Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы финансовых вычислений. Курс лекций
.pdf
дарство в целях развития науки, обороны, социального
обеспечения и тому подобного.
Для оценки инвестиционных проектов применяются разные критерии. Каждый из них даёт опре-
делённую информацию к размышлению, позволяет
выбрать тот или иной из альтернативных проектов.
Далее мы рассмотрим различные критерии оценки
инвестиционных проектов. Но начнём мы с самого
важного критерия – чистой приведённой ценности
инвестиционного проекта (NPV).
2. Метод чистой приведённой ценности
Инвестиционный проект ассоциируется с потоком платежей:
в годы . При этом знак
может быть
как положительным, так и отрицательным.
В простейшем случае можно отождествлять
с начальным капиталовложением , то есть ,
а при считать чистым доходом, связанным
с этим проектом.
Каждый член потока платежей, порождённого
инвестиционным проектом, имеет свою приведённую
ценность в момент 0. Учитывая взаимосвязь этих
платежей, важной характеристикой проекта является
сумма приведённых ценностей в момент 0 всех членов
денежного потока, начиная с
, которую называют
приведённой ценностью инвестиционного проекта:
, (14.1)
где – ставка дисконтирования (discount rate).
Заметим, что в некоторой финансовой литературе
величину называют по-другому: приведённая вели-
чина, современная стоимость и капитализированная
171
стоимость. Важно понимать, что каждый раз речь идёт
о величине, которая вычисляется по формуле выше.
В том случае, когда учитывают и вложения
в момент 0, говорят о чистой приведённой ценности
инвестиционного проекта:
Чистую приведённую ценность принято обозна-
чать аббревиатурой NPV (от английского Net Present
Value.
В качестве ставки дисконтирования r может быть
принята безрисковая ставка процента или ставка
прибыли для проектов той же степени риска, или
средняя отраслевая норма доходности. Иногда за ставку
дисконтирования принимается необходимая с точки
зрения фирмы норма прибыли.
Если NPV проекта отрицательна, то принимать
такой проект не имеет смысла. Из нескольких альтер-
нативных проектов следует принять тот, который имеет
более высокую NPV при одной и той же ставке
дисконтирования.
Пример. Найдем NPV инвестиционного проекта
из первого примера, если ставка дисконтирования
Решение. По формуле (14.1) получаем (округляя
до тыс. руб.):
тыс. руб.
Величина чистой приведённой ценности проекта
зависит от ставки дисконтирования, то есть NPV есть
функция . Следующий пример иллюстрирует зави-
симость NPV от .
172
Пример. Построим график функции NPV(r)
r%
0
10
20
30
40
NPV (r)
350
155
24
-66
-130
-200
0
200
400
0 10 20 30 40
инвестиционного проекта, описанного в примере 14.1.
Решение. Вычислим по формуле (14.1) значения
функции NPV(r) , округляя до тыс. руб., при r=0%, 20%,
30%, 40%.
Таблица 14.1 – Результаты вычислений
График функции NPV(r) , построенный в «Excel» по
найденным точкам, приведён на рис. 14.4.
Рисунок 14.4 – график функции NPV(r) проекта из
первого примера
Легко показать, что функция NPV(r) инвес-
тиционного проекта, у которого
, является убывающей функцией.
Действительно, если ставка дисконтирования r увеличивается, то множитель
В примере 14.3 при ставке дисконтирования
r = 20% проект имеет положительную NPV и его можно
принять, а при ставке дисконтирования
и проект следует отклонить. Подобная зависимость
рекомендации от незначительного изменения ставки
дисконтирования, правильное значение которой никто не
знает, снижает практические достоинства метода NPV.
уменьшается.
173
Чтобы применение этого метода было оправдано, надо
r%
0
350
400
10
155
166
20
24
11
30
-66
-93
40
-130
-167
очень тщательно выбирать ставку дисконтирования.
Необходимо понимать, что при сравнении двух
(и более) проектов по критерию NPV можно прийти
к разным выводам при различных ставках дисконтирования. Рассмотрим пример.
Пример. Наряду с проектом, описанным в пер-
вом примере лекции (будем называть его проект А),
компания рассматривает проект Б выпуска другого вида
продукции. Первоначальные вложения по обоим
проектам совпадают – 300 тыс. руб.). Проект Б требует
больших инвестиций в первом году – 300 тыс. руб.
Ожидаемые доходы по проекту Б составят: 100 тыс. руб.
во второй год, 600 тыс. руб. в третий год и 300 тыс. руб.
в четвертом году. Построим график функции NPV(r)
этих проектов и сравним их по критерию NPV при
различных значениях ставки дисконтирования r.
Решение. По формуле (14.1) вычислим значения
функции NPV(r) обоих проектов при различных
значениях r. Результаты вычислений приведены
в следующей таблице:
Таблица 14.2 – Результаты вычислений
174
-200
-100
0
100
200
300
400
500
0 10 20 30 40
Проект А
Проект Б
Рисунок 14.5 – Графики функции NPV(r) проектов
Графики функций NPV(r) обоих проектов,
построенные по найденным точкам, приведены на
рисунке 27. Эти графики пересекаются в точке
с абсциссой, приблизительно равной 14%.
Таким образом, если NPV этих проектов вычис-
лены при ставке дисконтирования, меньшей 14%
например, при r=10%, то следует предпочесть проект Б,
так как NPV проекта Б при этой ставке дисконтирования
больше, чем NPV проекта А:
Если же NPV этих проектов вычислены при
ставке дисконтирования, большей 14%, например при
то следует предпочесть проект А, так как NPV
проекта А при этой ставке дисконтирования больше,
чем у проекта Б:
Если инвестиционный проект не является регулярным, то функция NPV(r) может быть произвольного
вида. Приведём пример.
из примера
175
Пример. В момент 0 инвестор берет кредит
0
10
20
30
40
5 000
5 710
5 671
5 553
5 612
в банке в размере 100 000 руб. Используя эти деньги
в биржевых операциях, в течение первого года он зарабатывает 350 000 руб., которые инвестирует в проект.
К концу второго года инвестор получит 430 000 руб.
дохода, а в третьем году понесет 175 000 руб. убытка.
Построим график функции NPV(r) этого проекта.
Решение. Изобразим проект на оси времени:
Рисунок 14.6 – Ось времени потока платежей
Функция NPV(r) рассматриваемого проекта имеет
вид:
Найдем несколько значений функции NPV(r)
и построим график:
Таблица 14.3. – Результаты вычислений
176
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
0% 10% 20% 30% 40%
Ряд 1
Рисунок 14.7 – Графики функции NPV(r) проектов из
примера 14.5
3. Метод внутренней нормы доходности
Внутренняя норма доходности проекта – это
процентная ставка, при дисконтировании по которой
чистая приведённая ценность проекта равна нулю.
Внутреннюю норму доходности обычно обозначают
аббревиатурой IRR (от английского Internal Rate of
Return).
Если инвестиционный проект состоит из потока
платежей:
и платеж происходит в год то внутренняя норма
доходности r является корнем уравнения:
Если вспомнить, что платежи
равны разности
между доходами и инвестициями в год , то внутренняя
норма доходности инвестиционного проекта есть ставка
дисконтирования, при которой в момент 0 уравниваются
177
приведенные ценности планируемых инвестиций и ожидаемых доходов.
Каков экономический смысл внутренней нормы
доходности проекта? Если
, то это значение r
(оно и есть внутренняя норма доходности, то есть IRR)
интуитивно равно истинной норме доходности на инвес-
тиции данного проекта, вычисленной с учётом времени
поступления платежей. Это легко показать на примере
проекта, состоящего из одной инвестиции
и одного платежа . В этом случае IRR
является корнем уравнения:
Из этого уравнения находим:
Величина
реализации проекта,
вательно, дробь
равна норме доходности на
является чистым доходом от
– размер инвестиций, следо-
инвестиции.
Для оценки проекта по критерию IRR сравнивают
внутреннюю норму доходности проекта с требуемой
(инвестором) нормой прибыли, которую называют
ставкой отсечения или пороговой ставкой. Ставка
отсечения устанавливается фирмой в зависимости от
целей, которые она ставит перед собой. Например,
в качестве ставки отсечения может быть принята
средняя норма прибыли для проектов той же степени
риска, что и данный проект или более высокая ставка.
Если внутренняя норма доходности проекта ниже, чем
ставка отсечения, то проект отвергается, в противном
случае – принимается.
178
Пример. Вычислим внутреннюю норму
доходности проекта из первого примера.
Решение. Внутренняя норма доходности
данного проекта является корнем уравнения:
В результате получим, что корнем уравнения
является значение
По критерию IRR описанный проект не будет
принят, если внутренняя ставка доходности 22,36%
будет ниже ставки отсечения, например, если ставка
отсечения равна 25%. Если ставка отсечения меньше
22,36%, то данный проект может быть принят.
Если проект не является регулярным, то применение критерия внутренней нормы доходности затруднено, так как NPV(r) может иметь несколько корней.
Таким образом, в этой лекции мы рассмотрели
методы анализа инвестиционных проектов, которые
используются фирмами при принятии инвестиционных
решений.
Контрольные вопросы:
1. Что понимается под инвестиционными про-
ектами?
2. В чем заключается сущность метода чистой
приведённой ценности?
3. В чем заключается сущность метода внутрен-
ней нормы доходности?
179
Заключение
Таким образом, основы финансовых вычислений
имеют повсеместное внедрение в профильные дисциплины укрупненной группы 38.00.00 «Экономика
и управление». Без применения математического аппарата современная экономика не сможет функ-
ционировать, государство будет находиться в списке
отстающих. Сейчас широко распространилось внедре-
ние и влияние информационных технологий, которые
автоматизируют процесс рутинных и кропотливых
вычислений. Однако без знаний базового математического обеспечения экономических моделей ИКТ
не способны раскрыть весь свой потенциал.
Существенная роль финансовой математики
в развитии общества состоит в формализации различных
прикладных задач.
180
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]