Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации
.pdf
ВВЕДЕНИЕ 11
ждения были существенными для меня. Я благодарен А. Г. Иванову за его
помощь при подготовке графических иллюстраций.
Обозначения
Ниже приняты следующие обозначения:
n
R
— n-мерное евклидово пространство с элементами x =(x1,...,xn);
n
x, y =
— скалярное произведение векторов x, y ∈ Rn; x = x, x
норма вектора x ∈ R
n
.
Замыкание, граница и выпуклая оболочка множества G ⊂ R
чаются через
G, ∂G и co G соответственно;
B(y; r)={x ∈ R
— евклидов шар радиуса r с центром в точке y;символB
шар {x ∈ R
n
: x r}. Мы обозначаем отрезки прямой R1, соответствен-
но, — открытый, замкнутый и полуоткрытые через (a, b), [a, b], (a, b], [a, b).
Мы также используем обозначение R
Для вещественной функции R
мы обозначим через Arg min
ющих и максимизирующих элементов, т. е.
Arg min
Arg max
h(x)={x0∈ X : h(x0) h(x) ∀x ∈ X},
x∈X
h(x)={x0∈ X : h(x0) h(x) ∀x ∈ X}.
x∈X
h(x) и Arg max
x∈X
Символами sup h(X) и inf h(X) обозначены
sup h(X )= sup
x∈X
Символы gr u (соответственно, epi u, hypo u) обозначают график (соответственно, надграфик и подграфик) функции u : G → R. А именно,
gr u = {(x, z): z = u(x),x∈ G},
epi u = {(x, z): z u(x),x∈ G},
hypo u = {(x, z): z u(x),x∈ G}.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда фундаментальных исследований, грант №93-011-16032.
xiy
i
i=1
1/2
n
: x − y r}
+
=[0, ∞).
n
x → h(x) ∈ R имножестваX ⊂ R
h(x) множества минимизиру-
x∈X
h(x), inf h(X)= inf
x∈X
h(x).
—евклидова
n
обозна-
обозначает
r
n
ГЛАВА I
Обобщенные характеристики уравнений
в частных производных первого порядка
1. Классический метод характеристик
В данной главе мы вводим понятие минимаксного решения уравнения в частных производных первого порядка. Предлагаемое определение
базируется на свойстве слабой инвариантности графика обобщенного решения относительно системы дифференциальных включений, которые мы
будем называть характеристическими включениями. Это свойство может
быть описано с помощью различных по форме критериев, которые сформулированы ниже в параграфах 2 и 3. Эквивалентность этих критериев и
эквивалентность минимаксных и вязкостных решений доказаны в параграфе 4.
В силу того, что предлагаемый в этой книге подход можно рассматривать как обобщение и развитие классического метода характеристик, в
данном параграфе мы напомним факты, связанные с этим классическим
методом, которые будут стартовой точкой и смогут подсказать разумные
идеи, необходимые для определения минимаксного решения. Мы приведем
здесь схему построения классического решения в задаче Коши с помощью
метода характеристик. Рассмотрим также пример, в котором классический
метод дает локальное решение, непродолжимое на все пространство. Этот
пример иллюстрирует необходимость рассмотрения обобщенных (негладких) решений.
1.1. Задача Коши для уравнений в частных производных первого
порядка
Напомним постановку задачи Коши в классической теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. В (n +
+1)-мерном пространстве переменных (x, z) мы фиксируем (n −1)-мерное
начальное многообразие C
ний
x = x
, заданное параметрически с помощью уравне-
0
(y),z= z0(y),y∈ R
0
n−1
,
1. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК 13
где y → x0(y): R
n−1
→ Rnи y → z0(y): R
n−1
→ R — непрерывно
дифференцируемые функции. Для простоты изложения мы предполагаем,
что многообразие C
странство R
n−1
взаимнооднозначно проектируется на евклидово про-
0
. В общем случае многообразие C0снабжено системой ло-
кальных координат (атласом карт).
Задача Коши формулируется следующим образом: найти непрерывно
дифференцируемую функцию x → u(x), определенную на открытом множестве X ⊂ R
n
,такую,что
F (x, u(x),Du(x)) = 0,x∈ X, (1.1)
{(x, u(x)): x ∈ X}⊃C
= {(x0(y),z0(y)) : y ∈ R
0
Здесь F (x, z, s) — вещественная функция, определенная на R
n−1
}. (1.2)
n
× R × Rn.
Напомним, что
Du := (∂u/∂x
,...,∂u/∂xn)
1
— градиент функции u.
При использовании метода характеристик, мы предполагаем, что
n
в R
× R ×Rnсуществуют непрерывные производные
F := (∂F/∂x1,...,∂F/∂xn),DzF := ∂F/∂z,
D
x
D
F := (∂F/∂s1,...,∂F/∂sn).
s
Заметим, что основные результаты для обобщенных решений будут
получены при существенно более слабых предположениях об уравнении и
начальном условии.
1.2. Характеристическая система
Один из основных результатов классической теории уравнений в частных производных первого порядка утверждает, что при определенных предположениях решение задачи Коши (1.1), (1.2) может быть сведено к интегрированию характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений
˙x = D
F (x, z, s),
s
˙s = −D
˙z = s, D
F (x, z, s) − DzF (x, z, s)s,
x
F (x, z, s).
s
(1.3)
Заметим, что функция F является интегралом системы (1.3), т. е. она
сохраняет постоянное значение F(x(t),z(t),s(t)) = const вдоль любого
решения t → (x(t),z(t),s(t)) системы (1.3).
14 ГЛАВА I
Предполагается, что для любого значения параметра y ∈ R
ствует единственный вектор s = s
(y), удовлетворяющий системе n урав-
0
нений
F (x
(y),z0(y),s0(y)) = 0,
0
(y)
∂z
0
−
∂y
i
Более того, функция y → s
∂x
(y)
0
,s0(y)=0,i∈ 1,n− 1. (1.4)
∂y
i
n−1
(y): R
0
→ Rnпредполагается достаточно
гладкой.
Рассмотрим решения (x(t),z(t),s(t)) системы (1.3), которые удовле-
творяют условию
n−1
суще-
(x(0),z(0),s(0)) = (x
Обозначим эти решения, зависящие от параметра y ∈ R
(y),z0(y),s0(y)).
0
n−1
,через
(x(t, y), z(t, y), s(t, y)). Отображение
(t, y) → (x(t, y), z(t, y), s(t, y))
определено на некотором открытом множестве D ⊂ R
гиперплоскость {(0,y): y ∈ R
n−1
}.
n
, которое содержит
Предположения, используемые в методе характеристик, влекут, что
функции x и z дважды непрерывно дифференцируемы на множестве D,
а отображение (t, y) → x(t, y): D → X взаимно однозначно, так что мы
можем ввести функцию
u(x)=z(τ(x),ξ(x)),x∈ X, (1.5)
где X := {x(t, y): (t, y) ∈ D}, x → (τ(x),ξ(x)): X → D —обратное
отображение к отображению x.
Функция u(x), сконструированная таким образом, является решением
задачи (1.1), (1.2). Доказательство этого факта приведено в приложении,
в параграфе A1, где также указаны книги, которые содержат подробное
изложение классического метода характеристик.
Напомним следующий геометрический факт. Рассмотрим
gr u := {(x, u(x)) : x ∈ X
},
т. е. график сконструированной функции u(x). Из приведенных построений видно, что для любой точки (x
значение параметра y
рез точку (x
∗,z∗
, такое, что траектория (x(·,y∗), z(·,y∗)) проходит че-
∗
). Таким образом, можно сказать, что график функции u
) ∈ gr u существует единственное
∗,z∗
1. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК 15
составлен с помощью параметризованного семейства графиков траекторий (x(·,y), z(·,y)).
Хорошо известно, что во многих приложениях, связанных с задачей
Коши и другими краевыми задачами для уравнений в частных производных первого порядка, классического решения не существует. Как правило,
метод характеристик не приложим к таким задачам, потому что отображение (t, y) → x(t, y) не является взаимнооднозначным (характеристики пере-
секаются). Имеются различные подходы к определению и методам исследования обобщенных решений. Конструкции, предложенные в данной книге
для определения обобщенного (минимаксного) решения, могут рассматриваться как обобщение и развитие классического метода характеристик.
1.3. Задача Коши для уравнений Гамильтона – Якоби. Метод
характеристик
Рассмотрим следующую задачу: найти непрерывную функцию u(t, x),
определенную в области
в открытой области G := (0,θ) ×R
G := [0,θ] × Rn, непрерывно дифференцируемую
∂u
+ H(t, x, u, D
∂t
n
, удовлетворяющую уравнению
u)=0, (t, x) ∈ G (1.6)
x
иусловию
u(θ, x)=σ(x),x∈ R
n
. (1.7)
Здесь
u =(∂u/∂x1,...,∂u/∂xn)
D
x
— градиент функции u относительно переменной x. Функция H(t, x, z, s)
называется гамильтонианом. Она определена и непрерывна для (t, x, z, s) ∈
∈ [0,θ] ×R
n
× R ×Rn. Более того, в настоящем параграфе функции H и σ
предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми. Эти предположения используются в классическом методе характеристик.
Заметим, что с недавних пор термин «уравнение Гамильтона– Якоби»
часто используется для всех уравнений в частных производных первого
порядка. Мы подразумеваем под уравнением Гамильтона– Якоби уравнение
вида (1.6). Отметим также, что решение задачи Коши должно удовлетворять
начальному условию
n
u(0,x)=σ(x),x∈ R
.
Мы в данной книге предполагаем, что задано терминальное условие (1.7)
(что более удобно для предлагаемых конструкций).
16 ГЛАВА I
Напоминаем, что, согласно методу характеристик, классическое решение задачи (1.6), (1.7) может быть сконструировано следующим образом.
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
˙x = D
H(x, t, z, s),
s
H(x, t, z, s) − DzH(x, t, z, s)s,
x
H(x, t, z, s)−H(x, t, z, s).
s
(1.8)
Здесь x ∈ R
˙s = −D
˙z = s, D
n
, s ∈ Rn, z ∈ R, т. е. система (1.8) состоит из 2n +1уравнений. Эта система называется характеристической системой для уравнения
Гамильтона– Якоби. Для задачи Коши (1.6), (1.7) решения характеристической системы должны удовлетворять при t = θ условиям
x(θ)=y, s(θ)=Dσ(y),z(θ)=σ(y), (1.9)
где y ∈ R
n
— значение параметра.
Пусть
t → (x(t, y), s(t, y), z(t, y)): [0,θ] →R
n
× Rn× R
— такое решение характеристической системы (1.8), которое удовлетворяет
условию (1.9).
Основным предположением, при котором классический метод характеристик применим для конструирования решений задачи (1.6), (1.7), является
предположение о том, что отображение y → x(t, y) взаимно однозначно. Та-
ким образом, предполагается, что существует достаточно гладкая функция
(t, x) → y(t, x),
такая, что
x(t, y(t, x)) = x, ∀(t,x) ∈[0,θ] × R
n
.
Если это предположение выполняется, то функция
u(t, x)=z(t, y(t, x)), (t, x) ∈ [0,θ] ×R
n
(1.10)
является решением задачи (1.6), (1.7) (см. приложение, параграф A1, содержащий доказательство классического метода характеристик).
Однако указанное предположение, как правило, не выполняется. Ниже, в простом примере, отображение y → x(t, y) взаимнооднозначно
для t,близкихкθ, но это свойство не выполняется для достаточно больших θ −t.
1.4. Пример
1. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК 17
Пусть
H(t, x, z, s)=
1+s2,σ(x)=
2
x
,
2
0 t θ =2, x ∈ R, s ∈ R. Таким образом, рассмотрим следующую
задачу Коши
∂u
∂t
+
1+
2
∂u
=0,u(2,x)=
∂x
2
x
. (1.11)
2
Характеристическая система (1.8) для этой задачи имеет вид
˙x =
√
s
, ˙s =0, ˙z =
2
1+s
√
− 1
1+s
.
2
В силу (1.9), решения рассматриваемой системы должны удовлетворять
краевым условиям
2
x(θ)=y, s(θ)=y, z(θ)=
y
,
2
где y ∈ R — параметр. Следовательно, решения характеристической системы с указанными краевыми условиями описываются формулами
2
(t −2)
y
−
2
1+y
.
2
x(t, y)=y +
(t −2)y
1+y
, s(t, y)=y, z(t, y)=
2
На рис. 1.1 изображены характеристики t → x(t, y) для значений пара-
метра y
= −1.9+iδ, i ∈ 0, 30, δ =1.9/15.
i
Видно, что эти характеристики не пересекаются при 1 <t 2.Вобласти D = {(t, x): 1 <t 2,x∈ R} уравнение x = x(t, y) имеет един-
ственное решение y(t, x). Функция u(t, x)=z(t, y(t, x)) непрерывно диф-
ференцируема в области D. В соответствии с методом характеристик, эта
функция является локальным классическим решением задачи Коши (1.11).
На рис. 1.2 изображена поверхность (ласточкин хвост), описываемая
параметрическими равенствами
x = x(t, y):=y +
2
z = z(t, y):=
y
2
(t −2)y
1+y
(t −2)
−
, (1.12)
2
. (1.13)
2
1+y
18 ГЛАВА I
Рис. 1.1
Рис. 1.2
Та часть этой поверхности, которая определена в области D,являетсяграфиком локального классического решения задачи (1.11). Эта поверхность
2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ВКЛЮЧЕНИЯ 19
является самопересекающейся в [0, 1) × R. Отметим, что верхняя часть
(верхняя огибающая) этой поверхности совпадает с графиком обобщенного (минимаксного) решения, определенного ниже в пунктах 4.4, 6.3.
Как видно из рис. 1.2, минимаксное решение u(t, x) недифференцируемо при x =0, t ∈ [0, 1). Известно (см. пункт 4.7 ниже), что классическое
решение (если оно существует) совпадает с минимаксным. В рассматриваемом примере минимаксное решение является негладким. Таким образом,
глобального классического решения в задаче (1.11) не существует.
Это геометрическое описание соответствует следующей формальной
конструкции функции u(t,x).ОбозначимчерезY (t, x) множество решений
уравнения (1.12) (заметим, что в данном примере множество Y (t, x) может
содержать от одного до трех элементов). Определим функцию u спомощью
равенства
u(t, x)= max
y∈Y (t,x)
z(t, y), (1.14)
где величина z(t, y) определяется из (1.13). Эта конструкция обосновыва-
ется в пункте 10.4.
В пункте 10.1 будет показано, что минимаксное решение задачи (1.11)
можно также описать с помощью формулы Хопфа
u(t, x)=max
s∈R
xs +(2−t)
1+s2− s2/2. (1.15)
Нетрудно видеть, что формулы (1.14) и (1.15) описывают одну и ту же функцию. Действительно, пусть y — значение параметра s, которое доставляет
максимум в (1.15). Как известно, необходимым условием, которому должно удовлетворять такое значение y, является равенство нулю производной
по s у функции, стоящей в квадратных скобках в формуле (1.15). Таким
образом, максимизирующее значение параметра y удовлетворяет (1.12). Ра-
венство (1.13) может быть получено подстановкой (1.12) в выражение в
квадратных скобках. Итак мы видим, что максимум в (1.15) равен величине, определяемой формулой (1.14).
2. Характеристические включения
Как было сказано выше, существенным свойством обобщенного (минимаксного) решения является инвариантность его графика по отношению
к семейству дифференциальных включений. Мы назовем эти включения
характеристическими. В данном параграфе мы определим понятия характеристических включений и минимаксных решений. Будет показана совместимость классических и минимаксных решений. Мы определим свойства, которые описывают характеристические включения для заданного уравнения
20 ГЛАВА I
в частных производных (УЧП) первого порядка. Эти свойства определяют
характеристическое включение не единственным образом, так что любое из
таких включений может быть использовано при определении минимаксного
решения. Это дает нам возможность рассматривать понятие минимаксного
решения с различных точек зрения. Эквивалентность различных определений будет доказана в параграфе 4.
2.1. Основные предположения
Рассмотрим следующее уравнение в частных производных первого порядка
F (x, u(x),Du(x)) = 0,x∈ G ⊂ R
где G —открытоемножествовR
(x, z, s) → F(x, z, s): G ×R × R
n
→ R непрерывна и удовлетворяет усло-
n
. Мы предполагаем, что функция
n
, (2.1)
вию Липшица по переменной s
|F (x, z, s
) −F(x, z, s)| ρ(x, z)s− s∀s,s∈ Rn, (2.2)
где функция ρ(x, z) непрерывна на G × R. Предполагается, что функция z → F (x, z, s) — невозрастающая, т.е.
,s) F (x, z,s) ∀z z, (x, s) ∈ G × Rn. (2.3)
F (x, z
Предположение (2.2) позволяет нам упростить определение минимаксного решения, но оно может быть ослаблено (см. пункт 4.11 ниже). Предположение (2.3) применяется при доказательстве различных форм определения минимаксного и вязкостного решений, оно используется также при
доказательстве базовых теорем существования и единственности. Заметим,
что это условие выполняется в большинстве проблем, возникающих в теории оптимального управления и дифференциальных играх.
2.2. Определение
Функция u: G → R называется минимаксным решением уравнения (2.1), если для него выполняется следующее условие: для любых точки (x
) ∈gr u := {(x, u(x)): x ∈ G} и вектора s ∈ Rnсуществуют чис-
0,z0
ло τ>0 и липшицевая функция (x(·),z(·)): [0,τ] → G × R такие, что
(x(0),z(0)) = (x
), z(t)=u(x(t)) для всех t ∈ [0,τ], и справедливо
0,z0
˙z(t)=˙x(t),s−F (x(t),z(t),s) (2.4)
при почти всех t ∈ [0,τ].
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]