Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы финансовых вычислений. Курс лекций
.pdf
При учетной ставке получаем:
руб.
Необходимо помнить, что эквивалентность
процентной и учетной ставок устанавливается только
для определенного периода времени . Формулы (3.8)
получены при . В общем случае они принимают
вид:
,
(3.8)
3. Приведение ценности денег
к одному моменту времени
В теории и на практике приходится решать
вопрос о том, как соотносятся между собой суммы
денег, полученные в различные моменты времени.
Финансовая теория в этом вопросе придерживается
принципа невозможности межвременного арбитража:
ценность суммы денег в фиксированный момент
в будущем эквивалентна такой сумме денег в текущий
момент времени, которая будучи подходящим образом
использована на финансовом рынке, принесет ровно
сумму на рассматриваемый будущий момент времени.
Вопрос о том, что следует понимать под подходящим
использованием, является одной из серьезных задач
теории корпоративных финансов. Достаточно отметить,
что здесь необходимо учитывать такой фактор финан-
сового рынка как риск – различное использование денег
связано и с принятием инвестором различного риска.
В простейшей постановке, принятой в этой книге,
предполагается, что операции носят безрисковый
характер.
Вычисление приведенной ценности суммы денег
называется дисконтированием этой суммы. Термин
«приведенная» ценность не носит абсолютного характера – в качестве момента приведения (или точки
41
отсчёта) в расчётах может быть взят любой момент
времени. Обычно понятие приведённой ценности применяется к потоку платежей (во времени).
Такой подход используют для определения экви-
валентности контрактов. Два контракта называют
эквивалентными, если приведенные ценности потоков
платежей по этим контрактам равны. Рассмотрим
пример.
Пример. Фирма обязалась заплатить за полу-
ченное от города производственное помещение
руб. через лет и еще руб. через
лет от настоящего момента. Фирма желает рассчитаться
быстрее: уплатить руб. через 3 года, а осталь-
ной долг выплатить через лет (от настоящего
момента). Вычислим, какая сумма должна быть выплачена через 7 лет, если на деньги используется простая
учетная ставка в 8%.
Решение. Изобразим суммы (в тыс. руб.)
первого контракта над осью времени, а второго – под
осью. Стрелкой внизу указан момент времени, который
выбран за точку отсчёта (рис. 3.3).
Рисунок 3.3 – Ось времени с потоком сумм
контрактов.
Дисконтируя все суммы на момент 0, находим
приведенные к моменту 0 ценности этих сумм:
42
Контракты эквивалентны, если выполнено
равенство
. Из этого равенства
получаем уравнение:
решив которое, находим значение x:
Следовательно, сократив сроки платежей, фирма
уменьшила суммарные выплаты с руб. до
руб.
Заметим, что аналогичные размышления можно
использовать при работе как с простыми процентами,
так и сложными и со сложной учетной ставкой.
Таким образом, мы рассмотрели вопросы опе-
раций с векселями по простым учетным ставкам,
приведенной ценности денег к одному моменту времени, эквивалентности учетной и процентной ставок.
Научились на частном примере сравнивать эквива-
лентность контрактов. Также нашли зависимость между
процентной и учетной ставками.
Контрольные вопросы:
1. Что характерно для антисипативного способа
начисления процентов?
2. Что представляет собой дисконт?
3. От чего зависит величина дисконта?
4. С какой целью составляют уравнения эквива-
лентности?
5. При каком условии учетные и ссудные ставки
будут эквиваленты?
6. В каких сделках используются учетные
ставки?
7. Как рассчитать дисконтный период?
43
Лекция № 4.
Тема: Сложные проценты
Цель: изучить вопросы, связанные со сложными
процентами: их определение, основные задачи на
сложные проценты, непрерывное начисление сложных
процентов, эффективная процентная ставка.
Основные вопросы:
1. Определение сложных процентов.
2. Основные задачи на сложные проценты.
3. Непрерывное начисление сложных процентов,
эффективная процентная ставка.
Список ключевых терминов: множитель наращения, непрерывное начисление процентов, период,
сила роста, сложный процент, эффективная ставка.
Аннотация. В лекции рассматривается задача
определения сложных процентов. Изучаются приемы
решения основных задач на сложные проценты.
Исследуется особенность непрерывного начисления
сложных процентов, вводится понятие эффективной
процентной ставки.
Оценку дохода, который приносят вложенные
в экономику деньги, принято проводить с помощью
начисления процентов на первоначально вложенную
сумму. Существует два основных способа начисления
процентов: простые проценты и сложные проценты.
В этой лекции рассматриваются вопросы, связанные
с начислением сложных процентов.
1. Определение сложных процентов
Предположим, что владелец депозитного счёта,
на который начисляется простых в год, по истечении
каждого года изымает вклад вместе с начисленными
44
процентами и тут же вновь открывает новый депо-
зитный счёт на всю полученную сумму. В результате
проценты в каждом следующем году будут начисляться
не только на начальную сумму, но и на начисленные
в предыдущем году проценты. Через лет, таким
образом, будет накоплена сумма , равная
,
где – сумма первоначального вклада. Формула
(4.1) называется формулой сложных
процентов для n лет.
Чтобы не заниматься бессмысленным перео-
формлением вкладов и иметь возможность вкладывать
деньги в длительные проекты, банкиры уже давно стали
использовать сложные проценты. Говорят, что Альберт
Эйнштейн, открывший миру теорию относительности
и считавшийся наиболее оригинальным умом планеты,
считал сложный процент одним из чудес этого мира.
Поясним, как получается формула (4.1). В конце
первого периода к исходной сумме прибавляется
сумма . Наращенная сумма будет равна:
.
В конце второго периода к имеющейся сумме
прибавляется сумма . Наращенная
сумма составит:
.
Аналогично, к концу третьего периода будем
иметь наращенную сумму
. и к концу -го
года наращенная сумма будет равна:
(4.1)
Пример. Банк начисляет ежегодно 8% сложных.
Клиент положил в этот банк 20 000 руб. Какая сумма
будет на его счёте через 5 лет?
Решение. Применяя формулу (4.1), находим
наращенную сумму S при
45
Заметим, что если бы банк выплачивал 8%
простых, то через пять лет на счёте была бы меньшая
сумма:
.
Множитель (1+i) называется множителем
наращения. В докомпьютерные времена при финан-
совых расчётах использовали специально составленные
таблицы множителя наращения для различных значений
и . Ознакомиться с таблицами можно по ссылке
http://www.mathtask.ru/0049-finacial-tables.php.
Формула (4.1) имеет смысл и при отрицательном
значении процента . В таком случае первоначальная
сумма денег со временем уменьшается. Это умень-
шение не всегда носит негативный характер, а может
описывать естественный процесс уменьшения ценности,
как, например, при амортизации по методу фиксированного процента.
На рисунке 4.1 приведены графики функций
y = и
, которые наглядно
показывают соотношение между коэффициентами нара-
щения при простом и сложном процентах при
различных n.
При начислении процентов один раз за период
при наращенная сумма при сложных процентах
больше, чем наращенная сумма при простых процентах,
так как верно неравенство:
Но при неравенство меняется на
противоположное:
(4.4)
Заметим, что максимальное превышение
простого процента над сложным достигается при
.
46
Рисунок 4.1 – Сравнение коэффициентов наращения
и
В практике финансовых расчётов ставку сложных
процентов, как правило, указывают за период, равный
году, но начисление сложных процентов может
производиться каждое полугодие, квартал, месяц или
даже день. При этом за каждый такой период, равный
части года, начисляются сложные проценты по ставке
сложных процентов. В этом случае формула (4.1)
примет вид:
, где – длительность
промежутка времени, в течение которого начисляются
сложные проценты ( измеряется в годах). Например,
в случае одного квартала .
(4.2)
Пример. Решим предыдущий пример при
и при .
47
Решение. Применяем формулу при ,
получаем:
Применяем формулу (4.3) при , получаем:
Мы видим, что при увеличении числа периодов
начисления процентов при той же годовой процентной
ставке наращенная сумма, полученная за одно и то же
время, увеличивается.
2. Основные задачи на сложные проценты
При использовании сложных процентов встре-
чаются те же четыре типа задач, которые были
рассмотрены для простых процентов. Задача первого
типа встретилась в предыдущих примерах. Из (4.1)
выведем формулы для основных задач на сложные
проценты.
(4.3)
Выразим :
Выразим :
(4.4)
48
(4.5)
Аналогично выводятся формулы для случая
начисления процентов раз в год из (4.2).
(4.6)
Выразим :
(4.7)
Выразим :
(4.8)
В следующих примерах решаются задачи трех
типов.
Пример. Какую сумму следует вложить в банк,
выплачивающий , чтобы получить руб.
через 4 года 6 месяцев?
Решение. Применим формулу (4.6) при
,:
руб.
49
Пример. Под какую процентную ставку следует
вложить руб., чтобы через 2 года получить
руб.?
Решение. Применим формулу (4.3) при
:
Пример. Банк начисляет ежегодно сложных.
Клиент положил в этот банк руб. Через
несколько лет на его счету была сумма, равная
руб. Сколько лет начислялись проценты
Решение. Используем формулу (4.6) при S=29
386.56,P=20 000 и i=0.08:
лет.
3. Непрерывное начисление сложных процентов,
эффективная процентная ставка
Сумма, наращенная за лет при постоянной
процентной ставке , с увеличением числа увели-
чивается (этот результат доказывается в общем виде в
курсе высшей математики). При неограниченном
увеличении наращенная сумма
стремится
к конечному пределу:
Этот факт даёт основание применять так
называемое непрерывное начисление процентов по
годовой ставке . Наращенная за время t сумма
определяется формулой:
(4.9)
Процентная ставка в этом случае называется
силой роста. Иногда силу роста обозначают
.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]