Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации
.pdf
4. КРИТЕРИИ СЛАБОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ МИНИМАКСНЫХ РЕШЕНИЙ 41
4.3. Теорема
Для полунепрерывной снизу функции u: G → R условия (U1), (U2),
..., (U7) эквивалентны. Аналогично, для полунепрерывной сверху функ-
ции u: G → R свойства (L1), (L2), . . . , (L7) эквивалентны. Для непрерывной
функции u: G → R условия (M1), (M2), . . . , (M7) эквивалентны.
Отметим, что указанные условия эквивалентны, если рассматривают-
ся для всех x в открытой области G. Если мы рассмотрим эти условия
в фиксированной точке x, то некоторые из них не эквивалентны. Например, если условие (U4) имеет место для некоторой фиксированной точки x,
тогда, очевидно, условие (U3) может не выполняться. В дифференциальных включениях (4.8) и (4.10) можно использовать многозначное отображение вида (2.5), которое удовлетворяет всем условиям, сформулированным в
пункте 2.5.
Теорема 4.3 доказана в пункте 4.6. Следуя этой теореме, любое из упо-
мянутых условий (U1) – (U7) (соответственно (L1) – (L7) или (M1)– (M2))
может быть принято за определение верхнего (соответственно нижнего или
минимаксного) решений. Таким образом, мы приходим к следующим определениям.
4.4. Определения
Верхним решением уравнения (2.1) называется полунепрерывная сни-
зу функция u : G → R, которая удовлетворяет любому из эквивалентных
условий (U1) – (U7). Аналогично, нижним решением уравнения (2.1) называется полунепрерывная сверху функция u : G → R, которая удовлетворяет любому из эквивалентных условий (L1)– (L7). Минимаксным решением
уравнения (2.1) называется непрерывная функция u: G → R, которая удо-
влетворяет любому из эквивалентных условий (M1)– (M7).
Приведем еще одно доказательство совместности понятий минимакс-
ного и классического решений. Мы используем при этом определение минимаксного решения с помощью условия (M6). Пусть функция u диффе-
ренцируема в точке x.Тогда
T (u)(x)={
(f,g) ∈ Rn× R : g = f,Du(x)},
т. е. здесь контингентный конус T (u)(x) совпадает с касательной гиперплоскостью (точнее, с касательным подпространством). Если s = Du(x),
то гиперплоскости T (u)(x) и Γ(x, u(x),s) пересекаются. Таким образом,
если функция u дифференцируема в точке x, то условие (M6) эквивалентно
условию
{(f,g): g = f,s} ∩{(f,g): g = f,s−F (x, u(x),s)} = ∅
42 ГЛАВА I
для s = Du(x). Очевидно, что последнее условие эквивалентно равенству
F (x, u(x),Du(x)) = 0.
Следовательно, мы получаем, что минимаксное и классическое решения
совпадают.
Отметим, что соотношение (M6) может быть рассмотрено как «геомет-
рическая» интерпретация уравнения F (x, u(x),Du(x)) = 0.
Как было только что показано, в точках x ∈ G, где функция u диффе-
ренцируема, рассмотренное уравнение и условие (M6) эквивалентны. Если
функция u недифференцируема в точке x, то тогда условие (M6) является
естественным обобщением уравнения (2.1).
4.5. Вязкостные решения
Напомним определение вязкостного решения, которое было введено
М. Дж.Крэндаллом и П.Л. Лионсом (см. [57, 58]).
Непрерывная функция называется вязкостным суперрешением (суб-
решением), если имеет место следующее условие: пусть точка x
0
∈ G
является точкой локального минимума (максимума) для u(x) − ϕ(x),и
функция ϕ дифференцируема в этой точке, тогда имеет место неравенство (4.12) (неравенство (4.13))
F (x
,u(x0),Dϕ(x0)) 0, (4.12)
0
F (x
,u(x0),Dϕ(x0)) 0. (4.13)
0
Функция называется вязкостным решением, если она одновременно является суперрешением и субрешением.
В теории вязкостных решений для определения супер- и субрешений
были введены также соотношения вида (U5) и (L5) (см. [54] (4.12) и (4.13)
соответственно). Заметим, что знаки в неравенствах (4.12) и (4.13) противоположны знакам неравенств в соответствующих соотношениях определения, данного в работах М. Дж. Крэндалла, Л. С.Эванса и П. Л. Лионса.
Дело в том, что в этих работах были рассмотрены неубывающие функции z → F(x, z, s). Для конструкций, предлагаемых в этой книге, более
подходят невозрастающие функции z → F(x, z, s).
Согласно теореме 4.3, минимаксное и вязкостные решения эквивалент-
ны. Более того, если верхние (нижние) решения рассматривать в классе
непрерывных функций, то они эквивалентны вязкостным суперрешениям
(субрешениям).
4. КРИТЕРИИ СЛАБОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ МИНИМАКСНЫХ РЕШЕНИЙ 43
4.6. Доказательство теоремы 4.3
Сначала мы докажем эквивалентность условий (U1) –(U7). Мы рас-
смотрим импликации в следующем порядке
(U2) ⇔ (U3) ⇔ (U4), (U5) ⇔ (U6), (U3) ⇔ (U6),
(U6) ⇒ (U7), (U7) ⇒ (U5), (U1) ⇔ (U2).
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ (U2) ⇔ (U3) ⇔ (U4).
Пусть u : G → R — полунепрерывная снизу функция. Согласно следствию A8.1 (см. параграф A8), множество epi u слабо инвариантно относительно дифференциального включения (4.8) тогда и только тогда, когда
имеет место следующее условие
T ((x, z); epi u) ∩ E
+
(x, z, ψ) = ∅, ∀(x,z) ∈ epi u (4.14)
или выполняется следующее эквивалентное условие
co T ((x, z); epi u) ∩ E
+
(x, z, ψ) = ∅, ∀(x,z) ∈ epi u. (4.15)
Так что мы имеем
(U2) ⇔ (4.14) ⇔ (4.15).
Заметим, что (x, u(x)) ∈ epi u. Таким образом,
(4.14) ⇒(U3), (4.15) ⇒ (U4).
Пусть имеет место (U3). Выберем произвольные x ∈ G и ψ ∈ Ψ.
Условие (U3) влечет существование
(f
) ∈T((x, u(x));epi u) ∩ E+(x, u(x),ψ).
∗,g∗
Используя соотношение (A5.9) (см. пункт A5),
T ((x, u(x)); epi u) ⊂ T ((x, z); epi u) ∀z u(x),
мы получаем (f
Так как (f
(см. пункт 2.5) мы видим, что существуют (f
рых g
∗,g∗
g∗.Таккак(f∗,g∗) ∈ T ((x, z); epi u) и g g∗, то из определения
конуса T ((x, z); epi u) следует, что (f
) ∈ T ((x, z); epi u) для любой точки (x, z) ∈ epi u.
∗,g∗
) ∈ E+(x, u(x),ψ) и z u(x), и вследствие условия (iii+)
,g) ∈ E+(x, z, ψ),длякото-
∗
,g) ∈ T ((x, z); epi u) (см. (A5.7)).
∗
Следовательно
(f
,g) ∈ T ((x, z); epi u) ∩E+(x, z, ψ).
∗
44 ГЛАВА I
Таким образом, мы получаем
(U3) ⇒ (4.14) ⇔ (4.15).
Аналогично, мы имеем (U4)⇒(4.15). Эквивалентность (U2) ⇔ (U3) ⇔ (U4)
доказана.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ (U5)⇔(U6).
Пусть имеет место условие (U6). Выберем произвольный вектор s∈D
Согласно условию (iv
+
) (см. пункт 2.5), существует такой параметр ψ0∈ Ψ,
−
u(x).
что
F (x, u(x),s)=min{s, f−g:(f,g) ∈ E
−
Отметим, что функция f → d
+
ство E
(x, u(x),ψ0) замкнуто и ограничено. Тогда из условия (U6) вытека-
ет существование таких (f
неравенству
u(x; f ) полунепрерывна снизу, а множе-
,g
) ∈ E+(x, u(x),ψ0), которые удовлетворяют
−
d
u(x; f) −g 0.
+
(x, u(x),ψ0)}. (4.16)
Из (4.16) следует, что
F (x, u(x),s) s, f
−g.
Из определения субдифференциала (см. (4.5)) вытекает неравенство
−
d
u(x; f) −s, f 0.
Комбинируя приведенные выше неравенства, мы приходим к неравенству F (x, u(x),s) 0. Импликация (U6)⇒(U5) доказана.
Докажем импликацию (U5)⇒(U6). Пусть имеет место (U5), и предпо-
ложим, от противного, что
−
min{d
u(x0; f ) − g :(f,g) ∈ E+(x0,u(x0),ψ)} > 0
для некоторой точки (x
,ψ) ∈ G × Ψ.Таккакf → d−u(x0; f ) —полу-
0
непрерывная снизу функция, то существует такое положительное число α,
что
где E
α
— α-окрестность множества E+(x0,u(x0),ψ).
min{d
−
u(x0; f ) − g :(f,g) ∈ Eα} > 0, (4.17)
Используем теорему A6.1. Полагаем
y =(x, z) ∈ Y = G ×R,v(x, z)=u(x) −z,
n
× R,H= Eα,y0=(x0, 0).
Заметим, что d
h =(f,g) ∈ R
−
v(y;h)=d−v(x, z; f, g)=d−u(x; f ) −g.
4. КРИТЕРИИ СЛАБОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ МИНИМАКСНЫХ РЕШЕНИЙ 45
Пусть D−v(x, z) ⊂ Rn× R — субдифференциал функции v,авек-
тор (s, a) ∈ D
−
v(x, z) — субградиент этой функции. Согласно определени-
ям последнего (см. (4.5)), имеют место соотношения
s, f + ag − d
для всех (f, g) ∈ R
Из условия (4.17) вытекает, что функция v удовлетворяет условиям теоремы A6.1. Напомним, что многозначное отображение (x, z) → E
−
v(x, z; f, g)=s, f+ ag −d−u(x; f )+g 0
n
× R. Следовательно,
−
a = −1,s∈ D
u(x). (4.18)
+
(x, z, ψ)
полунепрерывно снизу, и, значит, можно подобрать такое число ε>0,что
имеет место неравенство
,z
E(x
Согласно теореме A6.1, существуют такие точка y
градиент (s
Так как E
,ψ) ⊂ Eα, ∀x∈ B(x0; ε), ∀ z∈ [u(x0) −2ε, u(x0)+2ε].
=(xε,zε) ∈ Y исуб-
, −1) ∈ D−v(yε),что
ε
− xε <ε, |zε| <ε, |u(x0) −u(xε)+zε| <ε,
x
0
min{s
+
(xε,u(xε),ψ) ⊂ Eα, мы получаем из (4.19) и (iv+)(см.
,f−g:(f,g) ∈ Eα} > 0. (4.19)
ε
ε
пункт 2.5), что
F (x
,u(xε),sε) min{sε,f−g:(f,g) ∈ E+(xε,u(xε),ψ)}
ε
min{s
,f−g:(f,g) ∈ Eα} > 0.
ε
Вследствие (4.18), мы имеем s
∈ D−u(xε). Последнее неравенство проти-
ε
воречит предположению о выполнении всюду условия (U5). Этим противоречием, с помощью метода reductio ad absurdum, завершено доказательство
импликации (U5)⇒(U6).
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ (U3)⇔(U6).
Докажем сначала импликацию (U3)⇒(U6). Пусть
,g
) ∈ T ((x, u(x);epi u) ∩E+(x, u(x),ψ).
(f
−
Из (A5.5) следует, что выполняется также неравенство d
u(x; f) −g 0,
так что из условия (U3) вытекает условие (U6).
Теперь докажем импликацию (U6)⇒(U3). Обозначим
n
F := {f ∈ R
: ∃g ∈ R такое, что (f, g) ∈ E+(x, u(x),ψ)},
46 ГЛАВА I
т. е. множество F является проекцией E+(x, u(x),ψ) на Rn.Возможныдва
случая.
Случай 1. Предположим, что d
Согласно (U6), существуют такие (f
−
d
−
u(x; f ) > −∞ для любого f ∈F.
,g
) ∈ E+(x, u(x),ψ),что
u(x; f) −g 0.
Из (A5.5) и из того, что конус T ((x, u(x)); epi u) замкнут, мы имеем, что
,d−
(f
u(x; f)) ∈ T ((x, u(x));epi u).
,g
Согласно (A5.7), справедливо (f
,g
(f
) ∈ T ((x, u(x));epi u) ∩E+(x, u(x),ψ).
Случай 2. Предположим, что существует такой вектор f
−
что d
(f
ем, что (f
(f
Пусть выполняется условие (U6). Выберем произвольно s ∈ R
но (iv
u(x; f)=−∞. Из условий (A5.5) и (A5.7) мы получаем, что
,g) ∈ T ((x,u(x)); epi u) для всех g ∈ R. В частности, мы получа-
,g
Д
,g
) ∈T((x, u(x));epi u) для всех чисел g∈ R,такчто
) ∈ E+(x, u(x),ψ). Импликация (U6)⇒(U3) доказана.
ОКАЗАТЕЛЬСТВО ИМПЛИКАЦИЙ (U6)⇒(U7), (U7)⇒(U5).
+
) (см. пункт 2.5), существует такой вектор ψ0∈ Ψ,что
F (x, u(x),s)=min{s, f−g:(f,g) ∈ E
Заметим, что функция f → d
+
ство E
ем, что существуют такие (f
ют неравенству
(x, u(x),ψ0) компактно. Тогда, используя условие (U6), мы получа-
d
,g
−
) ∈ T ((x, u(x));epi u).Следовательно,
n
. Соглас-
+
(x, u(x),ψ0)}. (4.20)
−
u(x; f ) полунепрерывна снизу, а множе-
) ∈ E+(x, u(x),ψ0), которые удовлетворя-
u(x; f) −g 0.
∈F,
Из (4.20) мы получаем
s, f
−g F (x, u(x),s).
Итогда
Импликация (U6)⇒(U7) доказана.
Пусть имеет место условие (U7). Выберем произвольно s ∈ D
Согласно определению субдифференциала (см. (4.5)), неравенство
−
u(x; f ) −s, f 0 имеет место для всех f ∈ Rn. Таким образом, из (U7)
d
−
d
u(x; f) −s, f + F(x, u(x),s) 0.
−
u(x).
следует (U5).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ (U1)⇔(U2).
Импликация (U2)⇒(U1) очевидна.
4. КРИТЕРИИ СЛАБОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ МИНИМАКСНЫХ РЕШЕНИЙ 47
Пусть полунепрерывная снизу функция u: G → R удовлетворяет усло-
вию (U1). Ясно, что такая функция удовлетворяет и условию (U7). Как было
показано выше, (U7)⇒(U5), (U5)⇔(U2). Импликация (U1)⇒(U2) доказана.
Таким образом, доказана эквивалентность условий (U1) – (U7). Эквива-
лентность условий (L1) – (L7) может быть доказана аналогичным образом.
Сейчас мы докажем эквивалентность условий (M1) – (M7).
Эквивалентность (M2), (M3) и (M4) вытекает сразу из следствия A8.1
(см. параграф A8). Эквивалентность условий (M6) и (M7) очевидна. Импликация (M2)⇒(M1) также очевидна. Таким образом, нам осталось показать
следующее
(M2) ⇔ (M5), (M5) ⇒ (M6),
(M6) ⇒ (M5), (M1) ⇒ (M5).
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ (M2)⇔(M5).
Пусть E
ям, перечисленным в пункте 2.5. В соотношениях (U2) и (L2) мы полагаем
+
E
(U2) и (L2) как (U2
паре свойств (U2
— многозначное отображение, которое удовлетворяет всем услови-
= E−= E, и обозначим модифицированные таким образом свойства
)и(L2) соответственно. Свойство (M2) эквивалентно
)и(L2). Доказательство этого факта для многозначной
функции E вида (2.5) дано в пункте 3.2. Это доказательство может быть
распространено и на случай, когда вместо E используется произвольное
многозначное отображение E
та 2.5. Как было показано выше, свойство (U2
, которое удовлетворяет всем условиям пунк-
) (соответственно (L2)) эквивалентно каждому из условий (Ui) (соответственно (Li)) (i =1, 2,...,7).
Итак, мы получили, что (M2)⇔(M5).
ОКАЗАТЕЛЬСТВО ИМПЛИКАЦИИ (M5)⇒(M6).
Д
Предположим, что имеет место условие (M5). Тогда справедливы и условия (U6) и (L6). Пусть
G ×R ×Ψ
(x, z, ψ) → E+(x, z, ψ) ⊂ Rn× R
— некоторое многозначное отображение, которое обладает свойствами (i),
+
(ii), (iii
— многозначное отображение, которое обладает свойствами (i), (ii), (iii
(iv
ствуют такие ψ
), (iv+) из пункта 2.5. Аналогично, пусть
G ×R ×Ψ
−
).
Выберем произвольный вектор s ∈ R
0
∈ Ψи ψ0∈ Ψ,что
(x, z, ψ) → E−(x, z, ψ) ⊂ Rn× R
F (x, u(x),s)=min{s, f−g:(f,g) ∈ E
F (x, u(x),s)=max{s, f −g :(f, g) ∈ E
n
. Согласно (iv+)и(iv−), суще-
+
(x, u(x),ψ0)}, (4.21)
−
(x, u(x),ψ0)}. (4.22)
−
),
48 ГЛАВА I
Докажем, что существуют такие
,g
) ∈ T (u)(x), (f,g) ∈ T (u)(x),
(f
что
−g F (x, u(x),s), s, f−g F (x, u(x),s). (4.23)
s, f
Сначала предположим, что d
но (U6) и (4.21), существуют (f
−
= d
u(x; f) g∗< ∞,и
−g s, f−g∗ F (x, u(x),s).
s, f
Используя (A5.14), мы получаем, что (f
Теперь рассмотрим оставшийся случай. Предположим, что существует такой вектор f ∈ R
=0и g
ем (f
венств в (4.23). Аналогичным образом мы можем показать, что существуют (f
= −|F (x, u(x),s)|. Используя утверждение A5.1, мы получа-
,g
) ∈ T (u)(x).Ясно,что(f,g) удовлетворяют первому из нера-
,g
) ∈T(u)(x), удовлетворяющие второму неравенству в (4.23).
−
u(x; f ) > −∞ для всех f ∈ Rn. Соглас-
,g∗
) ∈ E+(x, u(x),ψ0),такие,чтоg:=
,g
) ∈ T (u)(x).
n
,чтоd−u(x; f )=−∞. Полагаем f=
Полагаем
(f(λ),g(λ)) :=
(−λf
, −λg) для λ ∈ [−1, 0],
(λf
,λg) для λ ∈ [0, 1].
Так как T (u)(x) — конус, то (f(λ),g(λ)) ∈ T (u)(x) для всех λ ∈ [−1,1].
Из непрерывности функции λ → (f (λ),g(λ)) и неравенств (4.23) вытекает
существование такого числаλ ∈[−1, 1],что
s, f (λ)−g(λ)=F (x, u(x),s).
Таким образом, мы получаем (f(λ),g(λ)) ∈ T (u
)(x)∩Γ(x, u(x),s).Импли-
кация (M5)⇒(M6) доказана.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО ИМПЛИКАЦИИ (M6)⇒(M5).
Пусть имеет место условие (M6), т. е. существуют (f
∩Γ(x, u(x),s). Согласно (A5.16), справедливы оценки
−
u(x; f) g d+u(x; f),
d
азначит,и
−
u(x; f) −s, f + F(x, u(x),s) 0,
d
+
d
u(x; f) −s, f+ F(x, u(x),s) 0.
,g
) ∈ T (u)(x)∩
4. КРИТЕРИИ СЛАБОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ МИНИМАКСНЫХ РЕШЕНИЙ 49
Мы получили, что из (M6) следует (U7) и (L7). Поэтому функция u является
одновременно и верхним, и нижним решением. Таким образом, импликация (M6)⇒(M5) доказана.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО ИМПЛИКАЦИИ (M1)⇒(M5).
Пусть непрерывная функция u: G → R удовлетворяет условию (M1). Тогда
неравенства (U7) и (L7) для этой функции справедливы. Поэтому мы снова получаем, что эта функция является одновременно верхним и нижним
решением.
Теорема 4.3 доказана.
4.7. Ослабленные предположения
1
Рассмотрим определение минимаксного решения уравнения (2.1) для
случая, когда не предполагается выполнение условия Липшица (2.2). Мы
предполагаем только, что функция F (x, z, s) непрерывна на G ×R ×R
n
,не
возрастает по переменной z и удовлетворяет следующему условию. Пусть
D
:= {(x, z) ∈ G ×R: x < Λ, |z| < Λ}.
Λ
Напомним, что символом B
:= {s ∈ Rn: s Λ} обозначается замкну-
Λ
тый шар. Предполагается, что для любого Λ > 0 существует такое μ(Λ) > 0,
что оценка
|F (x, z, s) −F (x,z, p)| μ(Λ)(1 + s − p) (4.24)
имеет место для всех p ∈ R
n
, s ∈ BΛ, (x, z) ∈ DΛ.
Пусть
E(x, z, s, α, ρ):={(f,g) ∈ R
n
× R : f ρ, |g −s, f+ F (x,z, s)| α}.
(4.25)
4.8. Определение
Полунепрерывная снизу (сверху) функция u : G → R называется верхним (нижним) решением уравнения (2.1), если для любых чисел Λ > 0
и α>0 существует такое число ρ>0, что в области D
надграфик
Λ
(подграфик) этой функции u слабо инвариантен относительно дифференциальных включений
(˙x, ˙z) ∈ E(x, z, s, α, ρ) (4.26)
при любых s ∈ B
. Непрерывная функция u называется минимаксным ре-
Λ
шением уравнения (2.1), если для любых чисел Λ > 0 и α>0 существует
1
Материал пунктов 4.7–4.9 будет использован только при доказательстве теорем 9.3 и 9.4,
которые стоят особняком. Этот материал при первом чтении может быть опущен.
50 ГЛАВА I
такое число ρ>0, что в области DΛграфик функции u слабо инвариантен
относительно дифференциальных включений (4.26) для любых s ∈ B
.
Λ
Следуя этому определению, полунепрерывная снизу функция u: G → R
называется верхним решением, если она удовлетворяет следующему условию. Для любых чисел Λ > 0, α>0 (где Λ — сколь угодно большое число,
а α — сколь угодно малое), можно указать такое число ρ = ρ(Λ,α) > 0,
что при любых (x
и абсолютно непрерывная траектория (x(·),z(·)): [0,τ] → R
удовлетворяет начальному условию (x(0),z(0)) = (x
) ∈ epi u ∩DΛи s ∈ BΛсуществуют число τ>0
0,z0
0,z0
n
× R, которая
), дифференциаль-
ному включению (4.26) и неравенству z(t) u(x(t)) при t ∈ [0,τ].
Можно показать, что из локальной инвариантности надграфика вытекает его глобальная инвариантность в области D
в следующем смыс-
Λ
ле. Пусть число ρ(Λ,α) выбрано согласно рассмотренному определению.
Пусть (x
и траектория (x(·),z(·)) : [0,τ) → R
му условию (x(0),z(0)) = (x
) ∈ epi u ∩DΛи s ∈ BΛ.Тогдасуществуетчислоτ ∈ [0, ∞]
0,z0
n
×R, которая удовлетворяет начально-
), дифференциальному включению (4.26)
0,z0
и неравенству z(t) u(x(t)) при t ∈ [0,τ).Крометого,еслиτ<∞,то
(x(τ),z(τ )) ∈ ∂D
Λ
∪ ∂G.
Подобные замечания справедливы также для нижнего и минимаксного
решений.
4.9. Теорема
Полунепрерывная снизу (сверху) функция u: G → R является верхним
(нижним) решением уравнения (2.1) тогда и только тогда, когда усло-
вие (4.27) (условие (4.28))
T ((x, u(x)); epi u) ∩ Γ(x, u(x),s) = ∅, (4.27)
T ((x, u(x)); hypo u) ∩Γ(x, u(x),s) = ∅ (4.28)
имеет место при всех x ∈ G и s ∈ R
n
. Непрерывная функция u: G → R
является минимаксным решением уравнения (2.1) тогда и только тогда,
когда условие
T (u)(x) ∩ Γ(x, u(x),s) = ∅ (4.29)
имеет место при всех x ∈ G и s ∈ R
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть функция u является верхним решением в
Д
смысле определения 4.8. Выберем произвольно x ∈ G и s ∈ R
тем выберем число Λ так, что x ∈ D
для любого α>0 существует такое ρ>0, что в области D
n
.
n
.Аза-
, s Λ. Согласно определению 4.8,
Λ
надграфик
Λ
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]