Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы финансовых вычислений. Курс лекций
.pdf
Пример. Найти годовой уровень инфляции, если
постоянный уровень инфляции в месяц составляет 2% .
Решение. Здесь ; ; По формулам
(6.4') и (6.5'):
Вывод: Постоянный уровень инфляции 2% в
месяц приводит к росту цен за год в размере
Таким образом, действительный УИ за год будет
26,82%, а не 24%, что является результатом
суммирования.
2. Расчёт наращенной суммы
в условиях инфляции
Если имеется некоторая сумма P, тогда её
реальное значение с учётом инфляции через некоторый
период времени будет:
По данным предыдущего примера реальное
значение суммы рублей через год будет равно
Пусть в банк сделан вклад равный сумме на
лет, а предполагаемый УИ за этот период времени
составит , тогда наращенная сумма по простой ставке
с учётом инфляции будет:
(6.6)
При постоянном годовом уровне инфляции
равном 0, формула (6.6) будет иметь вид:
(6.6′)
При ставке сложных процентов и их начислении
1 раз в году будем иметь, соответственно, формулы:
71
(6.7)
и
(6.7′)
При начислении сложных процентов раз в
году:
(6.8)
(6.8′)
Разность называется реальным
доходом.
Пример. Вклад в сумме 100 тысяч рублей
положен в банк на восемь месяцев с ежемесячным
начислением сложных процентов по номинальной
ставке 25% годовых. Определить реальный доход
вкладчика при ожидаемом ежемесячном уровне
инфляции 1%.
Решение. Здесь
Следует отметить, что в данном случае вводится
переменная k для того, чтобы снять неопределенность,
возникающую из-за способа начисления процентов. Их
начисляют ежемесячно, но 25% годовых, т. е. за восемь
месяцев начислят
от 25%, продолжительность же
инфляции месяцев.
Из формулы (6.8′) следует:
72
рублей. Реальный доход
рублей.
3. Определение действительной ставки процентов с
учётом инфляции
а) Простая ставка процентов.
Обозначим сумму, покупательная способность
которой вследствие инфляции за лет будет равна
покупательной способности суммы , через
Согласно формуле (6.3):
Итак:
(*)
где – УИ за срок лет.
С другой стороны, наращенная сумма с учётом
инфляции равна:
, ( ** ) где
– это ставка
простых процентов, учитывающая инфляцию.
Приравняв правые части равенств (*) и (**),
будем иметь:
,
,
(6.9)
Равенство (6.9) может быть выражено и через
индекс инфляции
в виде
. Действительно, переписав (*)
, будем иметь:
или
(6.9′)
Пример. Банк выдал кредит на семь месяцев
в размере 500 тысяч рублей по простой ставке
процентов 24% годовых. Ожидаемый ежемесячный
уровень инфляции составляет 2%. Определить:
а) ставку процентов с учётом инфляции,
73
б) погашаемую сумму,
в) сумму процента за кредит.
Решение.
Здесь
а) из формулы (6.9) следует:
б) по формуле (**) находим:
руб.
в)
руб.
б) сложная ставка процентов.
Согласно формуле (6.3) для сложных процентов:
С другой стороны, можно записать:
, (*** ) где
процентов с учётом инфляции.
Приравняв правые части последних равенств,
получим:
или
Окончательно имеем:
(6.10)
Формулу (6.10) можно выразить и через
вычисленный за весь срок лет:
(6.10')
- ставка сложных
,
74
Учитывая, что , где
–
среднегодовой уровень инфляции, из формулы (6.10')
получим:
или
(6.11)
Пример. Кредит в размере 5 000 000 рублей
выдаётся на четыре года, доходность операции
составляет 15% годовых по сложной ставке процентов.
Расчётный уровень инфляции составляет 18% в год.
Определить:
а) ставку процентов с учётом инфляции,
б) погашаемую сумму,
в) сумму процента за кредит.
Решение.
Здесь
года
а) из формулы (6.11) следует:
б) из формулы (***) получим:
руб.,
в)
Для сложных процентов с начислением
процентов раз в год:
откуда
(6.12)
75
Инфляция уменьшает реальную ставку
процента, – процент, который записан в договоре
(номинальный процент или годовая процентная ставка
без учета инфляции), а то количество товаров и услуг,
которое можно купить на наращенную сумму
определяет реальный процент или реальную
эффективную годовую процентную ставку
Выразив
из формулы (6.13), получаем
(6.13)
формулу Фишера:
(6.13′)
При высокой инфляции реальная ставка может
стать отрицательной.
Например, если годовая процентная ставка равна
, а темп инфляции за год равен , по формуле
(6.13′) получим
. То есть, реальная
процентная ставка составляет всего
Для компенсации потерь, связанных с инфля-
ционным обесцениванием, используют корректировку
ставки процента. При больших темпах инфляции
корректировка ставки имеет смысл только для
краткосрочных или, в крайнем случае, среднесрочных
операций.
Пример. Чтобы обеспечить реальную ставку
годовых при среднем темпе инфляции , по
формуле (10) получим: . То
есть, номинальная ставка должна быть равна
инфляционная премия
Таким образом, сегодня мы изучили вопросы,
касающиеся уровня и индекса инфляции, расчёта
наращенной суммы в условиях инфляции, определение
действительной ставки процентов с учётом инфляции.
,
76
Контрольные вопросы:
1. Что называется инфляцией?
2. Что называется уровнем инфляции?
3. Что показывает индекс инфляции?
4. Можно ли суммировать ежемесячный уровень
инфляции для определения уровня инфляции за год?
5. По какой формуле определяется реальное
значение суммы S с учётом инфляции?
6. По какой формуле определяется действи-
тельная простая ставка процентов с учётом инфляции?
7. По какой формуле определяется действи-
тельная сложная ставка процентов с учётом инфляции?
Лекция № 7
Тема: Финансовые расчеты с учетом
удержания комиссионных
Цель: изучить вопросы учета удержания комис-
сионных в расчётах по простым и сложным процентам,
научиться выполнять сравнение величин наращенных
сумм по различным ставкам.
Основные вопросы:
1. Учёт удержания комиссионных в расчётах по
простым процентам.
2. Учёт удержания комиссионных в расчётах по
сложным процентам. Учетные операции.
3. Сравнение величин наращенных сумм по
различным ставкам.
Список ключевых терминов: комиссионные за
выдачу кредита, комиссионные сборы в банке,
сравнение величин наращенных сумм.
Аннотация. В данной лекции даются понятия
комиссионных для простой и сложной ставок про-
77
центов. Также приводится сравнение величин наращенных сумм по различным ставкам. Выводятся формулы эквивалентности различных ставок.
За открытие кредита, учет векселей и другие
операции кредитор часто взимает комиссионные,
которые повышают доходность операции, так как сумма
фактически выданной ссуды сокращается. Рассмотрим
эту задачу более подробно.
1. Учёт удержания комиссионных в расчётах
по простым процентам
Пусть при выдаче кредита по простой ставке
процентов банк удерживает комиссионные. Тогда
погашаемая сумма с процентами будет:
(7.1)
Здесь
– простая ставка процентов,
характеризующая доходность кредитной операции
с учётом комиссионных.
– сумма комиссии, которую можно
представить в виде:
(7.2)
В формуле (7.2) – это коэффициент,
показывающий долю комиссионных в кредите,
С другой стороны, погашаемая сумма с про-
центами, начисляемыми по простой ставке процентов ,
будет определяться обычной формулой наращения:
(7.3)
Приравняв правые части (7.1) и (7.3), получим:
или с учётом (7.2):
Сократив на последнее равенство, получим:
78
или
, откуда:
Следовательно,
(7.4)
Формула (7.4) определяет простую процентную
ставку, учитывающую комиссионные, когда время
задаётся в годах. Если время задаётся в месяцах, то
, если время задаётся в днях, то
, где
T = 365(366) или 360.
Пример. При выдаче кредита на семь месяцев
под простые 19% годовых удержаны комиссионные
в размере 2% от суммы кредита. Определить доходность
кредитной операции с учётом комиссионных.
Решение.
Здесь
.
По формуле (7.4):
2. Учёт удержания комиссионных в расчётах
по сложным процентам. Учетные операции
Если кредит выдан по ставке сложных процентов
на лет и при этом удерживаются комиссионные
, тогда будем иметь:
, где
– ставка сложных
процентов, учитывающая комиссионные.
79
С другой стороны, погашаемая сумма с про-
центами, начисляемыми по сложной процентной ставке
, будет:
Приравняв правые части последних двух
равенств, получим:
Откуда
или
Окончательно имеем:
(7.5)
Формула (7.5) определяет сложную процентную
ставку с учётом комиссионных, когда время задаётся
в годах.
Пример. Кредит выдан на три года по сложной
процентной ставке 20% годовых. При выдаче кредита
удержаны комиссионные в размере 1,5% от его суммы.
Определить доходность кредитной операции с учётом
комиссионных.
Решение. Здесь .
По формуле (7.5):
Учетные операции. Если доход извлекается из
операции учета по простой учетной ставке, то эффективность сделки без удержания комиссионных опре-
деляется по формуле эквивалентной ставки. При
удержании комиссионных и дисконта заемщик получает
сумму . Если дисконт определяется по
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]