.е. итога с
плотностью платежей ρ(t) = 1. Множитель непрерывного в интервале (0; n) итога обозначается
и представляет собой будущую
S
n
стоимость непрерывного потока платежей:
n
Æ
=⋅
n
t
δ
.
dt
1
∫
0
Интеграл легко вычисляется, давая следующий результат для
различных значений δ:
n
()//
AiS
Æ
S
=
n
−
n
=⋅ ≠
δ
n
=
δ
0
В задачах, связанных с рентами, возникает вопрос о величине
рентного платежа. При ответе на этот вопрос появляются понятия множителя амортизации и множителя возмещения.
Множитель амортизации
и амортизационное расписание
113
Попутно необходимо отметить, что термин «амортизация»
в оценке стоимости употребляется в значении, не совпадающем
с применяемым в бухгалтерском учете, но тождественном принятому в банковском деле: амортизация – это погашение долга
рентными платежами. В то же время термин «возмещение» в теории и практике оценки стоимости употребляется в значении,
совпадающем со значением амортизации в теории и практике
бухгалтерского учета.
Выражение для величины рентного платежа для известной величины текущей стоимости (суммы долга к амортизации) следует из формулы (2.22) и выглядит следующим образом:
pmt = PV/an.
Если ввести в рассмотрение некоторый множитель, обратный
множителю ренты, а именно
rn = 1/an, (2.26)
то предыдущая формула перепишется следующим образом:
pmt = PV · rn. (2.27)
Формула (2.26) может рассматриваться как определение мно-
жителя амортизации rn, а выражение (2.27) отвечает на постав-
ленный вопрос о величине рентного платежа, амортизирующего
первоначальный долг PV. Из вышеотмеченного следует, что множитель амортизации r(n; i) определяет величину рентного платежа
для амортизации кредита в 1 денежную единицу в течение n лет
при постоянной ставке процента i. Поэтому множитель амортизации также иногда называют ипотечной постоянной.
Возможно записать аналитические выражения для множителя
(обыкновенной) амортизации через ставку процента. В соответствии с формулами (2.26) и (2.20)
r(n; i) = i/(1 – vn). (2.28)
Для нескольких платежей в году и использования номинальной ставки процента формула (2.28) примет вид
r(n; i
) = i
(p)
/{p[1 – (1 + i
(p)
–np
/p)
]}. (2.29)
(p)
В пакете Microsoft Excel множитель амортизации (2.26)–(2.29)
реализуется посредством финансовой функции ПЛТ.
114
Приведем пример простейшего расчета. Кредит в 100 тыс. дол.
амортизируется равными годовыми платежами, погашающими
основной долг и проценты (самоамортизирующийся кредит) в
течение пяти лет исходя из 5% годовых. Каков должен быть годовой платеж?
Для получения ответа используется финансовая функция ПЛТ
с заданными исходными данными:
ПЛТ(5%;5;–100 000) = 23097,48 дол.
Часто бывает интересно узнать, каковы будут состояние счета,
выплата процентов и основного долга в конце каждого года в процессе возвращения такого кредита. Для ответа на этот вопрос предлагается рассмотреть амортизационное расписание кредита. Соста
вим его, используя условия только что рассмотренного примера.
В конце первого года процент за пользование остатком равен
100 тыс. дол. · 5% = 5 тыс. дол.
Поскольку годовой платеж составляет 23097,48 дол., то на
амортизацию основной суммы долга останется лишь
23097,48 дол. – 5000 дол. = 18097,480 дол.
Поэтому задолженность на конец первого года составит
-
100 000 дол. – 18097,48 дол. = 81902,52 дол.
Во втором году процент за пользование остатком будет равен
81902,52 дол. · 5 % = 4095,126 дол.,
что позволяет определить аналогично расчетам первого года сначала сумму на амортизацию (19002,354 дол.), а затем и оставшуюся задолженность (62900,166 дол.).
Проделав последовательно подобные расчеты за все пять лет,
получим следующее амортизационное расписание (табл. 2.3).
Амортизационное расписание составляется в электронных таблицах Microsoft Excel. Для контроля правильности проверим,
чтобы итоговая сумма амортизации совпадала с первоначальной
задолженностью, а итоговый годовой платеж был равен итоговой
сумме амортизации вместе с итоговым процентом.
115
Таблица 2.3
Конец
года
0-го 100000,000
1-го 5000,000 23097,480 18097,480 81902,520
2-го 4095,126 23097,480 19002,354 62900,166
3-го 3145,008 23097,480 19952,471 42947,695
4-го 2147,385 23097,480 20950,095 21997,600
5-го 1099,880 23097,480 21997,600 0
Всего 15487,399 115487,399 100000,000
Процент, дол.
Годовой платеж,
дол.
Амортизация,
дол.
Задолженность,
дол.
Множитель возмещения
При введении в оборот последнего финансового множителя
удобно использовать понятие фонда возмещения. Фонд возмещения – это накопительный фонд для возмещения необходимой
денежной суммы в будущую заданную дату. Подобная задача возникает при необходимости покупки нового актива взамен того,
который естественным образом износится через определенное
время. В п. 3.1 будет описано применение этого инструмента
в определении величины обесценивания (или износа).
Пусть через n лет нужна будет сумма FV. Для накопления этой
суммы создается фонд возмещения, куда в конце каждого года
будет инвестироваться рентный платеж pmt под i эффективных процентов. Требуемая величина платежа определяется из
формулы (2.25):
pmt = FV / Sn,
и если ввести обозначение
s
1/Sn, (2.30)
n =
то предыдущее выражение примет вид
pmt = FV · sn. (2.31)
Формула (2.30), или в развернутом виде
s(n; i) = i/[(1 + i)n – 1] (2.32)
представляет собой определение множителя возмещения.
116
Для нескольких платежей в году и использования номиналь-
ной ставки процента формула (2.32) примет вид
s(n; i
) = i
(p)
/{p[(1 + i
(p)
/p)np – 1]}. (2.33)
(p)
В пакете Microsoft Excel множитель возмещения (2.30), (2.32),
(2.33), или, точнее, расчет с его помощью по формуле (2.31), реализуется финансовой функцией ПЛТ.
Проиллюстрируем это примером. Пусть для каких-то целей
через пять лет понадобится сумма в 500 млн р. Для накопления
данной суммы создается фонд возмещения, куда в конце каждого года будет инвестироваться под 5% эффективных годовых рав
ный определенный платеж. Необходимо определить величину
этого платежа и составить расписание роста фонда возмещения,
обычно называемое расписанием возмещения.
Величина платежа находится из выражения (2.31):
ПЛТ(5%;5;;–500 000 000) = 90 487 399 р.
Расписание возмещения составляется в таблице Microsoft
Excel на конец каждого года последовательно, описывая платеж
(он определен выше), процент которого начисляется на сумму
фонда возмещения в конце предыдущего года, увеличение фонда,
слагаемое из платежа и процента фонда, и итоговую сумму фонда, слагаемую из суммы фонда за предыдущий год и увеличения
фонда за этот год (табл. 2.4).
-
Таблица 2.4
Конец года Платеж, р. Процент, р. Увеличение фонда, р. Сумма фонда, р.
1-го 90 487 399 0 90 487 399 90 487 399
2-го 90 487 399 4 524 370 95 011 769 185 499 168
3-го 90 487 399 9 274 958 99 762 357 285 261 526
4-го 90 487 399 14 263 076 104 750 475 390 012 001
5-го 90 487 399 19 500 600 109 987 999 500 000 000
Всего 452 436 995 47 563 005 500 000 000
Итоговое суммирование по столбцам, проводимое с целью проверки расчета, при использовании Microsoft Excel практически
117
не нужно. Тем не менее можно отметить, что накопленную в фонде возмещения в конце пятого года требуемую сумму в 500 млн р.
можно рассматривать как сумму всех годовых увеличений фонда,
или как сумму всех годовых платежей и процентов на них.
2.4. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
Обобщения понятия ренты
в финансовой математике
В соответствии с традицией финансовой математики изложенное выше понятие ренты можно обобщить. А именно, если период начисления процентов совпадает с периодом между платежами, то такая рента называется простой. Ранее были рассмотрены
именно обыкновенные и полагающиеся простые ренты и соответственно множители обыкновенных и полагающихся рент, итога, амортизации и возмещения.
Но период начисления процентов может отличаться от периода между рентными платежами, тогда такая рента называется
общей. Финансовые множители для нее не определяются. Тем не
менее на практике может возникнуть задача расчета текущей стоимости общей ренты – обыкновенной или полагающейся.
Рассчитать текущую стоимость общей ренты можно составлением соответствующего расписания, как это делалось ранее. Но
можно решить задачу и аналитически – заменой общей ренты на
простую с эквивалентной нормой процента, начисляемой с требуемой частотой. Для этого далее будет получена формула, которая свяжет обыкновенную общую ренту с обыкновенной простой
рентой.
Пусть есть обыкновенная общая рента с платежами PMT, по
которым начисляют проценты р раз в году, а платежи осуществляются m раз в году по ставке процента за период начисления,
(p)
j = i
/p. Также обозначим через pmt платежи обыкновенной простой ренты, осуществляющиеся р раз в году, величину которых и
следует определить.
При эквивалентности рент их стоимости должны быть в лю-
бой момент одинаковы, а процентные ставки эквивалентны
118
по формуле (2.6). Если
′
()
11+
′
=+jj
mp
⋅=⋅
′
;;
риод платежа, то
– ставка процента общей ренты за пе-
j
()
(2.34)
.
Если приравнять итоги обыкновенной простой ренты и обык-
новенной общей ренты в конце года, получится выражение
pmtSpj Smj
() PMT( )
,
откуда с использованием формулы (2.34) следует полезное равенство, связывающее величину платежа обыкновенной общей ренты с величиной платежа эквивалентной ей обыкновенной простой ренты:
pmt = PMT · s(p/m; j). (2.35)
Таким образом, встречаясь с задачей расчета текущей стоимости обыкновенной общей ренты, возможно заменить ее на задачу
расчета эквивалентной ей обыкновенной простой ренты, платежи которой определяются формулой (2.35).
Сводка финансовых множителей
Сведем полученные результаты по теме финансовых множителей. Для этого все вышерасcмотренные финансовые множители записываются в одну таблицу (табл. 2.5) с двумя столбцами и
тремя строками, т.е. с ячейками по числу финансовых множителей. В левый столбец помещаются финансовые множители, связанные с текущей (приведенной) стоимостью, а в правый столбец – финансовые множества, связанные с будущей (накопленной) стоимостью. В каждой ячейке находятся основные формулы, определяющие этот финансовый множитель, а также
реализующая его финансовая функция.
В первой строке будет размещен (справа налево) множитель
накопления и обратный ему множитель приведения. Строкой
ниже – соответственно множители итога и ренты, наконец,
в строке внизу – обратные к последним множители возмещения
и амортизации.
Нумерация множителей соответствует принятой в таблицах их
численных значений, как, например, в работе «Анализ и оценка
119
приносящей доход недвижимости» (Фридман Дж., 1995). До появления персональных вычислительных машин такие таблицы
имели важное значение в оценочной деятельности, утраченное
ныне, хотя в некоторых изданиях, связанных с оценкой стоимости, они по-прежнему включаются в тексты (Сборник, 2009).
Таблица 2.5
4. Множитель приведения
v(t) = [А(t)]–1,
при δ(t) = δ
v(t) = vt = e–t = [1 + i
(p)
–tp
/p]
,
при p = 1v(t) = (1 – d)t = 1/(1 + i)
PV = FV · v(t)
PV = ПС(i; t; 0; –FV)
5. Множитель ренты
an = (1–vn)/i,
при p ≠ 1
an = p[1– (1 + i
(p)
–np
/p)
]/i
PV = pmt · a
(p)
n
PV = ПС(i; n; –pmt; 0; Тип)
6. Множитель амортизации
rn = 1/an = i/(1–vn)
pmt = PV · r
n
pmt = ПЛТ(i; n; –PV; 0; Тип)
1. Множитель накопления
At xdx
() exp[ () ],=
при δ(t) = δ
А(t) = At = eδt = [1 + i
t
при p = 1 А(t) = (1 + i)
FV = PV · A(t)
FV = БС(i; t; 0; –PV)
2. Множитель итога
Sn = (An – 1)/i,
при p ≠ 1
Sn = p[(1 + i
(p)
FV = БС(i; n; –pmt; 0; Тип)
3. Множитель возмещения
sn = 1/Sn = i/(An – 1)
pmt = ПЛТ(i; n; 0; –FV; Тип)
t
δ
∫
0
(p)
/p]tp,
/p)np – 1]/i
FV = pmt · S
pmt = FV · s
t
(p)
n
n
Из табл. 2.5, в частности, видно, что в Microsoft Excel множители первых двух строк таблицы в обоих столбцах реализуются
одинаковыми финансовыми функциями. Например, множитель
приведения и множитель ренты рассчитываются с помощью функции ПЛТ, причем аргументы в ней при равенстве ставки и числа
периодов взаимно дополняют друг друга. (При расчете множителя
приведения на месте –pmt стоит 0, а при расчете множителя ренты
0 замещает –FV.) Это обстоятельство позволяет в вычислениях,
обычных для доходного подхода, одной финансовой функцией
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]