Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Развитие теории и практики оценки стоимости
.pdf
то данное выражение несостоятельно. Оно называется – моделью
(1+
tt
()
21
простого процента;
• А(t1, t2) =
−
, где i – постоянная. Данное выражение
i
)
рационально и состоятельно. Оно называется моделью постоян-
ного сложного процента и наиболее часто используется в оценке.
Математики доказывают, что для состоятельного выражения
множителя накопления можно ввести начало отсчета времени и
переписать его выражение:
А(0, t) = А(t).
Именно в виде А(t) обычно используется выражение для множителя накопления.
Имея обозначение для множителя накопления, можно перейти к соответствующей ему процентной ставке. Она традиционно
обозначается буквой i, от латинского (и английского) слова
interest – интерес. Процент на капитал в 1, инвестированный в
момент 0, за промежуток его использования в течение периода
(t, t + h) составит
i
(t) = [А(t + h) – А(t)]/[h · А(t)]. (2.1)
h
Процент в этом определении рассматривается годовой, поэтому время t измеряется в годах, а h характеризует период между
последовательными выплатами процентов. Если проценты выплачиваются ежемесячно, то h = 1/12, если ежегодно, то h = 1.
Соответствующая функция накопления будет ступенчатой,
увеличиваясь на постоянную величину при каждом начислении
процентов. Но в приложениях финансовой математики стоимость капитала может изменяется непрерывно, поэтому следует
ввести в рассмотрение и это обстоятельство.
Интенсивность процентов определяется как предел процентной ставки при h → 0:
δ(t) = lim ih(t) = lim{[А(t + h) – А(t)]/[h · А(t)]}.
Видно, что интенсивность процентов δ(t) связана с производной множителя накопления по времени dA(t)/dt:
δ(t) = [1/A(t)] · [dA(t)/dt] = dlnA(t)/dt. (2.2)
101
Математики доказывают, что если множитель накопления со-
стоятелен и непрерывен, то
t
()
At xdx
=∫ exp[ ]δ() .
0
(2.3)
Глядя на формулу (2.3), понятно, что не всякое выражение
подходит для множителя накопления А(t). Рассмотривая примеры, можно заметить:
• А(t) = exp(t) – выражение подходит;
• А(t) = (1 + i)t – выражение подходит (i – постоянная);
• А(t) = 1 + i · t – выражение не подходит (i – постоянная).
Наиболее часто применяется модель с постоянной интенсивно-
стью процентов δ(t) = δ. Тогда из (2.3) следует, что
А(t) = eδt, (2.4)
и, подставляя это выражение в формулу (2.1), получим
ih(t) = (eδh – 1)/h.
Поскольку это выражение не зависит от t, используется обо-
значение ih. Также вместо обычно нецелого h вводится целое
p = 1/h. Тогда выражение для процентной ставки в модели с постоянной интерсивностью процентов будет выглядеть следующим образом:
ih = i
(p)
= p · (e
δ/p
– 1),
а соответствующий множитель накопления примет вид
(p)
A(t) = [1 + i
t·p
/p]
. (2.5)
Следует отметить, что эта запись справедлива для любого p,
в том числе и p < 1.
Процентная ставка i
(p)
называется номинальной ставкой, выплачиваемой (конвертируемой) p раз в году. Вводится также понятие
соответствующей ей эффективной процентной ставки i, которая
дает такие же проценты, как и номинальная i
(p)
, но выплачивае-
мые 1 раз в год.
102
Можно найти связь между номинальной и соответствующей
ей эффективной ставками процента. Для этого следует приравнять множители накопления по этим ставкам за год:
1 + i = [1 + i
(p)
/p]p. (2.6)
Из данной формулы легко получается связь между номинальными ставками с различными p, дающими одинаковый результат
за год, – эквивалентными ставками.
Для автоматизации расчетов в оценочной деятельности обычно
применяется программный пакет Microsoft Excel, среди встроенных
функций которого есть и финансовые. На основе формулы (2.6)
работает финансовая функция ЭФФЕКТ, связывающая номиналь-
(p)
ную i
и эквивалентную ей эффективную i процентные ставки.
Подводя итог, отметим, что множитель накопления в модели
с постоянной интенсивностью процентов имеет вид (2.5). При
эффективной процентной ставке p = 1 он переходит в выражение
А(t) = (1 + i)t. (2.7)
Часто выделяется собственно множитель накопления (за год)
А = 1 + i, тогда предыдущая формула принимает вид
А(t) = Аt. (2.8)
Наконец, при бесконечно частом начислении процентов p → ∞
(обычно считается чаще еженедельного начисления p > 52, но может использоваться уже, если начисление чаще ежемесячного,
при p > 12) получаем выражение (2.4).
Множитель накопления создан для нахождения стоимости
в будущем, в конце накопления. Стоимость в конце накопления
обычно называется будущей стоимостью и обозначается FV, от
английского выражения future value – будущая стоимость, а стоимость в начале накопления называется текущей стоимостью и
обозначается PV, от английского выражения present value – текущая стоимость. В этих обозначениях можно написать
FV = PV · A(t). (2.9)
В программном пакете Microsoft Excel множитель накопления (2.7), а вернее, расчеты с его помощью по формуле (2.9), реализуются финансовой функцией БС, возвращающей будущую
103
стоимость инвестиции на основе эффективной постоянной процентной ставки. Преобразуя входящие в функцию аргументы,
несложно подсчитать и множитель накопления в виде (2.5).
2.2. ПРОЦЕДУРА ПРИВЕДЕНИЯ И УРАВНЕНИЕ СТОИМОСТЕЙ
Множитель приведения
В п. 2.1 было рассмотрено введение множителя накопления,
определяющего, какую денежную сумму в будущем дает денежная
единица, вложенная сейчас. Но в оценочной практике значительно
чаще встает обратный вопрос, сколько нужно вложить в текущий
момент, чтобы через некоторое время получить накопленный 1 р.
Подобная процедура обратна процедуре накопления и называется приведением, а соответствующий финансовый множитель – множителем приведения. Для обозначения множителя приведения используется строчная буква v, от латинского слова
valorem – ценность или, точнее, английского value – стоимость.
Соответственно множителю накопления A(t) получаем обратный
множитель приведения v(t).
Для нахождения математического выражения множителя приведения вспомним эквивалентность денежных выражений во
времени, введенную в предыдущем п. 2.1. В этих обозначениях
можно записать следующую формулу эквивалентности:
1 в 0 ~ А(t) в t.
Но из нее при делении обеих частей на А(t) следует, что
[А(t)]–1 в 0 ~ 1 в t,
что дает связь обеих финансовых множителей:
v(t) = [А(t)]–1. (2.10)
Выражение (2.10) можно рассматривать и как определение
множителя приведения.
С помощью множителя приведения можно рассчитывать стоимость в текущий момент времени, т.е. в начале накопления. Из
формул (2.9) и (2.10) следует, что
PV = FV · v(t). (2.11)
104
Иногда возникает потребность работать с множителем приведения с переменной интенсивностью процентов. Подобное условие несложно учитывается. Пусть существуют два момента времени t1 и t2, различающиеся интенсивностью процентов. Из свойства состоятельности множителя накопления
A(0, t2) = A(0, t1) · А(t1, t2)
следует, что
v(t1, t2) = v(t2)/v(t1).
Если аналогично понятию интенсивности процентов ввести
понятие интенсивности приведения, то можно математически
показать, что эти величины совпадают (Купер Ф., 1996). Исходя
из этого, для модели с постоянной интенсивностью процентов
используется единое обозначение δ(t) = δ и
v(t) = e
–δt
. (2.12)
Описанный в п. 2.1 множитель накопления отвечает на вопрос
о будущей отдаче на нынешнее вложение. Этот вопрос типичен,
поэтому в финансовых расчетах обычно используются множитель
накопления и процентная ставка. Множитель приведения отвечает на обратный вопрос, и иногда для удобства его использования применяют не процентную ставку, а учетную ставку (по-английски discount rate), в банковской практике еще называют авансовым процентом.
Для модели с постоянной интенсивностью процентов учетная
ставка обозначается буквой d (от английского слова discount). Номинальная учетная ставка вводится через множитель приведения (2.12) аналогично процентной ставке следующим путем:
(p)
d
= – [e
–δ(t + 1/p)
– e
–δt
] / [(1/p)·e
–δt
].
В этом определении добавлен знак минуса, чтобы величина
учетной ставки была положительной, так как функция приведения убывает. Произведя сокращения, получим выражение для
номинальной учетной ставки с начислением через интервалы 1/p:
d
(p)
= p · (1 – e
–δ/p
). (2.13)
105
При p = 1, как обычно, имеем выражение для эффективной
учетной ставки:
d = 1– e–δ. (2.14)
И, наконец, исходя из определений (2.10) и (2.12), можно записать выражение множителя приведения через эффективную
учетную ставку:
v(t) = (1 – d)t ,
а также через номинальную учетную ставку:
v(t) = [1–d
(p)
/p]tp.
Применяется и сокращенное выражение v = 1 – d, и тогда v
называют собственно множителем приведения. Используя это
обозначение, пишут
v(t) = vt. (2.15)
Легко заметить, что с введением учетной ставки формулы для
множителя приведения стали подобны формулам для множителя
накопления через процентную ставку. Учетная ставка используется во многих отраслях экономики, в первую очередь в банковском деле, но в оценочной практике традиционно применение
процентной ставки.
Через процентную ставку множитель приведения записывает
ся следующим образом:
(p)
v(t) = [1 + i
–tp
/p]
. (2.16)
-
В пакете Microsoft Excel уравнение (2.11), в которое входит
множитель приведения (2.16), реализуется финансовой функци
ей ПС, которая возвращает текущую (приведенную) стоимость
инвестиции на основе эффективной постоянной процентной
ставки.
Соотношения, в которые входят эффективные процентные
и учетные ставки на одном и том же рынке, удобно сводятся в таблицу (табл. 2.1).
Подобные выражения можно записать и для номинальных
ставок (табл. 2.2).
106
-
Таблица 2.1
()
δ
δ eδ – 1
i ln(1 + i) (1 + i)
v –lnv V
d –ln(1 – d) d(1 – d)
i v d
–δ
e
–1
–1
– 1 1 – v
–1
1 – d
i/(1 + i)
1 – e
–δ
Таблица 2.2
(p)
i
(p)
d
δ
p · ln(1 + i
–p · ln(1 – d
(p)
/p) (1 + i
(p)
/p) (1 – d
i v d
(p)
/p)p – 1 (1 + i
(p)
/p)–p – 1 (1 – d
(p)
–p
(p)
/p)
/p)
p
1 – (1 + i
1 – (1 – d
(p)
–p
/p)
(p)
p
/p)
Отметим, что при p = 1 из табл. 2.2 получаются выражения
четных строк табл. 2.1 а при p → ∞ первые строки обеих таблиц
совпадают.
Для любого рынка, т.е. для любого заданного множителя накопления А(t), численные соотношения между учетными ставками,
интенсивностью процентов и процентными ставками следующие:
D < d
(p)
< δ < i
(p)
< i.
Сравнение потоков платежей
Поток платежей может представлять собой дискретную или
непрерывную (или дискретно-непрерывную) совокупность платежей во времени.
Поток дискретных платежей можно представить в виде некоторой функции от времени I(t). Простым суммированием
можно получить так называемый полный платеж такого потока,
он равен
n
It
.
j
=∑1
j
К некоторым сторонам оценочной деятельности непрерывная
модель потока платежей более подходящая, чем дискретная модель. Действительно, ведь стоимость какого-нибудь объекта
107
во времени, как правило, изменяется непрерывно. Если поток
jj
()
платежей непрерывен, то для описания вводится понятие интенсивности платежей ρ(t) для любого момента t из временного промежутка (0, T) действия потока платежей. В таком случае полный
платеж этого потока запишется в виде
T
ρ() .tdt
∫
0
Здесь ρ(t) представляет интенсивность платежей на интервале
(t, t + dt), т.е. за период времени (t, t + dt) платится (или получает-
ся) сумма ρ(t)dt. Так, если платежи делаются с постоянной интенсивностью ρ(t) = 1000 дол/год, то в каждом квартале будет уплачено 250 дол.
Задача сравнения потоков платежей типична для экономической жизни. Обычно она возникает при выборе варианта инвестирования. Инвестор, имеющий некоторую сумму и несколько
вариантов ее использования (несколько потоков платежей), должен выбрать наиболее выгодный вариант (поток платежей с максимальной стоимостью).
Сравнение полных платежей не может дать разумного ответа, поскольку непонятно, к каким моментам времени относится
тот или иной полный платеж. В то же время ясно, что имеет
смысл сравнивать лишь платежи, относящиеся к единому моменту времени.
Для решения задачи в сравниваемых потоках каждый из платежей следует преобразовать с помощью множителей приведения
(или множителей накопления) в эквивалентный платеж, относящийся к определенному моменту, и взять их сумму. Момент времени, вообще говоря, может быть любым. Обычно он выбирается
из соображений простоты вычислений. Часто в качестве такого момента используется начало отсчета – текущий момент 0. Тогда для
сравнения потоков платежей используются их текущие стоимости,
т.е. суммы текущих стоимостей платежей, составляющих поток.
Текущая стоимость платежа I(t) равна I(t)v(t). Соответственно
текущая стоимость дискретного потока платежей составит
n
PV It vt
=
() .
∑
j
=
1
(2.17)
108
При использовании модели с постоянной интенсивностью
tt
процентов v(t) = vt этот же результат перепишется в виде
n
PV Iv
=
j
(2.18)
.
j
=∑1
j
При описании потока платежей с помощью непрерывной модели текущая стоимость такого потока платежей естественно будет выглядеть следующим образом:
T
PV tvtdt
=∫ρ() () .
0
(2.19)
Например, если платежи делаются с постоянной интенсивностью платежей ρ(t) = 1000 дол/год в течение трех лет при постоянной интенсивности процентов δ = 10 %, то текущая стоимость
(2.19) такого потока составит
3
−−
δ
PV edte
== =
1000 1000 01 25918
∫
0
()
/, ,, дол.
01
3
0
Уравнение стоимостей
Сделки на рынках капитала независимо от их природы можно
понимать как обмен одного потока платежей на другой. В частности, поток может состоять всего лишь из единственного платежа. Например, при купле-продаже городской квартиры платеж
в виде самой квартиры обменивается на платеж в виде денежной
суммы, равной ее цене, а при сделке в рассрочку квартира обменивается на поток платежей, обеспечивающий выплату требуемой суммы в течение договорного времени.
Если рынок – обмен одних потоков платежей на другие потоки платежей, то этот обмен предполагается справедливым, иными словами, обмениваемые потоки платежей должны быть эквивалентными.
Приравняв же два эквивалентных в один и тот же момент времени потока, получаем уравнение эквивалентности их стоимостей, которое обычно называют просто уравнением стоимостей.
Когда в качестве этого момента времени выбран текущий момент
109
и стоимости, таким образом, представляют собой текущие стоимости потоков платежей, для обозначения такого уравнения стоимостей используют термин уравнение доходностей.
Уравнение стоимостей называют основным уравнением финансовой математики. Его часто используют в тех случаях, когда
необходимо определить неизвестный параметр одного из входящих в уравнение эквивалентных потоков.
Как рекомендация перед составлением уравнения стоимостей
следует выбрать момент времени, в котором будут приравниваться эквивалентные потоки платежей. Хоть ответ и не зависит от
такого выбора, удачный выбор этого момента может облегчить
расчеты. С целью надлежащего выбора момента времени для составления уравнения стоимостей надо обращать внимание на
симметрию потоков платежей во времени, выбирать момент, выделенный условиями задачи.
2.3. ДРУГИЕ ФИНАНСОВЫЕ МНОЖИТЕЛИ
Множитель ренты
Описанных множителей накопления и приведения достаточно
для описания временной эволюции стоимости платежа.
Но при рассмотрении потока платежей это описание удобно дополнить новыми понятиями. Одним из них является рента.
В экономике это слово имеет много значений, но в финансовой
математике рента – это поток одинаковых периодических платежей. Иногда вместо этого термина употребляют немецкое слово
«аннуитет», имеющее латинское происхождение (по-латински
annuitas – ежегодная выплата).
При рассмотрении потока равных периодических платежей
различают расположение платежа внутри периода. Если платеж
осуществляется в конце периода, то такая рента называется обык-
новенной. Если платеж осуществляется в начале периода, то такая
рента называется полагающейся. Иногда рассматривается рента с
платежами в середине каждого периода.
Текущая стоимость ренты, состоящей из единичных платежей,
при постоянной ставке процента называется множителем ренты.
Обозначается она обычно an, где индекс n указывает на число
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]