Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации
.pdf
17. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА –ЯКОБИ . . . 221
∂u
+ H(t, x, u, D
∂t
∂u
+ H(t, x, u, D
∂t
u) 0, если (t, x, u(t, x)) ∈ Ω; (17.4)
x
u) 0, ∀(t, x) ∈ Γ:=(0,θ) × Rn. (17.5)
x
Отметим, что неравенства (17.4) и (17.5) должны рассматриваться в
обобщенном (минимаксном и/или вязкостном) смысле. Строгие определения даются ниже. Как будет следовать из этих определений, обобщенное решение u удовлетворяет соотношениям (17.4) и (17.5) в классическом смысле
в тех точках, где функция u — дифференцируема.
Проиллюстрируем эту задачу следующим простым примером. Пусть
x ∈ R, 0 <t θ =1,ω(t, x)=x
2
,H(t, x,z, s)=s.
Нетрудно проверить, что функция
⎧
2
x
,x 0,t∈ (0, 1],
⎪
⎨
u(t, x)=
0,t− 1 x<0,t∈ (0, 1],
⎪
⎩
(x +1−t)
2
,x<t− 1,t∈ (0, 1]
является непрерывно дифференцируемой и удовлетворяет соотношениям (17.2) –(17.5). Поэтому эта функция является классическим решением
рассматриваемой задачи. Из результатов, полученных ниже, будет следовать единственность этого решения.
Однако, в общем случае, возникает необходимость рассматривать
негладкие решения задачи (17.2) – (17.5). Для такой задачи понятия верхних нижних и минимаксных решений вводятся следующим образом.
17.2. Определение
Верхним решением задачи (17.2) – (17.5) называется полунепрерывная
снизу функция u :(0,θ] ×R
n
→ R, такая, что u(θ, x)=ω(θ, x),имноже-
ство epi u∩Ω слабо инвариантно относительно верхних характеристических включений.
Нижним решением этой задачи называется полунепрерывная сверху
функция u :(0,θ] × R
n
→ R такая, что u ω имножествоhypo u ∩
∩(G ×R) слабо инвариантно относительно нижних характеристических
включений.
Минимаксным решением задачи (17.2)–(17.5) называется непрерывная функция, которая является одновременно верхним и нижним решением
этой задачи.
222 ГЛАВА IV
Напомним, что включение
(˙x, ˙z) ∈ E(t,x, z, ψ)
называется верхним (нижним) характеристическим включением для уравнения Гамильтона– Якоби, если многозначное отображение E удовлетворяет
условиям (j), (jj), (jjj
+
), и (jv+) (условиям (j), (jj), (jjj−), и (jv−)), сформули-
рованным в пункте 6.2.
Свойство слабой инвариантности множества epi u∩Ω означает, что для
произвольных ψ ∈ Ψ и (t
0,x0,z0
) ∈ epi u ∩Ω существует число τ ∈ (t0,θ) и
такая траектория (x(t),z(t)) верхнего характеристическое включения, что
(x(t
),z(t0)) = (x0,z0) и (t,x(t),z(t)) ∈ epi u ∩ Ω для всех t ∈ [t0,τ].
0
Можно показать, что для полунепрерывной снизу функции u это свойство
и сформулированные ниже условия (U3
)–(U5)являютсяэквивалентными
(доказательство этого факта совпадает с доказательством подобных утверждений в параграфе 4).
(U3
) Для любого ψ ∈ Ψ илюбого(t, x) ∈ (0,θ) × Rnтаких, что
u(t, x) <ω(t,x),справедливо
−
inf{d
u(t, x;1,f) − g :(f, g) ∈ E+(t, x, u(t, x),ψ)} 0,
+
где E
условиям (j), (jj), (jjj
(U4
) a + H(t, x, u(t, x),s) 0, для любых (t, x,u(t, x)) ∈ Ω илюбо-
го (a, s) ∈ D
(U5
) для любых (t, x, u(t,x)) ∈ Ω илюбогоs ∈ Rn:
— произвольное многозначное отображение, удовлетворяющее
−
u(t, x);
+
), (jv+);
inf
[d−u(t, x;1,f) −s, f + H(t, x, u(t,x),s)] 0.
n
f∈R
Аналогично, для полунепрерывной сверху функции u свойство слабой
инвариантности множества hypo u ∩ G относительно нижнего характеристического включения эквивалентно условиям (L3
(L3
) Для любых ψ ∈ Ψ и (t, x) ∈ G справедливо
+
sup{d
−
где E
условиям (j), (jj), (jjj
) a + H(t, x,u(t, x),s) 0, для любых (t, x) ∈ G илюбого(a, s) ∈
(L4
∈ D
+
u(t, x);
u(t, x;1,f) − g :(f, g) ∈ E−(t, x, u(t, x),ψ)} 0,
— произвольное многозначное отображение, удовлетворяющее
−
), (jv−);
)–(L5).
17. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА –ЯКОБИ . . . 223
(L5) для любых (t, x) ∈ G и s ∈ Rn:
sup
[d+u(t, x;1,f) −s, f + H(t,x, u(t, x),s)] 0.
n
f∈R
Заметим, что эти условия совпадают с условиями (L3)– (L5), сформулированными в пункте 6.3. Ниже будет доказано следующее утверждение.
17.3. Теорема
n
Пусть в задаче (17.2)–(17.5) функция ω :(0,θ] × R
непрерывна, а
гамильтониан H удовлетворяет предположениям (H1) – (H3),сформули-
рованным в разделе 7.2. Тогда существует и единственно минимаксное
решение u задачи (17.2) –(17.5).
Прежде, чем перейти к доказательству этой теоремы, опишем дифференциальную игру, у которой функция цены совпадает с минимаксным
решением задачи (17.2) – (17.5).
Рассмотрим дифференциальная игру, в которой движение управляемой
системы описывается уравнением
˙x(t)=f (t, x(t),p(t),q(t)),t
t θ, x(t0)=x0∈ Rn. (17.6)
0
Здесь p(t) ∈ P и q(t) ∈ Q — управления первого и второго игроков соответственно, P и Q — компакты. Первый игрок стремится обеспечить
минимальное значение функционала платы
t
g(τ, x(τ),p(τ),q(τ))dτ.
t
0
γ(t
,x(·),p(·),q(·)) := min
0
t∈[t0,θ]
ω(t, x(t)) −
(17.7)
Второй игрок, напротив, пытается гарантировать максимальное значение
этого функционала. Полагаем, что функции f и g удовлетворяют условиям (A1) – (A3) (см. пункт 11.1). Полагаем также, что функция ω :(0,θ]×
n
×R
→ R непрерывна и удовлетворяет оценке
где K
|ω(t, x)| K
— положительное число. Напомним, что из предположения (A3)
0
(1 + x), ∀(t, x) ∈ (0,θ] ×Rn,
0
следует справедливость равенства
max
min
p∈P
[s, f (t, x,p, q)−g(t, x, p, q)] =
q∈Q
=max
q∈Q
min
[s, f (t, x,p, q)−g(t, x, p, q)] = H(t, x,s). (17.8)
p∈P
224 ГЛАВА IV
Величина H(t, x, s) называется гамильтонианом дифференциальной игры (17.6), (17.7).
Заменяя функционал платы (11.2) функционалом (17.7), определим
величины Γ
0
(t0,x0) и Γ
1
0
(t0,x0) таким же образом, что и в разде-
2
ле 11.3 (см. (11.16)). Эти величины являются оптимальными гарантированными результатами первого и второго игроков. Известно (см., например, [122, 123]), что в рассматриваемом случае справедливо равенство
0
Γ
(t0,x0)=Γ
1
0
(t0,x0). Общее значение оптимальных гарантированных ре-
2
зультатов первого и второго игроков называется ценой дифференциальной
игры (17.6), (17.7). Итак, определена функция цены
) → Val (t0,x0): (0,θ] ×Rn→ R.
(t
0,x0
Также известно, что функция цены является одновременно u-стабильной и
v-стабильной. Для рассматриваемой игры свойство u-стабильности форму-
лируется следующим образом.
Функция u :(0,θ] × R
бых (t
) ∈ (0,θ] × Rnи q ∈ Q существует такое решение дифференци-
0,x0
n
→ R называется u-стабильной, если для лю-
ального включения
(˙x(t), ˙z(t)) ∈co{(f(t, x(t),p,q),g(t, x(t),p,q)) : p ∈ P }, (17.9)
что x(t
для всех t ∈ [t
го τ ∈ [t
)=x0, z(t0)=u(t0,x0), и справедливо либо z(t) u(t, x(t))
0
,θ]. Очевидно, что многозначное отображение E+, определенное
0
,θ],либоz(τ) ω(τ, x(τ)) для, по крайней мере, одно-
0
равенством
+
(t, x, z, q):=co{(f(t, x, p, q),g(t, x,p, q)): p ∈ P }
E
+
удовлетворяет требованиям (j), (jj), (jjj
), (jv+), сформулированным в разделе 6.2, где гамильтониан определен равенством (17.8). Ясно, что функция
цены удовлетворяет краевому условию Val (θ,x)=ω(θ, x). Принимая во
внимание непрерывность функции цены, получим, что эта функция является верхним решением в задаче (17.2) – (17.5) c гамильтонианом, определенным в (17.8).
Подобным же способом можно показать, что Va l (t, x) — это нижнее
решение задачи (17.2) – (17.5). Поэтому заключаем, что функция цены дифференциальная игры (17.6), (17.7) совпадает с минимаксным решением задачи (17.2) – (17.5).
Теперь вернемся к доказательству теоремы 17.3. Сначала докажем справедливость следующей теоремы.
17. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА –ЯКОБИ . . . 225
17.4. Теорема
Пусть в задаче (17.2) – (17.5) функция ω :(0,θ] × R
n
непрерывна,
а гамильтониан H удовлетворяет предположениям (H1)–(H3),сформу-
лированным в разделе 7.2. Тогда для любого верхнего решения u задачи (17.2) – (17.5) и для любого нижнего решения v этой задачи справедливо
неравенство u v.
Доказательство этой теоремы подобно доказательству теоремы 7.3. Поэтому приведем только схему основных этапов доказательства.
Допустим, что справедливо противное: пусть существуют верхнее решение u задачи (17.2) – (17.5), нижнее решение v той же самой задачи, точка (t
) ∈ (0,θ] × Rnичислоd>0 такие, что u(t0,x0) <v(t0,x0) −d.
0,x0
Как и в доказательстве теоремы 7.3, здесь используется функция Ляпунова вида
L
(t, x, y, ξ, η):=wε(t, x, y)+ξ − η, (17.10)
ε
где (t, x,y, ξ, η) ∈ (0,θ] ×R
(x, y):=ε4+ x −y2,αε(t):=(e
r
ε
Число ε>0 выбрано так, чтобы удовлетворить неравенствам 0<ε
n
× Rn× R ×R,
w
(t, x, y):=αε(t)rε(x, y), (17.11)
ε
−λt
− ε)ε−1.
2
αε(t) <d
при всех t ∈ [0,θ].
Рассмотрим систему, включающую дифференциальные неравенства и
дифференциальные уравнения
˙x ρ(x),˙ξ = ˙x, p−H(t, x, ξ, p),
˙y ρ(y), ˙η = ˙y, q−H(t, y, η, q),
p = q = D
(t, x, y)=−Dxwε(t, x, y)=−αε(t)
ywε
(x −y)
rε(x, y)
. (17.12)
Используя рассуждения, подобные тем, что были приведены в разделе 7.4, можно показать, это существует траектория (x
(t
t θ), которая удовлетворяет системе (17.12), начальному условию
0
x(t
)=y(t0)=x0,
0
ξ(t
)=ξ0:= u(x0,t0),η(t0)=η0:= v(x0,t0)
0
(t),yε(t),ξε(t),ηε(t))
ε
и неравенствам
(t) u(t, xε(t)),
ξ
ε
η
(t) v(t, yε(t)) при t0 t τε. (17.13)
ε
226 ГЛАВА IV
Здесь
τ
=min{t ∈ [t0,θ]: (t, xε(t),ξε(t)) ∈ Ω}.
ε
Если τ
что ξ
верхнего решения u, получаем ξ
обоих случаях неравенство ξ
<θ, то из определений множества Ω и момента времени τεследует,
ε
)=ω(τε,xε(τε)). В случае, когда τε= θ, из (17.13) и определения
ε(τε
(θ) u(θ, xε(θ)) = ω(θ,xε(θ)).Поэтомув
ε
) ω(τε,xε(τε)) выполняется.
ε(τε
Напомним, что, по определению нижнего решения, имеем v ω.Следовательно, η
) ω(τε,yε(τε)). Таким образом, заключаем, что имеет
ε(τε
место оценка
ξ
) −ηε(τε) ω(τε,xε(τε)) −ω(τε,yε(τε)). (17.14)
ε(τε
Введем обозначение
[t]:=Lε(t, xε(t),yε(t),ξε(t),ηε(t)).
L
ε
В доказательстве теоремы 7.3 было показано, что˙L
L
]=ε2αε(t0)+u(t0,x0) −v(t0,x0)
ε[t0
L
] αε(τε)rε(xε(τε),yε(τε)) + ω(τε,xε(τε)) −ω(τε,yε(τε))
ε[τε
ω(τ
[t] 0. Следовательно,
ε
ε,xε(τε
)) −ω(τε,yε(τε)).
Заметим, что
2
αε(τε) → 0,αε(τε) →∞, когда ε → 0.
ε
Напомним (см. раздел 7.5), что рассматриваемые траектории удовлетворяют ограничениям x
(t) ∈ M, yε(t) ∈ M при всех t0 t θ, ε>0,где
ε
M — ограниченное множество. Следовательно, имеет место также оценка
|ω(τ
ε,xε(τε
)) −ω(τε,yε(τε))| max
(x,y)∈M×M
t∈[t0,θ]
|ω(t, x) − ω(t,y)| := K0< ∞.
Поэтому из неравенства
α
ε(τε)rε(xε(τε
),yε(τε)) ε2αε(t0)+u(t0,x0) −v(t0,x0)+K
0
вытекает, что
x
) −yε(τε)→0, когда ε → 0.
ε(τε
Далее, переходя к пределу при ε → 0 в неравенстве
2
αε(t0)+u(t0,x0) −v(t0,x0) ω(τε,xε(τε)) −ω(τε,yε(τε)),
ε
получаем оценку u(t
речие с исходным предположением, что u(t
) v(t0,x0). Таким образом, получено противо-
0,x0
) <v(t0,x0). Теорема 17.4
0,x0
доказана.
17. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА –ЯКОБИ . . . 227
17.5. Теорема
Пусть в задаче (17.2) – (17.5) функция ω :(0,θ] × R
n
→ R непрерывна,
а гамильтониан H удовлетворяет предположениям (H1) – (H3),сформули-
рованным в пункте 7.2. Тогда существует верхнее минимаксное решение u
задачи (17.2) – (17.5) и нижнее минимаксное решение v этой задачи, такие,
что u v.
Ясно, что утверждение теоремы 17.3 следует из теорем 17.4 и 17.5.
Доказательство теоремы 17.5 приводится ниже. Оно основано на вспомогательных утверждениях 17.6– 17.9, которые подобны утверждениям 8.4– 8.7.
Введем некоторые обозначения. Определим функционал
γ(x(·),z(·); t
Выберем и зафиксируем τ ∈ (0,θ], s ∈ R
μ
∗(t0,x0,z0
Здесь ϕ : R
):= inf
(x(·),z(·))
n
→ R — локально ограниченная функция, операция inf
,τ):= min
0
[ω(t, x(t)) −z(t)]. (17.15)
t∈[t0,τ]
n
. Определим величину
min{ϕ(x(τ)) −z(τ),γ(x(·),z(·); t0,τ)}.
(x(·),z(·))
берется по множеству Sol (t0,x0,z0,s), (t0,x0,z0) ∈ (0,τ] ×Rn×R.Напо-
мним, что символ Sol (t
0,x0,z0
(x(·),z(·)) : (t
,s) обозначает множество всех решений
,θ] → Rn× R
0
характеристического включения
(˙x, ˙z) ∈ E(t, x, z, s), (17.16)
удовлетворяющих условиям x(t
)=x0, z(t0)=z0. Здесь многозначное
0
отображение E задается равенством
E(t, x, z,s):={(f, g): f ρ(x),g= f,s−H(t, x, z, s)}.
Отметим, что μ
— локально ограниченная функция. Этот факт следует
∗
из локальной ограниченности функции ϕ, непрерывности функционала γ и
компактности множества Sol (M, s) (см. (8.3)).
Покажем, что имеет место оценка
μ
∗(t0,x0,z0
+ h) μ∗(t0,x0,z0) −h. (17.17)
Можно принять, без потери общности, что h>0. Выберем произвольное
число ε>0 и такую траекторию (x
μ
∗(t0,x0,z0
)+ε min{ϕ(x∗(τ)) −z∗(τ),γ(x∗(·),z∗(·); t0,τ)}.
(·),z∗(·)) ∈ Sol (t0,x0,z0,s),что
∗
228 ГЛАВА IV
Можно показать, это существует траектория (x∗(·),zh(·)) ∈ Sol (t0,x0,z0+
+ h, s) такая, что z
(t) z∗(t)+h при t ∈ [t0,θ] (см. доказательство
h
аналогичной оценки в пункте 8.3). Поэтому получаем
μ
∗(t0,x0,z0
min{ϕ(x
Оценка (17.17) доказана.
Обозначим символом S
(0,θ] × R
= ω(θ, x), и таких, что для любых (t
τ ∈ [t
,θ], s ∈Rnсправедливо
0
(x(·),z(·))
где операция inf
Символом S
ций (0,θ] × R
)+ε min{ϕ(x∗(τ)) −z∗(τ),γ(x∗(·),z∗(·); t0,τ)}
(τ))−zh(τ),γ(x∗(·),zh(·); t0,τ)}+h μ∗(t0,x0,z0+h)+h.
∗
u
n
(t, x) → u(t, x) ∈ R, удовлетворяющих равенству u(θ,x)=
inf
min{u(τ,x(τ)) −z(τ),γ(x(·),z(·);t0,τ)} 0, (17.18)
(x(·),z(·))
n
берется по множеству Sol (t0,x0,z0,s).
l
обозначим множество всех локально ограниченных функ-
(t, x) → u(t,x) ∈ R, удовлетворяющих неравенству
множество локально ограниченных функций
) ∈ (0,θ] × Rn, z0>u(t0,x0),
0,x0
u(t, x) ω(t, x) и следующему условию: для любых (t
<u(t0,x0), τ ∈ [t0,θ], s ∈Rnсправедливо неравенство
z
0
(x(·),z(·))∈Sol (t0,x0,z0,s)
sup
[u(τ,x(τ)) −z(τ)] 0. (17.19)
17.6. Утверждение
n
Выберем и зафиксируем s ∈R
μ
−(t0,x0,z0
):=inf{γ(x(·),z(·); t0,θ): (x(·),z(·)) ∈ Sol (t0,x0,z0,s)},
. Пусть
) ∈ (0,θ] ×Rn,
0,x0
u
−(t0,x0
Тогда функция u
−
ограничивает снизу любую функцию u ∈ S
для любых u ∈ S
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Чтобы показать локальную ограниченность функ-
ции u
, используем оценку (17.17) и обратимся к доказательству подобного
−
u
свойства для функции u
):=inf{ζ ∈ R : μ−(t0,x0,ζ) 0}.
:(0,θ] ×Rn→ R является локально ограниченной, и она
u(t
) u−(t0,x0)
0,x0
u
,т.е.
и (t0,x0) ∈ (0,θ] × Rn.
, определенной в утверждении 8.4.
−
17. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА –ЯКОБИ . . . 229
Пусть u ∈ Su, (t0,x0) ∈ (0,θ] × Rnи z0>u(t0,x0). Заметим, что
u(θ, x)=ω(θ, x). Используя условие (17.18), в котором полагаем τ = θ,
получаем неравенство μ
−(t0,x0,z0
оценки (17.17) следует, что z
справедливо для любых z
u(t
) u−(t0,x0) имеет место.
0,x0
0
>u(t0,x0), заключаем, что требуемая оценка
) 0. Из определения функции u−и
u−(t0,x0). Из того, что это неравенство
0
17.7. Утверждение
Пусть произвольно выбраны и фиксированы s
и u ∈ S
является элементом множества S
смысл различен, потому что множество S
отличается от множества S
u
. Тогда функция u, определенная соотношениями
u(t
):=
0,x0
∗
(t0,x0,z0):= sup
μ
sup{ζ ∈ R : μ
u(x
0,t0
(x(·),z(·))∈Sol (t0,x0,z0,s∗)
Это утверждение формулируется так же, как и утверждение 8.5, но их
∗
(t0,x0,ζ) 0},t0∈ (0,t∗),
),t
u
.Здесь
[u(t∗,x(t∗)) − z(t∗)] (17.21)
u
u
, которое рассматривается здесь. Поэтому до-
, рассмотренное в разделе 8.3,
∈ Rn, t∗∈ (0,θ]
∗
∈ [t∗,θ],
0
(17.20)
кажем утверждение 17.7 отдельно.
Равенство u(θ, x)=ω(θ, x) и локальная ограниченность функции u мо-
гут быть получены так же, как и в случае утверждения 8.5. Таким образом,
остается только показать, что для любых (t
n
s ∈ R
Здесь и ниже Sol
и τ ∈ [t0,θ] справедливо неравенство
inf
(x(·),z(·))∈Sol
min{u(τ, x(τ)) −z(τ),γ(x(·),z(·);t0,τ)} 0 (17.22)
0
=Sol(t0,x0,z0,s).
0
Возможны следующие три случая: (i) t
) ∈(0,θ]×Rn, z0> u(t0,x0),
0,x0
t∗, (ii) τ t∗, (iii) t0<t∗<τ.
0
В случае (i) неравенство (17.22) следует непосредственно из равенства
u(t, x)=u(t, x),справедливогодляt ∈ [t
,θ], и из условия (17.18), кото-
∗
рому удовлетворяет функция u. В случае (ii) выполнено неравенство (8.10),
из которого вытекает (17.22). Как было показано при доказательстве утверждения 8.5, в случае, когда τ = t
траектория (x
(·),z(·)) ∈ Sol0,что
и z0> u(t0,x0), существует такая
∗
(t∗) >u(t∗,x(t∗)). (17.23)
z
230 ГЛАВА IV
Рассмотрим случай (iii). Введем обозначения
Sol
:= Sol(t∗,x(t∗),z(t∗),s);
∗
Sol
:= {(x(·),z(·)) ∈ Sol0:(x(t),z(t)) = (x(t),z(t)),t∈ [t0,t∗]},
где (x
(·),z(·)) ∈ Sol0— это траектория, удовлетворяющая неравен-
ству (17.23). Справедливы следующие соотношения
inf
(x(·),z(·))∈Sol
min[u(τ, x(τ)) −z(τ),γ(x(·),z(·); t0,τ)]
0
(a)
inf
(x(·),z(·))∈Sol
(b)
inf
(x(·),z(·))∈Sol
(c)
=inf
(x(·),z(·))∈Sol
min[u(τ,x(τ)) − z(τ ),γ(x(·),z(·); t∗,τ)]
0
min[u(τ,x(τ)) −z(τ),γ(x(·),z(·);t∗,τ)]
min[u(τ,x(τ)) − z(τ ),γ(x(·),z(·); t∗,τ)]
∗
(d)
0.
Здесь неравенство (a) следует из равенства u(τ,x)=u(τ,x) и неравенства
γ(x(·),z(·); t
которое имеет место при t
,τ) γ(x(·),z(·); t∗,τ),
0
t∗ τ. Из включения Sol⊂ Sol0выте-
0
кает неравенство (b). Равенство (c) следует из определений множеств Sol
и Sol∗. Неравенство (d) справедливо, потому что функция u удовлетворяет
условию (17.18), и справедлива оценка (17.23).
Таким образом, утверждение 17.7 доказано.
17.8. Утверждение
Множество S
u
содержит локально ограниченную функцию u, опре-
деленную следующим образом
(t0,x0):=min{u+(t0,x0),ω(t0,x0)},
u
где
u
+(t0,x0
μ
+(t0,x0,z0
s
— некоторый вектор в Rn.
∗
):= sup
):=sup{ζ ∈ R : μ+(t0,x0,ζ) 0},
[ω(θ, x(θ)) −z(θ)]
(x(·),z(·))∈Sol (t0,x0,z0,s∗)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]