Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации
.pdf
19. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ НА ОПТИМУМ ВРЕМЕНИ 271
(см. (19.35)) влекут за собой, что y(t) ∈ M для любой траектории дифференциального включения (19.23) и при всех t ∈ [0,τ]. Из (19.24) следует,
что
1 −u(η) e
Здесь
f
˙y(t) ∈ co {f(y(t),p,q
Вспоминая обозначение η = y
=
∗
u
α
−τ
[1 −u(η + f∗τ)]. (19.42)
τ
y(τ ) − η
τ
α
1
=
˙y(t)dt, (19.43)
τ
0
): p ∈ P }.
∗
(ξ), из (19.26), (19.33) получаем
(ξ)=u(η)+wα(ξ,η).
Это равенство вместе с (19.42) влечет за собой
(ξ) e−τ[1 −u(η + f∗τ)] −wα(ξ,η).
1 −u
α
Добавляя и вычитая в правой части последнего неравенства величи-
−τ
ну e
wα(ξ + f∗τ,η + f∗τ), получаем
1 −u
(ξ) e−τ[1 −u(η + f∗τ) −wα(ξ + f∗τ,η + f∗τ)]+
α
−τ
+ e
wα(ξ + f∗τ,η + f∗τ) −wα(ξ,η).
Из определения (19.26) функции u
u
(ξ + f∗τ) u(η + f∗τ)+wα(ξ + f∗τ,η + f∗τ).
α
Следовательно,
(ξ) e−τ[1 −uα(ξ + f∗τ)]+
1 −u
α
−τ
+ e
Оценим величину
−τ
wα(ξ + f∗τ,η + f∗τ) −wα(ξ,η).
e
Функция w
(19.32) и (19.39), имеем s
−τ
wα(ξ + f∗τ,η + f∗τ) −wα(ξ,η)
e
e
непрерывно дифференцируема. Напомним, что, согласно
α
−τ
[wα(ξ,η)+s∗,f∗τ −s∗,f∗τ] −wα(ξ,η)+h1(τ)τ
= Dxwα(ξ,η)=−Dywα(ξ,η).Поэтому
∗
[s
вытекает неравенство
α
wα(ξ + f∗τ,η + f∗τ) −wα(ξ,η). (19.44)
,f∗−s∗,f∗−wα(ξ,η)+h2(τ)]τ.
∗
272 ГЛАВА IV
Здесь и ниже hi(τ) → 0,когдаτ → 0. Эти величины зависят только от τ и
не зависят от рассматриваемого движения x(·) ∈ X(x
0,Uα
, Δ).
Из условий (19.16) и (19.39) имеем
,f H(ξ,s∗), ∀f ∈ co {f(ξ, p∗,q): q ∈ Q}.
s
∗
Поэтому вектор f
∗
, определенный (19.40), удовлетворяет неравенству
,f∗ H (ξ, s∗)+h3(τ).
s
∗
Точно так же, из (19.17), (19.39) и (19.43), получаем
H (η, s∗) −h4(τ).
s
∗,f∗
Вышеприведенные оценки влекут за собой
−τ
wα(ξ + f∗τ,η + f∗τ) −wα(ξ,η)
e
H(ξ,s
= Dxwα(ξ,η)=−Dywα(ξ,η). Используя (19.29), получаем
где s
∗
−τ
wα(ξ + f∗τ,η + f∗τ) −wα(ξ,η) h5(τ)τ.
e
) −H(η, s∗) −wα(ξ,η)+h5(τ)τ,
∗
Подставляя это неравенство в (19.44), получаем требуемую оценку (19.41)
для h(τ)=h
вышеупомянутой оценки следует, что можно выбрать h
от x(·) ∈ X(x
(τ),гдеh5(τ) → 0,когдаτ → 0.Болеетого,из
5
0,Uα
, Δ).
независимой
5
Таким образом, теорема 19.6 доказана.
19.7. Построение ε-оптимальных стратегий уклонения
Аналогичным образом можно построить ε-оптимальную стратегию
убегающего. Пусть заданы начальная точка x
Здесь ω := −ln(1 −u(x
)), u: G → [0, 1] — минимаксное решение в зада-
0
∈ G ичислоθ ∈ (0,ω).
0
че (19.20), (19.21). По определению 18.3, существует нижнее решение u
этойзадачи,такое,что
)) ∈ (θ, ω].
(x0
Напомним, что функция u
−ln(1 −u
полунепрерывна сверху, и ее надграфик слабо
инвариантен относительно характеристических включений. В частности,
множество hypo u
слабо инвариантно относительно дифференциальных
включений вида
(˙x(t), ˙z(t)) ∈ co {(f(x(t),p,q),z− 1): q ∈Q}.
19. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ НА ОПТИМУМ ВРЕМЕНИ 273
Введем следующее преобразование функции u
α
u
где функция w
Выберем
(x):=max
определена соотношением (19.27).
α
α
y
(x) ∈ Arg max
[u(y) − wα(x, y)], (19.45)
y∈G
[u(y) − wα(x, y)].
y∈G
Определим позиционную стратегию V
α
: G → Q для убегающего с
помощью равенства
V
(x)=q0(x, sα(x)), (19.46)
α
где функция q
ством (19.17), вектор s
α
s
— экстремальная предстратегия, определенная равен-
0
α
(x) задается соотношениями
(x):=−(Dxwα)(x, yα(x)) = (Dywα)(x, yα(x)). (19.47)
19.8. Теорема
Пусть x
—точкаобластиG, и пусть θ — положительное число,
0
удовлетворяющее неравенству
(x0
)),
)),
0
θ<ω:= −ln(1 −u(x
G → [0, 1] — минимаксное решение задачи (19.20), (19.21).Тогдасу-
где u:
ществует нижнее решение u
этой задачи, удовлетворяющее неравенству
θ<−ln(1 − u
и такие числа ε>0, α>0, δ
имеет место, если diam (Δ) δ
убегающего, определенная соотношением (19.46), величина T
> 0,чтооценка
0
ε
T
(x0,Vα, Δ) θ (19.48)
2
.ЗдесьVα— позиционная стратегия
0
ε
(x0,Vα, Δ)
2
задается равенством (19.12).
Это доказательство подобно доказательству теоремы 19.6, и, поэтому,
оно опущено.
Отметим, что из теорем19.6 и19.8 вытекает то, что цена Val дифференциальной игры быстродействия и минимаксное решение u задачи (19.20),
(19.21) связаны равенством
)=−ln(1 −u(x0)).
Val (x
0
274 ГЛАВА IV
Заметим также, что стратегии Uαвида (19.31) является субоптимальной для
преследователя, а стратегий V
(в последнем случае предполагается, что функция u
разность u(x
) −u(x0) была достаточно малой).
0
вида (19.46) cубоптимальна для убегающего
α
выбрана так, чтобы
20. Кусочно-линейные приближения минимаксных
решений для уравнений Гамильтона– Якоби
В этом параграфе рассматривается задача Коши для уравнения Гамильтона– Якоби, в которой гамильтониан не зависит от времени и фазовой
переменной. В отличие от в разделов, где рассматривались формулы Хопфа (см. пункты 10.1 – 10.3), здесь не требуется, чтобы гамильтониан или
граничная функция были выпуклыми или вогнутыми. Вместо этого предполагаем, что гамильтониан и граничная функция кусочно-линейны. При
выполнении этих предположений и в случае, когда фазовое пространство
двумерно, предложен конечный алгоритм для точного вычисления минимаксного решения. Полученное решение также оказывается кусочно-линейной
функцией. Результаты, представленные в этом параграфе, могут применяться как при построении кусочно-гладких решений уравнений Гамильтона–
Якоби общего вида, так и для изучения бифуркаций этих решений.
20.1. Положительно однородные решения
Рассмотрим задачу Коши
где гамильтониан R
∂u
+ H(D
∂t
n
s →H(s) ∈R и краевая функция Rnx →σ(x) ∈R
u)=0,t<1,x∈ Rn, (20.1)
x
u(1,x)=σ(x),x∈ R
n
, (20.2)
являются непрерывными и удовлетворяют условиям
|H(s
(1)
) −H(s
(2)
)| λs
(1)
(2)
− s
, (20.3)
σ(αx)=ασ(x) (20.4)
(i)
для любых s
∈ Rn, x ∈ Rn, α 0. Ниже будет показано, что минимаксное
решение задачи (20.1), (20.2) положительно однородно в следующем смысле
u(t, x)=(1− t)u0,
x
,t<1,x∈ R
1 −t
n
. (20.5)
20. КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ МИНИМАКСНЫХ РЕШЕНИЙ .. . 275
Используя это соотношение, будет сформулирована редуцированная задача
нахождения функции u(0,x) (см. ниже задачу (20.10), (20.11)). Мотивации
для рассмотрения этой задачи будут приведены в пункте 20.2.
Итак, проверим соотношение (20.5). Пусть u :(−∞, 1] ×R
n
→ R —ми-
нимаксное решение в задаче (20.1), (20.2), и пусть выбрано положительное
число δ. Определим функцию v как
v(t, x)=
u(1 + δt − δ, δx)
δ
,t 1,x∈ R
n
. (20.6)
Так как функция u непрерывна, функция v — также непрерывна. Из равенств (20.6), (20.4) следует, что v(1,x)=σ(x). Из определений производ-
ных по направлениям имеем
+
d
v(t, x;1,f)=d+u(τ,ξ;1,f),d−v(t, x;1,f)=d−u(τ,ξ;1,f),
где подразумевается, что τ =1+δt −δ, ξ = δx. Функция u удовлетворяет
уравнению (20.1) в минимаксном смысле, т.е. она удовлетворяет неравенствам
min
[d−u(τ,ξ;1,f) −f,s+ H(s)] 0, (20.7)
n
f∈R
[d+u(τ,ξ;1,f) −f,s+ H(s)] 0 (20.8)
max
n
f∈R
влюбойточке(τ,ξ) ∈ (−∞, 1)×R
n
. Следовательно, функция v удовлетво-
ряет аналогичным неравенствам
[d−v(t, x;1,f) −f, s+ H(s)] 0,
min
n
f∈R
max
[d+v(t, x;1,f) −f, s + H(s)] 0.
n
f∈R
Таким образом, функция v является минимаксным решением в задаче (20.1), (20.2). Из единственности минимаксного решения следует равенство u(t, x)=v(t, x). Полагая в (20.6) δ =(1−t)
−1
, получаем (20.5).
Используя соотношение (20.5), можно заменить задачу (20.1), (20.2)
следующей редуцированной задачей нахождения функции
n
ϕ(x):=u(0,x),x∈ R
. (20.9)
Покажем, что функция ϕ является минимаксным решением следующе-
го УЧП первого порядка
H(Dϕ(y)) + Dϕ(y),y−ϕ(y)=0,y∈ R
n
, (20.10)
276 ГЛАВА IV
которое рассматривается наряду с предельным соотношением
αϕ(y/α)=σ(y),y∈ Rn. (20.11)
lim
α↓0
Это предельное соотношение следует немедленно из непрерывности u
и равенств (20.2), (20.5). Если функция u дифференцируема в точке (t, x),
то из (20.5) и (20.9) следует
∂u(t,x)
= −ϕ(y)+D
∂t
ϕ(y),y,Dxu(t, x)=Dyϕ(y),
y
где y = x/(1 − t). Поэтому уравнение (20.1) преобразуется в уравнение (20.10).
Минимаксное решение уравнения (20.10) определено согласно общей
схеме, т. е. согласно свойству слабой инвариантности его графика, которое, как мы знаем, может быть выражено в различных формах. Например,
под минимаксным решением уравнения (20.10) можно понимать непрерывную функцию ϕ : R
n
→ R, которая удовлетворяет паре дифференциальных
неравенств
[d−ϕ(y; f) −s, f −y+ H(s) − ϕ(y)] 0, (20.12)
min
n
f∈R
[d+ϕ(y; f) −s, f −y+ H (s) − ϕ(y)] 0 (20.13)
max
n
f∈R
при любых y ∈ R
n
, s ∈ Rn.
Можно проверить, что из (20.5) и (20.9) вытекают соотношения
−
d
u(t, x;1,h)=d−ϕ(y; h + y) − ϕ(y),
+
u(t, x;1,h)=d+ϕ(y; h + y) − ϕ(y),
d
n
где y = x/(1 −t), t<1, h ∈ R
. Следовательно,
(20.7) ⇔(20.12), (20.8) ⇔ (20.13).
Напомним, что на основании теоремы 8.1 минимаксное решение в задаче (20.1), (20.2) существует и единственно. В силу этой теоремы,
из (20.9) следует, что существует единственное минимаксное решение в
задаче (20.10), (20.11).
В некоторых случаях известны точные формулы для решения задачи (20.10), (20.11). Например, если гамильтониан H или краевая функция σ
выпуклы или вогнуты, то можно непосредственно применять формулы Хопфа. Ниже, в пункте 20.3, будет описан алгоритм для построения минимаксного решения в задаче (20.10), (20.11), в случае, когда функции H и σ
кусочно-линейны, и размерность n фазового пространства равна 2.
20. КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ МИНИМАКСНЫХ РЕШЕНИЙ .. . 277
20.2. Локальное разложение минимаксных решений
Задача (20.1) – (20.4) интересна сама по себе. С другой стороны, решения задач этого типа могут быть использованы как при изучении бифуркаций кусочно-гладких решений УЧП общего вида, так и для развития
численных методов. Обсудим некоторые результаты, связанные с этой темой.
Рассмотрим задачу Коши для уравнения Гамильтона– Якоби
∂v
∂t
Здесь предполагается, что гамильтониан H
ям (H1) – (H3), сформулированным в пункте 7.2. Предполагается также, что
краевая функция σ
при любых x
(1),x(2)
минимаксное решение v в задаче (20.14), (20.15).
Выберем и зафиксируем точку (τ,ξ) ∈ (0,θ] ×R
+ H
(t, x, Dxv)=0, (t, x) ∈ (0,θ) ×Rn, (20.14)
v(θ, x)=σ
удовлетворяет условию Липшица
(x(1)
|σ
) −σ(x
(x),x∈ Rn. (20.15)
удовлетворяет требовани-
(2)
)| Lx
(1)
− x
(2)
,
∈ Rn. Согласно теореме 8.1, существует единственное
n
. Рассмотрим задачу
Коши
∂u
∂t
+ H(D
u)=0,t∈ (0,τ) ×Rn, (20.16)
x
u(τ,x)=v(τ, x), (20.17)
где H (s)=H
(t, x). Ясно, что для любых t ∈[τ −ε, τ ], x ∈ Bε(ξ) и s K имеет
рез u
1
место оценка
где K — произвольное положительное число и β
(τ,ξ,s). Обозначим минимаксное решение этой задачи че-
|H
(t, x, s) −H (s)| β1(ε, K),
(ε, K) → 0,когдаε → 0.
1
Используя это соотношение, можно показать, что минимаксные решения v
вышеупомянутых задач Коши достаточно близки в малой окрестности
и u
1
точки (τ,ξ), т.е. справедлива оценка
|v(t, x) − u
(ε) → 0,когдаε → 0.
где α
1
Далее, предположим, что для любого y ∈ R
(t, x)| α1(ε)ε, ∀(t, x) ∈ [τ − ε, τ ] ×B(ξ; ε),
1
n
существует производная
по направлению, равная
dv(τ, ξ;0,y) = lim
δ↓0
v(τ, ξ + δy) −v(τ,ξ)
δ
. (20.18)
278 ГЛАВА IV
Рассмотрим задачу Коши для уравнения (20.16) c краевым условием
u(τ,x)=v(τ, ξ)+σ(x −ξ),
где полагаем σ(y):=dv(τ,ξ;0,y). Обозначим минимаксное решение этой
задачи через u
(t, x). Можно снова показать, что
2
|v(t, x) − u
где α
(ε) → 0,когдаε → 0.
2
Наконец, рассмотрим минимаксное решение u
с краевым условием u
+ u
(t, x) и u3(τ −δ, δy)=u(1 −δ, δy),гдеu — это минимаксное решение в
3
(t, x)| α2(ε)ε, ∀(t, x) ∈ [τ − ε, τ ] ×B(ξ; ε),
2
(t, x) уравнения (20.16)
(τ,x)=σ(x). Очевидно, что u2(t, ξ + x)=v(τ, ξ)+
3
3
задаче (20.1), (20.2). Поэтому предыдующая оценка может быть переписана
следующим образом
|v(τ − δ, ξ + δy) − v(τ,ξ) −u(1 −δ, δy)|
n
α(δ)δ, ∀y ∈ R
, (20.19)
где α(δ) → 0,когдаδ → 0. Вследствие (20.5) и (20.9), справедливо
u(1 −δ, δy)=δϕ(y).
Таким образом, получено следующее утверждение.
n
Пусть [0,θ] × R
задаче Коши (20.14), (20.15), где гамильтониан H
(t, x) → v(t, x) ∈ R — минимаксное решение в
удовлетворяет требо-
ваниям (H1)–(H3), сформулированным в пункте 7.2, и краевая функция σ
удовлетворяет условию Липшица. Пусть (τ,ξ) ∈ (0,θ] × Rn, и пусть для
любого вектора y ∈ R
n
существует производная dv(τ,ξ;0,y) по направле-
нию (0,y)(см. (20.18)). Тогда имеет место локальное разложение (20.19),
и существует производная по направлению (−1,y)
dv(τ, ξ; −1,y) = lim
δ↓0
v(τ − δ, ξ + δy) − v(τ, ξ)
δ
= ϕ(y), (20.20)
где ϕ — минимаксное решение в задаче (20.10), (20.11) и σ(y)=dv(τ, ξ;0,y).
Оценка (20.19) и формула (20.20) разъясняют суть локальной структуры
минимаксного решения, что может быть использовано для решения задачи (20.14), (20.15) в классе кусочно-гладких функций. Выделим одно из возможных приложений представленных результатов. Так как (20.14), (20.15) —
терминальная краевая задача, то построение ее решения происходит в
20. КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ МИНИМАКСНЫХ РЕШЕНИЙ .. . 279
обратном времени. Предположим, что ее минимаксное решение v является кусочно-гладкой функцией. Пусть это решение построено в области [t,θ] × R
n
. Рассмотрим кусочно-гладкую функцию x → v(t, x).
Эта функция сконструирована при помощи склейки конечной совокупности гладких функций M
M
(t) ⊂ Rn— дифференцируемые многообразия. Семейство многообра-
i
зий M
пространства R
зий M
(t) (i ∈ 1,k(t)) формирует клеточное разбиение M(t) фазового
i
(t) и функции vi(t, ·) может оказаться негладкой в некоторые момен-
i
n
. При уменьшении параметра t, деформация многообра-
(t) x → vi(t, x) ∈ R (i ∈ 1,k(t)), где
i
ты времени, которые называются здесь моментами бифуркации.
Пусть τ — один из таких моментов бифуркации. Тогда существует число ε>0,такое,чтодлялюбыхt
разбиения M(t
) и M(t) — не изоморфны. Желая продолжить построение
∈ (τ − ε, τ ) и t∈ (τ,τ + ε) клеточные
минимаксного решения при t<τ, можно использовать формулу (20.20)
и рассмотреть сингулярные точки (τ, ξ), в окрестности которых кусочнолинейная структура решения изменяется. В рассматриваемом случае функция σ(y)=dv(τ, ξ;0,y) кусочно-линейна и положительно однородна. Если
получено решение ϕ(y) соответствующей задачи (20.10), (20.11), то, согласно формуле (20.20), определена и производная dv(τ, ξ; −1,y).Поэтому
структура кусочно-линейной функции y → ϕ(y)=dv(τ,ξ; −1,y) извест-
на. Эта информация достаточна как для дальнейшего построения гладких
компонент минимаксного решения, так и для определения клеточного разбиения M(t) при t ∈ (τ −ε, τ).
20.3. Построение кусочно-линейных решений
Теперь рассмотрим схему построения решения задачи (20.10), (20.11).
Как было отмечено в конце раздела 20.1, если функция σ выпукла или
вогнута, то для решения этой задачи имеются довольно простые формулы. Согласно вышеизложенным соображениям, важно знать, как решить
проблему в случае, когда функция σ только кусочно-линейна. Если, помимо этого, гамильтониан H(s) также кусочно-линеен, можно догадаться,
что решение v задачи (20.10), (20.11) должно быть кусочно-линейным. Эта
догадка подтверждается в случаях, когда σ выпукла или вогнута. Ниже рассматривается другой случай, в котором эта гипотеза также подтверждается.
Более того, для рассматриваемого случая был разработан и описан ниже
конечный алгоритм для построения точного решения.
Отметим, что, для многих задач оптимального управления и дифференциальных игр, гамильтониан H
(t, x, s) в соответствующем уравнении
Айзекса– Беллмана оказывается кусочно-линейным по s. Ясно также, что
любой непрерывный гамильтониан может быть приближен функцией, которая является кусочно-линейной по s.
280 ГЛАВА IV
В последующем материале описывается конечный алгоритм построе-
ния решения в задаче (20.10), 20.11) при следующих предположениях
H(·) ∈ PL,σ(·) ∈ PL
,n=2. (20.21)
+
Здесь символ PL обозначает множество положительно однородных кусочно-линейных функций, а символом PL
обозначено множество всех
+
неотрицательных функций из PL. Обращаем внимание на то, что для любого σ
а ϕ
σ = σ
∈ PL справедливо σ∗= σ1−σ2и ϕ∗= ϕ1−ϕ2,гдеσ1,σ2∈ PL+,
∗
, ϕ1и ϕ2— минимаксные решения задачи (20.10), (20.11) при σ = σ∗,
∗
и σ = σ2соответственно.
1
Функция σ, согласно (20.21), сформирована c помощью «склейки» ко-
нечной совокупности линейных функций
σ
(y)=si,y,i∈ 1,nσ.
i
Полагаем
Z := {s
: i ∈ 1,nσ},Z:= co(Z ∪ 0}),
i
где 0 обозначает нулевой вектор.
Рассмотрим кусочно-линейную функцию H.ОбозначимчерезΩ множество точек, в которых функция H недифференцируема. Таким образом,
множество Ω состоит из точки 0 и точек, в которых функция H склеена из
двух линейных функций.
Справедливо следующее утверждение.
Пусть выполняются условия (20.21). Тогда решение ϕ взадаче(20.10),
(20.11) формируется при помощи склейки линейных функций
ϕ
(y)=l, y+ H(l),l∈ L,
l
где множество L состоит из конечного числа элементов, и
Z ⊂ L, (L \ Z) ⊂ (Z
∩Ω).
Это утверждение следует из предлагаемого алгоритма построения решение. Алгоритм состоит, в сущности, из последовательного решения элементарных задач, которые возникают в определенном порядке. Эти задачи
могут быть сформулированы следующим образом.
Пусть
+
(y)=max{a, y, b, y},σ−(y)=min{a, y, b, y},
σ
где a, b и y — вектора из R
2
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]