Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации
.pdf
A8. КРИТЕРИИ СЛАБОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ 311
Так как множество P (η) замкнуто в Rm,амножествоSolε(ζ,η) компактно
в пространстве C([0,θ]; R
m
Выберем
y
(·) ∈ Arg max{t0(y(·)) : y(·) ∈ Solε(ζ,η)}.
∗
Обозначим η
справедливо, что η
Согласно (A8.11) и (A8.15), можно выбрать такие число δ ∈ (0,τ−τ
вектор f ∈ R
Поскольку y
транзитивно, получаем, что y
АГ 5. В заключение, докажем импликацию (d1)⇒(c1).
Ш
Выберем (ζ, τ) ∈ Θ
ε
∈ (0, 1) (k =1, 2,...), которая сходится к 0. Согласно условию (d1),
k
существует такая последовательность y
:= x∗(τ∗). Очевидно, что η∗∈ P (η) ⊂ W . В силу (A8.1),
∗
m
∗
∈ P (η∗). Отметим также, что τ∗<τ.
∗
и траекторию y∗(·) ∈ Solε(τ∗,η∗),что
∗
y
(t)=y∗(t), при t ∈ [0,τ∗],
+ δf ∈ P (η∗),f∈ E(η∗)+Bε, δf ε,
η
∗
(τ∗+ δ) ∈ P (η∗), η∗∈ P(η), и многозначное отображение P
∗
(t)=f при t ∈ [τ∗,τ∗+ δ].
˙y
∗
(τ∗+δ) ∈ P (η), а это противоречитвыбору τ∗.
+
, η ∈ B(y0; λζ) ∩ W ипоследовательность
(·) ∈ Sol
k
(ζ,η),чтоyk(τ) ∈ P(η),
ε
k
∗
k =1, 2,... Можно выбрать подпоследовательность (не переименовывая
ее), чтобы получить, что y
нияA7.1,получаем,чтоy
то, то выполняется y
∗
(·) → y∗(·),когдаk →∞. В силу утвержде-
k
(·) ∈ Sol0(ζ,η). Так как множество P(η) замкну-
∗
(τ) ∈ P (η). Следовательно, для любых (ζ, τ) ∈ Θ
и η ∈ B(y0; λζ) ∩ W , можно выбрать такую траекторию y∗(·) ∈ Sol0(ζ,η),
что y
(τ) ∈ P(η).
∗
Пусть δ ∈ (0,θ), τ
:= iδ (i =0, 1,...,[θ/δ],где[θ/δ] — целая часть
i
числа θ/δ). Используя рекуррентно приведенные выше рассуждения, получим, что существует такая траектория y
y
) ∈ P (yδ(τi)), i =0, 1, 2,...,[θ/δ] − 1. Из того, что многозначное
δ(τi+1
(·) ∈ Sol0(0,y0), для которой
δ
отображение P транзитивно (см. (A8.2)), вытекает, что
),
+
y
) ∈ P(yδ(τi)), для любых 0 i j [θ/δ]. (A8.22)
δ(τj
∞
}
Выберем последовательность {δ
гда k →∞, и выберем последовательность {y
ряющую условиям вида (A8.22). Далее можно выбрать подпоследовательность (не переобозначая ее), чтобы получить y
когда k →∞.
Пусть (s, t) ∈ Θ
+
. Согласно вышеизложенным рассуждениям, суще-
ствует такая последовательность { (s
(k)
y
(tk) ∈ P(y
(k)
(sk)), (sk,tk) → (s, t), когда k →∞.
⊂ (0,θ), которая сходится к нулю, ко-
k
1
k,tk
(k)
) ∈Θ+}
(·)=y
k
(·) → y(·) ∈ Sol0(0,y0),
∞
,что
1
∞
(·)}
k
, удовлетво-
1
δ
312 ПРИЛОЖЕНИЕ
Поскольку график многозначного отображения P замкнут, получаем, что
y(t) ∈ P (y(s)).
Таким образом, получаем, что существует такая траектория
y(·) ∈ Sol
(0,y0),чтоy(t) ∈ P (y(s)) для любых (s, t) ∈ Θ+. Вследствие вы-
0
полнения условий (A8.10) и (A8.11), справедливо E(y)=Y (y),дляy ∈ W .
Так как P (y) ⊂ W и y(t) ∈ P (y(t)),длявсехt ∈ [0,θ],выводим,что
y(t) ∈ W , E(y(t)) = Y (y(t)),и ˙y(t) ∈ Y (y(t)) для почти всех t ∈ [0,θ].
Следовательно, y(·): [0,θ] →W — монотонная траектория дифференциаль-
ного включения (A8.3), удовлетворяющая начальному условию y(0) = y
.
0
Теорема A8.1 доказана.
Ясно, что в случае, когда P(y)=W для всех y ∈ W ,следствиеA8.1
следует непосредственно из теоремы 8.1.
З
АМЕЧАНИЕ A8.1. Пусть R
m
y → E(y) ∈ conv (Rm) — полунепре-
рывное сверху многозначное отображение. Рассмотрим дифференциальное
включение
˙y(t) ∈ E(y(t)). (A8.23)
Согласно вышеприведенному определению, локально компактное множество W ⊂ R
ференциального включения (A8.23), если для каждого y
число θ>0 и абсолютно непрерывное решение y(·): [0,θ] → R
ния (A8.23), такое, что y(0) = y
это определение является эквивалентным следующему: для каждого y
существует число θ>0,такое,чтодлялюбогоτ ∈ (0,θ] существует такая
абсолютно непрерывная функция y(·): [0,τ] → R
ет (A8.23), начальному условию y(0) = y
АМЕЧАНИЕ A8.2. Известны различные условия, которые обеспечива-
З
m
называется слабо инвариантным относительно этого диф-
∈ W существуют
0
и y(t) ∈ W для всех t ∈ [0,θ].Ясно,что
0
m
, которая удовлетворя-
и включению y(τ ) ∈ W .
0
m
включе-
0
∈ W
ют продолжимость локально выживающих траекторий. Например, одно из
таких условий может быть сформулировано следующим образом.
Пусть выполняются требования следствия A8.1, и пусть многозначное
отображение W y → Y (y) ∈ conv (R
m
) удовлетворяет оценке
h c(1 + y), ∀y ∈ W, h ∈ Y (y), (A8.24)
где c — положительное число. Тогда для любой точки y
∈ W существует
0
по крайней мере одна выживающая траектория y(·): [0,θ) → W дифферен-
циального включения (A8.3), которая удовлетворяет начальному условию
y(0) = y
y(θ) ∈ W .ЕслиW — замкнутое подмножество из R
и определена на интервале времени [0,θ), где либо θ = ∞,либо
0
m
и выполняется оценка (A8.24), то любая выживающая траектория может быть продолжена на
всю полуось [0, ∞).
A8. КРИТЕРИИ СЛАБОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ 313
В заключение, сформулируем необходимые и достаточные условия для
того, чтобы множество W ⊂ [0,t
)×Rmбыло слабо инвариантным относи-
тельно дифференциального включения, зависящего от времени и имеющего
вид
˙y(t) ∈ Y (t, y(t)). (A8.25)
Предполагаем, что множество W локально компактно в [0,t
значное отображение W (t, y) → Y (t, y) ∈ conv(R
сверху в смысле Хаусдорфа. Здесь t
— или положительное число, или +∞.
)×Rm, а много-
m
) — полунепрерывно
Заметим, что множество W может рассматриваться как график многозначного отображения
[0,t
) t → W (t) ⊂ Rm,
m
где W (t):={w ∈ R
Множество W ⊂ R
дифференциального включения (A8.25), если, для любой точки (t
существуют число τ ∈ (t
ющая траектория) y(·): [t
для всех t ∈ [t
всех t ∈ [t
0
,τ].
:(t, w) ∈ W }.
m
называется слабо инвариантным относительно
) ∈W,
0,y0
,t) и абсолютно непрерывная функция (выжива-
0
,τ] → Rm, такая, что y(t0)=y0, y(t) ∈ W (t)
,τ], а включение (A8.25) удовлетворяется при почти
0
0
Чтобы сформулировать критерий слабой инвариантности множества,
определим производную многозначного отображения t → W (t) следующим
образом:
(D
W )(t, w):=h ∈ Rm: liminf
t
dist (w + δh; W(t + δ))
δ↓0
δ
=0.
Множество (D
W )(t, w) называется правосторонней производной много-
t
значного отображения t → W(t) вточке(t,w) ∈ W .
A8.1. Утверждение
Локально компактное множество W ⊂ [0,t
) × Rmявляется слабо
инвариантным относительно дифференциального включения (A8.25)тогда
и только тогда, когда выполняется условие
W )(t, w) ∩Y (t,w) = ∅, ∀(t, w) ∈ W. (A8.26)
(D
t
Этот критерий эквивалентен условию
W )(t, w) ∩Y (t,w) = ∅, ∀(t, w) ∈ W. (A8.27)
co (D
t
314 ПРИЛОЖЕНИЕ
Доказательство этого утверждения фактически содержится в доказательстве теоремы A8.1. Ясно, что условия вида (A7.3) обеспечивают продолжимость локально выживающих траекторий дифференциального включения (A8.25). Отметим, что критерий слабой инвариантности в виде условия (A8.27) был получен в работе [84].
Литература
[1] Р. А.Адиатуллина, А. М.Тарасьев. Дифференциальная игра неограни-
ченной продолжительности. Прикл. матем. механ., 51(4): 531–537,
1987. (English transl. in J. Appl. Math. Mech. 51, 415–420, 1987).
[2] П. С.Александров. Комбинаторная топология.Гостехиздат,Моск-
ва-Ленинград, 1947. (Translated, Vol. 1, 2, 3, Graylock Press, Albany,
NY, 1956, 1957, 1960.)
[3] М. И. Алексейчик. Дальнейшая формализация основных элементов
антагонистической дифференциальной игры. В сб. Математический
анализ и его приложения, т. 7, стр. 191–199. Ростовский-на-Дону госуниверситет, Ростов-на-Дону, 1975.
[4] В. И. Аркин, В. Л. Левин. Выпуклость значений векторных интегра-
лов, теоремы измеримого выбора и вариационные задачи. Успехи
мат. наук, 27(3): 21–77, 1972.
[5] J.-P. Aubin. Viability Theory. Birkhauser, Boston, 1990.
[6] J.-P. Aubin and A. Cellina. Differential Inclusions. Springer-Verlag, Berlin,
Heidelberg, 1984.
[7] J.-P.Aubin and H. Frankowska. Set Valued Analysis.Birkh¨auser, Boston,
1990.
[8] М. Байбазаров, А.И. Субботин. Об одном определении цены диффе-
ренциальной игры. Дифференциальные уравнения, 20(9): 1489–1495,
1984.
[9] Н. Н. Барабанова, А. И. Субботин. О непрерывных стратегиях уклоне-
ния в игровых задачах о встрече движений. Прикл. матем. механ.,
34(5): 796–803, 1970.
[10] Н. Н.Барабанова, А. И. Субботин. О классах стратегий в дифферен-
циальных играх уклонения. Прикл. матем. механ., 35(3): 385–392,
1971.
316 ЛИТЕРАТУРА
[11] Е. А.Барбашин. К теории обобщенных динамических систем. Учен.
записки Москов. универс., математика, 135: 110–133, 1949.
[12] Е. А.Барбашин. Введение в теорию устойчивости.Наука,Москва,
1967.
[13] Е. А. Барбашин, Ю. И. Алимов. К теории релейных дифференциаль-
ных уравнений. Известия Вузов, математика, 1(26): 3–13, 1962.
[14] M. Bardi.A boundaryvalue problemfor the minimum time function. SIAM
J. Control Optim., 27: 776–785, 1989.
[15] M. Bardi, S. Bottacin, and M. Falcone. Convergence of discrete schemes
for discontinuous value functions of pursuit-evasion games. In Mich`ele
Breton and Georges Zaccour, editors, Sixth International Symposium
on Dynamic Games and Applications, pages 79–92, St. Jovite, Qu`ebec,
Canada, 1994.
[16] M. Bardi and I.Capuzzo-Dolcetta. Optimal Control and Viscosity Solutions
of Hamilton –Jacobi– Bellman Equations. Birkhauser, Boston, 1988.
[17] M. Bardi and L. C.Evans. On Hopf’s formulas for solutions of Hamilton –
Jacobi equations. Nonlinear Analysis, Theory, Methods, Appl., 8(11):
1373–1381, 1984.
[18] M. Bardi and M. Falcone. An approximation scheme for the minimum time
function. SIAM J. Control and Optim., 28: 950–965, 1990.
[19] M. Bardi and S. Osher. The nonconvex multi-dimensional Riemann
problem for Hamilton –Jacobi equations. SIAM J. Math. Anal., 22:
344–351, 1991.
[20] M. Bardi and P. Soravia. Hamilton –Jacobi equations with singular
boundary conditions on a free boundary and applications to differential
games. Trans. Amer. Math. Soc., 325: 205–229, 1991.
[21] M. Bardi and V. Staicu. The Bellman equation for time-optimal control of
non-controllable, nonlinear systems. Acta Appl. Math., 31: 201–223,1993.
[22] G. Barles and B.Perthame. Discontinuous solutions of deterministic
optimal stopping time problem. Model. Math. Anal. Num., 2: 557–579,
1987.
[23] E. N.Barron. Differential games with maximum cost. Nonlinear Analysis,
Theory, Methods, Appl., 14(11): 971–989, 1990.
ЛИТЕРАТУРА 317
[24] E. N.Barron, L. C. Evans, and R. Jensen. Viscosity solutions of Isaacs’
equations and differential games with Lipschitz controls. J. Different.
Equat., 53: 213–233, 1984.
[25] E. N.Barron and R.Jensen. The Pontryagin maximum principle from
dynamic programming and viscosity solutions to first order partial
differential equations. Trans. Amer. Math. Soc., 298(2): 635–641, 1986.
[26] E. N.Barron and R. Jensen. Semicontinuous viscosity solutions of
Hamilton – Jacobi equations with convex Hamiltonians. Comm. Partial
Differential Equations, 15: 1713–1742, 1990.
[27] T.Basar and P. Bernhard. H
∞
-Optimal Control and Related Minimax
Design Problems. Birkhauser, Boston, 1991.
[28] R. Bellman. Dinamic Programming, volume 1, 2. Princenton Univ. Press,
Princenton, NJ, 1957.
[29] L. D.Berkovitz. A variational approach to differential games. In Advances
in Game Theory, number 52 in Ann. Math. Stud., pages 127–174.
Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1964.
[30] L. D.Berkovitz. Characterization of the values of differential games. Appl.
Math. Optim., 17: 177–183, 1988.
[31] P. Bernhard. Singular surfaces in differential games: An introduction. In
Differential Games and Applications, Lecture Notes in Control Inf. Sci.,
pages 1–33, 1977.
[32] В. И. Благодатских, А. Ф. Филиппов. Дифференциальные включения
и оптимальное управление. Труды математического института им.
Стеклова, 169: 194–252, 1985.
[33] Н. Д. Боткин, В. М. Кейн, В. С. Пацко. Модельная задача об управле-
нии боковым движением на посадке самолета. Прикл. матем. механ.,
48(4): 560–567, 1984. (Translated in J. Appl. Math. Mech. Vol. 48 (1984),
No. 4, 395–400.)
[34] N. D.Botkin, V. S.Patsko. Universal strategy in a differential game with
fixed end duration. Probl. Contr. and Inform. Theory, 11(6): 419–432,
1982.
[35] Н. Д. Боткин, В. С. Пацко. Позиционное управление в линейной диф-
ференциальной игре. Изв. Акад. наук СССР, Техн. кибернетика,(4):
78–85, 1983. (Translated in Engineering Cybernetics, Vol. 21, No. 4,
69–76, 1984.)
318 ЛИТЕРАТУРА
[36] N. D.Botkin, V.S. Patsko. Numerical solution of linear differential game.
In Differential Games — Developments in Modelling and Computation,
vol. 156 of Lecture Notes in Control Inf. Sci., pp. 226–434. 1991.
[37] I.Capuzzo-Dolcetta. On a discrete approximation of the Hamilton– Jacobi
equation of dynamic programming.Appl. Math. Optimiz., 10(4): 367–377,
1983.
[38] I. Capuzzo-Dolcetta and H. Ishii. Approximate solutions of the Bellman
equation of deterministic control theory. Appl. Math. Optimiz., 11:
161–181, 1984.
[39] Ch. Castaing and M. Valadier. Convex analysis and measurable
multifunctions. Springer-Verlag, New York, Berlin, 1977.
[40] А. Г. Ченцов. О структуре игровой задачи сближения. ДАН СССР, 16:
1404–1406, 1975.
[41] А.Г. Ченцов. Об игровой задаче сближения в заданный момент вре-
мени. Матем. сборник, 99(3): 394–420, 1976. (Translated in Math. of
the USSR Sb. Vol. 28 (1976), 353–376.)
[42] А. Г. Ченцов. Итерационная программная конструкция для дифферен-
циальной игры с фиксированным моментом окончания. ДАН СССР,
240(1): 796–800, 1978. (Translated in Soviet Math. Dokl. Vol. 19 (1978),
No. 3, 559–562.)
[43] Ф. Л.Черноусько, А. А. Меликян. Игровые задачи управления и поис-
ка. Наука, Москва, 1978.
[44] С. В.Чистяков. К решению игровых задач преследования. Прикл. ма-
там. механ., 41(5): 825–832, 1977.
[45] F.H. Clarke. Generalized gradients and applications. Trans. Amer. Math.
Soc., 205: 247–262, 1975.
[46] F.H. Clarke. Optimal control and true Hamiltonian. SIAM Review, 21:
157–166, 1979.
[47] F.H. Clarke. Optimization and Nonsmooth Analysis. Wiley Interscience,
New York, 1983. Second edition 1990, Vol. 5 in Classics in Appl. Math.
Series, SIAM.
[48] F. H. Clarke and Yu. S. Ledyaev. Mean value inequalities in Hilbert space.
Trans. Amer. Math. Soc., 344: 307–324, 1994.
ЛИТЕРАТУРА 319
[49] Ф. Кларк, Ю. С.Ледяев. Новые формулы конечных приращений. Докл.
Российск. акад. наук, 331(3): 275–277, 1993.
[50] F.H. Clarke and R. B.Vinter. Local optimality conditions and Lipschitzian
solutions to Hamilton – Jacobi equations. SIAM J. Control Optim., 21:
856–870, 1983.
[51] E. D.Conway and E.Hopf. Hamilton’s theory and generalized solutions of
the Hamilton –Jacobi equation. J. Math. Mech., 13: 939–986, 1964.
[52] R. Courant and D. Hilbert. Methods of Mathematical Physics, volume I
and II. John Wiley & Sons, New York, 1953, 1962.
[53] M. G.Crandall. A generalization of Peano’s existence theorem and flow
invariance. Proc. Amer. Math. Soc., 36(1): 151–155, 1972.
[54] M. G.Crandall, L. C.Evans, and P.L. Lions. Some properties of viscosity
solutions of Hamilton –Jacobi equations. Trans. Amer. Math. Soc., 282(2):
487–502, 1984.
[55] M. G.Crandall, H. Ishii, and P. L. Lions. Uniqueness of viscosity solutions
revisited. J. Math. Soc. Japan, 39: 581–596, 1987.
[56] M. G.Crandall, H. Ishii, and P. L. Lions. A user’s guide to viscosity
solutions. Bulletin A.M.S., N.S., 27: 1–67, 1992.
[57] M. G. Crandall and P. L.Lions. Condition d’unicit´e pour les solutions
g´en´eralis´ees des´equations Hamilton – Jacobi du 1
er
ordre. C. R. Acad.
Sci. Paris S´er. A–B, 292: 183–186, 1981.
[58] M.G. Crandall and P.L. Lions. Viscosity solutions of Hamilton –Jacobi
equations. Trans. Am. Math. Soc., 277(1): 1–42, 1983.
[59] M. G.Crandall and P. L.Lions. Two approximations of solutions of
Hamilton – Jacobi equations. Math. Comput., 43: 1–19, 1984.
[60] J. L. Davy. Properties of the solution set of the generalized differential
equation. Bull. Austral. Math. Soc., 6(3): 379–398, 1972.
Издательство Ленинградского госуниверситета, Ленинград, 1974.
[62] В. Ф.Демьянов, А. М. Рубинов. Основы негладкого анализа и квази-
дифференциальное исчисление. Наука, Москва, 1990.
320 ЛИТЕРАТУРА
[63] A. Douglis. The continuous dependence of generalized solutions of
nonlinear partial differential equations upon initial data. Comm. Pure Appl.
Math., 14: 267–284, 1961.
[64] A. Douglis. Solutions in the large for multidimentional nonlinear
differential equations of first order. Ann. Inst. Fourier, 15: 2–35, 1965.
[65] В. Я.Джафаров. Об устойчивости гарантированного результата в за-
даче позиционного управления. ДАН СССР, 285(1): 27–31, 1985.
[66] R.J. Elliott and N. J. Kalton. The existence of value in differential games.
Mem. Amer. Math. Soc., 126, 1972.
[67] R. J. Elliott and N. J. Kalton. The existence of value in differential games
of pursuit and evasion. J. Different. Equat., 12(3): 504–523, 1972.
[68] L. C. Evans. On solving certain nonlinear partial differential equations by
accretive operator methods. Israel J. Math., 36: 225–247, 1980.
[69] L. C. Evans and M.R. James. The Hamilton – Jacobi–Bellman equation for
time optimal control. SIAM J. Control Optim., 27: 1477–1489, 1989.
[70] L. C.Evans and P. E. Souganidis. Differential games and representation
formulas for solutions of Hamilton –Jacobi– Isaacs equations. Indiana
Univ. Math. J., 33: 773–797, 1984.
[71] K. Fan. Minimax theorems. Proc. Nat. Acad. Sci. USA,39(1): 42–47,1953.
[72] A. F. Filippov. On certain questions in the theory of optimal control. SIAM
J. Control, 1: 76–84, 1962.
[73] A. F. Filippov. Differential equations with discontinuous right-hand side.
Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 42: 199–231, 1964.
[74] А.Ф. Филиппов. Дифференциальные уравнения с разрывной правой
частью. Наука, Москва, 1985.
[75] W.H. Fleming. A note on differential games of prescribed durations. In
Contributions to the Theory of Games, vol. III of Ann. Math. Stud., pp.
407–416. Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1957.
[76] W.H. Fleming. The convergence problem for differential games. J. Math.
Anal. and Appl., 3: 102–116, 1961.
[77] W.H. Fleming. The Cauchy problem for degenerate parabolic equations.
J. Math. Mech., 13(6): 987–1008, 1964.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]