Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации
.pdf
10. КОНСТРУКТИВНЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 111
Заметим, что в этой задаче гамильтониан не зависит от переменных t, x, z,в
отличие от общего случая, рассматривавшегося в предыдущих параграфах.
Если предельная функция σ в рассматриваемой задаче выпукла, то для
минимаксного решения справедлива следующая формула
u(t, x):= sup
s∈R
inf
[σ(y)+s, x −y+(θ −t)H(s)]. (10.3)
n
n
y∈R
Если гамильтониан является выпуклым, то минимаксное решение задается
формулой
u(t, x):= sup
y∈R
inf
[σ(y) −s, y −x+(θ −t)H (s)]. (10.4)
n
n
s∈R
Формулы (10.3) и (10.4) были получены в 1965 г. Э. Хопфом [90]. Он
доказал, что эти формулы определяют обобщенные решения в том смысле,
что функции вида (10.3) и (10.4) удовлетворяют уравнению (10.1) в каждой точке, где эти функции дифференцируемы, то есть почти всюду. Кроме
того, эти функции удовлетворяют краевому условию (в работе [90] рассматривалась задача Коши с начальным условием). Позже, в 1985 г. М.Барди
и Г.Эванс [17] доказали, что функции, определенные формулами Хопфа,
совпадают с вязкостными решениями задачи Коши (10.1), (10.2). В теории
же дифференциальных игр показано, что функция вида (10.3) совпадает с
функцией цены дифференциальной игры с так называемыми простыми движениями (см., например, статью Б. Н.Пшеничного и М. И.Сагайдак [177]).
10.2. Утверждение
Предположим, что выполняются следующие условия:
(C1.1) гамильтониан удовлетворяет условию Липшица
|H(p) −H (q)| λp −q, ∀p, q ∈ R
n
;
n
(C1.2) функция σ : R
→ R выпукла.
Тогда функция
u(t, x):= sup
[s, x +(θ − t)H(s) −σ∗(s)], (10.5)
n
s∈R
(t, x) ∈ (0,θ] ×R
n
является минимаксным решением в задаче (10.1), (10.2).
112 ГЛАВА II
Здесь σ∗— сопряженная функция к функции σ,т.е.
∗
σ
(s):= sup
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как известно из выпуклого анализа, для выпуклой
[s, x−σ(x)]. (10.6)
n
x∈R
функции σ справедливо равенство
σ(x)= sup
Поэтому функция u(t,x) вида (10.5)удовлетворяет краевому условию (10.2).
Сопряженная функция R
прерывной снизу и удовлетворяет оценке σ
[s, x−σ∗(s)].
n
s∈R
n
s → σ∗(s) ∈ (−∞, ∞] является полуне-
∗
(s) a := −σ(0). Предполо-
жим сначала, что множество
∗
dom σ
:= {s ∈ Rn: σ∗(s) < ∞} (10.7)
ограничено. Известно (см., например, [178]), что это предположение справедливо, если функция σ удовлетворяет условию Липшица. Нетрудно доказать, что в этом случае множество
S
(t, x):={s0∈ Rn: s0,x +(θ −t)H(s0) −σ∗(s0)=u(t, x)} (10.8)
0
является непустым и компактным в R
n
. Функция u(t, x) дифференцируема по направлению, и имеет место следующая формула (см. приложение,
параграф A5)
du(t, x;1,f)=max{s, f −H (s): s ∈ S
(t, x)}. (10.9)
0
Докажем, что функция u вида (10.5) удовлетворяет условиям (L5), (U5),
сформулированным в пункте 6.3. Таким образом, требуется доказать, что
имеют место следующие неравенства для производных по направлению
n
sup{du(t, x;1,f) −s, f + H(s): f ∈ R
inf{du(t, x;1,f) −s, f+ H(s): f ∈ R
при всех (t, x) ∈ (0,θ) × R
n
и s ∈ Rn.
} 0, (10.10)
n
} 0, (10.11)
Докажем неравенство (10.10). Справедливы следующие соотношения
[du(t, x;1,f) −s, f + H(s)] =
sup
n
f∈R
=sup
f∈R
=max
s0∈S0(t,x)
max
n
s0∈S0(t,x)
sup
[s0− s, f −H(s0)+H(s)] = max
n
f∈R
[s0− s, f −H(s0)+H(s)] =
s0∈S0(t,x)
κ(s, s0).
10. КОНСТРУКТИВНЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 113
Здесь
κ(s, s
)=
0
0, если s = s
∞, если s = s
,
0
.
0
Таким образом неравенство (10.10) доказано.
Докажем теперь неравенство (10.11). Зафиксируем точку (t, x) ∈
∈ (0,θ) ×R
n
.ОбозначимчерезS0= S0(t, x), Π=rpm(S0),т.е.Π —
набор вероятностных мер, нормализованных на компактном множестве S
Введем обозначение
:=
S
π
Заметим, что S
s
∈ dom σ∗. Из определения множества S0(10.8) следует справедливость
π
⊂ dom σ∗и dom σ∗—выпуклоемножество,поэтому
0
sπ(ds)(π ∈ Π).
S
0
неравенства
s, x +(θ − t)H(s) −σ
при всех s ∈ S
0
и π ∈ Π. Если проинтегрировать это неравенство по мере π,
∗
(s) sπ,x +(θ −t)H(sπ) −σ∗(sπ)
получим
(θ − t)
Функция σ
H(s)π(ds) −
S
0
∗
выпукла, поэтому
σ∗(s)π(ds) (θ − t)H(sπ) −σ∗(sπ).
S
0
σ∗(s)π(ds) σ∗(sπ).
S
0
.
0
Принимая во внимание, что θ −t>0, получаем неравенство
H(s)π(ds) H(sπ),π∈ Π. (10.12)
S
0
Используя (10.9), получаем соотношения
[du(t, x;1,f) −s, f + H(s)] =
inf
f
=inf
max
[s0− s, f −H(s0)+H(s)] =
s
f
0
114 ГЛАВА II
H(s0)π(ds0)+H(s)=
S
0
H(s0)π(ds0)+H(s)
S
0
(a) = inffmax
(b) = max
(c) max
(d) = max
(здесь f ∈ R
s
π
s
inf
π
f
s
inf
π
f
[−κ(sπ,s0)] 0
π
n
, s0∈ S0, π ∈ Π).
− s, f −
π
− s, f −
π
− s, f −H(sπ)+H(s)=
π
Объясним соотношения (a) –(d). Нетрудно проверить, что для любой
непрерывной функции S
ство
max{r(s): s ∈ S
s → r(s) ∈ R справедливо следующее равен-
0
} =max
0
r(s)π(ds): π ∈ Π.
S
0
В частности, функция
S
s0→ r(s0)=s0− s, f −H(s0)+H(s)
0
удовлетворяет равенству (a). Рассмотрим равенство (b). Выражение в квадратных скобках зависит линейно от переменных f и π. Эти переменные
принимают значения из выпуклых множеств R
n
и Π соответственно. Поэтому здесь можно использовать теорему о минимаксе (см., например,
[98, 162]) и поменять местами операции inf и max. Неравенство (c) следует из (10.12). Наконец, неравенство (d) следует из (10.12) и определения
величины κ(s, s
).
0
Таким образом, доказано, что функция u вида (10.5) удовлетворяет
условию (10.11).
Итак, показано, что формула (10.5) описывает минимаксное решение в
задаче (10.1), (10.2) согласно определению 6.5. Этот результат был получен
для случая, когда множество dom σ
∗
ограничено.
Докажем, что функция u вида (10.5) является минимаксным решением
в общем случае, без этой дополнительной гипотезы. Введем следующие
обозначения
(x):=max{s, x−σ∗(s): s ∈ Bk},k=1, 2,...
σ
k
(t, x):=max{s, x +(θ − t)H(s) −σ∗(s): s ∈ Bk}
u
k
(напомним, что B
:= {s ∈ Rn: s k}). Из доказательства, приведенного
k
выше, следует, что функция u
является минимаксным решением в задаче
k
10. КОНСТРУКТИВНЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 115
Коши
∂u
k
∂t
Последовательность u
+ H(D
(t, x) — возрастающая, поэтому существует предел
k
)=0,uk(θ, x)=σk(x).
xuk
uk(t, x)=u(t, x).
lim
k→∞
Нетрудно проверить, что предельная функция и есть минимаксное решение рассматриваемого уравнения Гамильтона– Якоби (см. доказательство
утверждения 8.7). Легко заметить также, что предельная функция удовлетворяет условию (10.2). С другой стороны, формула (10.5) справедлива и
для предельной функции. Утверждение 10.2 доказано.
Заметим, что, согласно (10.6), справедливо
∗
−σ
(s)=− sup
[s, y−σ(y)] = inf
n
y∈R
[σ(y) −s, y].
n
y∈R
Поэтому формула (10.5) может быть переписана в виде формулы Хопфа (10.3).
10.3. Утверждение
Предположим, что выполняются следующие условия:
(C2.1) гамильтониан является выпуклым и удовлетворяет условию Лип-
шица
|H(p) −H (q)| λp −q, ∀p, q ∈ R
n
;
(C2.2) функция σ : R
n
→ R непрерывна.
Тогда функция
u(t, x):= sup
[σ(x +(θ −t)f) − (θ −t)H∗(f)] (10.13)
n
f∈R
является минимаксным решением в задаче (10.1), (10.2).
Здесь функция
∗
H
(f):= sup
[s, f −H (s)] (10.14)
n
s∈R
— сопряженная к гамильтониану.
116 ГЛАВА II
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Пусть
dom H
Известно, что dom H
∗
:= {f ∈ Rn: H∗(f) < ∞}.
∗
⊂ Bλ:= {f ∈ Rn: f λ}.
Предположим сначала, что функция σ не только непрерывна но также
и непрерывно-дифференцируема. Заметим, что функция
f → [σ(x +(θ −t)f) −(θ −t)H∗(f)]
B
λ
является полунепрерывной сверху, поэтому множество
W := {w ∈ B
: σ(x +(θ −t)w) −(θ −t)H∗(w)
λ
σ(x +(θ −t)f ) − (θ − t)H
∗
(f), ∀f ∈ Rn} (10.15)
является непустым и компактным.
Известно (см., например, приложение, параграф A5), что величина
du(t, x;1,f)=max
[s(w),f−s(w),w + H∗(w)] (10.16)
w∈W
совпадает с производной функции u вида (10.13) по направлению (1,f).
Здесь s(w):=Dσ(x +(θ −t)w).
Докажем, что функция u вида (10.13) является минимаксным решением
в задаче (10.1), (10.2). Из определения функции u видно, что она непрерывна
и удовлетворяет равенству (10.2). Проверим, что эта функция удовлетворяет
условию (L5), приведенному в пункте 6.3.
Выберем произвольный вектор p ∈ R
n
. Согласно (10.16), имеем
sup
[du(t, x;1,f) −p, f + H(p)] =
n
f∈R
max
[s(w),f−s(w),w + H∗(w) −p, f + H(p)]
n
w∈W
[s(w∗),f−s(w∗),w∗+ H∗(w∗) −p, f+ H (p)]
n
∗
(w∗) −w∗,p + H(p) 0.
H
Здесь w
=sup
f∈R
sup
f∈R
— элемент множества W и аргумент последнего неравенства, вы-
∗
текающего из (10.14). Таким образом, доказано, что функция u вида (10.13)
является нижним решением в задаче (10.1), (10.2).
Проверим, что эта функция является верхним решением рассматриваемой задачи. Докажем сначала, что s(w) — субградиент функции H
∗
.
10. КОНСТРУКТИВНЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 117
Пусть h ∈ Rn, δ>0. Согласно (10.15), имеем
∗
σ(x+(θ−t)w) −(θ−t)H
= σ(x +(θ −t)w)+(θ −t)s(w),δh−(θ − t)H
(w) σ(x+(θ−t)(w + δh))−(θ −t)H∗(w+δh)=
∗
(w + δh)+α(δ)δ,
где α(δ) → 0,когдаδ → 0. Получаем
∗
s(w),δh H
Поэтому s(w) — субградиент функции H
что
s(w),w = H(s(w)) + H
Теперь проверим условие (U5) (см. пункт 6.3). Выберем произвольный
вектор p ∈ R
inf
f∈R
n
. Согласно (10.16) и (10.17) имеем
[du(t, x;1,f) −p, f + H(p)] =
n
=inf
f∈R
max
[s(w),f−s(w),w + H∗(w) −p, f + H(p)] =
n
w∈W
(w + δh) − H∗(w)+α(δ)δ.
∗
. Из выпуклого анализа известно,
=inf
f∈R
max
[f,s(w) − p + H(p) − H(s(w))].
n
w∈W
∗
(w). (10.17)
Подобно тому, как это было сделано при доказательстве утверждения 10.2,
полагаем Π=rpm(W ). Введем обозначение
=
s
π
s(w)π(dw),π∈ Π.
W
Из выпуклости функции H вытекает неравенство
H(s
)
π
H(s(w))π(dw).
W
Используя это неравенство, получаем
inf
f∈R
max
[f,s(w) − p + H(p) −H (s(w))] =
n
w∈W
=inf
f∈R
max
n
π∈Π
inf
[f,s(w)−H(s(w))]π(dw) −f, p + H(p)
W
max
[f,sπ−H(sπ) −f, p + H(p)] =
n
f∈R
π∈Π
=max
π
inf
[f,sπ− p−H(sπ)+H(p)] 0.
n
f∈R
118 ГЛАВА II
Таким образом, для случая, когда σ непрерывно дифференцируема,
показано, что функция u вида (10.13) является минимаксным решением в
задаче (10.1), (10.2).
Если функция σ непрерывна, то она может быть приближена непрерывно дифференцируемыми функциями, и дедуктивно выводится, что формула
(10.13) определяет, как прежде, минимаксное решение в задаче (10.1), (10.2).
Утверждение 10.3 доказано.
Формула (10.13) может быть преобразована в (10.4). Действительно,
из (10.14) следует, что
−(θ − t)H
∗
(f)= inf
s∈R
[−(θ − t)s, f +(θ −t)H(s)].
n
Поэтому
u(t, x):= sup
f∈R
inf
[σ(x +(θ −t)f) −(θ −t)s,f+(θ −t)H(s)].
n
n
s∈R
Если ввести обозначение y = x +(θ −t)f,топоследнееравенствофакти-
чески совпадет с формулой Хопфа (10.4).
10.4. Пример
Используем формулу (10.5), чтобы получить выражение для минимаксного решения в задаче Коши
∂u
∂t
2
1+
∂u
=0,u(2,x)=
∂x
+
2
x
. (10.18)
2
Здесь 0 t θ =2, x ∈ R. Напомним, что этот пример рассматривался в
пункте 1.4.
Определим сопряженную функцию σ
∗
к функции σ(x)=x2/2. Соглас-
но общему определению, имеем
x∈R
sx −x
2
/2= s2/2.
∗
(s)=sup
σ
Используя формулу (10.5), получаем, что функция
u(t, x)=max
s∈R
sx −(2 − t)
1+s2/2 −s2/2
(10.19)
является минимаксным решением в задаче (10.18).
В рассматриваемой задаче гамильтониан и предельная функция являются гладкими. Но функция u, заданная равенством (10.19), является
негладкой. Верхняя огибающая поверхности, представленной на рис. 1.2,
является графиком этой негладкой функции.
10. КОНСТРУКТИВНЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 119
10.5. Задача Коши с гамильтонианом, выпуклым по производным
Формула (10.13) связана с задачей динамической оптимизации на максимум функционала
θ
t
˙
ζ(τ)dτ
n
× R дифференциаль-
γ(t, ξ(·),ζ(·)) = σ(ξ(θ)) −
помножествувсехтраекторий(ξ(·),ζ(·)) : [t, θ] ∈ R
ного уравнения
˙
ξ = f,˙ζ = H
∗
(f),f∈ dom H∗,
с начальным условием ξ(t)=x и терминальным условием ζ(θ)=σ(ξ(θ)).
Это замечание может быть применено и в более общем случае.
Рассмотрим задачу Коши
∂u
+ H(t, x, D
∂t
u)=0,u(θ, x)=σ(x). (10.20)
x
Предположим, что гамильтониан H удовлетворяет условиям (H1) – (H3),
приведенным в пункте 7.2. Кроме того, предположим, что функция
s → H(t, x, s) выпукла. Определим сопряженную функцию к функции H(t, x,·)
∗
(t, x, f)= sup
H
[f,s−H(t, x,s)] .
n
s∈R
Полагаем
D(t, x)=domH
∗
(t, x, ·)={f ∈ Rn: H∗(t, x, f) < ∞}.
Из условия Липшица (7.3) следует, что
sup
f∈D(t,x)
f ρ(x).
Множество D(t, x) выпукло. Помимо этого, мы предполагаем, что существует такая непрерывная функция r(t,x),что
∗
H
(t, x, f) r(t, x), ∀f ∈ D(t, x).
Эта гипотеза и предположение, что гамильтониан H(t, x, z, s) независим от
переменной z, — несущественны и введены для простоты изложения.
120 ГЛАВА II
Рассмотрим множество
−
E
(t, x)={(f, g): f ∈ D(t, x),H∗(t, x, f) g r(t, x)}.
Отображение (t, x) → E
−
(t, x) удовлетворяет условиям (j), (jj), (jjj−), (jv−)
из пункта 6.2. Проверка этих условий подобна проверке аналогичных условий в пункте 3.4.
Согласно схеме, описанной в пункте 3.4, рассмотрим следующую за-
дачу для дифференциального включения
(˙x, ˙z) ∈ E
−
(t, x), (10.21)
Обозначим через S(t
n
→ R
× R дифференциального включения (10.21), которые удовлетворяют
условиям x(t
)=x0и z(θ)=σ(x(θ)). Определим функционал платы
0
γ(t
Далее, найдем максимум этого функционала на множестве S(t
значим это максимальное значение символом u(t
u(t
0,x0
Докажем, что функция (0,θ] ×R
) множество траекторий (x(·),z(·)): [0,θ] →
0,x0
θ
,x(·),z(·)) = σ(x(θ)) −
0
)= max
(x(·),z(·))∈S(t0,x0)
n
(t0,x0) → u(t0,x0) ∈ R является
{γ(t0,x(·),z(·))}. (10.22)
˙z(t)dt.
t
0
), т. е. мы полагаем
0,x0
0,x0
).Обо-
минимаксным и вязкостным решением в задаче (10.20).
Пусть z
= u(t0,x0).Пусть(x0(·),z0(·)) ∈S(t0,x0) — оптимальная
0
траектория, которая обеспечивает максимум функционалу γ.Справедливо
θ
γ(t
,x0(·),z0(·)) = σ(x0(θ)) −
0
Выберем произвольный момент τ ∈ [t0,θ]. Очевидно, что (x0(·),z0(·)) ∈
∈S(τ,x
0
(τ)).Поэтому
0
u(τ,x
(τ)) = max
(x(·),z(·))∈S(τ,x0(τ ))
γ(τ,x
0
(·),z0(·)) = σ(x0(θ)) −
{γ(τ, x(·),z(·))}
= σ(x
˙z0(t)dt = z
t
0
θ
0
˙z0(t)dt =
τ
0
(θ)) − z0(θ)+z0(τ)=z0(τ).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]