Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы финансовых вычислений. Курс лекций
.pdf
В начале 2-го периода 2-го года та же сумма вносится
на срок
, наращенная сумма при этом будет:
В начале последнего периода второго года сумма
вносится на срок
, лет, наращенная сумма
при будет:
и т. д.
В начале первого периода последнего года та же
сумма вносится на срок один год, наращенная сумма
будет:
В начале второго периода последнего года сумма
лет, наращенная сумма будет:
, и
вносится на срок
т.д.
В начале последнего периода последнего года
сумма вносится на срок
лет, наращенная сумма будет:
Тогда наращенная сумма будет:
Сумма, записанная в скобках последнего выра-
жения, есть геометрическая прогрессия, у которой
111
, . По формуле суммы первых членов
геометрической прогрессии
(9.5)
получим:
или
(9.5')
Пример. Фирма для создания фонда помощи
ветеранам труда вкладывает два раза в год по 125 000
руб. в банк по схеме пренумерандо, выплачивающий 8%
годовых. Какая сумма будет на счёте фонда через пять
лет?
Решение. Вклады в банк образуют 2-срочную
ренту, для которой P = 250 000 руб., n = 5, i = 8%.
Вычисляем наращенную сумму ренты по формуле
(9.11), подставляя в нее
руб.
г) постоянная а-срочная финансовая рента
пренумерандо с начислением сложных процентов раз
в году.
Пусть одна и та же сумма вносится на счёт
ежегодно раз равными долями в начале каждого
периода в течение лет. Сложный процент начисляется
раз в году декурсивным методом. Найдём нара-
щенную сумму за весь срок ренты.
Получить данную формулу можно путём под-
становки СДК в данном случае
в формулу
(9.5):
112
(9.6)
Пример. Фирма для создания фонда помощи
ветеранам труда вкладывает два раза в год по 125 000
руб. в банк по схеме пренумерандо, выплачивающий
проценты по ставке 4 раза в год . Какая сумма
будет на счете фонда через пять лет?
Решение. Вклады в банк образуют ренту, для
которой руб.,
, ,
Вычисляем наращенную сумму ренты по формуле, подставляя в нее
руб.
д) постоянная а-срочная финансовая рента
пренумерандо с начислением сложных процентов раз
в году.
Это частный случай пункта (г) с СДК r=
поэтому формула будет следовать из формулы (9.6),
если в ней заменить на :
(9.7)
Пример. Фирма для создания фонда помощи
ветеранам труда вкладывает два раза в год по
руб. в банк по схеме пренумерандо, выплачивающий
проценты по ставке два раза в год . Какая сумма
будет на счете фонда через пять лет?
113
Решение. Вклады в банк образуют ренту, для
которой P = 250 000 руб., m = 2,
э
Вычисляем наращенную сумму ренты по
формуле, подставляя в нее
руб.
3. Постоянные финансовые ренты постнумерандо
а) постоянная годовая финансовая рента
постнумерандо с начислением сложных процентов один
раз в году.
Пусть на некоторый счёт в конце каждого года
в течение лет вносится одна и та же сумма .
На аккумулируемые средства начисляются сложные
проценты декурсивным методом по годовой процентной
ставке . Определим конечную величину вкладов через
лет.
Первый взнос , вкладываемый в конце первого
года, будет наращиваться в течение лет, при
этом наращенная декурсивным методом сумма будет:
, где – СДК.
Второй взнос вкладывается на года и
соответствующая наращенная сумма будет:
и так далее.
Предпоследний взнос P вкладывается в конце
-го года на один год, наращенная сумма
составит:
В конце последнего года:
114
Сумма, записанная в скобках последнего
выражения, есть геометрическая прогрессия, у которой
, .
По формуле суммы первых членов
геометрической прогрессии получим:
где
– коэффициентом аккумуляции вкладов.
(9.8)
Сравнивая формулу (9.8) с формулой (9.1) для
годовой ренты пренумерандо, можно записать:
или
(9.9)
Учитывая выражение для СДК, формулу (9.8)
можно переписать в виде:
(9.8')
Пример. Фирма создаёт фонд помощи ветеранам
труда, вкладывая ежегодно 250 000 руб. в банк,
выплачивающий 8% годовых (сложных). Какая сумма
будет на счёте фонда через пять лет?
Решение. Вклады в банк образуют простую ренту
(далее просто ренту), для которой P = 250 000 руб.,
n = 5, i = 8%. Вычисляем наращенную сумму ренты по
формуле, подставляя в нее
руб.
Учитывая формулу (9.9), можно получить
формулы для конечных сумм вкладов для различных
случаев:
б) постоянная годовая финансовая рента пост-
нумерандо с начислением сложных процентов раз
в году.
115
(9.10)
Пример. Фирма для создания фонда помощи
ветеранам труда вкладывает в конце каждого года по
250 000 руб. в банк, выплачивающий проценты по
ставке четыре раза в год . Какая сумма будет на
счёте фонда через пять лет?
Решение. Вклады в банк образуют ренту, для
которой руб., m = 4,
. Вычисляем наращенную сумму
ренты по формуле (9.10), подставляя в
руб.
в) постоянная -срочная финансовая рента
постнумерандо с начислением сложных процентов один
раз в году.
(9.11)
Пример. Фирма для создания фонда помощи
ветеранам труда вкладывает два раза в год по 125 000
руб. в банк, выплачивающий 8% годовых. Какая сумма
будет на счёте фонда через пять лет?
Решение. Вклады в банк образуют 2-срочную
ренту, для которой P = 250 000 руб., n = 5, i = 8%.
Вычисляем наращенную сумму ренты по формуле
(9.11), подставляя в нее
руб.
116
г) постоянная а-срочная финансовая рента
постнумерандо с начислением сложных процентов m
раз в году.
(9.12)
Пример. Фирма для создания фонда помощи
ветеранам труда вкладывает два раза в год по 125 000
руб. в банк, выплачивающий проценты по ставке четыре
раза в год . Какая сумма будет на счете фонда
через пять лет?
Решение. Вклады в банк образуют ренту, для
которой P = 250 000 руб., m = 4,
.
Вычисляем наращенную сумму ренты по
формуле, подставляя в нее
руб.
д) Постоянная а-срочная финансовая рента
постнумерандо с начислением сложных процентов
раз в году.
Это частный случай пункта (г), когда ,
поэтому формула будет следовать из формулы (9.12):
(9.13)
Пример. Фирма для создания фонда помощи
ветеранам труда вкладывает два раза в год по 125 000
руб. в банк, выплачивающий проценты по ставке два
раза в год . Какая сумма будет на счете фонда
через пять лет?
117
Решение. Вклады в банк образуют ренту, для
которой P = 250 000 руб., m = 2,
э
Вычисляем наращенную сумму ренты по
формуле, подставляя в нее
руб.
Процентный платёж за весь срок финансовой
ренты будет определяться по формуле:
(9.14)
Контрольные вопросы:
1. Что называется потоком платежей?
2. Что называется финансовой рентой?
3. К каким потокам платежей, строго говоря,
применимо понятие аннуитета?
4. Какие существуют ренты по количеству
платежей в году?
5. Чем отличается годовая рента от а-срочной?
6. Какие различают ренты по частоте начислений
процентов в году?
7. Какие различают ренты по величине своих
членов?
8. Какие различают ренты по моменту выплат
платежей в пределах периода ренты?
9. Какие различают ренты по вероятности
выплат?
10. По какой формуле определяется коэффи-
циент аккумуляции вкладов?
118
Лекция № 10.
Тема: Приведенная ценность
финансовой ренты
Цель: изучить функцию для коэффициентов
приведенной ценности финансовой ренты, приведённую
ценность различных рент, бессрочную ренту.
Основные вопросы:
1. Функция для коэффициентов приведенной
ценности финансовой ренты.
2. Приведённая ценность различных рент.
3. Бессрочная рента.
Список ключевых терминов: приведённая
ценность финансовой ренты, метод линейной
интерполяции.
Аннотация. В лекциях рассматривается функция
для коэффициентов приведенной ценности финансовой
ренты, приведённая ценность различных рент, бессрочная рента.
В предыдущих лекциях уже рассматривался
вопрос о приведённой ценности денежного потока.
Такая же задача может быть поставлена и относительно
финансовой ренты. Например, желая создать фонд для
выплаты именных стипендий, основатель фонда должен
знать, какую сумму необходимо вложить в этот фонд
при его создании. Эта сумма равна приведённой цен-
ности финансовой ренты, которую составляют выплаты
стипендий. Приведённой ценностью ренты будем называть приведённую ценность её наращенной суммы.
119
1. Функция для коэффициентов приведенной
ценности финансовой ренты
Рассмотрим ренту, состоящую из платежей,
каждый из которых равен и делается в конце каждого
периода начисления процентов. Если за каждый период
начисляются сложные проценты по ставке , то нара-
щенная сумма этой финансовой ренты, вычисляется по
формуле
Приведённая ценность финансовой ренты
равна приведённой ценности её наращенной суммы. Для
исключения путаницы обозначим приведенную ценность через PV, следовательно, она вычисляется по
формуле:
(10.1)
Применяя обозначение для приведённой
ценности денег в момент , будем обозначать при-
ведённую ценность ренты, состоящей из членов,
равных , через а если из контекста значения
и ясны, то – .
В финансовых вычислениях для величины, на
которую умножается в последней формуле, принято
использовать следующее обозначение:
Значение функции
– это приведённая цен-
(10.2)
ность финансовой ренты, состоящей из платежей,
равных 1. Раньше для выполнения вычислений, исполь-
зующих функцию
, применялись специальные
таблицы этой функции для различных значений и .
Покажем, что с помощью формулы (10.1) можно
решать задачи следующего содержания: какую сумму
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]