Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации
.pdf
9. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПРИ ОСЛАБЛЕННЫХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯХ 101
и неравенствам
ξ(t) u(t, x(t)),η(t) v(t, y(t)) (9.6)
для всех t
t τ,где
0
τ := min{t ∈ [t
S := [0,θ] ×B
,θ]: (t, x(t),y(t),ξ(t),η(t)) ∈ ∂S},
0
× BΛ× [−Λ, Λ] ×[−Λ, Λ].
Λ
Это утверждение может быть доказано так же, как это было сделано в
подобной ситуации в пункте 7.4.
9.2. Предположения
Рассмотрим задачу Коши для уравнения Гамильтона – Якоби (9.1) c
конечным условием
u(θ, x)=σ(x),x∈ R
n
. (9.7)
Сформулируем предположения о гамильтониане H.
(A0) Гамильтониан H (t, x, z, s) непрерывен на (0,θ) ×R
n
× R ×Rn.
(A1) Отображение z → H(t, x, z, s) не возрастает для каждого
(t, x, s) ∈ (0,θ) ×R
(A2) Существуют липшицевая, всюду дифференцируемая функция μ: R
→ R
+
и непрерывная функция ϕ : R+× R+→ R+, которая не убыва-
n
× Rn.
n
ет по обоим своим аргументам, удовлетворяет равенству ϕ(0,R)=0
при R>0, и неравенство
H(t, x, z, s + λDμ(x)) −H(t, x, z, s) ϕ(λ, s) (9.8)
имеет место при (t, x, z, s) ∈ (0,θ) × R
n
× R × Rnи 0 λ 1.
Предполагается также, что
μ(x)=∞, sup
lim
x→∞
(A3) Существуют липшицевая, всюду дифференцируемая функция ν : R
+
, и для каждого h>0 постоянная Ch, такая, что
→ R
H(t, x, z, s + λDν(x)) −H(t, x,z, s) C
при x ∈ R
:= {s ∈ R
n
, t ∈ (0,θ), s ∈ Bhи λ ∈ [0,h] (напомним, что Bh:=
n
: s h}). Кроме того
Dμ(x) < ∞.
n
x∈R
n
h
(9.9)
ν(x) x, для больших x. (9.10)
→
→
102 ГЛАВА II
(A4) Существует число r0> 0, и для каждого ε>0 существует непрерыв-
ная функция w
− y | <r
: Γ → R+(где Γ:={(t, x,y) ∈ (0,θ) ×Rn×Rn: |x −
ε
}), которая дифференцируема в любой точке области Γ и
0
удовлетворяет дифференциальному неравенству
∂w
ε
+ H(t, y, z, D
∂t
) −H(t, x,z, −Dxwε) 0, (9.11)
ywε
∀(t, x, y) ∈ Γ,z∈ R
и соотношениям
(t, x, x) ε, ∀(t,x) ∈ (0,θ) × Rn, (9.12)
w
ε
(t, x, y) 1/ε, при x − y = r0. (9.13)
w
ε
Кроме того,
(t, x, y) dε, Dywε(t, x, y) dε, (9.14)
D
xwε
при всех (t, x, y) ∈ Γ,
lim
inf{wε(θ, x, y): x − y r} = ∞, (9.15)
ε↓0
для r ∈(0,r
(A5) Функция σ : R
].
0
n
→ R равномерно непрерывна.
Эти предположения фактически совпадают с предположениями из работы [55]. Единственное различие состоит в том, что в упомянутой работе
рассматривается задача с начальным условием u(0,x)=σ(x), заданным в
левой граничной точке интервала [0,θ]. Из-за этого знак неравенства в отно-
шении (9.11) противоположен знаку соответствующего неравенства в [55].
9.3. Теорема
Пусть условия (A0), (A1), (A2) и (A4), (A5) выполняются. Пусть u,
v являются, соответственно, верхним и нижним решениями задачи (9.1),
(9.7). Предположим, что C
v(t, x) − u(t, x) C
и C2— такие константы, что неравенство
1
, ∀(t, x) ∈ (0,θ] ×Rn, (9.16)
1
а также либо неравенство
|u(t, x) −u(t, y)| C
, либо |v(t, x) −v(t, y)| C
2
2
(9.17)
9. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПРИ ОСЛАБЛЕННЫХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯХ 103
имеют место при t ∈ (0,θ], x − y r0(где r0— число, указанное в
предположении (A4)).Тогдаu v.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное, т. е. предположим, что су-
ществуют верхнее решение u, нижнее решение v иточка(t
∈ (0,θ) ×R
n
такие, что
0,x0
) ∈
a := v(t
) −u(t0,x0) ∈ (0,C1]. (9.18)
0,x0
Рассмотрим функцию
L
(t, x, y, ξ, η):=wε(t, x, y)+ξ −η + βgr(μy)). (9.19)
ε
Здесь μ и w
дифференцируемая функция g
— функции, определенные в условиях (A2) и (A4). Непрерывно
ε
: R+→ R+имеет следующие свойства:
r
dg
0 g
(z)
(z):=
r
g
r
1, lim
dz
(ζ)=0, при 0 ζ r. (9.20)
r
gr(z)
z→∞
Выберем такие положительные числа r, ε и β,что
R μ(x
Напомним, что ϕ, C
), 1/ε > C := C1+ C2+1,
0
ε +3εθ < a, ϕ(β, d
, C2и dε— это величины, определенные в оценках
1
) ε. (9.21)
ε
(9.8), (9.16), (9.17) и (9.14).
Функция L
Полагаем ξ
будет рассматриваться в области
ε
W := {(t, x, y, ξ, η):t
w
(t, x, y)+βgr(μ(y)) <C, −C<ξ−η<0}. (9.22)
ε
:= u(t0,x0), η0:= v(t0,x0). Заметим, что
0
t θ, (t, x, y) ∈ Γ,
0
=1,
z
(t
0,x0,x0,ξ0,η0
) ∈W, Lε(t0,x0,x0,ξ0,η0) ε −a.
Действительно, согласно (9.18) и (9.12), имеем −C<−C
= −a<0 и w
следует, что g
получаем w
(t
0,x0,x0
(μ(x0)) = 0. Принимая во внимание неравенство ε+3εθ < a,
r
ε(x0,x0,t0
) ∈ Γ.
ε(t0,x0,x0
) ε. Из определения функции grичислаr
)+βgr(μ(x0)) ε<a<C.Очевиднотакже,что
ξ0− η0=
1
104 ГЛАВА II
Заметим, что для некоторого Λ1> 0 неравенства
x Λ
, y Λ
1
1
имеют место в любой точке (t, x, y, ξ, η) ∈ W . Полагаем
p(t, x, y):=−D
q(t, x,y):=D
(t, x)+βg
ywε
(t, x, y),
xwε
(μ(y))Dyμ(y), (9.23)
r
d(t, x, y):=max{p(t, x, y), q(t, x, y)},
Λ
:= sup{d(t,x, y): t ∈ (0,θ), x Λ1, y Λ1}.
2
Так как функция u (функция v) — полунепрерывна снизу (cверху), то при
некотором Λ
> 0 справедливы оценки
3
u(t, x) −Λ
,v(t, y) Λ3,
3
для всех (t, x,y, ξ, η) ∈ W . Полагаем
Λ:=max{Λ
, Λ2, Λ3+ C +1}.
1
Рассмотрим теперь систему (9.5), в которой функции p(t, x, y), q(t, x, y)
ичислаε, Λ выбраны, как указано выше. Пусть
W
:= {(t,x, y, ξ,η) ∈ W : |ξ| < Λ, |η| < Λ}.
Согласно замечанию, данному в конце пункта 9.1, существует решение
(x
(·),yε(·),ξε(·),ηε(·)) системы (9.5), которое удовлетворяет начальным
ε
условиям x
ξ
)=yε(t0)=x0, ξε(t0)=ξ0, ηε(t0)=η0и неравенствам
ε(t0
(t) u(t, xε(t)),ηε(t) v(t, yε(t)), ∀t ∈ [t0,τ], (9.24)
ε
где
τ := min{t ∈ (t
,θ]: (t, xε(t),yε(t),ξε(t),ηε(t)) ∈ ∂W}.
0
Если t τ , то из (9.22), (9.24) следует
ξ
(t) ηε(t) v(t, xε(t)) Λ3< Λ,ξε(t) −C>−Λ,
ε
то есть |ξ
лению момента τ ,точка(τ, x
множества W
(t)| < Λ. Точно так же получается оценка |ηε(t)| < Λ.Поопреде-
ε
. Принимая во внимание, что |ξε(τ)| < Λ, |ηε(τ)| < Λ,полу-
(τ),yε(τ),ξε(τ),ηε(τ)) принадлежит границе
ε
чаем, что эта точка принадлежит границе множества W , т. е. имеет место
одно из следующих равенств
(τ) −yε(τ) = r0, (9.25)
x
ε
w
(τ,xε(τ),yε(τ)) + βgr(μ(yε(τ))) = C,
ε
ξ
(τ) −ηε(τ)=−C, ξε(τ) −ηε(τ)=0,τ= θ.
ε
9. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПРИ ОСЛАБЛЕННЫХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯХ 105
Покажем, что первые четыре равенства ложны и справедливо только последнее равенство τ = θ.
Оценим производную функции L
вдоль рассматриваемого решения.
ε
Согласно (9.19), (9.5) и (9.23), имеем
dL
Из условия (9.8) и неравенства ϕ(β, d
∂w
ε
dt
ε
=
∂t
+ D
, ˙x + Dywε, ˙y+ βg
xwε
H(t, y, η, q)=H(t,y, η, D
ywε
Dyμ, ˙y+˙ξ − ˙η
r
∂w
ε
− H(t, x, ξ,p)+H(t, y,η, q)+2ε.
∂t
) ε получим
ε
+ βg
Dyμ) H(t, y, η, Dywε)+ε.
r
Так как H(t, x, z, s) — невозрастающая функция по z, то из неравенства ξ<η(справедливого для точек (x, t, y, ξ, η) ∈ W )следует,что
H(t, y, η, D
) H(t, y, ξ, Dywε).
ywε
Используя условие (9.11), получим
DL
ε
Отметим, что L
3ε для почти всех t ∈ [t
dt
ε(t0,x0,x0,ξ0,η0
) ε − a. Функция Lεнепрерывна
,τ]. (9.26)
0
на W ∪ ∂W, поэтому из (9.26) и (9.21) следует
L
(τ,xε(τ),yε(τ),ξε(τ),ηε(τ)) ε −a +3εθ < 0. (9.27)
ε
Предположим, что справедливо первое равенство в (9.25). Тогда, согласно (9.13), (9.24), (9.16), (9.17) и (9.21), получаем
L
(τ,xε(τ),yε(τ),ξε(τ),ηε(τ))
ε
1
+ u(τ,x(τ)) −v(τ,y(τ))
ε
1
+ ξ
ε
ε
(τ) −ηε(τ)
1
ε
− C
− C2> 0.
1
Это противоречит (9.27). Поэтому первое равенство в (9.25) оказывается
неверным.
Рассмотрим второе равенство. Из (9.27), (9.24) и (9.22) вытекает
W
(τ),yε(τ),τ)+βgr(μ(yε(τ))) <ηε(τ) −ξε(τ) C.
ε(xε
Поэтому второе равенство в (9.25) неверно.
106 ГЛАВА II
Из (9.24), (9.16) и (9.17) следует ξε(τ) −ηε(τ) −C1− C2> −C.Так
как w
0 и gr 0, то из (9.27) вытекает, что ξε(τ) −ηε(τ) < 0.Поэто-
ε
му третье и четвертое равенства в (9.25) также неверны. Таким образом,
доказано, что τ = θ.
Принимая во внимание, что g
− v(x
), из (9.26) получаем
0,t0
(μ(x0)) = 0, ξ0− η0= u(x0,t0) −
r
L
ε(t0,x0,x0,ξ0,η0
= w
(θ, xε(θ),yε(θ)) + ξε(θ) − ηε(θ)+βgr(μ(yε(θ))) − 3εθ
ε
Последняя оценка есть следствие соотношений (9.24), (9.7) и w
)=wε(t0,x0,x0)+u(t0,x0) −v(t0,x0)
(θ, xε(θ),yε(θ),ξε(θ),ηε(θ)) − 3εθ =
L
ε
(θ, xε(θ),yε(θ)) + ξε(θ) − ηε(θ) − 3εθ
w
ε
σ(x
ε
(θ)) − σ(yε(θ)) − 3εθ.
0.Из
ε
неравенства
w
(θ, xε(θ),yε(θ)) wε(t0,x0,x0)+u(t0,x0) −v(t0,x0)−
ε
(θ)+ηε(θ)+3εθ ε −a + C +3εθ
− ξ
ε
и условия (9.15) вытекает
x
(θ) − yε(θ)→0, когда ε → 0.
ε
Напомним, что функция σ равномерно непрерывна в R
σ(x
(θ)) − σ(yε(θ)) → 0,когдаε → 0. Принимая во внимание (9.12) и
ε
n
.Поэтому
переходя к пределу при ε → 0 в неравенстве
ε −a w
ε(t0,x0,x0
)+u(t0,x0) −v(t0,x0) σ(xε(θ)) − σ(yε(θ)) − 3εθ,
приходим к противоречию.
Теорема 9.3 доказана. Отметим, что в работе [55] использовались предположения, что верхнее и нижнее решения непрерывны. Приведенное выше
доказательство использует более слабое предположение о полунепрерывности решений.
9.4. Утверждение
Пусть предположения (A0), (A1), (A3) –(A5) выполнены. Пусть u —
верхнее решение задачи (9.1), (9.7),аv — нижнее решение этой задачи.
Предположим, что существуют такие константы C
и K, что следующая
2
оценка
v(t, x) u(t, x)+K(1 + x), ∀(t, x) ∈ (0,θ] ×R
n
(9.28)
иоднаизоценок(9.17) справедливы. Тогда верна оценка (9.16).
9. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПРИ ОСЛАБЛЕННЫХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯХ 107
Таким образом, в этом утверждении заявлено, что оценка (9.16) из
теоремы 9.3 может быть заменена условием (A3) и оценкой вида (9.28).
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Без потери общности можно принять, что выполня-
ется первая из оценок (9.17), т.е.
для t ∈ (0,θ], x − y r
|u(t, x) −u(t, y)| C
(где r0— число, используемое в предположе-
0
2
нии (A4)). Полагаем
где K, d
β := K +1,h(ε):=d
, Ch— константы из оценок (9.28), (9.14) и (9.9). Определим
ε
+ β, M(ε):=C
ε
следующие величины
n
m := sup{|σ(x) −σ(y)|:(x, y) ∈ R
1
(C2+2)
где C
:=
ε
0
— константа из оценки (9.29). Далее, полагаем
2
ψ(t, x,ε, r):=u(t, x) −v(t, x)+m +1+βg
a := inf{ ψ(t, x, ε,r): x ∈ R
Здесь g
— функция, которая удовлетворяет условиям (9.20), а функция ν
r
n
,t∈ (0,θ], 0 <ε ε0,r>0}. (9.32)
× Rn, x −y r0},
< 1, (9.31)
(ν(x)) + M (ε)(θ −t);
r
используется в предположении (A3).
Рассмотрим два случая: (i) −2 a<∞; (ii) −∞ a<−2.
В случае (i) для любой точки (t, x) ∈ (0,θ] × R
u(t, x) −v(t, x)+inf
βgr(ν(x)) + M (ε0)(θ − t)+m +1=
r>0
= u(t,x) −v(t, x)+M(ε
0
n
)(θ − t)+m +1 a −2.
+2, (9.30)
h(ε)
имеем
(9.29)
Поэтому
v(t, x) − u(t, x) C
:= M(ε0)θ + m +3.
1
Следовательно, в этом случае оценка (9.16) справедлива.
Остается доказать, что случай (ii) невозможен. Предположим обратное. Выберем параметры ε ∈ (0,ε
] и r>0 такими, чтобы выполнялось
0
следующее неравенство
b := inf{ψ(t, x, ε,r): t ∈ (0,θ],x∈ R
n
} < −2.
108 ГЛАВА II
Из (9.28), (9.10) и неравенства β>K(см. (9.30)) следует, что b>−∞.
Выберем такую точку (t
) ∈ (0,θ] ×Rn,чтоψ(t0,x0,ε,r) <b+1< −1.
0,x0
Определим функцию
(t, x, y, ξ, η):=wε(t, x, y)+ξ−η+βgr(ν(y))+M(ε)(θ−t)+m+1, (9.33)
L
ε
которая будет рассматриваться в области
W := {(t, x, y, ξ,η): t
t θ, (t, x, y) ∈ Γ,
0
− C
− 1 −K (1 + y) <ξ− η<0}. (9.34)
2
Пусть
q(t, x,y):=D
Определим числа Λ
p(t, x, y):=−D
(t, x)+βg
ywε
, Λ2, Λ3таким же образом, как и в доказательстве
1
(t, x, y),
xwε
(ν(y))Dyν(y).
r
теоремы 9.3. Полагаем
Λ:=max{Λ
, Λ2, Λ3+1}.
1
Рассмотрим систему (9.5), в которой функции p(t, x, y), q(t, x,y) ичисла ε, Λ выбраны как указано выше. Полагаем ξ
Из оценки ψ(t
,ε,r) <−1 вытекает, что ξ0−η0= u(t0,x0) − v(t0,x0) < 0.
0,x0
:= u(t0,x0), η0:= v(t0,x0).
0
С другой стороны, из (9.28), (9.29) следует
− η0= u(t0,x0) −v(t0,x0) −K(1 + x0) > −C2− 1 −K (1 + x0).
ξ
0
Таким образом, доказано, что (t
u(t
) −Λ3, v(t0,x0) Λ3.Поэтому|ξ0| < Λ, |η0| < Λ.
0,x0
0,x0,x0,ξ0,η0
) ∈ W . Заметим также, что
Полагаем
:= {(t,x, y, ξ,η) ∈ W : |ξ| < Λ, |η| < Λ}.
W
Согласно замечанию в конце пункта 9.1, существует решение
(·),yε(·),ξε(·),ηε(·)) системы (9.5), которое удовлетворяет начальным
(x
ε
условиям x
)=yε(t0)=x0, ξε(t0)=ξ0, ηε(t0)=η0и неравен-
ε(t0
ствам (9.24).
Если t τ , то из (9.34), (9.24) вытекает
(t) ηε(t) v(t, yε(t)) Λ3< Λ,
ξ
ε
(t) ξε(t) u(t, xε(t)) −Λ3> −Λ.
η
ε
9. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПРИ ОСЛАБЛЕННЫХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯХ 109
Поэтому из условия (τ, xε(τ),yε(τ),ξε(τ),ηε(τ)) ∈ ∂Wполучаем, что
справедливо одно из равенств
x
(τ) −yε(τ) = r0,ξε(τ) −ηε(τ)=0,
ε
(τ) −ηε(τ)=−C2− 1 −K (1 + yε(τ)),τ= θ. (9.35)
ξ
ε
Вычислим производную функции L
(x
(·),yε(·),ξε(·),ηε(·)).
ε
вдоль указанного решения
ε
Покажем, что
DL
ε
< 0, при почти всех t ∈ [t
dt
,τ]. (9.36)
0
Согласно (9.5) и выбору функций p(t, x,y), q(t, x,y), справедливы оценки
dt
∂w
ε
ε
=
∂t
+ D
xwε
, ˙x + Dywε, ˙y+
+˙ξ − ˙η + βg
∂w
∂t
r
ε
− H(t, x, ξ,p)+H(t, y, η, q) −M (ε)+2ε.
Dyν, ˙y−M (ε)
+ β, M(ε)=C
ε
+2(см. (9.30))
h(ε)
DL
Из условия (9.9) и равенств h(ε)=d
вытекает
H(t, y, η, q)=H(t,y, η, D
H(t, y, η, D
ywε
ywε
+ βg
)+C
Dyν)
r
= H(t, y, η, Dywε)+M(ε) −2.
h(ε)
Из условия (A1) и неравенства ξ<η, которое выполняется для
(t, x, y, ξ, η) ∈ W ,следует,что
H(t, y, η, D
) H(t, y, ξ, Dywε).
ywε
Используя условие (9.11) и неравенство ε<1, получаем (9.36).
Отметим, что
L
ε(t0,x0,x0,ξ0,η0
Функция L
непрерывна на W ∪ ∂W. Поэтому из (9.36) получаем
ε
L
)=wε(t0,x0,x0)+ψ(t0,x0,ε,r) <b+2< 0.
(τ,xε(τ),yε(τ),ξε(τ),ηε(τ)) <b+2< 0. (9.37)
ε
110 ГЛАВА II
Предположим, что справедливо первое равенство в (9.35). Тогда, согласно (9.13), (9.24), (9.17), получаем
L
(τ,xε(τ),yε(τ),ξε(τ),ηε(τ))
ε
1/ε − C
+ ψ(yε(τ),τ,ε,r) 1/ε −C2+ b b +2.
2
Приходим к противоречию с (9.37). Следовательно, первое равенство
в (9.35) неверно. Величины w
, β, grи M(ε) неотрицательны. Тогда из (9.37)
ε
вытекает, что второе равенство в (9.35) не выполняется. Третье равенство
противоречит (9.28), (9.29). Рассмотрим четвертое равенство. Если τ = θ,
то из (9.37) следует, что
σ(x
(θ)) − σ(yε(θ)) = u(θ,xε(θ)) − v(θ, yε(θ)) ξε(θ) − ηε(θ) < −m −1.
ε
Из того, что x
(θ) −yε(θ) r0, приходим к противоречию с (9.31). Таким
ε
образом, заключаем, что случай (ii) невозможен.
10. Конструктивные и численные методы
В этом параграфе содержатся несколько результатов из области конструктивных и численных методов решения задачи Коши для уравнений
Гамильтона–Якоби. Сначала рассматриваются формулы Хопфа и показывается, что они определяют обобщенное решение в минимаксном и вязкостном смысле. Приведено прямое доказательство этого факта, которое
основано на результатах выпуклого и негладкого анализа. При этом использована также теорема о минимаксе. Далее приведены результаты для случая,
когда гамильтониан H(t, x, s) является выпуклым по переменной s.Показано, что при этом условии минимаксное решение в задаче Коши совпадает
с функцией цены некоторой задачи динамической оптимизации. Если, в дополнение к упомянутому условию выпуклости, гамильтониан достаточно
гладок, то для получения негладких минимаксных решений можно модифицировать классический метод характеристик. В заключение приводятся
отдельные результаты по применению конечно-разностных операторов и
сеточных методов.
10.1. Формулы Хопфа
Рассмотрим задачу Коши для уравнения Гамильтона– Якоби
∂u
∂t
+ H(D
u)=0, (t, x) ∈ Γ:=(0,θ) ×Rn, (10.1)
x
u(θ, x)=σ(x),x∈ R
n
. (10.2)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]