Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации
.pdf
6. МИНИМАКСНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА–ЯКОБИ 71
Полагаем α =1. Тогда величина d−u(t, x;1,f) обозначает нижнюю полу-
производную функции u в направлении (1,f).
Как и в общем случае, символ D
−
u(t, x) обозначает субдифференциал.
Элементы этого множества — субградиенты, т.е. пары (a, s),гдеa —число
и s — n-мерный вектор s. Согласно общему определению, мы имеем
−
D
u(t, x):={(a,s) ∈ R ×Rn:
−
aα + s,f−d
u(t, x; α, f ) 0 ∀(α, f ) ∈ R ×Rn}. (6.10)
Теперь рассмотрим нижние решения уравнения (6.1). Функция u(t, x)
в условиях (L1) –(L5) предполагается полунепрерывной сверху.
О
ПРЕДЕЛЕНИЯ НИЖНЕГО РЕШЕНИЯ.
(L1) Для любого (t
) ∈ Γ:=(0,θ) × Rn, z0 u(t0,x0) и s ∈ R
0,x0
n
существуют липшицевые функции (x(·),z(·)): [t0,τ] → Rn× R,опре-
деленные на некотором интервале [t
творяют начальному условию (x(t
и неравенству z(t) u(t, x(t)) при всех t ∈ [t
,τ], t0<τ<θ, которые удовле-
0
),z(t0)) = (x0,z0), уравнению (6.6)
0
0
,τ].
(L2) При любом выборе элемента ψ ∈ Ψ подграфик функции u слабо ин-
вариантен относительно дифференциального включения
(˙x(t), ˙z(t)) ∈E
Здесь и в условии (L3) символ E
значному отображению, которое удовлетворяет условиям (j), (jj), (jjj
−
(jv
), сформулированным в пункте 6.2.
+
(L3) sup{d
u(t, x;1,f)−g:(f, g) ∈E−(t, x, u(x),ψ)} 0,длявсех(t, x) ∈G
−
(t, x(t),z(t),ψ). (6.11)
−
соответствует произвольному много-
−
),
и ψ ∈ Ψ.
+
(L4) a + H(t, x, u(x),s) 0,длявсех(t, x) ∈ G и (a, s) ∈ D
(L5) sup{d
+
u(t, x;1,f) −s, f + H (t, x,u(x),s): f ∈ Rn} 0,для
всех (t, x) ∈ G и s ∈ R
В(L3)–(L5)символыd
n
.
+
u(t, x;1,f) и D+u(t, x) обозначают верхнюю
u(t, x).
полупроизводную функции u в направлении (1,f) и субдифференциал u в
точке (t, x). Они определены равенствами
+
d
u(t, x; α, f ) := lim
ε↓0
(δ,α,f)∈Δε(t,x,α,f )
sup
u(t + δα
,x+ δf) −u(t,x)
δ
,
(6.12)
+
D
u(t, x):={(a,s) ∈ R ×Rn:
aα + s,f−d
+
u(t, x; α, f ) 0, ∀(α, f ) ∈ R ×Rn}, (6.13)
72 ГЛАВА II
где множество Δε(t, x, α, f ) задано соотношениями (6.9). Заметим, что
+
d
u(t, x; α, f )=−d−(−u(t, x; α, f )),
+
D
u(t, x)=−D−(−u(t, x)).
Рассмотрим теперь условия (M1)– (M3), которые определяют минимаксное решение уравнения (6.1). Мы предполагаем, что функция u(t, x) вэтих
условиях непрерывна.
О
ПРЕДЕЛЕНИЯ МИНИМАКСНОГО РЕШЕНИЯ.
(M1) Для любых (t
0,x0,z0
ло τ ∈ (0,θ) и липшицевые функции (x(·),z(·)) : [t
которые удовлетворяют начальному условию (x(t
уравнению (6.6) и равенству z(t)=u(t, x(t)) при всех t ∈ [t
) ∈ gr u и s ∈ Rnсуществуют некоторое чис-
,τ] → Rn× R,
0
),z(t0)) = (x0,z0),
0
0
,τ].
(M2) При любом выборе элемента ψ ∈ Ψ график функции u слабо инвари-
антен относительно дифференциального включения
(˙x(t), ˙z(t)) ∈E(t, x(t),z(t),ψ), (6.14)
где E — произвольное многозначное отображение, которое удовлетво-
ряет всем условиям (j)– (jv), сформулированным в пункте 6.2.
(M3) Функция u является одновременно верхним и нижним решением
уравнения (6.1), то есть u удовлетворяет паре условий (Ui), (Lj) для
некоторых i, j =
1, 5.
6.4. Теорема
Для полунепрерывной снизу функции (0,θ) ×R
n
(t, x) → u(t, x) ∈ R
условия (U1) – (U5) эквивалентны. Аналогично, для полунепрерывной сверху
функции u условия (L1)–(L5) эквивалентны. Для непрерывной функции u
условия (M1) – (M3) эквивалентны.
Вышеупомянутые условия (Ui), (Li) и (Mi) могут рассматриваться как
специальные случаи соответствующих условий, сформулированных в пункте 4.2. Поэтому теорема 6.4 следует из теоремы 4.3. Опираясь на теорему 6.4, мы представляем следующие определения верхних, нижних и минимаксных решений.
6.5. Определения
Полунепрерывная снизу функция (0,θ) ×R
n
(t, x) → u(t, x) ∈ R,ко-
торая удовлетворяет одному из вышеупомянутых (эквивалентных) условий (U1) – (U5), называется верхним решением уравнения (6.1).Аналогично,
6. МИНИМАКСНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА–ЯКОБИ 73
полунепрерывная сверху функция u(t, x), которая удовлетворяет одному из
условий (L1)–(L5), называется нижним решением уравнения (6.1). Непре-
рывная функция u(t,x), удовлетворяющая одному из условий (M1) – (M3),
называется минимаксным решением уравнения (6.1).
6.6. Дополнительные замечания
Минимаксные решения уравнений Гамильтона–Якоби могут быть
определены в терминах контингентных конусов для графиков, надграфиков и подграфиков функций u(t, x) так же, как это было сделано в общем
случае для уравнения (2.1). Принимая во внимание вид уравнения (6.1), мы
можем рассматривать вместо контингентных конусов производные многозначных отображений.
Приведем необходимые понятия и определения. Пусть τ ∈ (0,θ),и
пусть W — некоторое множество в (0,θ) × R
m
. Полагаем
W (τ ):={y ∈ R
m
:(τ,y) ∈ W }.
Рассмотрим многозначное отображение
(0,θ) τ → W (τ ) ⊂ R
n
.
Мы определяем правостороннюю производную по τ этого многозначного
отображения в точке (t, w) ∈ W равенством
(D
W )(t, w):=h ∈ Rm: liminf
t
Пусть (0,θ) × R
n
(t, x) → u(t, x) ∈ R — полунепрерывная сверху
dist (w + δh; W(t + δ))
δ↓0
δ
=0.
функция и W =epiu. Тогда правосторонняя производная многозначного
отображения
n
τ → epi u(τ,·):={(x, z)) ∈ R
вточке(t,x, z) ∈ epi u обозначается символом (D
epi u)(t, x, z):=(f,g) ∈ Rn× R :
(D
t
lim inf
dist ((x + δf, z + δg); epi u(t + δ, ·))
δ↓0
× R : z u(x)}
epi u)(t, x, z).Ясно,что
t
δ
=0.
74 ГЛАВА II
Аналогично, производные многозначных отображений τ → hypo u(τ, ·)
и τ → gr u(τ, ·) мы определяем равенствами
(D
hypo u)(t, x,z):=(f,g) ∈ Rn× R :
t
lim inf
(D
gr u)(t, x, z):=(f,g) ∈ Rn× R :
t
dist ((x + δf,z + δg); hypo u(t + δ, ·))
δ↓0
lim inf
δ↓0
dist ((x + δf, z + δg); gr u(t + δ, ·))
δ
δ
=0,
=0.
Если функция u полунепрерывна снизу, то, согласно результатам, приведенным в параграфе A8 (см., в частности, утверждение A8.1), условие (U2) эквивалентно следующему соотношению
co (D
epi u)(t, x, z) ∩ E+(t, x, z, ψ) = ∅, (6.15)
t
где (t, x, z) ∈ epi u, ψ ∈ Ψ и E
ние, удовлетворяющее условиям (j), (jj), (jjj
+
— произвольное многозначное отображе-
+
),(jv+).
Аналогично, для полунепрерывной сверху функции u условие (L2) эквивалентно соотношению
co (D
hypo u)(t, x, z) ∩ E−(t, x, z, ψ) = ∅, (6.16)
t
где (t, x,z) ∈ hypo u, ψ ∈ Ψ и E
жение, удовлетворяющее условиям (j), (jj), (jjj
−
— произвольное многозначное отобра-
−
), (jv−).
Если функция u непрерывна, то условие (M2) эквивалентно соотношению
co (D
gr u)(t, x, z) ∩E(t, x, z, ψ) = ∅, (6.17)
t
которое справедливо для всех (t, x, z) ∈ gr u и ψ ∈ Ψ,гдеE — произвольное многозначное отображение, удовлетворяющее всем условиям (j) –(jv)
пункта 6.2.
Обратим внимание на то, что достаточно проверять условия (6.15),
(6.16) только для z = u(t, x).
7. Единственность минимаксного решения задачи Коши
для уравнения Гамильтона–Якоби
Теоремы о единственности минимаксных решений могут быть доказаны в рамках единой схемы на базе метода функций Ляпунова. Эта схема пригодна для различных типов уравнений и краевых задач. В данном
7. ЕДИНСТВЕННОСТЬ МИНИМАКСНОГО РЕШЕНИЯ ... 75
параграфе мы начнем с применения этой схемы к одной из наиболее простых задач, а именно, к задаче Коши для уравнения Гамильтона–Якоби с
гамильтонианом H(t, x, z, s), удовлетворяющим условию Липшица по переменным x и s. Задача Коши при более слабых предположениях будет
рассмотрена в параграфе 9.
7.1. Определение
Непрерывная (соответственно, полунепрерывная снизу или сверху)
функция (t, x) → u(t, x): (0,θ] × R
n
→ R называется минимаксным
(соответственно, верхним или нижним) решением задачи Коши
∂u
+ H(t, x, u, D
∂t
u)=0, (t, x) ∈ G := (0,θ) ×Rn, (7.1)
x
n
u(θ, x)=σ(x),x∈ R
, (7.2)
если она удовлетворяет условию (7.2),аеесужениенаG := (0,θ) × R
является минимаксным (соответственно, верхним или нижним) решением
уравнения (7.1).
7.2. Предположения
Ниже мы доказываем единственность минимаксного решения в задаче (7.1), (7.2). Предполагаем, что гамильтониан H и граничная функция σ
удовлетворяют следующим условиям:
(H1) гамильтониан H (t, x,z, s) непрерывен на D := (0,θ) × R
n
× R ×Rn,
функция z → H(t,x, z, s) невозрастающая;
(H2) выполняется условие Липшица по переменной s
(1)
|H(t, x, z, s
для всех (t, x,z, s
) −H(t, x,z, s
(i)
) ∈ D, и имеет место следующая оценка
|H(t, x, z, 0)| (1 + x+ |z|)c, ∀(t,x, z) ∈ (0,θ) ×R
(2)
)| ρ(x)s
(1)
− s
(2)
n
(7.3)
× R, (7.4)
где ρ(x):=(1+x)c,ачислоc положительно;
(H3) для любого ограниченного множества M ⊂ R
n
существует такая кон-
станта λ(M),что
|H(t, x
для всех x
(H4) функция x → σ(x): R
,z,s) −H (t, x,z,s)| λ(M )(1 + s)x− x, (7.5)
,x
∈ M , (t, z, s) ∈ (0,θ) × R ×Rn;
n
→ R непрерывна.
n
76 ГЛАВА II
7.3. Теорема
Пусть условия (H1) – (H4) выполнены. Тогда для любого верхнего реше-
ния u в задаче Коши (7.1), (7.2) и любого нижнего решения v вэтойзадаче
справедливо неравенство u v.
Как нетрудно видеть, из теоремы 7.3 вытекает единственность минимаксного решения. Действительно, пусть u
шения. Согласно свойству (M3), функция u
а функция u
мы 7.3 вытекает неравенство u
противоположное неравенство u
— нижним решением в задаче (7.1), (7.2). Поэтому из теоре-
2
u2. Меняя местами u1и u2,мыполучим
1
u1. Следовательно, u1= u2.
2
и u2— два минимаксных ре-
1
является верхним решением,
1
Доказательство теоремы 7.3 дано ниже в параграфе 7.5.
7.4. Предварительные конструкции
Рассмотрим многозначное отображение E(t, x, z, s) вида (6.4). При сделанных выше предположениях мы можем его представить как
n
E(t, x, z,s):={(f, g) ∈ R
× R : f ρ(x),g= f,s−H(t, x,z, s)},
(7.6)
где ρ(x)=(1+x)c. Из оценок (7.3), (7.4) вытекает
|H(t, x, z, s)| ρ(x)s + |H(t, x,z, 0)|
ρ(x)s +(1+x+ |z|)c c(1 + x + |z|)(1 + s).
Поэтому для всех (t, x, z, s) ∈ (0,θ) × R
n
× R × Rn, (f, g) ∈ E(t, x, z, s)
имеют место следующие неравенства
f (1 + x)c, |g| 2c(1 + x + |z|)(1 + s). (7.7)
Пусть u — какое-то верхнее решение уравнения (7.1). Следуя определению (U2) (см. пункт 6.3), надграфик функции u локально слабо инвариантен
относительно дифференциального включения
(˙x, ˙z) ∈ E(t, x, z, s), (7.8)
n
т. е. для любы х s ∈ R
, (t0,x0) ∈ (0,θ) × Rn, z0 u(t0,x0) существует
траектория (x(t),z(t)) этого дифференциального включения, выходящая из
начальной точки (x
на некотором промежутке времени [t
) и удовлетворяющая неравенству z(t) u(t, x(t))
0,z0
,τ] ⊂ [t0,θ). Известно, что в случае
0
выполнения оценок (7.7) решения этого дифференциального включения могут быть продолжены до конечного момента времени t = θ.Известнотакже,
7. ЕДИНСТВЕННОСТЬ МИНИМАКСНОГО РЕШЕНИЯ ... 77
что в рассматриваемом случае можно найти траекторию, которая удовлетворяет неравенству z(t) u(t, x(t)) при всех t ∈ [t
Так как функция u полунепрерывна снизу на (0,θ] × R
,θ) (см. параграф A8).
0
n
, это неравенство
имеет место и для t = θ.
Таким образом, в рассматриваемом случае, верхнее решение в за-
даче (7.1), (7.2) обладает следующим свойством: для любых s ∈ R
(t
) ∈ (0,θ) × Rn, z0 u(t0,x0) существует такая траектория
0,x0
[t
,θ] t → (x(t),z(t)) ∈ Rn× R дифференциального включения (7.8), что
0
(x(t
),z(t0)) = (x0,z0),
0
n
,
z(t) u(t, x(t)) для всех t ∈ [t
,θ]. (7.9)
0
Рассмотрим теперь дифференциальное включение
(˙x(t), ˙z(t)) ∈E(t, x(t),z(t),s(t)),
в котором (0,θ] t → s(t) ∈ R
n
— кусочно-постоянная функция. Если u — верхнее решение уравнения (7.1), то, как и выше, существует
траектория этого дифференциального включения, удовлетворяющая условию (7.9). Аналогичное замечание справедливо и для нижнего решения
уравнения (7.1).
Пусть u (соответственно, v) — верхнее (соответственно, нижнее) реше-
ние уравнения (7.1). Выберем произвольные непрерывные функции
(t, x, y) → p(t, x, y): (0,θ] ×R
(t, x, y) → q(t, x,y): (0,θ] ×R
Мы докажем сейчас, что для любых (t
0,x0,y0
n
× Rn→ Rn,
n
× Rn→ Rn.
) ∈(0,θ]×Rn×Rnсуществует
решение системы дифференциальных включений
(˙x,˙ξ) ∈ E(t, x, ξ, p(t, x,y)), (˙y, ˙η) ∈ E(t,y, η, q(t, x, y)), (7.10)
которое удовлетворяет начальному условию
(x(t
),ξ(t0)) = (x0,u(t0,x0)), (y(t0),η(t0)) = (y0,v(t0,x0)) (7.11)
0
и неравенствам
ξ(t) u(t, x(t)),η(t) v(t, y(t)) (7.12)
для всех t
t θ.
0
Как следует из приведенных выше рассуждений, для любого δ ∈ (0,θ−
− t
) существует решение
0
w
(·)=(xδ(·),ξδ(·),yδ(·),ηδ(·))
δ
78 ГЛАВА II
системы дифференциальных включений
(˙x,˙ξ) ∈ E(t, x, p
(t)), (˙y, ˙η) ∈ E(t, y, qδ(t)),
δ
которое удовлетворяет начальному условию (7.11) и неравенствам
ξ
(t) u(t, xδ(t)),ηδ(t) v(t, yδ(t)) (7.13)
δ
при всех t
при t ∈ [t
t θ.Здесь
0
(t)=pδ(ti,xδ(ti),yδ(ti)),qδ(t)=qδ(ti,xδ(ti),yδ(ti))
p
δ
), ti= t0+ iδ, i ∈ 0,Nδ,аNδ— целая часть числа (θ −t0)/δ.
i,ti+1
Отметим, что из оценок (7.7) вытекают неравенства
˙x
(t) (1 + xδ(t))c, ˙yδ(t) (1 + yδ(t))c.
δ
Поэтому найдется такое число K>0,чтоx
всех δ ∈ (0,θ− t
) и t ∈ [t0,θ].Предположим,что
0
(t) K, yδ(t) K для
δ
r(t, x, y):=max{p(t, x, y), q(t, x, y)},
M := max{r(t, x,y): t ∈ [t
,θ], x K, y K}.
0
Из оценок (7.7) следует, что
|˙ξ
(t)| 2c(1 + K + |ξδ(t)|)(1 + M),
δ
(t)| 2c(1 + K + |ηδ(t)|)(1 + M)
|˙η
δ
для всех δ ∈ (0,θ − t
положительное число, не зависящее от δ ∈ (0,θ− t
) и t ∈ [t0,θ].Поэтому|ξδ(t)| Ξ,гдеΞ —это
0
) и t ∈ [t0,θ].
0
Таким образом, из того, что для любого значения параметра δ ∈ (0,θ−
) функции
− t
0
(x
(·),ξδ(·)), (yδ(·),ηδ(·))
δ
и их производные удовлетворяют предыдущим оценкам, можно, в силу теоремы Арцела, выбрать такую, стремящуюся к нулю, последовательность
значений параметра δ
(k =1, 2,...), что соответствующая последователь-
k
ность
w
δ
(·)=(x
k
δ
k
(·),ξ
δ
k
(·),y
δ
k
(·),η
(·))
δ
k
стремится к пределу
w(·)=(x(·),ξ(·)), (y(·),η(·))
равномерно на [t
0
,θ].
Предельная функция w(·) удовлетворяет условию Липшица, поэтому
она дифференцируема почти всюду. Более того, эта функция является решением системы (7.10) (этот факт следует из утверждения A7.1). Так как
функция u полунепрерывна снизу, а функция v полунепрерывна сверху, то
из (7.13) вытекает (7.12).
7. ЕДИНСТВЕННОСТЬ МИНИМАКСНОГО РЕШЕНИЯ ... 79
7.5. Доказательство теоремы 7.3
Предположим, от противного, что существуют такое верхнее решение u задачи Коши (7.1), (7.2), такое нижнее решение v этой задачи, такая
точка (t
Обозначим через X(t
ций x(·):[t
венству ˙x(t) ρ(x(t)) иусловиюx(t
) ∈ (0,θ] × Rnи такое число d>0,чтоu(t0,x0) <v(t0,x0)−d.
0,x0
,θ] → Rn, которые удовлетворяют дифференциальному нера-
0
) множество абсолютно непрерывных функ-
0,x0
)=x0.Пустьλ — константа
0
Липшица в условии (7.5) для множества M,определяемогокак
M := {x(t): t ∈ [t
,θ],x(·) ∈ X(t0,x0)}.
0
Введем обозначения
−λt
(e
r
(x, y):=ε4+ x −y2,αε(t):=
ε
w
(t, x, y):=αε(t)rε(x, y), (7.14)
ε
L
(t, x, y, ξ, η):=wε(t, x, y)+ξ − η, (7.15)
ε
где (t, x, y, ξ, η) ∈ [0,θ]×R
неравенства 0 <ε
2
αε(t) <dсправедливы при всех t ∈ [0,θ].
n×Rn
×R ×R. Выберем такое число ε>0,что
Рассмотрим производную функции Ляпунова L
− ε)
,
ε
в силу системы диф-
ε
ференциальных уравнений и дифференциальных неравенств
˙x ρ(x),˙ξ = ˙x, p−H(t, x, ξ, p), (7.16)
˙y ρ(y), ˙η = ˙y, q−H(t, y, η, q),
p = q = D
(t, x, y)=−Dxwε(t, x, y)=−αε(t)
ywε
(x −y)
rε(x, y)
.
Полагаем, что решения этой системы удовлетворяют начальному условию
x(t
)=y(t0)=x0,ξ(t0)=ξ0:= u(t0,x0),η(t0)=η0:= v(t0,x0).
0
Заметим, что
(x
0,y0,ξ0,η0
) ∈N := {(x, y, ξ, η) ∈ M × M × R ×R : ξ η}.
Пусть траектория (x(t),y(t),ξ(t),η(t)) системы (7.16) проходит внутри
множества N на интервале [t
[t]:=Lε(t, x(t),y(t),ξ(t),η(t)).
L
ε
,τ] ⊂ [t0,θ].Пусть
0
80 ГЛАВА II
Используя условия (6.3), (7.5), получим
dL
[t]
∂w
= −λ
−λ
dt
ε
−λt
e
ε
e
ε
=
−λt
ε
+ D
∂t
r
(x, y)−p, ˙x+q, ˙y+ ˙x, p−H(t, x,ξ, p)−˙y, q+H(t, y, η, q)
ε
−λ
r
(x, y)+λ(1 + p)x −y λrε(x, y)−
ε
= λr
, ˙x + Dywε, ˙y+˙ξ − ˙η =
xwε
−λt
e
r
(x, y) −H(t, x,ξ, p)+H(t, y, ξ, p)
ε
ε
−λt
e
(x, y)−
ε
ε
+1+α
λr
(t)
ε
(x, y)−
ε
x −y
rε(x, y)
−λt
e
ε
−λt
e
+1+p=
ε
+1+α
(t)=0.
ε
Из того, что L
для почти всех t ∈ [t
дают области N при всех t ∈ [t
]=ε2αε(t0)+ξ0−η0<ε2αε(t0) −d<0 и˙Lε[t] 0
ε[t0
,τ], вытекает, что траектории системы (7.16) не поки-
0
0
,θ].
Как было показано в пункте 7.4, существует траектория
(x
(·),yε(·),ξεψ(·),ηε(·))
ε
системы (7.16), такая, что
ξ
(θ) u(θ, xε(θ)) = σ(xε(θ)),ηε(θ) v(θ, yε(θ)) = σ(yε(θ)). (7.17)
ε
Неравенство˙L
[t] 0 имеет место для любого решения системы (7.16).
ε
В частности, оно справедливо для решения, которое удовлетворяет неравенствам (7.17). Поэтому справедливо
L
]=ε2αε(t0)+u(t0,x0) −v(t0,x0) Lε[θ]
ε[t0
(θ)rε(xε(θ),yε(θ)) + σ(xε(θ)) − σ(yε(θ)) σ(xε(θ)) − σ(yε(θ)).
α
ε
Заметим, что
lim
ε2αε(θ)=0, lim
ε→0
αε(θ) →∞.
ε→0
Очевидно, что
|σ(x
(θ)) − σ(yε(θ))| max
ε
(x,y)∈M ×M
|σ(x) − σ(y)| := K<∞.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]