Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации
.pdf
2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ВКЛЮЧЕНИЯ 21
Как было сказано выше, минимаксное решение может быть определено
в различных формах. Приведенное определение 2.2 не требует никаких
предварительных построений, так что мы начнем с него.
Определение 2.2 — обобщение и развитие классического метода характеристик. Напомним, что функция F является интегралом характеристической системы (1.3). Более того, функция F равна нулю вдоль решений
этой системы. Таким образом, третье уравнение системы (1.3) может быть
переписано как
˙z = D
Принимая во внимание уравнение ˙x = D
F (x, z, s),s−F(x, z, s).
s
F (x, z, s) (см. (1.3)), мы заключа-
s
ем, что уравнение(2.4) совпадает с третьим уравнением характеристической
системы (1.3).
Ограничим здесь объяснения высказанной ремаркой. Ниже мы обсудим различные аналогии в предлагаемом подходе и классическом методе
характеристик и различные аспекты их внутренней взаимосвязи.
2.3. Характеристические дифференциальные включения
Доказательства теорем существования и единственности минимаксных
решений базируются на свойстве слабой инвариантности (выживаемости)
графиков этих решений относительно характеристических дифференциальных включений, определяемых следующим образом.
Пусть
E(x, z, s):={(f, g) ∈ R
для (x, z, s) ∈ G ×R × R
n
×R : f ρ(x, z),g= f,s−F (x, z, s)} (2.5)
n
. Рассмотрим дифференциальное включение
(˙x(t), ˙z(t)) ∈E(x(t),z(t),s), (2.6)
n
где s —векторвR
. Это дифференциальное включение (2.6) может быть
переписано в виде системы
˙x ρ(x, z),
˙z = ˙x, s−F(x, z, s). (2.7)
Ниже в параграфе 4 будет показано, что определение 2.2 эквивалентно
следующему определению.
Минимаксное решение уравнения (2.1) определяется как непрерывная
функция u : G → R, которая слабо инвариантна относительно дифференциальных включений (2.6), т. е. такая функция, что для всех s ∈ R
n
и x0∈ G
22 ГЛАВА I
существуют число τ>0 и траектория (x(·),z(·)) : [0,τ] → G×R дифферен-
циального включения (2.6), которые удовлетворяют соотношениям x(0) =
= x
, z(t)=u(x(t)) для всех t ∈ [0,τ].
0
Напомним, что множество W ⊂ R
m
называется слабо инвариантным
по отношению к дифференциальному включению
˙y(t) ∈ E(y(t)) ⊂ R
m
, (2.8)
если для произвольной точки y
∈ W существуют число τ>0 и траек-
0
тория t → y(t) дифференциального включения (2.8), такая, что y(0) = y
и y(t) ∈ W для всех t ∈ [0,τ]. Такая траектория называется выживающей во множестве W . Если упомянутое условие выполняется, то говорят,
что множество W является множеством выживаемости. Слабо инвариантные множества и связанные с ними задачи управления рассматривались
многими авторами (см. приложение, параграф A8, где приведены ссылки и
результаты теории слабо инвариантных множеств).
Таким образом, график минимаксного решения слабо инвариантен относительно дифференциального включения (2.6). Заметим, что рассмотренное определение может быть «спроецировано» на соответствующее свойство классического решения.
Напомним (см. пункт 1.2), что классическое решение задачи Коши
для уравнения (2.1) было определено параметрическими уравнениями x =
= x(t, y), u = z(t, y). График функции u сформирован с помощью парамет-
рического семейства траекторий (x(·,y), z(·,y)).
Сравним системы (2.7) и (1.3). Первое уравнение
˙x = D
F (x, z, s)
s
характеристической системы (1.3) соответствует неравенству
˙x ρ(x, z)
в системе (2.7). Как было отмечено выше, третье уравнение
˙z = D
F (x, z, s),s
s
0
системы (1.3) эквивалентно уравнению
˙z = ˙x, s−F(x, z, s).
Второе уравнение системы (1.3)
˙s = −D
F (x, z, s) − DzF (x, z, s)s
x
2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ВКЛЮЧЕНИЯ 23
не имеет аналогичного составляющего в системе (2.7). Это может быть
отнесено за счет того факта, что в классическом методе характеристик переменная s(t) совпадает с Du(x(t)), градиентом функции u, который вычисляется вдоль характеристики x(t). Минимаксное решение может быть недифференцируемым, поэтому система (2.7) не содержит никакого дифференциального уравнения или неравенства для ˙s. Вместо этого предполагается, что
график минимаксного решения слабо инвариантен относительно (2.7) при
любом выборе параметра s. Наконец, вместо регулярного семейства траекторий, покрывающих график классического решения и проектирующегося
на семейство непересекающихся характеристик, мы рассматриваем здесь
те траектории дифференциального включения (2.7), которые выживают во
множестве gr u. Эти траектории могут благополучно пересекаться.
Ниже мы называем дифференциальные включения вида (2.5), (2.6) характеристическими. Траектории (x(t),z(t)) этих включений, выживающие
во множестве gr u, называются обобщенными характеристиками. Заметим,
что это отклонение от принятой терминологии, следуя которой, характеристика — это функция t → x(t), которая принимает значения только в
фазовом пространстве.
2.4. Совместимость минимаксного и классического решений
Проверим совместимость определения минимаксного решения с понятием классического решения. Отметим прежде всего, что
E(x, z, p) ∩E(x, z, q) = ∅ (2.9)
для всех (x, z, p,q) ∈ G × R × R
пересечение содержит элемент (f
f
:= (p − q)
∗
g
:= f∗,p−F (x, z, p)=f∗,q−F (x, z, q).
∗
F (x, z, p) − F (x, z, q)
n
× Rn. Действительно, при p = q это
) вида
∗,g∗
p −q
2
,
Пусть u — классическое решение уравнения (2.1), т.е. функция u
непрерывно дифференцируема и удовлетворяет уравнению (2.1) всюду в
области определения. Покажем, что эта функция является минимаксным
решением этого уравнения. Выберем произвольно x
∈ G, s ∈ Rn.Ис-
0
пользуя (2.9), можно проверить, что существуют число τ>0 и реше-
ние t → (x(t),z(t)): [0,τ] → G ×R дифференциального включения
(˙x, ˙z) ∈ E(x, u(x),Du(x)) ∩E(x, u(x),s), (2.10)
24 ГЛАВА I
которое удовлетворяет начальному условию (x(0),z(0)) = (x0,u(x0)).
Из (2.5) и уравнения F (x, u(x),Du(x)) = 0 следует, что
˙z(t)=Du(x(t)), ˙x(t) =
du(x(t))
dt
.
Принимая во внимание начальное условие z(0) = u(x(0)),мыполучим,
что z(t)=u(x(t)). В силу (2.10), (x(t),z(t)) является решением диффе-
ренциального включения (2.6). Таким образом, доказано, что классическое
решение является также и минимаксным решением.
Обратное утверждение также верно: если минимаксное решение уравнения (2.1) дифференцируемо, то оно является и классическим решением этого уравнения. Действительно, пусть u — минимаксное решение,
дифференцируемое в точке x
∈ G.Предположим,чтоs = Du(x0).Из
0
определения 2.2 следует, что существует абсолютно непрерывная функция t → (x(t),z(t)): [0,τ] → G ×R, такая, что
u(x(δ)) = z(δ)=u(x
(δ) → 0 при δ ↓ 0. С другой стороны, дифференцируемость функции
где α
1
u вточкеx
и равенство s = Du(x0) влекут
0
u(x(δ)) = z(δ)=u(x
Следовательно, F (x
делу при δ ↓ 0, получаем ожидаемое равенство F (x
)+s, x(δ) − x0−F (x0,u(x0),s)δ + α1(δ)δ,
0
)+s, x(δ) −x0 + α2(δ)δ, lim
0
,u(x0),Du(x0)) = α1(δ) −α2(δ). Переходя к пре-
0
,u(x0),Du(x0)) = 0.
0
α2(δ)=0.
δ↓0
Заметим, что доказательство этого равенства использует только дифференцируемость функции u вточкеx
. Тем самым доказано, что мини-
0
максное решение удовлетворяет уравнению (2.1) в каждой точке x,гдеоно
дифференцируемо.
Другое доказательство совместности минимаксного и классического
решений получено в пункте 4.7 как прямое следствие определения минимаксного решения в инфинитезимальной форме с помощью контингентного
конуса к графику минимаксного решения.
2.5. Допустимые многозначные отображения E
Заметим, что многозначное отображение E вида (2.5) не является единственным из тех, что могут быть использованы в качестве характеристических включений. Для некоторых типов УЧП 1-го порядка удобнее вводить характеристические дифференциальные включения специального вида, принимая во внимание свойства этих уравнений. Рассмотрим условия,
которым должны удовлетворять допустимые многозначные отображения.
2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ВКЛЮЧЕНИЯ 25
Пусть Ψ — некоторое непустое множество. Мы назовем многозначное
отображение
G ×R ×Ψ (x, z, ψ) → E(x, z, ψ) ⊂ R
n
× R
допустимым, если оно удовлетворяет следующим условиям:
(i) для всех (x, z, ψ) ∈ G×R×Ψ множество E(x, z, ψ) выпукло и компактно
в R
n
× R;
(ii) для каждого ψ ∈ Ψ многозначное отображение G × R (x, z) →
→ E(x, z, ψ) полунепрерывно сверху;
+
(iii
) при любых ψ ∈ Ψ, x ∈ G, z zи (f,g) ∈ E(x, z,ψ) существует
такой элемент (f, g
−
(iii
) при любых ψ ∈ Ψ, x ∈ G, z zи (f, g) ∈ E(x, z,ψ) существует
такой элемент (f, g
+
) для любых (x, z, s) ∈ G ×R ×Rnнайдется ψ0∈ Ψ такое, что
(iv
F (x, z, s)=min{f,s−g :(f, g) ∈ E(x, z, ψ
) ∈ E(x, z,ψ),чтоg g;
) ∈ E(x, z,ψ),чтоg g;
0
)}
min{f, s−g :(f,g) ∈ E(x, z, ψ)}
при всех ψ ∈ Ψ;
−
) для любых (x, z, s) ∈ G × R ×Rnнайдется ψ0∈ Ψ такое, что
(iv
F (x, z, s)=max{f,s−g :(f, g) ∈ E(x, z, ψ
)}
0
max{f, s−g:(f,g) ∈ E(x, z, ψ)}
при всех ψ ∈ Ψ.
Очевидно, что многозначное отображение E вида (2.5), где Ψ=R
удовлетворяет предположениям (i) and (ii). Условие (2.3) влечет, что это
многозначное отображение удовлетворяет (iii
что многозначное отображение E вида (2.5) удовлетворяет (iv
+
) и (iii−). Нетрудно показать,
+
).
Действительно,
max
min{f,s−g:(f,g) ∈ E(x, z, p)}
n
p∈R
min{f, s−g:(f,g) ∈ E(x, z, s)} = F (x, z, s).
n
,
26 ГЛАВА I
С другой стороны, (2.9) влечет, что
max
min{f,s−g:(f,g) ∈ E(x, z, p)}
n
p∈R
max
{f,s−g:(f,g) ∈ E(x, z, p) ∩ E(x, z, s)} = F (x, z, s).
n
p∈R
Равенство (iv
−
) может быть установлено подобным образом.
В параграфе 4 будет показано, что минимаксное решение может быть
определено как непрерывная функция u: G → R, такая, что для каждого ψ ∈ Ψ ее график слабо инвариантен относительно дифференциального
включения
(˙x(t), ˙z(t)) ∈ E(x(t),z(t),ψ), (2.11)
где E — произвольное многозначное отображение с указанными выше свойствами. Это определение эквивалентно определению 2.2.
2.6. Минимаксные решения линейных уравнений
Рассмотрим линейное УЧП вида
f(x),Du(x)−g(x, u(x)) = 0. (2.12)
Мы предполагаем, что функции G x → f (x) ∈ R
n
, G × R (x, z) →
→ g(x, z) ∈ R удовлетворяют условию Липшица и функция g(x, ·) —неубы-
вающая.
Пусть
E(x, z, ψ)={(f(x),g(x, z))}. (2.13)
Множество Ψ параметров ψ здесь может быть определено произвольно, т. к.
на самом деле E(x,z, ψ) не зависит от параметра ψ. В рассматриваемом
случае F (x,z, s)=f(x),s−g(x, z). Легко показать, что многозначное
отображение E вида (2.13) удовлетворяет условиям (i)–(iv), перечисленным
в пункте 2.5. Характеристическое включение (2.11) превращается в систему
обыкновенных дифференциальных уравнений
˙x = f(x), ˙z = g(x, z). (2.14)
Таким образом, в силу замечания из пункта 2.5, минимаксное решение уравнения (2.12) может быть определено как непрерывная функция G x
мы (2.14), т.е. при произвольном выборе точки x
= u(x(t)) имеет место при 0 t τ,где(x(·),z(·)): [0,τ] → R
траектория системы (2.14) с начальными условиями x(0) = x
= u(x
→ u(x) ∈ R, график которой инвариантен относительно систе-
∈ G равенство z(t)=
0
), τ — некоторое положительное число.
0
n
× R —
, z(0) =
0
3. ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ 27
Данное определение эквивалентно определению 2.2, а также другим
упомянутым выше определениям минимаксного решения. Эта эквивалентность будет следовать из теоремы 4.6. Заметим, что данное определение
согласуется с классической теорией линейных УЧП 1-го порядка.
3. Верхние и нижние полунепрерывные решения
Минимаксное решение может быть также определено как функция, которая одновременно является верхним и нижним решением уравнения (2.1).
Эти понятия являются существенными в теории обобщенных (минимаксных и вязкостных) решений УЧП 1-го порядка. В частности, единственность
обобщенного решения проверяется с помощью доказательства справедливости неравенства u v,гдеu и v — произвольные верхнее и нижнее
решения соответственно. Этот параграф посвящен определениям верхних
и нижних решений, которые базируются на свойствах слабой инвариантности надграфика (соответственно подграфика) верхнего (соответственно
нижнего) решения относительно характеристических включений.
3.1. Определение
Верхним (соответственно нижним) минимаксным решением уравнения (2.1) называется полунепрерывная снизу (соответственно сверху)
функция u: G → R, такая, что для любых (x
ственно, для любых (x
) ∈ hypo u) илюбыхs ∈ Rnсуществуют лип-
0,z0
шицевые функции (x(·),z(·)): [0,τ] → G × R, определенные на интерва-
ле [0,τ] (τ — положительно), которые удовлетворяют начальному условию (x(0),z(0)) = (x
) и неравенству (3.1) (соответственно неравен-
0,z0
ству (3.2))
) ∈ epi u (соответ-
0,z0
t
z(t)=z
z(t)=z
+
0
˙x(ζ),s−F(x(ζ),z(ζ),s)dζ u(x(t)), (3.1)
0
t
˙x(ζ),s−F (x(ζ),z(ζ),s)dζ u(x(t)) (3.2)
+
0
0
для всех t ∈ [0,τ].
Напомним, что символы epi u := {(x, z): x ∈ G, z u(x)} и
hypo u := {(x, z): x ∈ G, z u(x)} обозначают надграфик и подграфик
функции u. Рассмотрим также следующее определение.
28 ГЛАВА I
Верхнее (соответственно нижнее) минимаксное решение уравнения (2.1) определяется также как полунепрерывная снизу (соответственно, сверху) функция u : G → R, такая, что для всех x
(соответственно z
u(x0))ивсехs ∈ Rnсуществуют число τ>0 итра-
0
∈ G, z0 u(x0)
0
ектория (x(·),z(·)): [0,τ] → G × R дифференциального включения (2.6),
которая удовлетворяет начальному условию (x(0),z(0)) = (x
0,z0
) и неравенству z(t) u(x(t)) (соответственно неравенству z(t) u(x(t))) при
всех t ∈ [0,τ].
В силу последнего определения, верхнее минимаксное решение понимается как полунепрерывная снизу функция u : G → R, такая, что ее
надграфик слабо инвариантен относительно дифференциального включения (2.6) для любого значения параметра s ∈ R
n
. Аналогично, нижним
минимаксным решением называется полунепрерывная сверху функция u,
такая, что ее подграфик слабо инвариантен относительно дифференциального включения (2.6).
Если некоторая функция u является верхним (нижним) решением в
смысле последнего определения, тогда она, очевидно, является верхним
(нижним) решением в смысле определения 3.1. Ниже, в теореме 4.3 будет
установлено и обратное заключение, так что эти два определения — эквивалентны. В следующем параграфе мы дадим также определения верхнего
и нижнего решений, в которых используется аппарат негладкого анализа
(контингентные конуса, производные по направлениям, субдифференциалы
и супердифференциалы). В силу теоремы 4.3, все эти определения эквивалентны.
Минимаксное решение может быть определено как функция, которая
одновременно является верхним и нижним решением. Если рассматриваемые решения определены с помощью слабой инвариантности их графиков,
надграфиков и подграфиков по отношению к характеристическим включениям (2.6), тогда факт эквивалентности данных выше определений следует
из теоремы 3.2. Для других определений такое доказательство проводится
в параграфе 4.
Замечание.
цию u =min{u
Пусть u1и u2— верхние решения. Рассмотрим функ-
}.Отметим,чтоepi u =epiu1∪ epi u2.Изопреде-
1,u2
лений, данных выше, немедленно следует, что эта функция u является
верхним решением. Аналогично, если u
ция u =max{u
} наследует это свойство, т.е. она является нижним
1,u2
и u2— нижние решения, то функ-
1
решением.
Нетрудно проверить, что справедливость подобного замечания может
быть установлена и в следующем, более общем случае: пусть I —непустое
множество, и для любого i ∈ I функция u
является верхним (нижним)
i
решением.
3. ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ 29
Предположим, что нижняя огибающая u := inf
щая u := sup
для любого x ∈ G существует i
ui) является функцией, полунепрерывной снизу (сверху), и
i∈I
∈ I такое, что u(x)=u
∗
ui(верхняя огибаю-
i∈I
(x).Тогда
i
∗
функция u является верхним (нижним) решением.
Можно также доказать дальнейшее обобщение, в котором предположение относительно полунепрерывности снизу (сверху) функции u опускается, и не требуется чтобы инфимум (супремум) по множеству I достигался
(смотри ниже утверждение 8.7).
3.2. Теорема
График непрерывной функции u : G → R слабо инвариантен относительно дифференциального включения (2.6) тогда и только тогда, когда
надграфик и подграфик этой функции слабо инвариантны относительно (2.6).
Доказательство
. Очевидно, что из слабой инвариантности графика u
следует слабая инвариантность надграфика и подграфика этой функции.
Докажем обратное утверждение: если надграфик и подграфик непрерывной функции слабо инвариантны относительно дифференциального
включения (2.6), то и график ее также слабо инвариантен относительно
этого дифференциального включения. Приведенное ниже доказательство
базируется на свойстве связности множеств достижимости для этого дифференциального включения.
Пусть x
; ε):={x ∈ Rn: x −x0 ε}⊂G.Предположим,что
B(x
0
∈ G, z0= u(x0), s ∈ Rn. Выберем число ε>0 такое, что
0
:= B(x0; ε) ×[z0− ε, z0+ ε],E:=
B
h := max
(f,g)∈E
f2+ g2,τ:=
(x,z)∈B
ε
h
E(x, z, s),
.
Напомним, что
n
E(x, z, s):={(f, g) ∈ R
× R : f ρ(x, z),g= f,s−F (x, z, s)}.
Пусть t
жество всех абсолютно непрерывных функций [t
n
× R, которые удовлетворяют дифференциальному включению
∈ R
∈ [0,τ], (x∗,z∗) ∈ B.ОбозначимчерезSol(t∗,x∗,z∗,s) мно-
∗
,τ] t → (x(t),z(t)) ∈
∗
(˙x(t), ˙z(t)) ∈E(x(t),z(t),s)
и начальному условию: (x(t
),z(t∗)) = (x∗,z∗).
∗
30 ГЛАВА I
Параграф A7 в приложении содержит некоторые результаты теории
дифференциальных включений, из которых вытекает, в частности, что
Sol (0,x
0,z0
,s) = ∅.
Из определения числа τ следует, что
[0,τ] × B
⊃ W := {(t,x(t),z(t)): t ∈ [0,τ], (x(·),z(·)) ∈ Sol (0,x0,z0,s)}.
Пусть (t
∗,x∗,z∗
) ∈ W , z∗= u(x∗), t∗∈ [t∗,τ]. Из слабой инвариант-
ности надграфика функции u следует, что существует траектория
+
(·),z+(·)) ∈ Sol (t∗,x∗,z∗,s),
(x
такая, что z
+(t∗
) u(x+(t∗)). Аналогично, слабая инвариантность подгра-
фика влечет, что существует такая траектория
−
(x
(·),z−(·)) ∈ Sol (t∗,x∗,z∗,s),
для которой справедливо z
−(t∗
) u(x−(t∗)). Из того, что функция u непре-
рывна, а множество
∗
{(x(t
),z(t∗)): (x(·),z(·)) ∈ Sol (t∗,x∗,z∗,s)}
односвязно (см., например, [60]), получаем, что существует такая траектория
для которой z(t
(x(·),z(·)) ∈ Sol (t
∗
)=u(x(t∗)).
∗,x∗,z∗
Выберем произвольно число δ ∈ (0,τ).Положимt
,s),
:= iδ, i ∈ 0, [τ/δ],
i
где [τ/δ] означает наибольшее целое число, меньшее или равное τ/δ.
Для i =0мы имеем (t
0,x0,z0
) ∈ W, z0= u(x0).Приведенныевышерас-
суждения доказывают существование траектории
(x
такой, что
Для i =1мы получаем
(1)
(t
,x
(t1),z
1
δ
(1)
(·),z
δ
(1)
z
δ
(1)
(t1)) ∈ W, z
δ
(1)
(·)) ∈ Sol (t0,x0,z0,s),
δ
(t1)=u(x
(1)
(t1)).
δ
(1)
(t1)=u(x
δ
(1)
δ
(t1)).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]