Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы финансовых вычислений. Курс лекций
.pdf
(**)
Подставим (**) в (*):
или
(11.1')
Последнюю формулу перепишем в виде:
(11.1)
Чтобы вычислить процентный платёж, необ-
ходимо из вычесть общую сумму всех взносов
Используем формулу для суммы первых членов
арифметической прогрессии:
Напомним, что числовую последовательность,
каждый член которой, начиная со второго, равен сумме
предыдущего члена и одного и того же числа d,
называют арифметической прогрессией.
Число называют разностью арифметической
прогрессии
В нашем случае: ,
следовательно:
Или
(11.2)
Процентный платёж равен:
Соответствующие формулы для годовой пере-
менной ренты постнумерандо будут:
131
(11.3)
(11.3')
б) переменная годовая финансовая рента
с начислением сложных процентов раз в году.
Подставляя соответствующее значение для СДК
в формулы (11.1'), (11.3') , получим:
Из последнего равенства имеем:
(11.4)
(11.5)
в) переменная -срочная финансовая рента
пренумерандо и постнумерандо с начислением сложных
процентов 1 раз в году.
Подставим
в формулы (11.1'), (11.3'),
записав (количество периодов начисления )
вместо .
(11.6)
(11.7)
г) переменная а-срочная финансовая рента
с начислением сложных процентов раз в году.
Подставим
в формулы (11.1'),
(11.3'), заменив на .
132
(11.9)
(11.8)
д) переменная m-срочная финансовая рента
пренумерандо и постнумерандо с начислением сложных
процентов раз в году.
Это частный случай предыдущего пункта, когда
.
(11.10)
(11.11)
2. Переменные финансовые ренты
с относительным изменением платежей
Если члены ренты изменяются по закону геометрической прогрессии, то в этом случае говорят о переменных финансовых рентах с постоянным относительным изменением платежей.
а) годовая переменная финансовая рента
пренумерандо с начислением сложных процентов один
раз в году.
Пусть в начале каждого года в течение лет на
некоторый счёт поступают денежные средства, равные:
.
133
На аккумулируемые средства по сложной ставке
декурсивным методом начисляются проценты.
Необходимо найти наращенную сумму.
Первый взнос К вносится в начале первого года
и за лет наращенная декурсивным методом сумма
будет:
,
где – сложный декурсивный коэф-
фициент (СДК).
Второй взнос вкладывается на год
и соответствующая наращенная сумма будет:
Для третьего взноса:
Предпоследний взнос:
;
Последний взнос:
и так далее.
.
Совокупная величина всех наращенных сумм
будет:
(***)
Выражение в скобках – это геометрическая
прогрессия, в которой
Используем формулу для суммы первых членов
геометрической прогрессии:
. . Тогда из
(***) получим:
или после преобразований:
(11.12')
Формулу (11.12’) можно представить и в другом
виде:
134
Для постнумерандо будем иметь:
(11.12)
(11.13')
(11.13)
Чтобы вычислить процентный платёж , нужно
найти сумму всех взносов и вычесть её из наращенной
суммы за весь срок ренты. Сумма – геометрическая
прогрессия, у которой .
Используя формулу суммы первых членов
геометрической прогрессии
. Соответствующие процентные
, будем иметь:
платежи для пренумерандо и постнумерандо:
и
б) начисление сложных процентов раз в году.
Подставляя соответствующее значение для СДК:
в формулы (11.12’) , (11.13’) , получим:
(11.14)
(11.15)
в) переменная -срочная финансовая рента
пренумерандо и постнумерандо с начислением сложных
процентов один раз в году.
Подставим
в формулы (11.12') ,
(11.13’) . заменив на :
(11.16)
и
135
(11.17)
г) переменная -срочная финансовая рента
с начислением сложных процентов раз в году.
Подставим
в формулы (11.12’),
(11.13’), заменив на .
(11.19)
(11.18)
д) переменная а-срочная финансовая рента
пренумерандо и постнумерандо с начислением сложных
процентов раз в году.
Это частный случай предыдущего пункта, когда
.
(11.20)
(11.21)
3. Пример решения задач
Пример. Вкладчик вносит в банк в начале
первого года 10 тысяч рублей и предполагает, что
каждый следующий вклад будет больше предыдущего
на две тысячи рублей. Какой суммой будет располагать
вкладчик в конце пятого года, если ,
а капитализация ежегодная?
Решение. Здесь ; ; ;
; годовая рента пренумерандо с абсолютным
изменением платежей. Из формулы (11.1) следует:
136
=
104.25390 тыс. рублей
, где
следовательно:
тыс.
рублей.
Пример. В начале каждого полугодия в течение
четырех лет на счёт в банке поступали денежные
средства: первый взнос 1000 рублей, а каждый следующий на 10% больше предыдущего. На аккуму-
лируемые средства ежеквартально начислялись сложные
проценты по ставке . Определить наращенную
сумму и I.
Решение. Здесь ; ;
; ; ; .
Здесь -срочная рента пренумерандо с относительным изменением платежей.
Воспользуемся формулой (11.18):
руб.
рублей.
Пример. Платежи постнумерандо образуют
регулярный во времени поток, первый член которого
равен 15 млн. руб. Последующие платежи увели-
137
чиваются каждый раз на 2 млн. руб. Начисление
процентов производится по ставке 20% годовых. Срок
выплат десять лет.
Решение. По условиям задачи: P = 15, d = 2,
i=0.2, n = 10. Таким образом, по формуле (11.3)
получим:
млн. руб.
Влияние изменений платежей здесь очевидно.
Например, постоянная рента с дает накопление
в сумме около 390 млн. руб. Причем «вклад» прироста
платежей в наращенную сумму составит почти 160 млн.
руб., или примерно 20%.
Продолжим пример. Пусть теперь рента пред-
полагает систематическое сокращение платежей на 1
млн. в год. Тогда по формулам находим:
млн. руб.
Пример. Ожидается, что сбыт продукции будет
увеличиваться в течение двух лет – каждый квартал на
25 млн. руб. Первоначальный объем сбыта – 500 млн.
руб. Определим наращенную сумму к концу срока при
условии, что поступления денег – постнумерандо.
Решение. По условиям задачи P = 500, d = 25, i/m
= 25/500 = 0.05, n = 2, m = 4, mп = 8. Наращенная сумма
к концу двухлетнего периода по формуле (11.11)
составит:
млн.
руб.
138
Таким образом, сегодня мы изучили переменные
финансовые ренты с абсолютным и относительным
изменением платежей, научились решать задачи по
теме.
Контрольные вопросы:
1. Какие ренты называются переменными?
2. В каком случае переменные ренты называют
с постоянным абсолютным изменением платежей?
3. В каком случае переменные ренты называют
с относительным изменением платежей?
4. Чем отличаются переменные ренты прену-
мерандо от постнумерандо?
5. Чем характеризуется переменная а-срочная
финансовая рента?
Лекция № 12.
Тема: Операции с финансовыми контрактами
Цель: изучить вопросы эквивалентности
контрактов, продажи контрактов и выбор контракта
покупателем, доходности контракта для кредитора.
Основные вопросы:
1. Эквивалентность контрактов.
2. Продажа контрактов и выбор контракта
покупателем.
3. Доходность контракта для кредитора.
Список ключевых терминов: продажа
контракта, стоимостью привлечения средств, эквивалентность контрактов.
Аннотация. В лекции рассматриваются вопросы
эквивалентности контрактов, продажи контрактов и
выбор контракта покупателем, доходности контракта
для кредитора.
139
В реальной жизни по тем или иным причинам
приходится менять условия финансовых контрактов.
В этой лекции мы рассмотрим только случаи, когда
изменяются суммы платежей и время их выполнения.
Ценность денег предполагается фиксированной для
исходного и нового контрактов на время их действия
( сложных процентов за один период). Мы пред-
полагаем, что при изменении условий контракта должен
соблюдаться принцип эквивалентности, который
состоит в том, что приведенные к некоторому моменту
суммы платежей по исходному и новому контрактам
должны совпадать.
1. Эквивалентность контрактов
Рассмотрим сначала ситуацию, когда изменяются
только сроки платежей. При этом возникает законный
вопрос, как должны измениться суммы платежей.
В данной ситуации это выражается с помощью двух
простых формул.
Если срок платежа суммы переносится на
периодов вперед, то новая сумма платежа
вычисляется по формуле:
(12.1)
если срок платежа сокращается на периодов,
то новая сумма платежа
вычисляется по формуле:
(12.2)
Последние две формулы можно объединить
в одну, если заметить, что степень, в которую воз-
водится множитель наращения , равна разности
между новым и старым моментами платежа. Обозначим
через старый момент платежа,
платежа. Новая сумма платежа
– новый момент
получается из старой
s по формуле:
(12.3)
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]