Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации
.pdf
18. РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТИПА ДИРИХЛЕ 251
Полагая θ = τ, получаем также
inf{u(x(τ)) −z(τ): (x(·),z(·)) ∈ Sol
и, следовательно, (x
ЛУЧАЙ (2). Пусть θ>τ,аα — некоторое положительное число.
С
Отметим, что θ −τ ∈ Θ
то существуют такие (x
(τ),z∗(τ)) ∈ W−(u).
∗
(τ)).Таккакu ∈ S
0(x∗
∗
(·),z∗(·)) ∈ Sol (x∗(τ),z∗(τ),s),что
∗
(θ − τ)) −z∗(θ − τ) > −α.
u(x
} = u(x∗(τ)) −z∗(τ) > 0
θ
l
и (x∗(τ),z∗(τ)) ∈ W−(u),
ε
Полагаем
(x
(t),z∗(t)), 0 t τ,
(x(t), z(t)) :=
∗
∗
(t −τ),z∗(t −τ)),t>τ.
(x
Из (18.33) следует, что
w(x(θ)) − z(θ) u(x(θ)) − z(θ)=u(x
Так как (x(·), y(·)) ∈ Sol (x
творяет условию (C
−
). Утверждение 18.9 доказано.
ε
,s), это неравенство означает, что w удовле-
0,z0
∗
(θ − τ)) −z∗(θ − τ) > −α.
Пусть
{μ
,τ)} := {ζ ∈ R : r∗(vε)(x0,ζ,τ,s∗)=0},
ε(x0
w
):=sup{με(x0,τ): τ ∈ Θε(x0)}, (18.34)
ε(x0
где функция v
ждению 18.9, имеем
определена соотношением (18.29). Согласно (18.30) и утвер-
ε
l
∈ S
w
. (18.35)
ε
ε
Теперь просто доказать следующее утверждение.
18.10. Утверждение
Справедливо следующее соотношение:
u
∈ S
v
ε
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как имеет место (18.30), то остается доказать,
что функция v
принадлежит множеству S
ε
l
∩ S
. (18.36)
ε
ε
u
.Чтобыустановитьэтотфакт,
ε
252 ГЛАВА IV
нужно проверить, что функция vεудовлетворяет условию (C
жим противное. Предположим, что существуют такие (x
τ ∈ Θ
) и s∗∈ Rn,чтоr∗(vε)(x0,z0,τ,s∗) > 0. (Мы используем здесь
ε(x0
замечание (18.31).) Из непрерывности функции ζ → r
соотношений (18.31) и (18.32) следует, что μ
Так как (x
w
) >vε(x0). С другой стороны, согласно (18.35) и (18.29), имеет место
ε(x0
неравенство w
удовлетворяет условию (C
) ∈ W+(vε), имеем z0>vε(x0). Поэтому получаем, что
0,z0
) vε(x0). Полученное противоречие доказывает, что v
ε(x0
+
).
ε
,τ) >z0и wε(x0) >z0.
ε(x0
+
). Предполо-
ε
) ∈ W
0,z0
)(x0,ζ,τ,s∗) и
∗(vε
+
(vε),
ε
ε
18.11. Утверждение
Пусть u ∈ S
l
. Тогда его верхнее замыкание, определенное формулой
ε
u(x):=inf
sup{u(ξ): ξ ∈ G, x − ξ <δ}, (18.37)
δ>0
является нижним решением задачи (18.3), (18.4).
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из формулы (18.37) c необходимостью вытекает, что
Д
функция
u полунепрерывна сверху и удовлетворяет ограничению |u(x)| c.
Из того, что функция u непрерывна в каждой точке x ∈ ∂G,следует,что
функция
граничному условию (18.4). Поэтому остается доказать, что функция
u также непрерывна в каждой точке x ∈ ∂G и удовлетворяет
u удо-
влетворяет требованию (j) из определения 18.3.
Пусть (x
перь существование такой траектории (x
(θ),z∗(θ)) ∈ hypo u.
(x
∗
Можно выбрать такую последовательность {(ξ
Напомним, что Θ
ем (18.24) при ε =0. Отметим, что функция x
на снизу. Следовательно, можно считать, что θ<θ
Так как функция u удовлетворяет условию (C
(·),zk(·)) ∈ Sol (ξk,ζk,s),что
(x
k
Отметим, что для последовательности {(x
) ∈ hypo u, θ ∈ Θ0(x0), s ∈ Rn. Нужно показать те-
0,z0
) → (x0,z0), когда k →∞. (18.38)
(ξ
k,ζk
):=[0,θ0(x0)),гдеθ0(x0) определено соотношени-
0(x0
u(x
(θ)) − zk(θ) −1/k, k =1, 2,... (18.39)
k
(·),z∗(·)) ∈ Sol (x0,z0,s),что
∗
∞
)}
⊂ W−(u),что
1
)(k =1, 2,... ).
∞
существует подпо-
1
0
−
ε
(·),zk(·))}
k
k,ζk
→ θ0(x0) полунепрерыв-
0(ξk
), то существуют такие
следовательность, равномерно сходящаяся на интервале [0,θ]. Чтобы упро-
стить обозначения, полагаем, что начальная последовательность была выбрана сходящейся, т.е.
(xk(t),zk(t)) → (x∗(t),z∗(t))
lim
k→∞
18. РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТИПА ДИРИХЛЕ 253
для любых t ∈ [0,θ]. Также известно, что предельная траектория
t → (x
(t),y∗(t)) удовлетворяет дифференциальному включению (18.18)
∗
при почти всех t ∈ [0,θ]. Переходя к пределу в неравенствах (18.39),
получаем
множество hypo
u(x∗(θ)) − z∗(θ) 0. Из полученного результата следует, что
u слабо инвариантно относительно характеристического
включения (18.18). Утверждение 18.11 доказано.
Определим функцию u
где функция v
определена соотношением (18.29).
ε
0 <ε<δ, ξ∈
: G → R
0
(x):=sup
u
0
inf{vε(ξ):
δ>0
G, x −ξ <δ}, (18.40)
18.12. Утверждение
Функция u
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.Пусть{(x
дящаяся к точке (x
ность {(ε
k,ξk
Следовательно, получаем r = lim
зано, что функция u
Теперь покажем, что функция u
вию (18.4). Так как v
немедленно следует, что u
ны, имеется оценка (18.30), в которой функция v
точке x ∈ ∂G и удовлетворяет равенству v
го x ∈ ∂G верна оценка u
равенство u
Остается доказать, что функция u
определения 18.3. Для заданных (x
но доказать существование такой траектории (x
что (x
(θ),z∗(θ)) ∈ epi u0.
∗
Согласно (18.40), существуют последовательности ε
(ξ
) ∈W
k,ζk
является верхним решением задачи (18.3), (18.4).
0
,r). Согласно (18.40), существует такая последователь-
∗
∞
)}
⊂ (0, 1) × G,что
1
→ 0, x∗− ξk→0 когда k →∞.
ε
k
0
ε
(x)=σ(x).
0
+
(v
)(k =1, 2,...),такие,что
ε
ε
k
k
→ z0,v
ζ
k
k,u0(xk
) −v
|u
0(xk
k→∞
ε
k
v
ε
является полунепрерывной снизу.
(x)=σ(x) для каждого ε>0,иx ∈ ∂G, то из (18.40)
(x) σ(x) при всех x ∈ ∂G. С другой сторо-
0
(x) σ(x). Таким образом, для x ∈ ∂G доказано
0
0,z0
→ 0, ξk→x0,
ε
k
(ξk) → u0(x0), когда k →∞. (18.41)
ε
k
∞
))}
— последовательность, схо-
1
(ξk)| 1/k,
(ξk) u0(x∗). Таким образом, пока-
k
удовлетворяет краевому усло-
0
∗
∗
(x)=σ(x).Поэтомудлялюбо-
удовлетворяет требованию (i) из
0
) ∈ epi u0, θ ∈ Θ0(x0), s ∈ Rn,нуж-
(·),z∗(·)) ∈ Sol (x0,z0,s),
∗
непрерывна в каждой
> 0 и
k
254 ГЛАВА IV
Отметим, что функция (x, ε) → θε(x), определенная соотношением (18.24),
полунепрерывна снизу. Из неравенства θ<θ
) следует, что θ<θ
0(x0
ε
k
(ξk)
для достаточно больших k. Чтобы упростить изложение, полагаем, что
θ<θ
∈ Sol (ξ
(ξk),длявсехk =1, 2,...
ε
k
Так как v
k,ζk
u
∈ S
, тосуществует такая последовательность (xk(·),zk(·)) ∈
ε
ε
,s), k =1,2,...,что
v
(xk(θ)) − zk(θ) 1/k, k =1, 2,...
ε
k
и, подобно тому, как это было сделано при доказательстве утверждения 18.11, из предшествующего неравенства получаем, что существует траектория
(x
(·),z∗(·)) ∈ Sol (x0,z0,s),
∗
удовлетворяющая требованию (x
(θ),z∗(θ)) ∈ epi u0.
∗
18.13. Доказательство теоремы 18.4
Пусть ε
ливо v
ε
Согласно (18.36) и утверждению 18.11, функции u
нижними решениями задачи (18.3), (18.4). Ясно, что u
:= 1/k, k =1, 2,.... Как следует из (18.26), (18.29), справед-
k
v
k
. Определим функции
ε
k+1
u
(x):=inf
k
δ>0
sup{v
(ξ): ξ ∈ G, x −ξ <δ}.
ε
k
(k =1, 2,...) являются
k
k+1
uk.Поэтому
существует предел
u
(x) := lim
С другой стороны, для каждого δ>0 и ε
inf{v
(ξ): 0 <ε<δ,ξ∈ G, x −ξ <δ} v
ε
k→∞
uk(x).
k
<δимеем
(x) uk(x) u(x).
ε
k
Поэтому, согласно (18.40), имеет место неравенство
u
(x) u(x), ∀x ∈ G.
0
Напомним, что, на основании утверждения 18.12, u
является верхним ре-
0
шением задачи (18.3), (18.4). Таким образом, теорема 18.4 доказана.
18.14. Доказательство теоремы 18.5
Пусть функция u (функция v) — верхнее (нижнее) решение задачи (18.3), (18.4). Нужно показать, что u v. Предположим противное:
18. РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТИПА ДИРИХЛЕ 255
пусть существует такая точка x0∈ G,что
α := v(x
) −u(x0) > 0. (18.42)
0
Выберем такое число θ>0, что выполняется неравенство
c ·exp(−θ) <α/2. (18.43)
Здесь c — константа, определенная в условиях (18.5) и (18.8).
Обозначим символом X
ных функций x(·): [0,θ] → R
x(0) = x
и дифференциальному неравенству ˙x(t) (1 + x(t))μ при
0
почти всех t ∈ [0,θ]. (Напомним, что μ — константа из условия (H2).)
Пусть D — ограниченное открытое множество из R
t ∈ [0,θ],x(·) ∈ X
)}. Полагаем,что в условии (H3) выбрано Δ:=G∩D
θ(x0
) множество всех абсолютно непрерыв-
θ(x0
n
, удовлетворяющих начальному условию
n
такое, что D ⊃{x(t):
(см. (18.9)).
Рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений и
неравенств:
˙x (1 + x)μ,˙ξ = p
˙y (1 + y)μ, ˙η = q
где функция w
(ε)
, ˙x−H (x, p
(ε)
, ˙y−H(y,q
(ε)
= −Dxwε,q
p
определена равенством (18.13).
ε
(ε)
= Dywε, (18.44)
(ε)
(ε)
)+ξ;
)+η;
Обозначим через
(·),ξε(·),yε(·),ηε(·))
(x
ε
решение системы (18.44), удовлетворяющее соотношениям
x
(0) = yε(0) = x0,ξε(0) = u(x0),ηε(0) = v(x0);
ε
(t) u(xε(t)),ηε(t) v(yε(t)), 0 t<tε. (18.45)
ξ
ε
Здесь момент t
определен следующим образом:
ε
t
:= min{t 0: (xε(t),yε(t)) ∈ Γ}, (18.46)
ε
где
Γ={(x, y) ∈ Δ ×Δ: x − y < 1}.
Если (x
(t),yε(t)) ∈ Γ для всех t 0, то полагаем tε= ∞. Очевидно, что
ε
существование решения
(·),ξε(·),yε(·),ηε(·))
(x
ε
256 ГЛАВА IV
следует из определения 18.3 (см. доказательство подобного факта в разделе 7.4).
Определим функцию
L
(t, x, y, ξ, η):=e−t[wε(x, y)+ξ − η], (18.47)
ε
где t ∈ R
+
, (x, y) ∈ Γ, (ξ, η) ∈ R ×R. Чтобы упростить изложение, обозна-
чим
(t):=Lε(t, xε(t),yε(t),ξε(t),ηε(t)). (18.48)
γ
ε
Из (18.10), (18.44) и (18.47) имеем ˙γ
(t) 0 при почти всех t ∈ [0,tε).
ε
Принимая во внимание (18.11), получаем
(t) γε(0) ε, ∀t ∈ [0,tε). (18.49)
γ
ε
Выберем последовательность ε
> 0, k =1, 2,...,сходящуюсякнулю.
k
Ниже будут использоваться следующие обозначения
y
(k)
(k)
t
= t
(·)=y
ε
(k)
,x
ε
k
(·), ..., γ
k
(·)=x
(k)
(·)=γ
(·),
ε
k
(·).
ε
k
Без потери общности, можно полагать, что существует предел
(k)
lim
t
lim
∈ (0, ∞].
(k)
t
>θ. (18.50)
С
ЛУЧАЙ (1). Пусть
k→∞
k→∞
Из (18.45), (18.47) и (18.49) имеем
(k)
(0) = w
γ
Из (18.45) и ограничений |u| c, |v| c получаем ξ
Согласно (18.13) имеем w
−2ce
чаем u(x
(k)
(x0,x0)+u(x0) −v(x0) γ
−θ[w(k)(x(k)
= e
(k)
−θ
− εk. Переходя к пределу и принимая во внимание (18.43), полу-
) − v(x0) > −α. Это неравенство противоречит условию (18.42).
0
(k)
(θ),y
(θ)) + ξ
(x0,x0)=εk. Следовательно, u(x0) −v(x0)
(k)
(k)
(θ)=
(θ) − η
e
(k)
(θ)]
−θ[ξ(k)
(k)
(θ) − η
(θ) − η
(k)
(k)
(θ) −2c.
(θ)].
Таким образом, в случае (1) полученное противоречие доказывает, что
) v(x0).
u(x
0
18. РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТИПА ДИРИХЛЕ 257
СЛУЧАЙ (2). Пусть
(k)
lim
t
k→∞
θ. (18.51)
Без потери общности, можно предполагать, что существуют пределы
lim
k→∞
(k)(t(k)
x
), lim
k→∞
(k)(t(k)
y
).
Покажем, что
lim
k→∞
(k)(t(k)
x
) = lim
k→∞
(k)(t(k)
y
) ∈ ∂G. (18.52)
Неравенства (18.45), (18.49), |u| c и |v| c доставляют оценки
(k)(x(k)(t(k)
w
t
e
(k)
(k)(t(k)
),y
(k)
[w
(x0,x0)+u(x0) −v(x0)] −ξ
))
(k)(t(k)
(k)(t(k)
)+η
θ
[εk+2c]+2c.
e
)
Следовательно, ввиду (18.12), заключаем, что
Напомним, что t
(k)(t(k)
(x
),y
(k)(t(k)
(k)(t(k)
x
lim
k→∞
(k)
= t
. Из (18.9) и (18.46) имеем
ε
k
)) ∈ ∂Γ=[∂Δ ×∂Δ] ∪{(x, y) ∈ Δ × Δ: x −y =1}.
) −y
(k)(t(k)
) =0. (18.53)
Из определения множеств Δ=G ∩D и D следует, что
(k)(t(k)
(x
),y
(k)(t(k)
)) ∈ ∂G × ∂G ∪{(x, y) ∈ Δ ×Δ: x − y =1}.
Поэтому, используя (18.53), получаем (18.52).
Из (18.49) и (18.45) имеем оценку
ε
+ u(x0) −v(x0) e
k
−t
[u(x
(k)(t(k)
)) −v(y
(k)(t(k)
))].
(k)
Напомним, что функция u (функция v) полунепрерывна снизу (сверху) на
множестве
G. Функции u и v удовлетворяют краевому условию u(x)=
= v(x)=σ(x) при всех x ∈ ∂G. Следовательно, переходя к пределу в
вышеупомянутой оценке и принимая во внимание (18.52), получаем u(x
) 0. Это противоречит (18.42). Полученное противоречие доказы-
− v(x
0
)−
0
вает теорему 18.5.
258 ГЛАВА IV
18.15. Теорема
Вкаждойточкеx ∈ G непрерывности минимаксного решения u
задачи (18.3), (18.4), это решение удовлетворяет условиям (U3) – (U7)
и (L3)– (L7), сформулированным в разделе 4.2,гдеполагаетсяF (x,z, s)=
= H(x, s) − z. Минимаксное решение u удовлетворяет уравнению (18.3) в
каждой точке x ∈ G, где оно дифференцируемо.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.Пустьu — минимаксное решение задачи (18.3),
(18.4). По теореме 18.6 функция u является верхним решением уравнения (18.3). Поэтому, по теореме 4.3, оно удовлетворяет условиям (U3)– (U7)
во всех точках x ∈ G.
Рассмотрим его верхнее замыкание, определенное формулой
u(x):=inf
Утверждается, что функция
Действительно, пусть (x
Пусть выбрана такая последовательность {(ξ
sup{u(ξ): ξ ∈ G, x − ξ <δ}. (18.54)
δ>0
u удовлетворяет условиям (L3) –(L5).
) ∈ hypo u, 0 <θ<θ0(x0), s ∈ Rn.
0,z0
k,ζk
∞
)}
⊂ W−(u),чтодля
1
нее выполняются соотношения (18.38). Из (18.17) следует, что для каждого k =1, 2,... существует нижнее решение v
ке |u(ξ
) − vk(ξk)| u(ξk) − ζk.Подобнотому,какэтобылосдела-
k
, удовлетворяющее оцен-
k
но при доказательстве утверждения 18.11, можно показать, что существует траектория (x
(x
(θ),z∗(θ)) ∈ hypo u. Следовательно, множество hypo u слабо инвари-
∗
антно относительно характеристического включения (18.18). Функция
(·),z∗(·)) ∈ Sol (x0,z0,s), удовлетворяющая требованию
∗
u является полунепрерывной сверху, поэтому, по теореме 4.3, свойство слабой
инвариантности множества hypo
в которых функция u заменена на
u эквивалентно условиям вида (L3)– (L7),
u и F (x, z, s)=H(x, s) −z.
Если u непрерывна в точке x ∈ G,то
u(x)=
T ((x,
u(x),d+u(x, f )=d+u(x; f ),
u(x)); hypo u)=T((x, u(x));hypo u),
+
u(x)=D+u(x).
D
Следовательно, минимаксное решение удовлетворяет условиям (L3) –(L7)
в точках непрерывности. Если минимаксное решение дифференцируемо
вточкеx ∈ G,тоD
−
u(x)=D+u(x)={Du(x)},гдеDu(x) —гради-
ент u. В таком случае, пара неравенств (U5) и (L5) эквивалентна равенству
H(x, Du(x)) −u(x)=0.
Таким образом, теорема 18.15 доказана.
19. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ НА ОПТИМУМ ВРЕМЕНИ 259
18.16. Дополнительные замечания
Здесь уместно упомянуть о расширении определения вязкостных решений, предложенном Х. Ишии. Согласно определению, приведенному в
работе [94], функция u(x) (возможно разрывная) называется вязкостным
решением уравнения (18.3), если она удовлетворяет условиям
H(x, s) − u
H(x, s) −
где u
и u — нижнее и верхнее замыкания u.
(x) 0,x∈ G, s ∈ D−u(x), (18.55)
u(x) 0,x∈ G, s ∈ D+u(x), (18.56)
Из доказательства теоремы 18.15 очевидным образом следует, что минимаксное решение, определенное соотношением (18.17), удовлетворяет
условиям (18.55) и (18.56). Однако, минимаксное решение может быть не в
состоянии удовлетворить равенствам
u
(x)=u(x)=σ(x) на ∂G (18.57)
(см. пример 18.7). Поэтому, в таком случае, вязкостного решения, определенного условиями (18.55) – (18.57), не существует. С другой стороны,
ясно, что множество функций, удовлетворяющих условиям (18.55), (18.56)
и (18.4), — бесконечно.
19. Дифференциальные игры на оптимум времени
В этом параграфе рассматривается дифференциальная игра быстродействия. Платой в этой игре является время, за которое фазовая точка
достигает терминального (целевого) множества. Приведено доказательство
существования цены в этой игре. Функция цены игры при этом может быть
разрывной и может допускать бесконечные значения. Определены ε-оптимальные стратегии игроков. Структура этих стратегий подобна хорошо
известным конструкциям оптимальных стратегий в случае, когда функция
цены непрерывно дифференцируема. Различие состоит в том, что в предложенной здесь конструкции градиент функции цены, (который может не
существовать), заменен соответствующим квазиградиентом. В построениях, представленных ниже, используются результаты, полученные в предшествующем параграфе.
19.1. Дифференциальные игры преследования–уклонения
Сначала напомним постановку задачи преследования –уклонения.
Пусть заданы две управляемые системы с уравнениями движения
˙
ξ(t)=f
˙η(t)=f
(ξ(t),p(t)), (19.1)
P
(η(t),q(t)). (19.2)
E
260 ГЛАВА IV
Здесь ξ и η — l-мерный и m-мерный вектора, соответственно. Полагаем, что
первый игрок, преследователь, управляет движением системы (19.1), в то
время как движением системы (19.2) управляет второй игрок, убегающий.
Как и в случае игры с фиксированной продолжительностью, (определенной
в параграфе 11), управления игроков удовлетворяют ограничениям
p(t) ∈P, q(t) ∈ Q,
где P и Q — компактные множества. Предполагается, что функции
f
: Rl× P → Rl,fE: Rm× Q → R
P
m
являются непрерывными и удовлетворяют условиям Липшица относительно фазовых переменных.
Рассмотрим задачу преследования, в которой требуется обеспечить,
чтобы первые h координат точек ξ(t) и η(t) совпали (здесь h —такоецелое
число, что h min{l, m}). Первый момент, в который выполняется условие
ξ
(t)=ηi(t), (i ∈ 1,h), называется временемпоимки. Преследователь хочет,
i
чтобы поимка произошла как можно раньше. Убегающий, напротив, стремится или избежать поимки, или, по крайней мере, оттянуть ее, насколько
это возможно. Можно также рассматривать другие варианты определения
условия поимки. Например, можно предполагать, что поимка происходит,
когда впервые реализуется неравенство
h
(ξi(t) −ηi(t))2 r
i=1
2
(здесь r — заданное число, называемое радиусом поимки).
19.2. Дифференциальные игры быстродействия. Основные
предположения
Обратимся теперь к более общему случаю. Пусть движение управляемой системы описывается уравнением
˙x(t)=f (x(t),p(t),q(t)), (19.3)
где x(t) ∈ R
управлениями преследователя и убегающего, P и Q — компактные множе-
ства. Предполагается, что функция f : R
n
— это фазовый вектор системы, p(t) ∈ P и q(t) ∈ Q являются
n
× P × Q → Rnнепрерывна и
удовлетворяет условию Липшица
f(x
(1)
,p,q) − f (x
(2)
,p,q) λx
(1)
(2)
− x
(19.4)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]