Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы финансовых вычислений. Курс лекций
.pdf
Рассмотрим пример, при решении которого
n периодов
применяется эта формула.
Пример. Предприниматель по договору должен
выплатить банку 1 июля 2020 г. 120 000 руб. Банк даёт
ссуды под 18% годовых (сложных). В договоре
оговорена возможность как досрочного возврата ссуды,
так и продления срока ссуды без изменения процента.
Вычислим, какую сумму должен предприниматель
вернуть в банк, если он решил вернуть долг:
а) 1 января 2020 г.;
б) 1 января 2021 г.
Решение.
а) Так как платеж делается на 1,5 года раньше
срока, то предприниматель должен внести в банк
меньшую сумму:
руб.
б) В этом случае платеж делается на 0,5 года
позже срока, поэтому в банк придется внести сумму,
большую, чем 120 000 руб.:
руб.
Рассмотрим теперь ситуацию объединения
(консолидации) платежей: требуется заменить
несколько платежей
соответственно, одним платежом
со сроками выплат
. При
этом могут возникнуть две задачи: определить величину
объединённого платежа
в момент времени ; определить срок платежа
, если он должен быть сделан
.
Изобразим рассматриваемую ситуацию на оси времени:
Рисунок 12.1 – Ось времени платежей
141
Для эквивалентности замены платежей необ-
ходимо, чтобы в момент приведённая ценность
платежа
всех платежей
была равна сумме приведённых ценностей
, то есть должно выполняться
равенство:
(12.4)
Если требуется определить величину единого
платежа
, то из последнего равенства получаем
формулу:
Чтобы определить срок платежа
уравнение (12.4) относительно
(12.5)
, решим
. Прологарифмируем
обе части этого уравнения и, выполнив необходимые
преобразования, получим формулу для
:
(12.6)
Важно понимать, что на результат вычислений по
формулам (12.5) и (12.6) не может повлиять то, в каких
единицах выражены суммы платежей: в рублях, тысячах
или миллионах рублей. Необходимо только соблюдать
следующее правило: все платежи должны быть
выражены в одних и тех же единицах.
Пример. По контракту предприниматель должен
выплатить поставщику сырья через полгода после
поставки 800 000 руб., ещё через полгода – 1 500 000
руб. и ещё через полгода – 1 300 000 руб. Эти платежи
решено объединить в один платеж и выплатить весь
142
долг через год после поставки сырья. Вычислим, какую
сумму надо выплатить, если на долг начисляется 16%
годовых (сложных).
Решение. Чтобы применить формулу (12.5),
требуется сначала вычислить моменты платежей
(единицей измерения является год): . Приводя
все платежи к моменту времени 0, получаем по этой
формуле:
руб.
Пример. Предприниматель из предыдущего
примера планирует выплатить долг одним платежом,
равным 3 600 000 руб. Определим, в какой момент он
должен сделать такой платеж.
Решение. Как было отмечено выше, результат
вычислений не зависит от того, в каких единицах
выражены суммы платежей. Воспользуемся этим
свойством и выразим платежи из условия примера
в миллионах рублей. По формуле (12.6) находим
значение
:
Следовательно, суммы 3,6 млн. руб. хватит,
чтобы погасить долг не позднее чем через 1 год 22 дня
после поставки сырья.
143
2. Продажа контрактов и выбор контракта
n кварталов
покупателем
В практике финансовых операций распро-
странена сделка, которая называется продажей
контракта. Она заключается в следующем. Некоторый
субъект (или организация) имеет на руках контракт, по
которому он должен получить с другого субъекта
определённые суммы денег в определённые сроки.
Владелец контракта желает получить деньги немедленно и для этого продаёт его банку (или другому лицу),
который будет получать деньги по контракту в будущем. Сколько следует заплатить за этот контракт? Из
принципа эквивалентности получаем, что за контракт
следует заплатить его приведённую ценность в момент
покупки. Рассмотрим пример.
Пример. Фермер купил у совхоза сарай,
заключив контракт, по которому обязуется заплатить
100 000 руб. через год и ещё через год – 300 000 руб.
Совхоз, нуждаясь в деньгах, хочет продать этот
контракт финансовой организации, которая согласна его
купить при условии начисления на свои деньги
процентов по ставке . Сколько должна
заплатить компания совхозу за этот контракт?
Решение. Так как по условию примера проценты
начисляются по ставке
, то процентный период равен
кварталу. Изобразим условия контракта на оси времени:
в году содержится четыре периода, а в двух годах –
восемь периодов. Ценность контракта в момент 0
обозначена через x:
Рисунок 12.2 – Ось времени платежей
144
Организации следует заплатить за контракт его
ценность в момент 0, следовательно, должно выполняться равенство:
руб.
Рассмотрим пример продажи и изменения усло-
вий контракта, связанный с финансовой рентой.
Пример. Строительная фирма продала коттедж,
заключив контракт, по которому покупатель обязался
выплачивать ежеквартально по 100 000 руб. в течение
пяти лет. Хозяин фирмы, нуждаясь в деньгах, продаёт
этот контракт банку, который получает на ссуженные
деньги проценты по ставке . Какую сумму
заплатит банк хозяину фирмы за данный контракт?
Решение. Платежи по контракту можно рассмат-
ривать как ренту, состоящую из 20 платежей по 100 000
руб. каждый. За эту ренту банк должен заплатить её
приведённую ценность. Эту ценность можно вычислить
при .
Таким образом, хозяин строительной фирмы,
продавая контракт, теряет сумму, равную
руб., но при этом он получает
деньги немедленно. Банк, покупая контракт, получит
доход, равный той же сумме.
145
При покупке некоторого товара покупатель
может заключить с продавцом контракт, включающий
различные условия авансовой оплаты, получения кре-
дита и сроков поставки товара. Чтобы выбрать наиболее
выгодный для себя контракт, покупатель должен
сравнить приведенные ценности возможных контрактов
и найти контракт с наименьшей приведённой
ценностью. Чтобы определить приведённую ценность
платежей, необходимо принять какую-либо ставку
сравнения, то есть ставку сложных процентов , по
которой будет производиться дисконтирование этих
платежей. В теории корпоративных финансов
рассматриваются различные подходы к выбору этой
ставки.
При покупке товара покупатель делает платежи
двух видов. Во-первых, это авансовые платежи
которые он выплачивает за купленный товар в моменты
времени (считая от момента заключения контракта) до
поставки товара. Приведённая ценность этих платежей
на момент заключения контракта вычисляется по
формуле:
Во-вторых, это платежи по погашению кредита,
равного разности между ценой товара и суммой
авансовых платежей:
,
Приведённая ценность этих платежей зависит от
условий погашения кредита. Пусть по контракту за
кредит продавец получает годовых. Срок кредита
(годы), который обычно отсчитывается от момента
окончания поставки товара, обозначим через .
Рассмотрим два наиболее часто встречающихся случая:
146
а) Кредит погашается разовым платежом в
конце срока. Тогда сумма, выплачиваемая в конце срока
кредита, вычисляется по формуле:
Приведённая ценность этой суммы на момент
заключения контракта вычисляется по формуле:
где – срок поставки товара.
Приведённая ценность всех платежей по
контракту на момент его заключения вычисляется по
формуле:
б) Кредит погашается равными срочными
уплатами. Годовая срочная уплата по выплате
кредита вычисляется по формуле:
(12.7)
Последовательность срочных уплат представляет
собой ренту, состоящую из платежей, равных
каждый. Приведённая ценность этой ренты в момент
по формуле из предыдущих лекций равна
Приведённая ценность этой суммы в момент
заключения контракта равна
. Следовательно,
приведённая ценность всех платежей по контракту на
момент его заключения вычисляется по формуле:
.
147
(12.8)
Рассмотрим пример на сравнение контрактов.
Пример. Сравним следующие два контракта при
ставке сравнения .
Первый контракт: Цена товара равна 20 млн.
руб. Делается три авансовых платежа по 3 млн. руб.
каждый: первый – в момент заключения контракта,
второй – через год, третий – ещё через год. Поставка
товара производится сразу после авансовых платежей.
Кредит предоставляется на три года, считая от момента
поставки товара, под 15% годовых и погашается
разовым платежом в конце срока кредита.
Второй контракт: Цена товара равна 181 млн.
руб. В момент заключения контракта делается один
авансовый платеж, равный пяти млн. руб. Поставка
производится в момент заключения контракта. Кредит
выдаётся на пять лет под 15% годовых с погашением
равными ежегодными уплатами.
Решение. Сравним приведенные ценности этих
контрактов при i = 10%. Для первого контракта
вычисляем по формуле (12.7) при
:
млн. руб.
Приведённую ценность второго контракта
вычисляем по формуле (12.8) при
:
148
млн. руб.
Первый контракт более выгоден покупателю, чем
второй, но он может предпочесть второй, так как поставка товара по нему производится немедленно, а по
первому контракту – с отсрочкой на два года.
3. Доходность контракта для кредитора
Рассмотрим теперь способы измерения доходности финансово-кредитной операции для другого
участника контракта – кредитора.
Доход от выдачи кредита кредитор получает
в виде процентов от выданной ссуды, комиссионных,
дисконта при учёте векселей и т. п. Доходность
операции обычно измеряется годовой ставкой сложных
(реже – простых) процентов, когда все вложения
и доходы рассматриваются как эквивалентная им
ссудная операция. (Однако иногда применяются и дру-
гие показатели доходности.) Эту ставку называют
эффективной процентной ставкой. Будем обозначать её
. Рассмотрим, как определяется доходность некоторых
финансовых операций.
1. Ссуда выдана под простые проценты по ставке
или под сложные проценты по ставке
, или
осуществляется учёт финансовых документов (векселей)
по простой или по сложной
. Во всех этих случаях
доходность операции определяется эквивалентной
ставкой
сложных процентов по формулам,
выведенным выше.
2. Ссуда в размере выдана под ставку про-
центов сроком на лет с удержанием комиссионных
149
в размере от суммы ссуды. Это означает, что
заёмщик получает на руки
через лет сумму, равную
и должен вернуть
. Кредитор
вычисляет доходность операции, исходя из условия:
наращенная сумма (на реально выданную сумму) при
эффективной ставке процентов
равна возвращаемой заёмщиком через лет сумме
. Доходность операции
определяется из
уравнения:
Сократив на и разделив обе части уравнения на
, получим уравнение:
(12.9)
:
откуда получаем формулу для вычисления
Рассмотрим пример на применение формулы
(12.9).
Пример. Ссуда выдаётся на пять лет под
проценты по ставке . Определить доходность
этой операции при следующих условиях:
а) комиссионные не взимаются;
б) удерживаются комиссионные в размере 1% от
суммы ссуды;
в) удерживаются комиссионные в размере 1% от
суммы ссуды, и срок ссуды увеличен до шести лет.
Решение.
а) Доходность операции определяем по формуле:
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]