Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации
.pdf
16. КОНСТРУКТИВНЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ... 211
В качестве иллюстрации рассмотрим пример задачи M -сближения, в
котором движения управляемой системы описываются уравнениями
˙x
= x2,
1
= −0.15x2q − 10.15 sin x1+ p,
˙x
2
|p| 10, q ∈ [0, 1], θ =5, терминальное множество M состоитиз единствен-
ной нулевой точки x
аппроксимирует максимальный стабильный мост W
=0, x2=0. Чтобы построить множество WΔ, которое
1
в этой задаче, была
0
использована вычислительная программа, разработанная А. Хрипуновым.
Рис. 16.1
На рис. 16.1 изображены сечения WΔ(ti) множества WΔвмоменты
времени t
∈ [0, 5].
i
Следует упомянуть, что этот очень краткий обзор не вмещает целого
ряда важных моментов теоретического обоснования алгоритмов и описания
вычислительных программ.
16.5. Построение поверхностей переключения для позиционных
стратегий
Рассмотрим линейную дифференциальную игру, в которой движение
управляемой системы описывается уравнением (16.1), а функционал платы
имеет вид
γ(x(·)) = σ(x(θ)),σ: R
n
→ R выпукла. (16.35)
Опишем сначала известное преобразование этой игры. Пусть t → X (t) —
n ×n-мерная матрица-функция, удовлетворяющая уравнению
dX(t)
= −X(t)A(t) (16.36)
dt
212 ГЛАВА III
иусловиюX (θ)=I,гдеI — единичная матрица. Продифференцируем
равенство y(t)=X (t)x(t),гдеx(t) — решение уравнения (16.1). Получаем
˙y =ξ(t, p, q), (16.37)
гдеξ(t, p, q)=X (t)ξ(t, p, q), p ∈ P , q ∈ Q.Пустьu(t
) — цена диффе-
0,y0
ренциальной игры (16.37) с функционалом платы
γ(y(·)) = σ(y(θ)), (16.38)
т. е. функционал платы здесь такой же, как в игре (16.1), (16.35). Пусть
Val (t
) — цена дифференциальной игры (16.1), (16.35). Нетрудно заме-
0,x0
тить, что справедливо равенство
u(t
,X(t0)x0)=Val(t0,x0) (16.39)
0
для всех (t
) ∈ [0,θ] ×Rn. Таким образом достаточно рассмотреть диф-
0,x0
ференциальную игру (16.37), (16.38). Отметим, что в тех случаях, когда
функция σ не зависит от части компонент фазовых векторов x или y,всистеме уравнений (16.37) следует оставить лишь уравнения для тех компонент, от которых фактически зависят значения функции σ. Таким образом,
в этих случаях, указанное преобразование позволяет уменьшить размерность фазового пространства. Отметим также следующее. Хорошо известно
(см., например, [123], стр. 87–89), что для дифференциальной игры (16.37),
(16.38) из выпуклости краевой функции σ следует выпуклость функции
цены по фазовой переменной y.
Ниже будет описано построение множеств уровня функции цены в
дифференциальной игре (16.37), (16.38), а также построение позиционной
субоптимальной стратегии игрока P , гарантирующей ему результат, близкий к оптимальному. В этих построениях используется оператор программного поглощения. Отметим, что для системы (16.37) из выпуклости входных
данных задачи следует, что множество программного поглощения будет выпуклым. Здесь уместно заметить, что техника опорных функций множеств
программного поглощения была развита в 60-х годах Н.Н. Красовским (см.,
например, [109, 110]). Некоторые пионерские результаты в этом направлении были получены Б. Н.Пшеничным (см., например, [173]).
В дальнейшем будет использоваться конечно-разностный вариант оператора программного поглощения, который определяется равенством
q∈Q
W (t
,τ,q,M). (16.40)
∗
W (t
,τ,M):=
∗
16. КОНСТРУКТИВНЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ... 213
Здесь
W (t
,τ,q,M):={x∗∈ Rn: x∗+(τ −t∗)coξ(t∗,P,q) ∩M = ∅} =
∗
)coξ(t∗,P,q)
∗
0 t
= M −(τ − t
<τ θ, q ∈ Q, M ⊂ Rn. Понятно, что эта конструкция является
∗
частным случаем конструкции, определенной в пункте 16.4.
Предположим, что множество M — выпуклый компакт. Определим
опорную функцию множества W (t
опорную функцию ν
(s):=max{s, w: w ∈W (t∗,τ,q,M)} =
ν
q
(s) множестваW (t∗,τ,q,M). Имеем
q
s, y+(τ − t∗)max
=max
y∈M
,τ,M). Рассмотрим на первом шаге
∗
s, −ξ(t∗,p,q) =
p∈P
= μ(s;M) −(τ −t
)min
∗
p∈P
s, ξ(t∗,p,q),
где μ(·; M ) — опорная функция множества M .Точкаy содержится в пересечении (16.40) тогда и только тогда, когда выполняется неравенство
0 max
q∈Q
max
[s, y−νq(s)] = max
n
s∈R
[s, y−ν(s)].
n
s∈R
Здесь
)max
min
ν(s):=μ(s;M) −(τ −t
∗
q∈Q
s, ξ(t∗,p,q).
p∈P
Функция ν(·) положительно однородна. Если эта функция выпукла, то, как
известно из выпуклого анализа, ν(·) является опорной функцией некоторого
выпуклого множества. Из построений следует, что таким множеством будет
множество W (t
этом случае опорной функцией множества W (t
,τ,M). Однако функция ν(·) может быть невыпуклой, в
∗
,τ,M) является выпуклая
∗
оболочка функции ν(·), которая определяется следующим образом. Пусть
N := epi ν(·)={(s, z): z ν(s),s∈ R
n
},
co ν(s):=inf{z ∈ R:(s, z) ∈ co N }. (16.41)
Итак, определенная здесь функция co ν(·) положительно однородна и
выпукла. Из определения функции ν(·) следует, что coν(·) является опорной
функцией множества W (t
,τ,M).
∗
Указанные соотношения используются для построения множеств уровня функции цены дифференциальной игры (16.37), (16.38). Выберем некоторое число c и определим множество уровня функции платы
:= {y ∈ Rn: σ(y) c}.
M
c
Отметим, что множество M
выпукло и замкнуто. Будем предполагать так-
c
же, что оно ограничено. Рассмотрим построение стабильного моста в задаче
214 ГЛАВА III
о приведении системы (16.37) на терминальное множество Mc.ПустьΔ=
= {θ = τ
Полагаем W
>τ1> ··· >τk=0} — некоторое разбиение отрезка [0,θ].
0
)=Mc.Пусть
Δ,c(τ0
μ
(s):=max{s, w: w ∈ W
0
Δ,c(τ0
)}
— опорная функция множества W
опорная функция μ
дующего множества W
(s):=μi(s) −(τ
ν
i+1
т. е. μ
(s):=inf{z ∈ R:(s,z) ∈ co epiν
i+1
(·) множества W
i
Δ,c(τi+1
) определим следующим образом. Полагаем
− τi)max
i+1
μ
(·):=coν
i+1
Таким образом получаем набор опорных функций μ
ющую систему множеств W
Δ,c(τi
мируют множества уровня функции цены, т.е. dist [W
). Предположим, что определена
Δ,c(τ0
). Опорную функцию μ
Δ,c(τi
min
q∈Q
s,ξ(τi,p,q). (16.42)
p∈P
(·), (16.43)
i+1
(·)}.
i+1
(·) и соответству-
i
i+1
(·) сле-
), (i ∈ 0,k). Эти множества аппрокси-
); Wc(τi)] → 0
Δ,c(τi
при diam Δ → 0.Здесь
W
(τ):={x ∈ Rn: u(τ, x) c}
c
— множество уровня функции цены дифференциальной игры (16.37),
(16.38). Данное соотношение справедливо в невырожденном случае, когда множества W
=clintW
); здесь символы int A и cl B означают внутренность мно-
c(τi
) имеют непустую внутренность, т.е. Wc(τi)=
c(τi
жества A и замыкание множества B.
В рассматриваемой процедуре возможен случай, когда W
при некотором τ
до первого (в порядке их нумерации) момента τ
∈ Δ. В этом случае указанные построения проводятся
i
, для которого W
i
Δ,c(τi
Δ,c(τi
)=∅
)=
= ∅. Понятно, что достаточно полную информацию о функции цены можно
получить, имея множества ее уровня (или аппроксимации этих множеств)
для некоторого достаточно плотного набора чисел c
(j ∈ 1,J).
j
Основная вычислительная проблема, которую нужно решать на каждом
шаге рассматриваемой процедуры (т.е. для каждого момента времени τ
для каждого числа c
), состоит в построении выпуклой оболочки положи-
j
i
тельно однородной функции.
Ряд эффективных вычислительных алгоритмов построения выпуклых
оболочек был разработан В. С. Пацко и его учениками (см., например,
[93, 230, 231]). В этих алгоритмах максимально используется вся априорная информация о задаче (в том числе, о входной функции, чьи выпуклые
оболочки нужно построить). Опишем их кратко.
и
16. КОНСТРУКТИВНЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ... 215
В этих алгоритмах множества W
) и coξ(τi,P,q) задаются как
Δ,c(τi
выпуклые многогранники. Предполагается, что
ξ(t, p, q)=B(t)p + C(t)q, (16.44)
где B(t), C(t) — матрицы, а Q — выпуклый многогранник.
Пусть Q
Ясно, что ν
делена соотношением (16.42)). Очевидно, что в рассматриваемом случае
функции μ
— множество всех вершин многогранника Q. Определим
ν
(s):=μ(s) − (τ
i+1
(s)=ν
i+1
(·) и ν
i
i+1
(s) (напомним, что величина ν
i+1
(·)=ν
i+1
− τi)max
i+1
q∈Q
min
s,ξ(τi,p,q).
p∈P
(s) была опре-
i+1
(·) являются кусочно-линейными.
Заметим, что предположение (16.44) не является существенным. В случае, когда это предположение не выполняется, можно выбрать конечное
множество Q
точно близкой к функции ν
, такое, что функция ν
i+1
Из выражения, определяющего функцию ν
формацию о лучах S
, в окрестности которых эта функция может оказаться
(·).
(·) будет кусочно-линейной и доста-
i+1
(·), можно извлечь ин-
i+1
локально невыпуклой. Поэтому построение выпуклой оболочки (глобальной) начинается с построения локальных выпуклых оболочек в упомянутых
окрестностях лучей S
. Этот прием позволяет существенно сократить объем
вычислений. Эффективные (быстрые) алгоритмы разработаны для случая
n =2, n =3(n — это размерность фазового вектора управляемой систе-
мы (16.37)). Их можно использовать также в случае n 4, однако следует
сказать, что в этом случае необходимо хранить и обрабатывать огромные
массивы информации, необходимой для аппроксимации рассматриваемых
стабильных мостов с помощью многогранников. Подробное описание этих
алгоритмов приведено в упомянутых выше работах.
После того, как определены множества W
(τi), можно построить
Δ,c
j
стратегии игроков, близкие к оптимальным, конструкции которых базируются на этих данных. Опишем построение поверхности переключения для
позиционной стратегии игрока P в случае, когда
b(t) —векторвR
Пусть τ
∈ Δ, cj<c
i
ξ(t, p, q)=b(t)p + C(t)q, p ∈ P =[−1, 1],
n
. Этот случай выбран для простоты изложения.
. Рассмотрим множество
j+1
D
i,j
:= W
Δ,c
j+1
(τi) \W
Δ,c
(τi).
j
216 ГЛАВА III
+
Разобьем его на три части D
ки y ∈ D
обозначим через w0ее проекцию на множество W
i,j
i,j
, D
−
i,j
и S
следующим образом. Для точ-
i,j
(τi),т.е.
Δ,c
j
y − w
=min
0
w∈W
Δ,c
j
(τi)
y − w,
пусть
N(w
):=s ∈ B1: s, w0 =max
0
и напомним, что B
= {s ∈ Rn: s 1}. По определению s ∈ N(w0)
1
w∈W
вектор s является внешней нормалью к множеству W
Отметим, что для осуществления рассматриваемых алгоритмов требуется информация об этих множествах N (w
).МножествоD
0
Δ,c
j
(τi)
s, w,
(τi) вточкеw0.
Δ,c
j
−
i,j
определено
условием
s, b(τ
) > 0, ∀s ∈ N (w0),
i
т. е. точка y ∈ D
ее проекция w
но, y ∈ D
+
i,j
Оставшаяся часть множества D
принадлежит множеству D
i,j
удовлетворяет приведенным выше неравенствам. Аналогич-
0
тогда и только тогда, когда s, b(τi) < 0 для всех s ∈ N (w0).
i,j
S
:= D
i,j
Определим позиционную стратегиюU
n
i,τi−1
:
),y∈ D
D := {(t, y) ∈ [0,θ] ×R
t ∈ [τ
обозначается через S
\)D
i,j
i,j
−
тогда и только тогда, когда
i,j
,т.е.
i,j
+
i,j
∪ W
*
−
∪D
Δ
.
i,j
(t, y) игрока P в области
(τi),i∈ 1,k, j ∈ 1,m}.
Δ,c
1
Пусть
−
D
:= {(t,y) ∈ [0,θ] ×Rn: t ∈ [τi,τ
+
:= {(t,y) ∈ [0,θ] ×Rn: t ∈ [τi,τ
D
:= {(t,y) ∈ [0,θ] ×Rn:
S
Δ
t ∈ [τ
i,τi−1
U
(t, y)=
Δ
),y∈ S
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
),y∈ D
i−1
),y∈ D
i−1
∪ W
i,j
Δ,c
+1,y∈ D
−1,y∈ D
p, y ∈ S
−
,i∈ 1,k, j ∈ 1,m},
i,j
+
,i∈ 1,k, j ∈ 1,m},
i,j
(τi),i∈ 1,k, j ∈ 1,m}.
1
+
,
−
,
,
Δ
16. КОНСТРУКТИВНЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ... 217
где p —любоечислоизотрезка[−1, 1]. Таким образом, множество S
Δ
является «поверхностью переключения» позиционной стратегии игрока P.
Подробное описание и обоснование предложенных конструкций при-
ведено в работах В. С. Пацко и его сотрудников (см., например [34, 35, 36]).
В частности, в этих работах показано, что стратегияU
обеспечивает игро-
Δ
ку P результат, достаточно близкий к оптимальному (т.е. к цене дифференциальной игры (16.37), (16.38)) в предположении, что diam Δ достаточно
мал, а набор чисел c
(j ∈ 1,m) достаточно плотен.
j
В работах [164, 33] описано применение этих методов для решения
задач об управлении самолетом на взлете и при посадке в условиях так
называемого «сдвига ветра или микровзрыва» (windshear) — метеорологического явления, когда происходят резкие порывы ветра, изменяющие его
направление и скорость.
16.6. Построение функции, сопряженной к функции цены
Рассмотрим еще один подход к решению линейной дифференциальной игры (16.37), (16.38). Целью этого метода является построение функ-
∗
ций u
ция цены дифференциальной игры (16.37), (16.38). Во многом этот подход
(τi, ·), сопряженных к выпуклым функциям uΔ(τi, ·),гдеu —функ-
Δ
имеет аналогии с построениями множеств уровня функции цены, которые
рассматривались в пункте 16.5.
Будем предполагать, что терминальная функция σ удовлетворяет условию Липшица
для всех y
(1),y(2)
Рассмотрим сопряженную функцию σ
|σ(y
∈ Rn.
(1)
) −σ(y
(2)
)| λy
(1)
(2)
− y
∗
к функции σ, и ее эффективное
множество dom σ, а именно, определим
s, x−σ(x),
n
x∈R
Напомним, что dom σ
∗
σ
(s):= sup
∗
dom σ
:= {s ∈ Rn: σ∗(s) < ∞}.
∗
⊂ Bλ. Как отмечалось выше, функция цены диффе-
ренциальной игры (16.37), (16.38) выпукла по фазовой переменной y.Более
того, известно, что
∗
dom u
(t, ·)=domσ∗, ∀t ∈ [0,θ],
где
∗
(t, s):= sup
u
[s, x−u(t, x)],
n
x∈R
u — функция цены дифференциальной игры (16.37), (16.38).
218 ГЛАВА III
Аппроксимируем функцию u∗(t, s) с помощью функций u
∗
(τi,s),ко-
Δ
торые определяются следующим образом. По-прежнему, возьмем некоторое
разбиение Δ={θ = τ
Пусть уже построена функция u
> ···>τk=0}. Полагаем
0>τ1
∗
(τ0,s)=σ∗(s), ∀s ∈ Rn.
u
Δ
∗
(τi, ·). Тогда функцию u
Δ
∗
(τ
Δ
, ·) постро-
i+1
им следующим образом. Определим величину
v
Δ(τi+1
,s):=u
Затем полагаем
∗∗
где v
(·) формально определена как вторая сопряженная функция, т.е.
Из выпуклого анализа известно, что v
∗
(τ
i+1
Δ
∗
u
(τ
Δ
∗
v
(x):= sup
∗∗
v
(s):= sup
,s) −(τ
, ·):=v
i+1
s∈R
x∈R
− τi)max
i+1
∗∗
Δ
(τ
i+1
q∈Q
, ·),
min
s,ξ(τi,p,q).
p∈P
s, x−v(s),
n
s, x−v
n
∗∗
(·) совпадает с выпуклой оболочкой
∗
(x).
функции v(·).
Отметим также, что для дифференциальной игры (16.37), (16.38) функ-
∗
ции v
(τi,x) совпадают с функциями uΔ(τi,x) вида (16.33). Дальнейшие
построения следуют схеме конструкций, описанных в разделе 16.3. А именно, полагаем u
Δ(τi+1
,s)=max
u
Доказательство равенства v
функции u
Δ(τi
Практически описанную процедуру можно реализовать следующим образом. На ограниченном множестве domσ
множество точек s
лом ε>0 эти точки образуют ε-покрытие множества dom σ
,y)=σ(y) и
Δ(τ0
∗
q∈Q
min{u
(τi,s+ f): f ∈ (τi− τ
Δ
∗
(τi,y)=uΔ(τi,y) базируется на выпуклости
)coξ(τi,P,q)}.
i+1
, ·) и теоремах о минимаксе.
∗
выбирается некоторое конечное
, k ∈ 1,K. Предполагается, что при некотором ма-
k
∗
,т.е.
K
Bε(sk) ⊃ dom σ∗.
k=1
Вместо описанных выше функций v
Δ(τi
,s), u
∗
(τi,s) рассматриваются их
Δ
кусочно-линейные аппроксимации, значения которых вычисляются лишь
16. КОНСТРУКТИВНЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ... 219
вточкахsk. Основная вычислительная проблема, которую требуется решать в рамках этого алгоритма, состоит в построении пересечения полупространств
K
):=
k=1
Hk(τ
i+1
)
)},ивопреде-
i+1,sk
где H
V (τ
i+1
):={(x, z) ∈ Rn× R : z sk,x−vΔ(τ
k(τi+1
лении полупространств
H
)={(x, z) ∈Rn× R : z sk,x−v
k(τi+1
},k∈ 1,K,
i+1,k
опорных к этому пересечению V (τ
делить числа v
V (τ
i+1
Эти числа v
i+1,k
вточкахs = s
так, чтобы
i+1,k
) ⊂Hk(τ
),V(τ
i+1
аппроксимируют значения искомой функции u
. Отметим, что множество V (τ
k
кусочно-линейной аппроксимации функции u(τ
). Другими словами, требуется опре-
i+1
) ∩Hk(τ
i+1
) = ∅,k∈ 1,K.
i+1
) является графиком
i+1
, ·) (u — функция цены
i+1
∗
(τ
, ·)
i+1
Δ
дифференциальной игры (16.37), (16.38)). Пересечения полупространств и
определения полупространств, опорных к этому пересечению, суть задачи
линейного программирования. Для решения этих задач можно использовать
известные методы.
Более подробное изложение этой процедуры приближенного построения функции цены и ее обоснование приведено в работе [185]. В этой работе
приведены также некоторые результаты вычислений с помощью программы, разработанной для случая, когда n =2(n —размерностьфазового
пространства).
ГЛАВА IV
Краевые задачи для УЧП первого
порядка
17. Задача Коши для уравнений Гамильтона–Якоби с
дополнительными условиями в форме неравенств
Концепция минимаксного решения может использоваться для изучения
обобщенных решений различных типов уравнений в частных производных (УЧП) первого порядка с различными граничными и терминальными
(или начальными) условиями. Во второй главе были представлены результаты такого применения к задачам Коши для уравнений Гамильтона–Якоби.
В данной главе рассмотрены некоторые другие приложения этого подхода.
Отличительная особенность задач для уравнений Гамильтона– Якоби,
рассматриваемых в данном параграфе, — это то, что их решения подчинены
ограничениям, заданным в форме неравенств. Помимо этого, и само уравнение Гамильтона–Якоби в некоторой области заменено дифференциальным
неравенством. Доказаны существование и единственность минимаксного
решения этой задачи. Эти результаты проиллюстрированы дифференциальная игрой, функция цены которой является минимаксным решением задачи
такого типа.
17.1. Постановка задачи
Пусть заданы непрерывная функция ω:(0,θ] × R
Гамильтона– Якоби. Обозначим
Ω:={(t, x,z) ∈ (0,θ) × R
Рассмотрим задачу: найти функцию u :(0,θ] × R
следующим соотношениям
u(t, x) ω(t, x) ∀(t, x) ∈ (0,θ] ×R
u(θ, x)=ω(θ, x) ∀ x ∈ R
n
× R : z<ω(t, x)}. (17.1)
n
→ R и уравнение
n
→ R, удовлетворяющую
n
; (17.2)
n
; (17.3)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]