Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации
.pdf
18. РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТИПА ДИРИХЛЕ 241
(H1) Функция H(·, 0) ограничена, т.е.
|H(x, 0)| c, ∀x ∈ G. (18.5)
(H2) Для всех x ∈ G и p
|H(x, p
∈ Rnимеет место неравенство
1,p2
) −H(x, p2)| ρ(x)p1− p2, (18.6)
1
где ρ(x)=(1+x)μ, μ — положительное число.
(H3) Для любого ограниченного множества Δ ⊂ G существуетконстанта λ,
такая, что
|H(x
,p) − H(x2,p)| λx1− x2(1 + p) (18.7)
1
для всех p ∈ R
n
и x1,x2∈ Δ.
(H4) Граничная функция σ(x) непрерывна на ∂G и удовлетворяет оценке
|σ(x)| c, ∀x ∈ ∂G. (18.8)
Заметим, что предположение (H3) можно заменить на более слабое
условие (H3
∗
), введенное М. Дж.Крэндаллом, Х. Ишии и П. Л. Лионсом в
работе [55]. Это условие формулируется следующим образом.
∗
(H3
) Пусть Δ — открытое ограниченное множество из G. Рассмотрим
множество
Γ={(x, y) ∈ Δ ×Δ: x − y < 1}. (18.9)
Предполагается, что для любого ε>0 и для любого открытого ограни-
ченного подмножества Δ ⊂ G существует функция w
чающая следующим требованиям: w
— липщицева на Γ и непрерывно
ε
: Γ →R+,отве-
ε
дифференцируема на Γ; для любых (x, y) ∈ Γ справедливо неравенство
w
(x, y) −H(x, −Dxwε(x, y)) + H(y, Dywε(x, y)) 0; (18.10)
ε
и выполняются оценки
lim
inf{wε(x, y): x −y r} = ∞,
ε↓0
w
(x, x) ε, ∀x ∈ Δ; (18.11)
ε
∀r ∈ (0, 1]. (18.12)
242 ГЛАВА IV
Проверим, что при выполнении вышеупомянутого условия (H3) функция
w
(x, y):=
ε
(ε
2/ν
+ x −y2)
ε
ν
(18.13)
удовлетворяет требованиям (18.10)– (18.12). Здесь предполагается, что
0 < 2ν<min{1, 1/λ},ελ<1 − 2λν, (18.14)
где λ — константа из условия Липшица (18.7). Обозначим D
вой s.Ясно,чтоD
(x, y)=−s и
ywε
s =2ν(ε
2/ν
+ x −y2)
ν−1
(x −y)/ε.
(x, y) бук-
xwε
Очевидно, что для любых (x, y) ∈ Γ
s·x −y 2νw
(x, y),wε(x, y) > x − y2ν/ε, (18.15)
ε
2ν
x −y
x − y.
Здесь последнее неравенство следует из оценок x − y 1 и 2ν 1.
Условие (18.7) и оценки (18.15) получаются следующим образом
w
(x, y) −H (x, −Dxwε(x, y)) + H(y, Dy(x, y)) =
ε
(x, y) −H(x, −s)+H(y, − s)
= w
ε
(x, y) −λx − y(1 + s)
w
ε
(1 − 2λν)w
> (1 − 2λν)x −y
(x, y) −λ x −y >
ε
2ν
/ε −λx − y
(1 − 2λν −λε)x − y/ε 0.
Таким образом, получено, что для функции w
выполнено. Легко заметить, что функция w
вида (18.13) условие (18.10)
ε
удовлетворяет также и требо-
ε
ваниям (18.11) и (18.12).
18.2. Предварительные замечания
Напомним, что в предшествующих разделах мы имели дело с верхними и нижними решениями УЧП. Предполагалось, что верхние (нижние)
решения полунепрерывны снизу (полунепрерывны сверху). Минимаксные
решения были определены как функции, которые обладали одновременно
свойствами верхних и нижних решений. Таким образом, согласно предыдущим определениям, минимаксные решения предполагались непрерывными. В этом параграфе рассматривается обобщенное (возможно разрывное)
18. РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТИПА ДИРИХЛЕ 243
решение задачи (18.3), (18.4). Здесь не требуется, чтобы такое решение
совпадало одновременно с некоторым верхним решением (18.3) и с некоторым нижним решением этого уравнения. Вместо этого, минимаксные решения определяются, как поточечные пределы последовательностей верхних
и нижних минимаксных решений (см. ниже определение 18.3).
Предложенный подход имеет истоки в теории позиционных дифференциальных игр (см., например, [122, 123, 193]) и связан с конструкциями
функции цены, определяемой как верхняя огибающая v-стабильных функ-
ций или нижняя огибающая u-стабильных функций.
Следует упомянуть, что исследованиям разрывных решений УЧП первого порядка уделяется в последние годы много внимания. Так, в работах [182, 195] были доказаны существование и единственность разрывных
минимаксных решений в задаче Коши для уравнений Айзекса– Беллмана.
Результаты, представленные в этом параграфе, были опубликованы предварительно в статьях [197, 198]. Соответствующий подход использовался
также в недавних работах М.Барди (см., например, [15, 16]).
В случае, когда функция s → F (x, z, s) является выпуклой, непрерывные и разрывные решения задач типа Дирихле (18.1), (18.2) были рассмотрены в ряде статей, посвященных, главным образом, исследованиям
функции цены в задачах быстродействия, т. е. в задачах управления на оптимум времени (см., например, [14, 26, 22, 20, 21, 69, 54, 58, 96, 103, 141] и
библиографию в них).
В данном параграфене требуетсявыпуклость функции F(x, z, ·). Сформулированные ниже предположения на F и σ охватывают краевые задачи
типа (18.3), (18.4), возникающие в играх преследования – уклонения. Хорошо известно, что для игр преследования–уклонения разрывная функция цены является типичной. Будет показано, что функция цены такой
игры совпадает с минимаксным решением соответствующей краевой задачи (18.3), (18.4).
В нескольких работах также были получены результаты для разрывных вязкостных решений, введенных Х.Ишии (см. например, [94]). Однако
введенное понятие не подходит для решения некоторых проблем, возникающих в теории оптимального управления и теории дифференциальных игр,
таких, как задачи на оптимум времени (см. ниже пункт 18.16 и параграф 19).
18.3. Определение
Верхним решением задачи (18.3), (18.4) называется полунепрерывная
снизу функция u:
G → R, которая удовлетворяет следующим требовани-
ям:
(i) ее сужение на область G является верхним решением уравне-
ния (18.3);
244 ГЛАВА IV
(ii) для нее выполняются граничное условие (18.4) и ограничение
|u(x)| c, ∀ x ∈
G. (18.16)
Нижним решением задачи (18.3), (18.4) называется такая полунепрерывная сверху функция u :
G → R,что
(j) ее сужение на область G является нижним решением уравне-
ния (18.3);
(jj) для нее выполняются граничное условие (18.4) и ограничение (18.16);
(jjj) функция u непрерывна в каждой точке x ∈ ∂G.
Минимаксным решением в задаче (18.3), (18.4) называется функция u :
где {u
G → R, удовлетворяющая соотношениям
(k)
u
(k)}∞
1
lim
k→∞
({uk}
(x)=u(x) = lim
∞
) — последовательность верхних (нижних) минимакс-
1
uk(x), ∀x ∈ G, (18.17)
k→∞
ных решений задачи (18.3), (18.4).
Здесь для введения понятий верхних и нижних решений уравнения (18.3) адаптировано определение 4.4. Ясно, что для уравнения (18.3)
характеристические включения (2.5), (2.6) должны иметь вид
(˙x, ˙z) ∈ E(x, z, s), (18.18)
E(x, z, s):={(f, g) ∈ R
n
× R : f ρ(x),g= f,s−H(x, s)+z},
(18.19)
где ρ(x)=(1+x)μ (см. условие (18.6)).
Поэтому можно использовать следующие определения. Полунепрерывная снизу (сверху) функция u :
нием уравнения (18.3), если для любого s ∈ R
G → R называется верхним (нижним) реше-
n
ее надграфик (подграфик)
слабо инвариантен относительно дифференциального включения (18.18).
В случае, когда минимаксное решение непрерывно, предельные соотношения (18.17) эквивалентны требованию для gr u быть cлабоинвариантным
относительно дифференциальных включений (18.18). Нетрудно видеть, что
любое классическое решение задачи (18.3), (18.4) (если такое решение существует) является минимаксным. С другой стороны, ниже будет показано,
что минимаксное решение u удовлетворяет уравнению (18.3) в каждой точке x ∈ G, где оно дифференцируемо.
Заметим, что для любых (x, z, p, q) ∈ G × R ×R
n
× Rnсправедливо
E(x, z, p) ∩E(x, z, q) = ∅. (18.20)
18. РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТИПА ДИРИХЛЕ 245
Это соотношение будет использоваться ниже. Оно следует из условия (18.6)
(Напомним, что подобные соотношения рассматривались в пункте 2.4 и в
доказательстве утверждения 8.5).
При выполнении предположений (H1) – (H4) справедливы следующие
теоремы.
18.4. Теорема
Пусть существуют нижнее решение задачи (18.3), (18.4).Тогдасуще-
ствует верхнее решение u
ность нижних решений {u
и такая поточечно сходящаяся последователь-
0
∞
}
,что
k
1
lim
uk(x) u0(x), ∀x ∈ G. (18.21)
k→∞
18.5. Теорема
Для любого верхнего решения u и для любого нижнего решения v верно
неравенство
u(x) v(x), ∀x ∈
G. (18.22)
18.6. Теорема
Предположим, что существует нижнее решение задачи (18.3), (18.4).
Тогда существует единственное минимаксное решение в задаче (18.3),
(18.4). Это минимаксное решение совпадает с минимальным верхним решением.
Теорема 18.6 — главный результат этого параграфа. Она следует из теорем 18.4 и 18.5, которые будут доказаны в разделах 18.8 – 18.14. Согласно
теореме 18.6, минимаксное решение является минимальным верхним решением задачи (18.3), (18.4), поэтому оно является полунепрерывным снизу.
Это свойство совместно с полунепрерывностью снизу функции цены в задачах управления и в дифференциальных играх на оптимум времени.
Однако, когда требуется иметь дело с полунепрерывным сверху решением задачи (18.3), (18.4), можно изменить определение 18.3, перемещая
условие (jjj) (непрерывность нижних решений в точках x ∈ ∂G) в определение верхних решений. В соответствующей модификации теоремы 18.6,
вместо существования нижнего решения, будет предполагаться существование верхнего решения задачи (18.3), (18.4).
Из конструкций и результатов, представленных в разделах 18.8 – 18.15,
можно увидеть, что верно также следующее утверждение.
Пусть выполнены гипотезы теоремы 18.6 и пусть существует верхнее решение, которое является непрерывным в каждой точке x ∈ ∂G.
246 ГЛАВА IV
Тогда существует непрерывное обобщенное решение задачи (18.3), (18.4)
(в минимаксном и/или вязкостном смысле).
В случае, когда G = R
нием ограниченности решения u(x) на R
проверить, что, в этом случае, функции u
n
, граничное условие (18.4) заменяется требова-
n
. Используя условие (18.5), можно
+
(x)=c и u−(x)=−c являются
верхним и нижним решением соответственно. Таким образом, согласно вышеупомянутому утверждению, существует единственное непрерывное минимаксное решение уравнения (18.3).
Следует отметить, что результаты о единственности и существовании
для ограниченных вязкостных решений уравнения (18.3) были предварительно установлены в [55, 58, 94] для случая, когда G = R
n
.Этазадачаи
ее приложения к теории оптимального управления и теории дифференциальных игр были также исследованы в [1, 38, 54] и других работах.
18.7. Пример
Чтобы проиллюстрировать понятие разрывного минимаксного решения и утверждений вышеупомянутых теорем, рассмотрим следующий простой пример.
В задаче (18.3), (18.4) полагаем n =1, G =(0, 1),
H(x, s)=s +1, 0 <x<1,s∈ R,σ(0) = σ(1) = 0.
Таким образом, в этом случае имеем краевую задачу для обычного дифференциального уравнения
du
− u +1=0, 0 <x<1,u(0) = u(1) = 0. (18.23)
dx
Задача (18.23) не имеет непрерывных решений u(x)(0 x 1).Одна-
ко легко увидеть, что функция u
(x)=0, (x ∈ [0, 1]) является нижним
−
решением этой задачи. Поэтому, согласно теореме 18.6, существует единственное минимаксное решение задачи (18.23). Можно проверить, что это
решение задается формулой
u(x)=
0,x=0,
1 −exp(x − 1), 0 <x 1.
Отметим, что минимаксное решение совпадает с асимптотикой решений следующих краевых задач для сингулярно возмущенных «эллиптических» уравнений
2
d
u
du
ε
ε
2
dx
ε
+
dx
− u
+1=0,
ε
18. РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТИПА ДИРИХЛЕ 247
0 x 1, uε(0) = uε(1) = 0, ε>0. Решения этих задач имеют вид
u
(x)=1+
ε
exp(λ
:= (−1+√1+4ε)/2ε → 1,
λ
ε
μ
:= (−1 −√1+4ε)/2ε →−∞, когда ε ↓ 0.
ε
Таким образом, для каждого x ∈ [0, 1] имеем u
x + με) −exp(μεx + λε) −expλεx +expμεx
ε
exp λε− exp μ
Рис. 18.1
ε
(x) → u(x),когдаε ↓ 0.
ε
,
На рис. 18.1 показаны графики решений uεдля ε =0.1 и ε =0.05.
Верхняя кривая является графиком минимаксного решения.
Хотя сходимость решений задачи Дирихле для сингулярно возмущенных эллиптических уравнений к минимаксному (возможно разрывному) решению в задаче (18.3), (18.4) может быть установлена при довольно умеренных предположениях, мы не будем стремиться получить подобные результаты, а ограничимся этим очень простым примером.
18.8. Предварительные конструкции
Идея доказательства теоремы 18.4 имеет много общего с приведенным в параграфе 8 доказательством существования минимаксного решения
в задаче Коши для уравнения Гамильтона– Якоби, которое, в свою очередь, тесно связано с приведенным в работах [8, 193] доказательством
существования цены дифференциальной игры. А именно, в цитируемых
248 ГЛАВА IV
статьях функция цены была получена, как верхняя огибающая так называемых v-стабильных функций (т. е. нижних решений уравнения Айзекса –
Беллмана).
Для x
функций t → x(t): R
∈ G символ X(x0) означает множество всех непрерывных
0
+
→ Rn, которые являются абсолютно непрерыв-
ными на любом ограниченном интервале [0,θ], удовлетворяют начальному
условию x(0) = x
и дифференциальному неравенству
0
˙x(t) ρ(x(t)) := (1 + x(t))μ
+
при почти всех t ∈ R
(напомним, что μ — константа из условия (H2)).
Ниже используются также следующие обозначения:
dist (x; ∂G):=inf{x − ξ: ξ ∈ ∂G},
M
:= {x ∈ G:dist(x; ∂G) ε},
ε
(x(·)) := min{t ∈ R+: x(t) ∈ Mε},
τ
ε
τ
(x(·)) := min{t ∈ R+: x(t) ∈ ∂G},
0
θ
):=min{τε(x(·)): x(·) ∈ X(x0)},
ε(x0
Θ
ε(x0
[0,θ
):=
{0},x
)),x0∈ Mε,
ε(x0
∈ Mε.
0
(18.24)
Если x(t) ∈ M
если x(t) ∈ ∂G для всех t 0,тоτ
Для (x
ется множество всех непрерывных функций (x(·),z(·)): R
которые являются абсолютно непрерывными на любом ограниченном интервале [0,τ] ⊂ R
=(x
) и дифференциальному включению (18.18), (18.19) при почти
0,z0
всех t ∈ T (x(·)) := [0,τ
Для функции u :
Пусть v
для всех t 0, то полагаем τε(x(·)) = ∞.Точнотакже,
ε
) ∈ G × R и s ∈ Rnсимволом Sol (x0,z0,s) обознача-
0,z0
+
, удовлетворяют начальному условию (x(0),z(0)) =
(x(·))).
0
(x(·)) = ∞.
0
+
→ Rn× R,
G → R обозначим
+
(u):={(x, z): x ∈ G \Mε,z>u(x)},
W
ε
−
(u):={(x, z): x ∈ G, z < u(x)}. (18.25)
W
∗
— некоторое нижнее решение задачи (18.3), (18.4). Напомним,
что его существование постулировано в теоремах 18.4 и 18.6.
18. РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТИПА ДИРИХЛЕ 249
Обозначим символом S
u
множество всех функций u : G → R, которые
ε
удовлетворяют ограничению (18.16), равенству
u(x)=v
∗
(x), ∀x ∈ Mε, (18.26)
и следующему условию:
+
(C
) для любых (x0,z0) ∈ W
ε
inf{u(x(θ)) −z(θ): (x(·),z(·)) ∈ Sol (x
Точно так же символом S
ций u:
G → R, которые удовлетворяют соотношениям (18.16), (18.26) и
+
(u),θ∈ Θε(x0),s∈ Rn,
ε
,s)} 0. (18.27)
0,z0
l
обозначается множество всех функ-
ε
следующему условию:
−
(C
) для любых (x0,z0) ∈ W−(u),θ∈ Θ0(x0),s∈ Rn,
ε
sup{u(x(θ)) − z(θ): (x(·),z(·)) ∈ Sol (x
Заметим, что для ε =0величина Θ
Подчеркнем, что в этих определениях не требуется, чтобы функции u ∈ S
u
или u ∈ S
ε
l
должны были быть полунепрерывными сверху
ε
) определена условием (18.24).
0(x0
,s)} 0 (18.28)
0,z0
или снизу.
Определим функцию v
т. е.
, как верхнюю огибающую функций v ∈ S
ε
v
(x):=sup{v(x): v ∈ S
ε
l
}. (18.29)
ε
Нетрудно проверить, что
l
∈ S
v
Теперь покажем, что v
l
Пусть u ∈ S
(u)(x0,ζ,τ,s∗):=inf{u(x(τ)) −z(τ): (x(·),z(·)) ∈ Sol (x0,ζ,s∗)};
r
∗
, x0∈ G, ζ ∈ R, τ ∈ Θε(x0),иs∗∈ Rn. Определим
ε
,vε(x) v∗(x), ∀x ∈ G. (18.30)
ε
ε
u
∈ S
.
ε
ε
l
,
ε
{μ(x
,τ)} := {ζ ∈ R : r∗(u)(x0,ζ,τ,s∗)=0};
0
w(x
):=sup{μ(x0,τ): τ ∈ Θε(x0)}. (18.31)
0
Очевидно, что функция ζ → r
тонна в следующем смысле:
(u)(x0,ζ,τ,s∗) r∗(u)(x0,ζ − α, τ, s∗) −α, ∀α>0. (18.32)
r
∗
Поэтому величина μ(x
Чтобы показать, что v
,τ) определена корректно.
0
∈ S
ε
ние.
(u)(x0,ζ,τ,s∗) непрерывна и строго моно-
∗
u
, нужно проверить следующее утвержде-
ε
250 ГЛАВА IV
18.9. Утверждение
l
Пусть u ∈ S
шением (18.31), справедливо w ∈ S
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.Ясно,что
и s∗∈ Rn. Тогда для функции w, определенной соотно-
ε
μ(x
, 0) = u(x0),w(x0) u(x0). (18.33)
0
l
.
ε
Если x
∈ Mε,тоΘε(x0)={0} и w(x0)=u(x0)=v∗(x0). Таким образом,
0
функция w удовлетворяет условию (18.26). Из (18.16) и (18.33) следует, что
w(x
) u(x0) −c для каждого x0∈ G.
0
Теперь покажем, что w(x
(x(·), z(·)) ∈ Sol (x
) c. Выберем
0
,ζ,s∗) ∩Sol (x0,ζ,0).
0
Согласно (18.20), это пересечение непусто. Из (18.31), (18.16) имеем
r
(u)(x0,ζ,τ,s∗) u(x(τ )) − z(τ) c − z(τ). Из (18.18), (18.19), (18.5)
∗
вытекает, что z(τ ) e
что r
(u)(x0,c,τ,s∗) 0. Принимая во внимание условие (18.32), выводим
∗
μ(x
,τ) c. Так как эта оценка верна для любого τ ∈ Θε(x0), заключаем,
0
что w(x
) c.
0
Остается доказать, что функция w удовлетворяет условию (C
(x
) ∈ W−(w), θ ∈ Θ0(x0), s ∈ Rn. Выберем такое τ ∈ Θε(x0),что
0,z0
<μ(x0,τ).
z
0
С
ЛУЧАЙ (1). Пусть θ τ. Определим множество
Sol
:= {(x(·),z(·)) ∈ Sol (x0,z0,s∗):
θ
где (x
(·),z∗(·)) ∈ Sol (x0,z0,s∗) ∩ Sol (x0,z0,s). Напомним, что, соглас-
∗
но (18.20), это пересечение непусто. Так как z
рывности функции ζ → r
τ
(ζ −c)+c. Следовательно, полагая ζ = c,получим,
−
). Пусть
ε
(x(t),z(t)) = (x
(u)(x0,ζ,τ,s∗) и соотношений (18.31), (18.32)
∗
(t),z∗(t)) при t ∈ [0,θ]},
∗
<μ(x0,τ),тоизнепре-
0
следует, что
0 <r
(u)(x0,z0,τ,s∗) inf{u(x(τ)) −z(τ): (x(·),z(·)) ∈ Solθ} =
∗
(u)(x∗(θ),z∗(θ),τ −θ, s∗).
= r
∗
Из (18.31) и (18.32) получаем, что μ(x
что τ − θ ∈ Θ
Напомним, что (x
(θ)). Поэтому из (18.31) вытекает w(x∗(θ) −z∗(θ) > 0.
ε(x∗
(·),z∗(·)) ∈ Sol (x0,z0,s). Таким образом, в случае (1)
∗
(θ),τ − θ) − z∗(θ) > 0.Отметим,
∗
функция w удовлетворяет неравенству (18.28).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]