Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации
.pdf
10. КОНСТРУКТИВНЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 121
Таким образом, мы получаем, что подграфик функции u слабо инвариантен относительно дифференциального включения (10.21). Следовательно,
функция u удовлетворяет критерию L2, сформулированному в пункте 6.3.
Поэтому, согласно определению 6.5, эта функция является нижним решением задачи (10.20).
Докажем, что функция u — максимальный элемент среди всех нижних
решений. Пусть v — какое-то нижнее решение задачи (10.20). Выберем произвольную точку (t
следует, что существует траектория (x
) ∈ (0,θ] × Rn. Из определения нижнего решения
0,x0
(t),z∗(t)) (0 t θ) дифференци-
∗
ального включения (10.21), которая удовлетворяет условиям
x
)=x0,z∗(t0)=v(t0,x0),
∗(t0
z
(θ) v(θ, x(θ)) = σ∗(x(θ)).
∗
Последнее неравенство может быть переписано следующим образом
θ
)=v(t0,x0) σ(x∗(θ)) −
z
∗(t0
˙z∗(t)dt = γ(t0,x∗(·),z∗(·)).
t
0
По определению функции u (10.22) имеем
u(t
) γ(t0,x∗(·),z∗(·)).
0,x0
Таким образом,заключаем, что функция u — максимальное нижнее решение
задачи (10.20).
Напомним, что, согласно определениям 6.5 и 7.1, минимаксное решение в задаче (10.20) является одновременно верхним и нижним решением
этой задачи. Принимая во внимание теорему 7.3, получаем, что минимаксное решение в задаче (10.20) совпадает c максимальным нижним решением.
Таким образом, доказано, что функция u, определенная равенством (10.22), совпадает с минимаксным решением в задаче (10.20).
10.6. Обобщение классического метода характеристик
Установим результат, связанный с вариационным исчислением, принципом максимума Понтрягина, классическим методом характеристик и теорией обобщенных решений уравнений в частных производных (УЧП) первого порядка.
Рассмотрим задачу Коши (10.20). Здесь предполагаем, что функция
s → H (t, x,s) выпукла при всех (t, x) ∈ (0,θ] × R
n
, функция H(t, x, s)
122 ГЛАВА II
непрерывно дифференцируема по t, x, s, и что существуют производные D
2
tx
H, D
2
H. Предполагается также, что функция σ(x) непрерывно
ts
дифференцируема.
Через
(x(·,y),s(·,y),z(·,y)): [0,θ] → R
n
× Rn× R
обозначим решение характеристической системы
˙x = D
H(t, x, s), ˙s = −DxH(t, x, s), ˙z = s, DsH(t, x, s)−H (t, x, s),
s
которое удовлетворяет условию
x(θ, y)=y, s(θ,y)=Dσ(y),z(θ, y)=σ(y). (10.23)
Определим множество
n
Y (t, ξ)={y ∈R
: x(t, y)=ξ}, (t, ξ) ∈cl G. (10.24)
Во-первых, напомним следующий известный результат (см., например,
[52, 167] и параграф 1): если для любого (t, ξ) ∈ [0,θ]×R
n
множество Y (t,ξ)
одноэлементно, т. е. Y (t, ξ)={y(t, ξ)}, а отображение (t, ξ) → y(t, ξ) достаточно гладкое, то задача (10.20) допускает классическое решение u,и
справедлива формула
u(t, ξ)=z(t, y(t, ξ)), (t,ξ) ∈ cl G.
Классический метод характеристик может использоваться и для построения обобщенного решения (в минимаксном и вязкостном смысле) с
помощью равенства
n
u(t, ξ)=max{z(t, y): y ∈ Y (t,ξ)}∀(t, ξ) ∈ (0,θ] ×R
.
Впервые такая формула была представлена и проверена С. Миричей
(см., например, [149]). Независимо этот же результат был получен Н. Н.Субботиной [208, 209]. Мы опускаем здесь доказательство и адресуем читателя
к цитируемым работам, где приведены также некоторые обобщения этой
формулы.
10.7. Конечно-разностные операторы и сеточные методы для
уравнений Гамильтона– Якоби
Опишем кратко конечно-разностные операторы и сеточные методы,
которые можно использовать для аппроксимации решений в задаче Коши (10.20). Предположим, что гамильтониан удовлетворяет условиям (H1),
(H3), введенным в пункте 7.2. Усилим условие (H2) и предположим, что
|H(t, x, s
(1)
) −H(t, x,s
(2)
)| Ls
(1)
(2)
− s
(10.25)
10. КОНСТРУКТИВНЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 123
при всех (t, x) ∈ [0,θ] × Rn, s
(1),s(2)
∈ Rn. Функция σ удовлетворяет
условию Липшица. Чтобы упростить изложение, предположим также, что
гамильтониан H (t, x, z, s) не зависит от переменной z.
Введем следующие обозначения
(i)
e
=(δ
=
δ
i,j
(i)
т. е. e
где K — целая часть числа θ/h
— координатные единичные вектора. Полагаем
h =(h
Пусть w(·): R
T
,...,hn),h0> 0,hi=0,i∈ 0,n,
0,h1
τ
= θ −kh0,k∈ 0,K,
k
n
→ R — вещественная функция. Определим оператор
(t, h, w(·))(x)=w(x)+h0H(t, x, s),
.
0
,...,δ
i,1,δi,2
i,n
0, если i = j,
1, если i = j,
),
где s — конечно-разностный «градиент» функции w(·), задаваемый следующим образом
s =(s
,...,sn),si=(w(x + hie
1
(i)
) −w(x))h
−1
,i∈ 1,n.
i
Рассмотрим классическую конечно-разностную схему
(x)=σ(x),w
w
0
(x)=T(tk,h,wk(·))(x),k∈ 1,K −1.
k+1
Полагаем
(t, x)=wk(x) для t
u
h
k+1
<t tk.
Если в задаче (10.20) существует дважды непрерывно дифференцируемое
решение u(t, x), то описанная разностная схема сходится к этому решению,
т. е. lim
uh(t, x)=u(t, x). Этот предел является равномерным в любой
h→0
ограниченной области.
Однако мы интересуемся обобщенными решениями (в минимаксном
и/или вязкостном смысле), которые могут быть негладкими. Ясно, что классическая разностная схема не подходит для приближения негладких решений. Нетрудно привести примеры, в которых функции u
, сконструирован-
h
ные, как было сказано выше, не сходятся к требуемому решению.
124 ГЛАВА II
В то же время, в работах М. Дж. Крэндалла, П. Л. Лионса и П. Е.Суганидиса (см., например, [59, 188]) доказано, что условие монотонности
гамильтониана H (t, x,s)=H(t, x, s
ных s
, i ∈ 1,n(вместе с некоторыми дополнительными условиями, которые
i
даются ниже) является достаточным для сходимости функций u
,...,sn) относительно перемен-
1,s2
h
квязкостному решению u задачи (10.20). Монотонность гамильтониана может быть
обеспечена с помощью следующего простого преобразования
v(t, x):=u(t, x +(θ −t)f ),
где f ∈ R
n
— фиксированный вектор. Можно проверить, что функция u(t, x)
является обобщенным решением задачи (10.20) (в вязкостном и/или минимаксном смысле) тогда и только тогда, когда функция v(t, x) является
обобщенным решением задачи
∂v
+ H(t, x +(θ −t)f,D
∂t
v)+f, Dxv =0,
x
v(θ, x)=σ(x). (10.26)
Можно считать, что функция
s → (H(t, x +(θ −t)f, s)+f,s)
является, например, неубывающей по каждой из переменных s
=1,...,n, если вектор f =(f
,...,fn) выбран подходящим образом.
1
, i =
i
Итак, без потери общности, можно полагать, что функция s →
→ H(t, x, s) не убывает относительно каждой переменной s
. В этом случае
i
оператор классического приближения можно использовать при следующих
предположениях
> 0,hi> 0,L(n +1)h0<hi,i∈ 1,n. (10.27)
h
0
Здесь L — константа из условия Липшица (10.25). Как было доказано в
работах [59, 188], сходимость
lim
uh(t, x)=u(t, x)
h→0
функций u
к вязкостному решению u задачи (10.20) имеет место, если вы-
h
полнены предположения (10.27). Таким образом, использование классической разностной схемы для приближения обобщенных решений в принципе
возможно.
Однако в описанной выше разностной схеме для выполнения усло-
вия (10.27) может потребоваться, чтобы шаг сетки был «очень мал».
10. КОНСТРУКТИВНЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 125
Ниже приведены результаты, направленные на преодоление этой трудности. Более детальное изложение содержится в ряде работ (см., например,
[19, 158, 188, 210, 211, 214, 212]).
Чтобы получить обобщенное решение в задаче Коши (10.20), можно
использовать также численные методы, разработанные в теории дифференциальных игр для построения функции цены и стабильных мостов (см.
параграф 16). В общем случае, это решение невыпукло по x. В работе [218]
В. Н. Ушаков представил конструкцию, в основе которой лежат локальные
выпуклые оболочки, и продемонстрировал ее эффективность для численных методов. Используя эту идею, он и его коллеги разработали вычислительные алгоритмы и программы для построения стабильных мостов и
функции цены. Опишем аппроксимирующие операторы, которые развивают
упомянутый подход.
Пусть w(·): R
n
→ R — непрерывная функция. Рассмотрим три следу-
ющих аппроксимационных оператора
T
(t, δ, w(·))(x):=ϕ(x)+supymaxs[δH(t, x, s)+ϕ(y) − ϕ(x) −s, y −x],
1
(10.28)
где y ∈ B
(t, δ, w(·))(x):=ψ(x)+infymins[δH(t, x, s)+ψ(y) −ψ(x) −s, y −x],
T
2
(x), s ∈ D−ϕ(y);
Lδ
(10.29)
где y ∈ B
T
(t, δ, w(·))(x):=:=α1(x)T1(t, δ, w(·))(x)+α2(x)T2(t, δ, w(·))(x). (10.30)
3
Здесь ϕ(y): B
мкнутой окрестности B
ϕ(y):=inf
Множество D
(x), s ∈ D+ψ(y);
Lδ
→ R — локально-выпуклая оболочка функции w(y) вза-
rδ
n+1
βkw(yk): yk∈ Brδ(x),βk 0,
k=1
−
ϕ(y) — субдифференциал выпуклой функции ϕ вточкеy,
(x) точки x, имеющей радиус rδ, r>L,
rδ
n+1
βkyk= y,
k=1
n+1
k=1
βk=1.
т. е.
−
D
ϕ(y):={s ∈ Rn: ϕ(z) − ϕ(y) s, z −y, ∀z ∈ Brδ(x)}.
Функция ψ(y): B
множество D
, α2определены равенствами
ны α
1
(x) → R — локально-вогнутая оболочка функции w(y),
rδ
+
ψ(y) — супердифференциал функции ψ вточкеy. Величи-
α
(x)=
1
ψ(x) − w(x)
ψ(x) − ϕ(x)
,α
2
(x)=
w(x) − ϕ(x)
ψ(x) − ϕ(x)
.
126 ГЛАВА II
Ясно, что
α
(x)+α2(x)=1,αi(x) 0,i=1, 2.
1
Операторы T
, T2, T3были введены в работе [210, 211, 214] А.М. Та-
1
расьевым, В. Н. Ушаковым и А. А. Успенским. Заметим, что эти операторы обобщают конструкции Хопфа, Лакса–Фридрихса, Годунова, которые
применялись для построения вязкостных решений уравнений Гамильтона–
Якоби в работах М. Барди, С. Ошера и К.Шу [19, 158]. Используя результаты, полученные в статьях [59, 188], в работе [210, 211] было доказано, что
упомянутые аппроксимационные схемы с операторами T
и оценка погрешности имеет порядок δ
Следует отметить, что операторы T
1/2
.
, T2, T3достаточно сложны. Од-
1
, T2, T3сходятся,
1
нако их формулы могут быть существенно упрощены в случае кусочно-линейных функций, узлы которых совпадают с узлами сетки. В частности, в
работах [210, 211] приведена такая конечно-разностная формула для оператора T
на элементарной окрестности
1
S(x, γδ)=y ∈ R
n
n
:
|yi− xi| γδ
i=1
точки x по прямоугольной сетке фазового пространства с шагом γδ,где
параметр γ удовлетворяет ограничению
√
γ>L
n. (10.31)
В этом случае оператор T
T
(t, δ, w(·))(x)=ϕ(x)+δ max
1
Здесь
ϕ(x)=minw(x), min
−
D
(m)
s
= ±
i
может быть определен равенством
1
H(t, x, s).
)+w(x − γδe
2
(m)
),
n
,i∈
1,n.
w(x + γδe
i∈1,n
ϕ(x)=co{s
=(s
(m)
1
s
(m)
w(x ± γδe
γδ
s∈D−ϕ(x)
(m)
: m ∈ 1, 2n},
,...,s
) −ϕ(x)
i
(i)
(i)
)
,
10. КОНСТРУКТИВНЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 127
Как легко заметить, в этом случае субдифференциал D−ϕ(x) является пря-
моугольным параллелепипедом (возможно, вырожденным), стороны которого параллельны координатным осям.
Если мы опускаем условие (10.31) и предполагаем, что γ является
произвольным числом, то применение оператора T
может быть сведено к
1
построению локально-выпуклых оболочек и к решению серии задач линейного программирования.
Рис. 10.1a.
Рис. 10.1 иллюстрирует вышеизложенный материал. На нем изображен
график решения следующей задачи
∂u/∂t+ H(x, D
Здесь θ =0.5, x =(x
1,x2
u)=0,u(θ, x)=σ(x).
x
) ∈ R2, предельная функция и гамильтониан
заданы равенствами
2
2
+ x
,
1
2
2
2
− x
)max{0, −s2}.
1
2
H(x, s)=s
σ(x)=x
sin x2−|s2| +exp(−x
1
На рис. 10.1(a) представлен график функции σ(x)(x ∈ X =[0, 1] × [0, 1]).
На рис. 10.1(b) показан график минимаксного решения u(t, x) при t =0,
x ∈ X. Это решение было просчитано с помощью численного алгоритма и
программы, разработанных А. А. Успенским. [215].
128 ГЛАВА II
Рис. 10.1b.
10.8. Библиографический комментарий к главе II
Доказательство неравенства u v,гдеu и v — верхнее и нижнее
решения, базируется на идее взаимного отслеживания двух характеристических траекторий, одна из которых проходит внутри надграфика верхнего решения, а другая лежит в подграфике нижнего решения. Эта идея
восходит к конструкции процедуры управления с поводырем, предложенной Н. Н.Красовским в теории дифференциальных игр (см., например,
[122, 121, 123]). В случае, когда гамильтониан H(t, x, z, s) положительно
однороден по переменной s, функция Ляпунова может быть определена
простым равенством L = x − y
2
. Такое предположение не является стеснительным, поскольку многие задачи могут быть сведены к этому случаю
[194, 195]. В доказательстве приведенной выше теоремы 7.3 функция Ляпунова определена равенством L = w
(t, x, y)+ξ −η. Функция wεудовлетво-
ε
ряет условию (A4) введенному в работе [55] (это условие сформулировано
впункте9.2).
Доказательство теоремы 8.2 также основано на идеях, связанных с позиционными дифференциальными играми, а именно, с альтернативой для
игр преследования – уклонения и существованием функций цены в дифференциальных играх (см., например, [118, 122, 123]). Как было установлено
при доказательстве теоремы об альтернативе, фазовое пространство игры
состоит из двух частей: 1) объединения всех v-стабильных мостов, и 2) дополнения к этому объединению, которое оказывается, к тому же, максималь-
10. КОНСТРУКТИВНЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 129
ным u-стабильным мостом. Эта конструкция подобна определению функции цены как верхней (нижней) огибающей класса v-стабильных (u-ста-
бильных) функций. Напомним, что u-стабильные (v-стабильные) функции
являются верхними (нижними) решениями соответствующего уравнения
Айзекса– Беллмана. Краткое доказательство существования функции цены
(минимаксного решения) дифференциальной игры, основанное на вышеупомянутой схеме, приведено в работах [8, 193]. Обращаем внимание также на то, что позже, в работе [94], верхние (нижние) огибающие класса
вязкостных субрешений (суперрешений) использовались, чтобы доказать
существование вязкостного решения.
Операторные уравнения и метод итераций из пунктов 8.9 –8.11 подсказаны методом программных итераций, разработанным в теории дифференциальных игр А. Г. Ченцовым (см., например, [41, 200]). Независимые
результаты по программным итерациям были получены С. В. Чистяковым в
работе [44].
Библиографические комментарии относительно параграфов 9–10 включены в текст этих параграфов.
ГЛАВА III
Дифференциальные игры
11. Основные понятия теории дифференциальных игр
Исследования дифференциальных игр начались в 1950–60-е годы. Сначала, главным образом, рассматривались математические модели конфликтных ситуаций (см., например, известную монографию Р. Айзекса [92]).
В этих моделях движениями управляемых систем руководят два игрока-антагониста. Типичным примером антагонистической дифференциальной игры является задача преследования– уклонения. Однако задачи такого типа
достаточно экзотичны. В то же время есть многочисленные инженерные
проблемы, а также задачи в экономике, экологии и т. д., в которых требуется построить управление по принципу обратной связи, гарантирующее
какой-то результат в присутствии неконтролируемых возмущений. В качестве иллюстрации можно упомянуть задачу управления посадкой и взлетом
самолета в присутствии так называемого ветрового возмущения (windshear),
когда самолет подвергается воздействию порывов ветра. Анализ дифференциальных игр может помочь в разработке алгоритмов эффективного управления для этой и подобных ей задач.
Как было сказано во введении, происхождение предложенного в данной
монографии подхода и методы исследования минимаксных решений связаны с теорией позиционных дифференциальных игр (игр, использующих
управления по принципу обратной связи), разработанной Н. Н. Красовским
и его коллегами (см., например, [110, 122]). Краеугольным камнем этой
теории является концепция u-стабильных и v-стабильных функций. Напомним, что u-стабильные (v-стабильные) функции мажорируют (минорируют)
функцию цены дифференциальной игры. Функция цены — это единственная функция, которая обладает одновременно свойствами u-стабильности
и v-стабильности. Известно также, что функция цены удовлетворяет УЧП
первого порядка (уравнению Айзекса–Беллмана) в точках, где она дифференцируема. Указанные свойства определяют одно и только одно обобщенное (минимаксное) решение уравнения Айзекса– Беллмана. Свойство
u-стабильности (v-стабильности) — это то же самое, что слабая инвариантность надграфика (подграфика) функции цены относительно некоторых
дифференциальных включений.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]