Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы финансовых вычислений. Курс лекций
.pdf
надо вложить в определённый момент времени под ,
чтобы иметь возможность получать сумму в конце
каждого из следующих периодов начисления
процентов?
Не умаляя общности, можно считать, что опре-
деляемая сумма размещается на счёте в момент .
Запишем необходимые условия получения требуемых
платежей. Чтобы получить в момент сумму , необходимо вложить в момент сумму
. Чтобы получить
в момент 2 сумму , необходимо вложить в момент
сумму
необходимо вложить в момент сумму
Просуммируем их:
и т. д. Чтобы получить в момент сумму ,
.
Применим формулу суммы первых членов гео-
метрической прогрессии с первым членом
.:
знаменателем
и
Следовательно, суммируя их, получим формулу
(10.1). Но теперь эта формула выражает сумму, которую
надо вложить в момент 0, чтобы получить в конце
следующих периодов платежей, равных R каждый.
Пример. Фирма собирается оплатить получение
высшего образования своему сотруднику. Продол-
жительность обучения пять лет, стоимость –
руб. за один учебный год (деньги вносятся в начале
.
121
учебного года). За год до начала учёбы фирма
открывает счёт в банке, который будет начислять на
этот счёт проценты по ставке 7% годовых (сложных).
Какую сумму необходимо положить на счёт при
открытии, чтобы имеющихся на счёте денег хватило на
оплату учёбы в течение пяти лет?
Решение. Необходимая сумма равна ценности
в момент 0 ренты, состоящей из пяти платежей по 250
000 руб. каждый, при i = 7% = 0.07, n = 5. По формуле
(10.1) имеем:
Подставив найденное значение в формулу,
получаем ответ:
руб.
Заметим, что найденная сумма является
минимально необходимой для оплаты учёбы. Если
в начальный момент на счёт будет положена именно
такая сумма (1 025 049 руб.), то денег хватит на оплату
обучения и на счёте не останется денег после последней
(пятой) уплаты.
2. Приведённая ценность различных рент
Рассмотрим теперь приведённую ценность неко-
торых типов финансовых рент при различных способах
начисления процентов: в конце года, раз в год,
непрерывном.
а) Ренты с начислением процентов в конце года
(постнумернадо)
годовая рента
Приведённая ценность этой ренты определяется
по формуле (10.1), где – число лет, годовая ставка
сложных процентов.
122
a-срочная рента
Используя формулы из формулы из предыдущих
лекций, находим современную ценность этой ренты:
(10.3)
Ренты с начислением процентов m раз в год
Годовая рента
Используя формулы из предыдущих лекций,
находим значение приведённой ценности этой ренты:
(10.4)
a-срочная рента
Применяя формулы из предыдущих лекций,
получаем:
(10.5)
Постоянная -срочная финансовая рента
постнумерандо с начислением сложных процентов
раз в году.
Это частный случай предыдущего пункта, когда
, поэтому формула будет следовать из формулы
(10.5):
123
(10.6)
Пример. Какую сумму необходимо положить
в начальный момент в банк, чтобы иметь возможность
в течение следующих пяти лет ежегодно снимать со
счета 50 000 руб., исчерпав счет полностью к концу
срока. Банк начисляет на вложенные в него деньги
проценты по ставке:
а) годовой ,
б) .
Решение. Во всех случаях требуется найти
приведённую ценность годовой ренты. В случае
а) проценты начисляются в конце года.
Применяем формулу (10.1):
руб.
б) В этом случае проценты начисляются четыре
раза в год. Применяем формулу (10.4) при :
руб.
Пример. Какую сумму необходимо положить
в банк, чтобы в течение следующих пяти лет ежегодно
получать 300 000 руб., полностью исчерпав счет к концу
этого срока. Деньги будут сниматься каждые два месяца
равными частями. Банк начисляет на находящиеся на
счету деньги проценты по ставке:
а) годовой I.,
б) годовой .
Решение. Во всех случаях требуется найти
современную ценность -срочной ренты при .
124
а) В этом случае проценты начисляются только
в конце года. Применяем формулу (10.3) при
руб.
б) В этом случае проценты начисляются четыре
раза в год. Применяем формулу (10.5) при
руб.
3. Бессрочная рента
Наращенная сумма бессрочной ренты, каждый
член которой равен положительному числу , беско-
нечно велика, и говорить о её величине не имеет
смысла. Иначе обстоит дело с современной ценностью
бессрочной ренты.
Приведённой ценностью
бессрочной ренты
является сумма, которую надо вложить в начальный
момент под сложные проценты по данной ставке, чтобы
в дальнейшем каждый год (или каждый период
начисления процентов) можно было получать с этого
вклада сумму . Приведённую ценность бессрочной
ренты можно определить как предел приведённой
ценности конечной ренты при неограниченном увели-
чении числа членов ренты. Ниже при нахождении
пределов всюду используется тот факт, что
при любом . Рассмотрим различные некоторые
виды бессрочной ренты.
125
Годовая рента с начислением процентов
в конце каждого года по ставке сложных процентов,
равной .
Приведённая ценность конечной ренты этого
вида определяется формулой (10.1). Найдем предел
данного в этой формуле выражения при неограниченном
увеличении :
Следовательно, приведённая ценность
бессрочной ренты в данном случае равна:
(10.7)
a-срочная рента с начислением процентов
в конце года по ставке сложных процентов, равной .
Приведённая ценность бессрочной ренты в этом
случае равна пределу выражения в формуле (10.3):
выражение
Следовательно, полученное для
можно переписать так:
(10.8)
Годовая рента с начислением процентов раз
в год по ставке
приведённая ценность бессрочной ренты в этом
случае равна пределу выражения в формуле (10.4):
126
Следовательно, полученное для
выражение
можно переписать так:
(10.9)
-срочная рента с начислением процентов m
раз в год по ставке i
Приведённая ценность бессрочной ренты в этом
случае равна пределу выражения из формулы (10.5):
выражение
Следовательно, полученное для
можно переписать так:
(10.10)
В частном случае этой ренты, когда , имеет
место равенство:
(10.11)
Пример. Фирма планирует организовать спе-
циальный фонд для выплаты 1 000 000 руб. в конце года
направленным на учёбу работникам. Какую сумму
потребуется положить в банк, чтобы обеспечить получение указанной суммы неограниченно долго, если:
а) банк выплачивает 8% годовых (сложных),
б) банк выплачивает проценты по ставке
Решение. а) Последовательность получаемых
сумм является бессрочной рентой с начислением
127
процентов в конце года. Применяем формулу (10.7) при
руб.
б) Последовательность получаемых сумм является бессрочной рентой с начислением процентов m раз
в год по годовой ставке
. Применяем формулу (10.9)
при :
руб.
Таким образом, в лекции продолжено рассмот-
рение приведённой ценности потока денежных
платежей. На этот раз поток денежных платежей обра-
зует финансовую ренту (равные платежи через равные
промежутки времени). Умение оценивать приведённую
ценность различных видов финансовых рент необходимо при принятии реальных финансовых решений,
в частности, при оформлении кредита и ипотеки.
Контрольные вопросы:
1. Определение современной ценности финан-
совой ренты.
2. Обеспечение получения ренты в будущем.
3. Современная ценность различных рент: ренты
с начислением процентов в конце года; ренты с начислением процентов m раз в год; ренты с непрерывным
начислением процентов; вечная рента.
4. Погашение долгосрочной задолженности
несколькими платежами.
5. Определение срока погашения долгосрочной
задолженности. Процентная ставка финансовой ренты.
128
Лекция № 11.
Тема: Переменные финансовые ренты
Цель: изучить переменные финансовые ренты
с абсолютным и относительным изменением платежей,
научиться решать задачи по теме.
Основные вопросы:
1. Переменные финансовые ренты с абсолютным
изменением платежей.
2. Переменные финансовые ренты с относи-
тельным изменением платежей.
3. Пример решения задач.
Список ключевых терминов: рента, поток
платежей, пренумерандо, постнумердо.
Аннотация. Эта лекция является продолжением
предыдущей темы, в ней выводятся формулы для
переменных финансовых рент в двух случаях: с постоянным и относительным изменениями платежей.
Сегодня нам предстоит изучить переменные
финансовые ренты с абсолютным и относительным
изменением платежей, научиться решать задачи по теме.
Если члены ренты изменяются по закону арифметической прогрессии, то в этом случае говорят о пере-
менных финансовых рентах с постоянным абсолютным
изменением платежей.
1. Переменные финансовые ренты с абсолютным
изменением платежей
а) годовая переменная финансовая рента
пренумерандо с начислением сложных процентов один
раз в году.
Пусть в начале каждого года в течение n лет на
некоторый счёт поступают денежные средства, равные:
129
На аккумулируемые средства по сложной ставке
декурсивным методом начисляются проценты. Необходимо найти наращенную сумму.
Первый взнос вносится в начале первого года
и за лет наращенная декурсивным методом сумма
будет:
,
где – сложный декурсивный
коэффициент (СДК).
Второй взнос вкладывается на год
и соответствующая наращенная сумма будет:
Для третьего взноса:
и так
далее.
Последний взнос вкладывается
в начале -го года на первый год, в конце которого
наращенная сумма составит:
Совокупная величина всех наращенных сумм
будет:
или
(*), где
Умножим обе части последнего равенства на :
, затем из
него вычтем исходное равенство:
.
Из последнего равенства имеем:
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]