Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации

С уравнениями Гамильтона – Якоби и другими типами уравнений в частных производных первого порядка имеют дело многие разделы математики, механики, физики и их приложений. Как правило, функции, имеющие содержательный смысл в рассматриваемых задачах, не яв­ляются достаточно гладкими, чтобы удовлетворять этим уравнениям в классическом смысле. Таким образом, возникает необходимость вводить понятие обобщенного решения и развивать теорию и методы построения этих решений. Такие теории активно создаются и развиваются в течение последних 50-ти лет. Среди получивших признание и стремительно развивающих­ся в последнее время концепций: энтропийные решения С.Н. Кружкова, вязкостные решения М. Крэндалла и П. Л. Лионса, обобщенные решения на базе идемпотентного анализа, предло­женные В.П.Масловым.

Приведены теоремы существования, единственности и корректности минимаксных ре­шений, иллюстрационные модельные примеры и приложения к теории оптимального управ­ления и дифференциальным играм, конструктивные и численные методы построения мини­максных решений, а также необходимые факты из теории дифференциальных включений, негладкого анализа и теории классических решений уравнений Гамильтона – Якоби.

Для специалистов в области теории дифференциальных уравнений, динамической оп­тимизации, негладкого анализа и их приложений, а также для преподавателей, студентов и аспирантов соответствующих специальностей.

Г

Г

Пример такой ситуации доставляет функция цены в дифференциаль­ной игре или задаче оптимального управления. Известно, что во всех точках дифференцируемости эта функция удовлетворяет соответствующему урав­нению Гамильтона–Якоби–Беллмана–Айзекса. С другой стороны, хорошо известно, что функция цены, как правило, дифференцируема не всюду и потому не является классическим глобальным решением. Таким образом, в этом случае, как и во многих других, где используются УЧП первого по­рядка, возникает необходимость вводить понятие обобщенного решения, а также развивать теорию и методы построения таких решений.

Однако в этой книге мы развиваем другой подход, который может быть рассмотрен, как неклассический метод характеристик. Следуя этому под­ходу, обобщенное решение (называемое минимаксным) должно быть ин­вариантно относительно потока, порождаемого так называемыми характе­ристическими дифференциальными включениями. Термин «минимаксные решения» имеет истоки в теории дифференциальных игр. В ранние 70-е Н. Н. Красовский и автор настоящей книги ввели в рассмотрение понятие u-стабильных и v-стабильных функций, которые мажорировали и минори­ровали функцию цены (см., например, [118, 120, 122]). Функция цены диф­ференциальной игры является единственной функцией, которая одновре­менно u-стабильна и v-стабильна. Известно также, что в точках дифферен­цируемости функция цены удовлетворяет УЧП первого порядка (уравнению Айзекса–Беллмана). Таким образом, упомянутые свойства определяют од­но и только одно обобщенное (минимаксное) решение уравнения Айзекса – Беллмана. Эти свойства u-стабильности и v-стабильности могут быть фор­мализованы различными способами, в частности, с помощью неравенств для производных по направлению. Такие неравенства были введены в ста­тьях [192, 203], которые были опубликованы в 1978 и 1980 годах. Вполне вероятно, они были первыми работами, где понятие обобщенного решения УЧП первого порядка определялось путем замены этого уравнения парой дифференциальных неравенств.

Использование термина «минимаксные решения» объясняется посто­янным присутствием операций минимакса в исследованиях этих решений, включая хорошо известные формулы Хопфа [90], и в исследованиях, ба­зирующихся на идемпотентном анализе, которые проводились в последние годы В. П. Масловым, В. Н.Колокольцовым и С. Н. Самборским. Концепция обобщенного решения, предложенная в работах этого направления (см., на­пример, [102, 147]), подобна классическим подходам к определению обоб­щенного (слабого) решения в математической физике. Основное отличие состоит в том, что традиционная структура поля над R с операциями a + b и a · b заменяется структурой полукольца с операциями a ⊕ b =min(a, b), a b = a + b. Следуя этому подходу, «скалярное произведение» функций f и g определено равенством f,g =inf