Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы финансовых вычислений. Курс лекций
.pdf
Обычные проценты начисляются в конце периода
относительно исходной величины средств. Доход,
определяемый обычным процентом, выплачивается
в конце периодов финансовой операции. Такие проценты применяют в большинстве депозитных и кредитных операций, а также в страховании.
Авансовые (антисипативные) проценты начис-
ляются в начале периода относительно конечной суммы
денег. Доход, определяемый авансовым процентом,
выплачивается в момент предоставления кредита. Такая
форма расчетов называется авансовой или учетом. При
этом базой расчета процентов служит сумма денег
с процентами (сумма погашения долга). Исчисленные
таким образом проценты взимаются вперед и являются
авансом. Так рассчитывают проценты в некоторых
видах кредитования, операциях с дисконтными ценными
бумагами, в международных расчетах.
Рассмотренным двум видам процентов на прак-
тике соответствуют определенные процентные ставки.
Это, во-первых, обычная ставка процентов – rote of
interest, которая рассчитывается как отношение дохода,
полученного за определенный период времени к величине капитала, предоставляемого в кредит. Во-вторых,
учетная (антисипативная) ставка – discount rote. Учетная
ставка рассчитывается, как отношение дохода, полу-
ченного за определенный период времени к ожидаемой
сумме погашения долга.
В экономической литературе первый показатель
также называют «процентная ставка», «процент»,
«рост», «ставка процента», «норма прибыли», «доходность», а второй – «учетная ставка», «дисконт».
В зависимости от условий проведения финан-
совых операций, начисление процентов может
21
осуществляться с применением простых, либо сложных
процентов.
Простые проценты, как правило, используются
в краткосрочных финансовых операциях, срок проведения которых меньше года. Базой для исчисления
процентов за каждый период в этом случае служит
первоначальная (исходная) сумма сделки.
Сложные проценты широко применяются в долгосрочных финансовых операциях со сроком проведения более одного года. Однако могут быть исполь-
зованы и в краткосрочных финансовых операциях, если
это предусмотрено условиями сделки. При этом база для
начисления процентов меняется за счет присоединения
ранее начисленных процентов, т. е. она включает в себя
как исходную сумму сделки, так и сумму уже
накопленных к этому времени процентов.
Проценты либо выплачиваются кредитору по
мере их начисления, либо присоединяются к сумме
долга. Процесс увеличения денег в связи с при-
соединением процентов к сумме долга называют
наращением или ростом первоначальной суммы.
Процентные ставки, указываемые в контрактах,
могут быть постоянными или переменными («пла-
вающими»). Плавающие ставки часто применяются во
внешнеэкономических операциях. В этом случае
значение ставки равно сумме некоторой базовой
величины и надбавки к ней (маржи). Размер маржи
определяется рядом условий (сроком операции и т. д.),
он обычно находится в пределах 0,5–5%. Примером
базовой ставки может служить лондонская межбанковская ставка ЛИБОР (LIBOR – London interbank
offered rate) или московская межбанковская ставка
МИБОР.
22
Историческая справка о ставках
В Германии базовая процентная ставка
колебалась в диапазоне от 90% до 2% в периоды 19202000 гг.
В Великобритании – 0,5 – 15% в 1989-2009 гг.
В США ставка ФРС США в 1995-2008 гг.
варьировала между 19% и 0,25%.
В Зимбабве в период гиперинфляции 2007 г.
кредитная ставка доходила до 800%.
Практика расчетов процентов основывается на
теории наращения денежных средств по арифметической или геометрической прогрессии. Арифме-
тическая прогрессия соответствуют простым процентам,
геометрическая – сложным.
Таким образом, мы научились распознавать
и решать четыре типа задач на процентные вычисления;
ознакомились с основными методами ценообразования.
Практика расчетов процентов основывается на теории
наращения денежных средств по арифметической или
геометрической прогрессии. Арифметическая прогрессия соответствуют простым процентам, геометрическая – сложным.
Контрольные вопросы:
1. Какие задачи ставит и решает финансовая
математика?
2. Что означает принцип не равноценности денег,
относящихся к разным моментам времени?
3. Какую роль играет время в финансовых
расчетах?
4. Как учитывается время в финансовой мате-
матике?
5. В чем состоит главное отличие финансовой
математики от бухучета?
23
6. Каковы основные типы моделей в финансовой
математике?
7. Каковы основные виды процентных ставок?
8. Каковы методы начисления процентов?
9. Каковы основные направления финансовых
расчетов?
Лекция № 2.
Тема: Простые проценты
Цель: ознакомить обучающихся с понятием
простых процентов, особенностями их начисления,
с простыми ставками ссудных процентов и изучить
особенности банковского депозита под простые
проценты.
Основные вопросы:
1. Определение простых процентов.
2. Простые ставки ссудных процентов.
3. Банковский депозит под простые проценты.
Список ключевых терминов: простая ставка
процента, сумма наращения, ставки ссудных процентов.
Аннотация. В лекции рассказано о методиках
начисления простых процентов. Рассмотрены основные
типы задач на простые проценты. Представлены основ-
ные формулы для вычисления различных параметров
простых процентов. Рассмотрен процесс перевода
«разов» в «проценты» и «процентов» в «разы».
Деньги – это особый товар, который выполняет
функцию обмена для товаров и услуг и служит универ-
сальным эквивалентом для выражения их стоимости.
Согласно теории монетаризма, количество денег
в обращении является определяющим фактором развития экономики. Имеющиеся у человека или корпо-
24
рации деньги можно направить на потребление или
сбережение. Пассивное сбережение выводит деньги из
экономики. Инвестирование – это способ возврата сбе-
режений в денежный оборот. Оно может происходить
напрямую или косвенно, когда инвестирует финансовый
институт, в котором хранятся сбережения. При
инвестировании денег важную роль играет фактор
времени: используемые в течение некоторого времени
деньги должны приносить владельцу этих денег определённый доход, зависящий от длительности их исполь-
зования. Величину дохода измеряют в процентах от
суммы используемых денег. Практикуются два способа
расчета процентов: начисление простых процентов
и начисление сложных процентов. В этой лекции мы
рассмотрим вопросы, связанные с начислением простых
процентов.
1. Определение простых процентов
Если сумма P увеличивается на , то полу-
ченная в результате сумма называется наращенной
суммой и вычисляется по формуле:
(2.1)
При этом величина P называется исходной
суммой, а – суммой начисленных процентов.
Пример. РНКБ выплачивает по пенсионным
вкладам 3,5% годовых (простые). Вычислим, какая
сумма будет через год на счете пенсионера, положившего на счёт 1,200 руб. в начале года.
Решение. Через год на счету пенсионера будет
сумма:
Если имеется несколько периодов времени,
в каждый из которых исходная сумма увеличивается
на , то говорят, что на сумму начисляются простые
25
проценты. Наращенная сумма , полученная в резуль-
тате начисления n раз по r% на сумму P, выражается
формулой:
(2.2)
Формула, выражающая наращенную сумму при
начислении простых процентов, получена при условии,
что число n периодов начисления процентов – целое.
Однако это не обязательное условие, любое поло-
жительное (не обязательно целое) число периодов.
Необходимость начисления процентов за нецелое число
периодов встречается в практике финансовых расчетов
часто.
Например, на депозит, пролежавший в банке 3
года и 3 месяца, банк должен начислить проценты за
3,25 периода.
Например, если депозит пролежал в банке 2 года
16 дней, то
Для сравнения различных условий кредитования
финансисты приводят ставку процента за произвольный
период к годовой. Это правило в большинстве стран
закреплено законом. Например, если банк даёт
простых в год, то это соответствует квартальной ставке
. Таким образом, при , имеем
.
Когда в статистических отчётах, публицистике
и в обыденной жизни сообщается об изменении какого-
либо показателя, то это изменение в одних случаях
указывается в процентах, а в других – в разах. И порой
возникает путаница при переводе процентов в разы и
разов в проценты.
Приведём схематичное изображение этого
правила:
26
Рост на
Рост в
раз
Уменьшение на
Уменьшение в
раз
Пример. В газете можно увидеть заголовок:
«Зарплата россиян за 1,5 года выросла в 1,5 раза». На
сколько процентов увеличилась зарплата россиян за
рассматриваемый период?
Решение. Обозначим через x среднюю зарплату
в России в начале рассматриваемого периода. Тогда из
условия следует, что в конце рассматриваемого периода
средняя зарплата составила 1.5x. Следовательно,
зарплата увеличилась на
Переведем величину увеличения зарплаты в про-
центы от зарплаты и получим, что зарплата увеличилась
на 50%:
Для перевода разов в проценты введем новое
понятие.
Коэффициент изменения – положительное
число, на которое надо умножить начальное значение
показателя, чтобы получить его конечное значение. При
увеличении значения показателя коэффициент изменения будет больше 1, а при уменьшении – меньше 1.
С учетом сказанного можно сформулировать единое
правило перевода процентов в коэффициент изменения:
при переводе процентов в коэффициент изменения
нужно, рассматривая процент как десятичную дробь,
прибавить 1.
Пример. Цена акции уменьшилась за год на 20%.
Вычислим, чему равен коэффициент изменения цены
акции.
27
Решение. Обозначим через x цену акции в начале
Рост в раз
Рост на
Уменьшение в
раз
Уменьшение на
года. По условию цена акции в конце года составила
. Следовательно, коэффициент изме-
нения цены акции равен 0.8.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда имеет место
уменьшение значения некоторого показателя x, которое
выражается в разах. Предположим, что это значение
уменьшилось в k раз. Это означает, что новое значение
показателя равно
и составляет
процентов от
исходного значения. Соответственно, значение
показателя изменилось на
Таким образом, при уменьшении значения неко-
торого показателя правило перевода разов в проценты
может быть сформулировано следующим образом: при
переводе k разов в проценты нужно выразить
в процентах дробь (k-1)/k.
Приведем теперь схематичное изображение
общего правила перевода разов в проценты:
цифрового фотоаппарата уменьшилась в три раза.
Вычислим, на сколько процентов уменьшилась цена.
правило перевода при k = 3:
уменьшилась на 66,67%.
Пример. За два года цена некоторой модели
Решение. Используем приведенное выше
Следовательно, за два года цена фотоаппарата
28
2. Простые ставки ссудных процентов
Простые ставки ссудных (декурсивных) про-
центов применяются обычно в краткосрочных финан-
совых операциях, когда интервал начисления совпадает
с периодом начисления и составляет, как правило, срок
менее одного года, или когда после каждого интервала
начисления кредитору выплачиваются проценты.
Дата выдачи и дата погашения ссуды всегда
считаются за один день.
В зависимости от того, чему принимается равной
продолжительность сделки, размер процентной ставки
может быть различным. При этом возможны два
варианта:
– (точный процент): используется точное число
дней ссуды, определяемое по специальной таблице, где
показаны порядковые номера каждого дня года; из
номера, соответствующего дню окончания займа,
вычитают номер первого дня. В году принимается 365366 дней, в квартале 89-92 дня, в месяце 28-31 день;
– (обыкновенный процент): берется прибли-
зительное число дней ссуды, когда продолжительность
полного месяца принимается равной 30 дням; этот метод
используется, когда не требуется большая точность,
например, при частичном погашении займа. Приближенное число дней в году – 360, в квартале – 90.
Исходя из сказанного, расчёт может выполняться
тремя способами:
– обыкновенный процент и точное число дней
365/366 (Бельгия, Франция);
– обыкновенный процент и приближенное число
дней 360 (Германия, Дания, Швеция);
– точный процент и точное число дней 365/366.
При антисипативном способе начисления про-
центов сумма получаемого дохода рассчитывается
29
исходя из суммы, получаемой по прошествии интервала
начисления (т. е. из наращенной суммы). Эта сумма
и считается величиной получаемого кредита (или
ссуды). Проценты начисляются в начале каждого
интервала начисления, заемщик получает эту сумму за
вычетом процентных денег. Такая операция называется
дисконтированием по учетной ставке, а также коммерческим или банковским учетом.
Антисипативный способ начисления простых
процентов. Сумма получаемого дохода рассчитывается
исходя из наращенной суммы S. S – это величина
получаемого кредита. Заемщик получает в начале
периода начисления процентов сумму ,
где D – это дисконт (разность между размером кредита S
и непосредственно выданной суммой Р). Такая операция
называется дисконтированием по простой учетной
ставке (банковским учетом). На практике простые
учетные ставки применяются при учете (покупке)
векселей.
3. Банковский депозит под простые проценты
Формула (2.2) связывает между собой четыре
величины: и . С помощью этой формулы,
выделив любые три из них и задав их значения, можно
вычислить значение четвертой величины. Таким
образом, имеем четыре типа задач, соответствующих
четырём возможным способам выделения трех объектов
из четырех: определение величины наращенной суммы,
определение величины необходимой исходной суммы,
определение необходимого срока хранения и определение процента.
Процесс, в котором по заданной исходной сумме
и процентной ставке необходимо найти ожидаемую
в будущем к получению сумму, в финансовых вычислениях называется процессом наращения.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]