Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации
.pdf
A5. КОНТИНГЕНТНЫЕ КОНУСЫ, ПРОИЗВОДНЫЕ ПО НАПРАВЛЕНИЯМ . . . 291
A4.1. Теорема Фенхеля– Моро
Пусть ϕ: R
женная функция ϕ
любого x ∈ R
Отметим, что функция ϕ
n
→ R — собственная выпуклая функция. Тогда сопря-
∗
n
является собственной, выпуклой и замкнутой. Для
справедливо равенство
ϕ(x)=ϕ
∗∗
(x):= sup
∗
выпукла и замкнута для произвольной функ-
[x, s−ϕ∗(s)]. (A4.2)
n
s∈R
ции ϕ → R.
Для выпуклой функции ϕ справедливо следующее утверждение.
Пусть ε>0, ϕ(x
ϕ(x) ϕ(x
) для всех x ∈ Rn.
∗
) < ∞ и ϕ(x) ϕ(x∗) для всех x ∈ B(x∗; ε),тогда
∗
Таким образом, любая точка локального минимума выпуклой функции
является точкой ее глобального минимума.
Упомянем еще один факт. Пусть выпуклая функция ϕ: R
влетворяет условию Липшица равномерно во всем пространстве R
(1)
) −ϕ(x
|ϕ(x
Рассмотрим функцию ϕ
функции ϕ
∗
справедливо соотношение dom ϕ∗⊂ Bλ.
(2)
)| λx
∗
, сопряженную к ϕ. Для эффективного множества
(1)
− x
(2)
, ∀x
(1),x(2)
n
∈ Rn.
→ R удо-
n
,т.е.
Вышеупомянутые определения и утверждения можно найти фактически в любой книге, имеющей дело с основами выпуклого анализа (см.,
например, [97, 175, 178, 191]).
A5. Контингентные конусы, производные по
направлениям, субдифференциалы
Контингентный тангенциальный конус
Пусть W — непустое множество в R
точки y ∈ R
m
символ dist (y; W ) обозначает расстояние от y до множе-
ства W ,т.е.
dist (y; W ):= inf
Заметим, что
(1)
; W ) − dist (y
∈ Rm.
для любых y
|dist (y
(1),y(2)
m
y − w.
w∈W
(2)
; W )| y
. Напомним, что для заданной
(1)
− y
(2)
(A5.1)
292 ПРИЛОЖЕНИЕ
Множество
T (w; W):=h ∈ R
m
: liminf
dist (w + δh; W)
δ↓0
δ
=0
(A5.2)
называется контингентным (тангенциальным) конусом к множеству W в
точке w, (оно называется также конусом Булигана, верхним тангенциальным конусом, для этого множества используются также и некоторые другие
термины).
Легко проверить, что конус T (w; W ) замкнут. Действительно, если λ> 0
и h ∈ T (w; W ), то, согласно (A5.2), имеем λh ∈ T(w; W ).Пусть
h
∈ T(w; W )(k =1, 2,...), hk→ h∗,когдаk →∞. Выберем такое
k
δ
∈ (0, 1/k),чтоdist (w + δkhk; W ) δk/k. В силу (A5.1), справедливо
k
dist (w +δ
Следовательно, h
конус в R
; W ) dist (w +δkhk; W )+δkh∗−hk (h∗−hk+1/k)δk.
kh∗
∈ T (w; W). Это доказывает, что T (w; W ) —замкнутый
m
∗
.
Производные по направлениям
Пусть G x → u(x) ∈ R — вещественная функция, определенная
на открытой области G ⊂ R
n
. В данной книге используются следующие
определения и обозначения для нижних и верхних производных функции u
вточкеx ∈ G по направлению f
−
u(x; f ) := lim
d
+
u(x; f ) := lim
d
ε↓0
ε↓0
inf
sup
u(x + δf
u(x + δf
) −u(x)
δ
) −u(x)
δ
:(δ, f
) ∈ Δε(x, f ), (A5.3)
:(δ, f
) ∈ Δε(x, f ), (A5.4)
где
Δ
(x, f ):={(δ,f) ∈ (0,ε) ×Rn: f − f ε, x + δf∈ G}.
ε
Эти (возможно бесконечные) величины называются в литературе также
нижней и верхней производными Дини по направлению, или производными
Хаддада по направлению.
Ниже будет введено эквивалентное определение этих производных с
помощью контингентных конусов к надграфику и подграфику функции u.
По определению контингентного конуса, имеем
∞
)}
(f,g) ∈ T ((x,u(x)); epi u) ⇔∃{(δ
k,fk,zk
⊂ (0, 1) × Rn× R,
1
A5. КОНТИНГЕНТНЫЕ КОНУСЫ, ПРОИЗВОДНЫЕ ПО НАПРАВЛЕНИЯМ . . . 293
где
z
u(x + δkfk),
k
z
− u(x)
δ
→ 0,fk→ f,
k
k
→ g, когда k →∞.
δ
k
Используя это замечание, получаем, что определение (A5.3) эквивалентно
следующему определению
−
d
u(x; f ):=inf{g ∈ R :(f, g) ∈ T ((x, u(x));epi u)}. (A5.5)
Полагаем, что d
−
u(x; f )=∞,если
{g ∈ R :(f,g) ∈ T ((x, u(x)); epi u)} = ∅.
Точно так же справедливо
+
d
u(x; f ):=sup{g ∈R:(f, g) ∈ T ((x, u(x)); hypo u)}. (A5.6)
Отметим также, что имеют место соотношения
[(f,g) ∈ T ((x, z);epi u),g
[(f,g) ∈ T ((x,z); hypo u),g
Ясно, что из неравенства z
dist ((x, z
dist ((x, z
Поэтому для любых x ∈ G и −∞ <z
соотношения
T ((x, z
T ((x, z
Рассмотрим отображение R
g] ⇒ (f, g) ∈ T ((x, z); epi u); (A5.7)
g] ⇒ (f, g) ∈ T ((x, z); hypo u). (A5.8)
zследует
); epi u) dist ((x, z); epi u),
); hypo u) dist ((x, z); hypo u).
z< ∞ имеют место следующие
); epi u) ⊂ T ((x, z); epi u),
); hypo u) ⊃ T ((x, z); hypo u). (A5.9)
n
f → d−u(x; f ) ∈ [−∞,∞].Вси-
лу (A5.5) и (A5.7), справедливо
−
epi d
u(x; ·):={(f,g) ∈ Rn× R : g d−u(x; f )} = T ((x, u(x)); epi u).
(A5.10)
Точно так же
+
hypo d
u(x; ·):={(f,g) ∈ Rn× R : g d+u(x; f )} = T ((x, u(x)); hypo u).
(A5.11)
Так как конус T ((x, u(x)); epi u) (конус T((x, u(x));hypo u)) замкнут, выводим, что функция d
−
u(x; ·) (функция d+u(x; ·)) полунепрерывна снизу
(полунепрерывна сверху).
294 ПРИЛОЖЕНИЕ
Некоторые соотношения между производными по направлениям и
контингентными конусами к графику функции
Будем использовать следующее обозначение
T (u)(x):=T ((x,u(x)); gr u). (A5.12)
Таким образом,
T (u)(x):=(f,g) ∈ R
По определениям конуса T(u)(x) и производных по направле-
−
нию d
u(x; f ), d+u(x; f ), имеем
[−∞ <d
[−∞ <d
−
+
n
× R : lim inf
u(x; f ) < ∞] ⇒ [(f,d−u(x; f )) ∈ T (u)(x)]; (A5.14)
u(x; f ) < ∞] ⇒ [(f,d+u(x; f )) ∈ T (u)(x)]; (A5.15)
[(f,g) ∈ T (u)(x)] ⇒ [d
dist ((x + δf,u(x)+δg); gr u)
δ↓0
−
u(x; f ) g d+u(x; f )]. (A5.16)
δ
В параграфе 4 также используется следующее утверждение.
A5.1. Утверждение
Пусть u : G → R — полунепрерывная снизу функция. Пусть для
некоторых x ∈ G и f ∈ R имеет место d
−
u(x; f )=−∞.Тогда
{0}×(−∞, 0] ⊂ T (u)(x).
Точно так же пусть u : G → R — полунепрерывная сверху функция.
Пусть для некоторых x ∈ G и f ∈ R имеет место d
{0}×[0, ∞) ⊂ T (u)(x).
Здесь 0 — нулевой вектор в R
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из двух подобных утверждений этой теоремы дока-
жем второе. Как следует из равенства d
последовательность (δ
) ∈(0, 1) ×Rn(k =1, 2,...),что
k,fk
f − f
n
.
+
u(x; f )=∞, существует такая
+ δk 1/k,
k
+
u(x; f )=∞.Тогда
=0.
(A5.13)
Обозначим
u(x + δ
g
:=
k
:= u(x + δkfk) −u(x),f
d
k
kfk
δ
k
) −u(x)
k.
k
:=
f
kδk
d
.
k
A5. КОНТИНГЕНТНЫЕ КОНУСЫ, ПРОИЗВОДНЫЕ ПО НАПРАВЛЕНИЯМ . . . 295
Можно принять, без потери общности, что dk> 0,длявсехk =1, 2,...,и
существует предел lim
ции u вытекает, что
Так как f
→ f и 0 <δk/dk 1/k, заключаем, что f
k
Кроме того,
(x + d
f
k
dk∈ [0, ∞]. Из полунепрерывности сверху функ-
k→∞
dk=0.
lim
k→∞
= fkδk/dk→ 0.
k
,u(x)+dk)=(x + δkfk,u(x + δkfk)) ∈ gr u.
k
Тогда справедливо, что (0, 1) ∈ T (u)(x).МножествоT (u)(x) является конусом. Следовательно, (0,r) ∈ T (u)(x) для всех r 0. Утверждение доказано.
Производные по направлениям верхней огибающей семейства
гладких функций
Функция u: G →R называется дифференцируемой в точке x ∈ G ⊂ R
по направлению f ∈ Rn, если существует и конечен предел
n
du(x; f ) = lim
Очевидно, что из равенства d
u(x + δf) − u(x)
δ↓0
−
u(x; f )=d+u(x; f ) ∈ (−∞, ∞) следует
δ
. (A5.17)
существование производной по направлению du(x; f ).
Рассмотрим один часто используемый класс функций u, обладающих
производными по направлениям du(x; f) влюбойточкеx,иполюбому
направлению f ∈ R
n
. Пусть функции G x → u(x) ∈ R определены
равенством
u(x):= sup
ϕ(x, s). (A5.18)
m
s∈R
Предполагается, что выполнены следующие условия:
(a) ϕ(x, s)=ϕ
(b) функция ϕ
ция ϕ
(·,s) дифференцируема на G; функция (x, s) → Dxϕ1(x, s) непре-
1
рывна на G ×R
(c) функция ϕ
ное число); эффективная область функции ϕ
(x, s) −ϕ2(s);
1
: G × Rm→ R непрерывна; для любого s ∈ Rmфунк-
1
m
;
: Rm→ [a, ∞] полунепрерывна снизу (здесь a —конеч-
2
dom ϕ
:= {s ∈ Rm: ϕ2(s) < ∞},
2
,т.е.
2
является непустым и ограниченным множеством.
296 ПРИЛОЖЕНИЕ
Ясно, что для любого x ∈ G, величина u(x) конечна. Рассмотрим
следующее множество
S
(x)=Arg max
0
ϕ(x, s) (A5.19)
m
s∈R
и покажем, что S
=1, 2,...), lim
=1, 2,...) и lim
(x) = ∅ для любого x ∈ G.Пустьsi∈ Rm(i =
0
ϕ(x, si)=u(x). Можно принять, что si∈ dom ϕ2(i =
i
si= s∗.
i→∞
Так как функция s → ϕ(x, s) является полунепрерывной сверху, справедливо u(x) = lim
u(x) <ϕ(x, s
но, что ϕ(x, s
) противоречит равенству (A5.18). Таким образом, получе-
∗
)=u(x),т.е.s∗∈ S0(x).
∗
Точно так же можно проверить, что множество S
гозначное отображение x → S
ϕ(x, si) ϕ(x, s∗). Строгое неравенство
i→∞
(x) замкнуто, а мно-
(x) полунепрерывно сверху.
0
0
A5.2. Утверждение
Пусть выполнены условия (a) – (c). Тогда функция u: G → R, опре-
деленная равенством (A5.18), удовлетворяет условию Липшица в каждой
ограниченной выпуклой области X ⊂ G.Вкаждойточкеx ∈ G функция
u дифференцируема по направлениям. Более того, для любого x ∈ G и
любого f ∈ R
−
d
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.ПустьX — ограниченное выпуклое множество из G.
n
имеют место следующие соотношения
u(x; f )=d+u(x; f )=du(x; f)= max
s∈S0(x)
Dxϕ1(x, s),f. (A5.20)
В соответствии с условием (b), справедливо
(x, s) λ<∞,
D
xϕ1
для всех x ∈ X , s ∈ dom ϕ
. Поэтому, используя теорему о среднем, полу-
2
чаем
|ϕ(x
,s) − ϕ(x2,s)| λx1− x2
1
для всех x
∈ X, s ∈ dom ϕ2.Пустьsi∈ S0(xi)(i =1, 2). Из (A5.18),
1,x2
(A5.19) вытекает, что
) u(x2)+ϕ(x1,s2) −ϕ(x2,s2) u(x2) −λx1− x2|.
u(x
1
Тем же путем можно получить, что u(x
) u(x1) − λx1− x2.Таким
2
образом, выполнение условия Липшица проверено.
A5. КОНТИНГЕНТНЫЕ КОНУСЫ, ПРОИЗВОДНЫЕ ПО НАПРАВЛЕНИЯМ . . . 297
Пусть x ∈ G, f ∈ Rn. Рассмотрим такие последовательности δk> 0,
f
∈ Rn(k =1, 2,...),чтоδk→ 0, fk→ f ,когдаk →∞и
k
k→∞
−1
δ
[u(x + δkfk) −u(x)].
k
−
d
u(x; f ) = lim
Из (A5.18) и (A5.19) следует, что
u(x + δ
где s ∈ S
для некоторогоδ
неравенство d
всех s ∈ S
(x). Из теоремы о среднем вытекает, что
0
ϕ
(x + δkfk,s) − ϕ1(x, s)=δkDxϕ1(x +δkfk,s),fk
1
k
−
u(x, f ) Dxϕ1(x, s),f. Это неравенство справедливо для
(x),поэтому
0
Рассмотрим такие последовательности β
что β
→ 0, hk→ f ,когдаk →∞и
k
+
d
) −u(x) ϕ1(x + δkfk,s) −ϕ1(x, s),
kfk
∈ [0,δk]. Принимая во внимание условие (b), получаем
−
u(x, f ) max
d
u(x; f ) = lim
k→∞
Dxϕ1(x, s),f. (A5.21)
s∈S0(x)
> 0, hk∈ Rn(k =1, 2,...),
k
−1
β
[u(x + βkhk) −u(x)].
k
Из (A5.18) и (A5.19) следует, что
u(x + β
для s
∈ S0(x + βkhk).Таккакsk∈ dom ϕ2,амножествоdom ϕ2ограни-
k
чено, можно принять, что s
сверху многозначного отображения S
) −u(x) ϕ1(x + βkhk,sk) −ϕ1(x, sk)
khk
→ s∗,когдаk →∞. Из полунепрерывности
k
вытекает, что s∗∈ S0(x). Исполь-
0
зуя теорему о среднем, и принимая во внимание условие (b), приходим к
неравенствам
+
u(x, f ) lim
d
Здесьβ
∈ [0,βk]. Эта оценка вместе с неравенством (A5.21) влечет за
k
Dxϕ1(x +βkhk,sk),hk =
k→∞
= D
xϕ1
(x, s∗),f max
s∈S0(x)
собой справедливость (A5.20). Утверждение доказано.
Dxϕ1(x, s),f.
298 ПРИЛОЖЕНИЕ
Субдифференциалы и супердифференциалы
Теперь напомним определения субдифференциала и супердифференциала. Пусть
−
D
u(x):={p ∈ Rn: p, f −d−u(x; f ) 0, ∀f ∈ Rn}, (A5.22)
+
D
u(x):={p ∈ Rn: p, f −d+u(x; f ) 0, ∀f ∈ Rn}. (A5.23)
Множество D
лом (супердифференциалом) функции u вточкеx ∈ G. Элементы множеств D
Обращаем внимание на то, что D
выпуклые множества (которые могут быть и пустыми). Если функция u
дифференцируема в точке x ∈ G,томожнолегкопроверить,чтоD
+
= D
u(x)={Du(x)},гдеDu(x) — градиент функции u вточкеx.
−
u(x) (множество D+u(x)) называется субдифференциа-
−
u(x)(D+u(x)) называются субградиентами (суперградиентами).
−
u(x) и D+u(x))—замкнутыеи
−
u(x)=
Подробное изложение понятий и результатов, связанных с негладким
анализом, может быть найдено во многих книгах (см., например, [47, 61,
62, 151]).
A6. Об одном свойстве субдифференциалов
Доказательство эквивалентности минимаксного и вязкостного решений
базируется на следующем утверждении.
A6.1. Теорема
Пусть Y y → v(y) ∈ R — полунепрерывная снизу функция, определенная на открытом множестве Y ⊂ R
ное множество в R
неравенство
m
. Пусть для некоторой точки y0∈ Y выполняется
−
d
v(y0; h) > 0, ∀h ∈ H. (A6.1)
Тогда для любого ε>0 существуют точка y
ент s
∈ D−v(yε) такие, что
ε
y
− yε <ε; sε,h > 0, ∀h ∈ H, (A6.2)
0
) −v(yε)| <ε. (A6.3)
|v(y
0
m
, и пусть H — выпуклое компакт-
∈ Y и субгради-
ε
Импликация (A6.1) ⇒ (A6.2) была доказана в работе [196], как развитие результатов, полученных в работах [84, 205]. В данном параграфе
приведено другое доказательство теоремы A6.1, заимствованное из статьи
A6. ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ СУБДИФФЕРЕНЦИАЛОВ 299
Ф. Кларка и Ю. С. Ледяева [49], где этот результат был получен как инфинитезимальная версия одного из неравенств для средних значений. Это ведет
к более компактному изложению и позволяет получить оценку (A6.3), которая упрощает доказательство эквивалентности минимаксных и вязкостных
решений.
Приведем формулировку упомянутого результата об оценке конечных
разностей, который установленный в [49] (см. также [48], где подобные
неравенства были получены для функций в гильбертовых пространствах).
A6.2. ТеоремаФ.КларкаиЮ.С.Ледяева
Пусть R
ция, и пусть Q — выпуклое компактное множество в R
торой точке y
снизу на [y
ства {y
m
y → v(y) ∈ (−∞, ∞] — полунепрерывная снизу функ-
∈ Rmи для некоторого α>0 функция v ограничена
0
,Q]+Bα(символ [y0,Q] означает выпуклую оболочку множе-
0
}∪Q). Тогда для любых
0
r<r
:= min
0
[v(y) − v(y0)] (A6.4)
y∈Q
m
. Пусть в неко-
и β>0, существуют z
∈ [y0,Q]+Bβи s∗∈ D−v(z∗) такие, что
∗
r<s
,y−y0, для всех y ∈ Q. (A6.5)
∗
Важно отметить, что классическая теорема о среднем значении «одномерна» в том смысле, что, фактически, участвующая в ней функция рассматривается на отрезке числовой прямой. Принципиальное новым в приведенном выше неравенстве для средних значений является то, что оно является
«многомерным»в следующем смысле. Оно оценивает разность v(y)−v(y
где y пробегает по компактному и выпуклому множеству Q ⊂ R
m
.Кроме
0
того, этот факт установлен в негладкой постановке, для полунепрерывной
функции. Отметим также, что в цитируемой работе был получен несколько
более сильный результат. А именно, было установлено, что s
— прокси-
∗
мальный субградиент, который удовлетворяет следующему условию: для
некоторого μ 0 идлявсехy из некоторой окрестности y
справедлива
0
оценка
v(y) − v(y
Ясно, что ∂
π
v(y0) ⊂ D−v(y0),где∂πv(y0) — множество проксимальных
субградиентов функции v вточкеy
деленный в параграфе A5. Также ясно, что, в общем случае, ∂
−
v(y0).
= D
)+μy −y02 s∗,y−y0.
0
,иD−v(y0) — субдифференциал, опре-
0
π
v(y0) =
),
300 ПРИЛОЖЕНИЕ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ A6.2. Можно принять без потери общности,
что β<αи y
=0. Выберем компактное множество
0
D ⊂ [0,Q]+B
:= {ty + η: t ∈ [0, 1],y∈ Q, η α},
α
такое, что внутренность D содержит множество [0,Q]. Зафиксиру-
∈ (r, r0), и определим, для любого положительного целого числа k,
ем r
∗
функцию ϕ
на [0,1] ×Q × D следующим образом:
k
(t, y, z):=v(z)+kty −z2− r∗t. (A6.6)
ϕ
k
Пусть
(t
k,yk,zk
) ∈Arg min{ϕk(t, y, z): (t, y, z) ∈ [0, 1] × Q ×D}.
Можно принять, без потери общности, что
(t
k,yk,zk
) → (t, y, z), когда k →∞.
Тогда неравенство
ϕ
k(tk,yk,zk
приводит к тому, что
z = ty,т.е.z ∈ [0,Q]. Следовательно, для любо-
го β>0 и для достаточно большого числа k,справедливо,чтоz
и zk— внутренняя точка множества D.
+ B
β
Теперь покажем, что t
проверить, что
t<1. Предположим обратное. Тогда имеем z = y.Вслед-
ствие полунепрерывности снизу функции v и выбора числа r
lim inf
ϕk(tk,yk,zk) v(y) −r∗>v(0),
k→∞
) ϕk(0,y,0) = v(0) (A6.7)
∈ [0,Q]+
k
< 1 для достаточно больших k.Достаточно
k
, получаем
∗
что противоречит (A6.7).
Теперь зафиксируем такое число k,чтоz
Предположим, что t
ции ϕ
,имножествоQ выпукло, получаем, что для достаточно малых λ>0
k
> 0.Поскольку(tk,yk,zk) — точка минимума функ-
k
∈ ([0,Q]+Bβ) ∩D и tk< 1.
k
и для любого y ∈ Q имеет место следующее неравенство
+ λ, yλ,zk) −ϕk(tk,yk,zk) 0,
ϕ
k(tk
λ
= yk+ λ(y −yk)/tk.
где y
Деля это неравенство на λ и переходя к пределу при λ ↓ 0, получаем
неравенство
s
,y−r∗ 0, для любого y ∈ Q, (A6.8)
k
где s
=2k(tkyk− zk).
k
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]